2014年高考一轮复习数学教案：2.10 函数的最值
2.10 函数的最值
●知识梳理
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；
（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+
b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·
c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.
（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.
（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.
（6）函数的单调性法.
●点击双基
1.（2003年春季北京）函数f（x）=)1(11xx的最大值是
A.54 B.45 C.43 D.34
解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－21）2+43≥43，
∴f（x）=)1(11xx≤34，f（x）max=34.
答案：D
2.若x2+y2=1，则3x－4y的最大值为
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：∵x2+y2=1，
∴可设x=cosα，y=sinα.
∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5.
答案：C
3.（2004年春季安徽）函数y=x－x（x≥0）的最大值为___________________.
答案：41
4.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________.
解析：∵x＞0，y＞0，
∴3x·2y≤（223yx）2＝62xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）.
答案：6
5.函数y=|x－1|+|x－3|的最小值是______________.
解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2.
答案：2
●典例剖析
【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）
x y
解：由题意得x·y+21·x·2x=8，
∴y=xx482=x8－4x（0＜x＜42）.
于是，框架用料长度为
L=2x+2y+2（22x）=（23+2）x+x16≥2)223(16=4246.
当且仅当（23+2）x=x16，即x=2234=8－42时，等号成立.
此时，x≈2.343，y=22≈2.828.
故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
【例2】 设f（t）=),,4020(41),,200(1121NNtttttt
g（t）=－31t+343（0≤t≤40，t∈N*）.
求S=f（t）g（t）的最大值.
解：当0≤t＜20时，S=（21t+11）·（－31t+343）=－61（t+22）（t－43）.∵22243=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.
当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－31t+343）=31（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.
综上所述，S的最大值是176.
【例3】 设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值42，求这时a和x的值.
解：原式可化为logax＋xalog3－xyaaloglog＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－23）2＋43，知当logax＝23时，logay有最小值43.
∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a43.
根据题意有a43＝42a＝41.这时x＝a23＝（41）23＝81.
评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.
深化拓展
已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.
解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.
又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.
∴当x=1时，g（x）有最小值6；
当x=3时，g（x）有最大值13.
答案：当x=1时，g（x）有最小值6；
当x=3时，g（x）有最大值13.
●闯关训练
夯实基础
1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是
A.增函数且最小值是－1 B.增函数且最大值是－1
C.减函数且最小值是－1 D.减函数且最大值是－1
解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1.
答案：B
2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.
解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=π21x.
∴S正=（4x）2=162x，S圆=π·22π4)1(x.
∴S正+S圆=π16484)(π2xx（0＜x＜1）.
∴当x=4π4时有最小值.
答案：4π4
3.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：
①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=2（sinx+cosx）；④f（x）=12xxx；⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|.
其中是F函数的序号为___________________.
答案：①④⑤
4.函数y=xx213（x≥0）的值域是______________.
解析：由y=xx213（x≥0），得x=123yy≥0.
∴－21＜y≤3.
答案：（－21，3］
5.求函数y=|x|21x的最值.
解：三角代换.设x=cosθ，θ∈［0，2π］，
（f（x）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y=21sin2θ.∴ymax=21，ymin=0.
培养能力
6.设函数f（x）=x2+x+21的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？
解：∵f（x）=（x+21）2+41的图象是以（－21，41）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n＞－21，∴f（x）的值域是［f（n），f（n+1）］，即［n2+n+21，n2+3n+25］.其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）－（n2+n+1）+1=2n+2个整数.
7.已知函数g（x）=lg［a（a+1）x2－（3a+1）x+3］的值域是R，求实数a的取值范围.
解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数.
①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数；
②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；
③a≠0且a≠－1时，∵h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3是二次函数，
∴必须有.0)1(12)13(,0)1(2aaaΔaa
解得3323≤a＜－1或0＜a≤3323.
综上所述，a的取值范围是
［3323，－1］∪［0，3323］.
探究创新
8.已知函数f（x）=x（1－x2），x∈R.
（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；
（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图.
x y
O11-1
解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1－x2＞0，
y2=x2（1－x2）2=21·2x2（1－x2）（1－x2）≤21·［3)1()1(2222xxx］3=274，
∴y≤332=932.
当且仅当2x2=1－x2，即x=33时，取“=”，即f（x）max=f（33）=932.
（2）由（1）知，当x∈（0，33］时，f（x）单调递增，x∈［33，+∞）时，f（x）单调递减.
设x2＞x1＞0，则
f（x2）－f（x1）=－x23+x2－（－x13+x1）
=（x2－x1）－（x2－x1）（x22+x1x2+x12）
=（x2－x1）［1－（x22+x1x2+x12）］.
当0＜x1＜x2≤33时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＞0.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）在（0，33］上递增.
当33≤x1＜x2时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＜0，∴f（x2）＜f（x1）.∴f（x）在［33，+∞）上递减.
（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.
x y
O1
-133
评述：第（1）题也可用导数解决.
∵f（x）=1－3x2，
令f（x）=0，∴x=±33.
又x＞0，∴x=33.
通过检验单调性知，当x=33时，f（x）取得最大值，其最大值为932，以下解法同上.
●思悟小结
1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.
2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.
●教师下载中心
教学点睛
利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.
拓展题例
【例1】 已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（－1）=5，求f（x）的解析式.
解：∵f（3）=f（－1），
∴抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x－1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=－2.
∴f（x）=－2（x－1）2+13=－2x2+4x+11.
【例2】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）.
（1）若f（5）=9，求f（－5）的值；
（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.
解：（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）.
∴f（x）是以10为周期的周期函数.
∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.
（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=22)22()12(xx ].20,17(],17,16[xx
2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲 函数的单调性与最值
第7讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)∀x∈I，都有 ；
(2)∃x0∈I，使得 (1)∀x∈I，都有 ；
(2)∃x0∈I，使得
结论 M为最大值 M为最小值
➢ 考点1 函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23fxxx的单调递增区间是（ ）
A．(,1] B．[3,) C．(,1] D．[1,)
2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axfxx（0a）在(11)，上的单调性.
[举一反三] 1．（2022·全国·高三专题练习）函数222xxy的单调递增区间是（ ）
A．1,2 B．(,1]
C．112， D．12，
2．（2022·全国·高三专题练习）函数213log412yxx单调递减区间是（ ）
2014年高考一轮复习数学教案：6.2 不等式的证明(一)
6.2
不等式的证明（一）
●知识梳理
1.均值定理：a+b≥2ab；
ab≤（2ba）2（a、b∈R+），
当且仅当a=b时取等号.
2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.
3.作商法：a＞0，b＞0，ba＞1a＞b.
特别提示
1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.
2.比商法要注意使用条件，若ba＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.
●点击双基
1.若a、b是正数，则2ba、ab、baab2、222ba这四个数的大小顺序是
A.ab≤2ba≤baab2≤222ba
B.222ba≤ab≤2ba≤baab2
C.baab2≤ab≤2ba≤222ba
D.ab≤2ba≤222ba≤baab2
解析：可设a=1，b=2，
则2ba=23，ab=2，
baab2=34，
222ba=241=25=5.2.
答案：C
2.设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=x11中最大的一个是
A.a B.b C.c D.不能确定
解析：∵0＜x＜1，
∴1+x＞2x=x4＞x2.
∴只需比较1+x与x11的大小.
∵1+x－x11=xx1112=－xx12＜0，
∴1+x＜x11.
答案：C
3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 必要条件
解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0.
反之，ax2+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b2－4ac＜0.
反例：a=b=0，c=2.故选A.
答案：A
4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：
三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测2.10变化率与导数、导数的计算(含答案详析)
课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·泰州期末)曲线y＝2ln x在点(e,2)处的切线(e是自然对数的底)与y轴交点的坐标为________．
2．曲线y＝x3＋ax＋1的一条切线方程为y＝2x＋1，则实数a＝________.
3．(2014·常州模拟)已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d均为常数)上．若曲线C在点A，B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.
4．(2013·南通一模)曲线f(x)＝f′1e·ex－f(0)x＋12x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．
5．(2013·南京、盐城三模)设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．
6．(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
7．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
8．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1π2＋f2π2＋…＋f2 014π2＝________.
9．(2014·南京摸底)已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2)当a>0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．
10．(2013·苏北四市三调)设函数f(x)＝x2－aln x与g(x)＝1ax－x的图像分别交直线x＝1于点A，B，且曲线y＝f(x)在点A处的切线与曲线y＝g(x)在点B处的切线斜率相等．
寿县迎河中学2014届高三数学秋学期教学与复习计划
1 2014届高三数学秋学期备考与复习计划
寿县迎河中学 龙如山
一、考情分析
我省实行新课程改革，高考命题是以《考试说明》为依据的，高三数学复习是要以《考试说明》为指导的，但是，《考试说明》可能要在明年三月份才能出台。高三复习工作是等不得的。于是我们各位授课教师结合2013届周边省份如广东、山东、江苏、海南、上海等省市高考试题、对照题型示例，仔细揣摩，去研究“课程标准”中的各项要求的具体落脚点，把握试题改革的新趋势。为了使本届高三数学的复习工作更加有效，在内容取舍上，应以考试内容为准，不随意扩充、拓宽和加深；注意各知识点的难度控制。根据数学学科的特点，结合本校数学教学的实际情况制定以下复习计划。
二、学情分析
我校今年共有6个班，其中高三（5）班为理科班。由于在高一、高二阶段，无论是教师或学生，思想认识都不到位，学习抓得不紧，尤其课时不足，只重进度不重效果，大部分学生的基础知识、基本方法掌握不好，学习数学的信心和兴趣不足。并且，学生的“知识回生”太快，有明显优势的学生较少，主动学习数学的习惯不强.还有不少数学是“缺腿”的优生。
根据往届学生复习过程中出现的问题，本届学生可能会出现同样的问题：
1、只跟不走
部分学生认为高考复习就是把高中的数学课的内容再重新上一遍，所以，同样只要上课听牢，作业做好就可以了。虽然复习课堂上听的很认真，作业做的也很认真，但从来没有去想听了什么，做了什么，自然提高不大，碰到新情景的问题时就解决不了。我们认为主动是学习成绩提高的保证。外因可起重要作用，但它必须通过内因才能起作用。只有学生主动起来，对每一堂课都有一种需求的心态走进来，才有可能真正取得提高，那么如何引导学生在复习中不只是跟在后面，而是走到前面呢？我的对策是在调动学生学习积极性提高他们的学习兴趣的同时，帮助他们养成在课前几分钟自觉地对本堂课的要点进行梳理的习惯，或者把本堂课的要点梳理设计成练习，课前发给他们，或者利用多媒体投影仪展示，让他们去回顾、思考，可以说课前对基础知识的梳理与强化是学习的生命。 2 2、只看不写
高一数学必修一 教案 第2课时 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
最值
条件
几何意义
最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点二 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
预习小测 自我检验
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．
答案 －1 2
2．函数y＝－x＋1在区间12，2上的最大值为________．
答案 12 3．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．
答案 2
4．函数y＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．
答案 32
一、图象法求函数的最值
例1 已知函数f(x)＝ x2，－1≤x≤1，1x，x>1.求f(x)的最大值、最小值．
解 作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
第3章 第2节 第2课时 导数与函数的极值、最值-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第2课时 导数与函数的极值、最值
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的极值与导数
条件 f ′(x0)＝0
x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值 f (x0)为极大值
f (x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定．
(2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．函数的最值与导数
(1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数的极大值不一定比极小值大． (√)
(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (×)
(3)函数的极大值一定是函数的最大值． (×)
(4)开区间上的单调连续函数无最值． (√)
高考数学 导数与函数的单调性、极值与最值 教案 含解析题
1 第二节 导数在研究函数中的应用
第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值
知识点一 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间上是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
[重温经典]
1.(多选·教材改编题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(2,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极大值
答案：BCD
2．(教材改编题)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1)和(0,1) B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
答案：A
3．(易错题)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A.13，＋∞ B．－∞，13 2 C.13，＋∞ D．－∞，13
2014年高考一轮复习数学教案：13.2 导数的应用
2013年2014年高考第一轮复习数学教案集
13.2 导数的应用
●知识梳理
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.
（1）求f（x）.
（2）确定f（x）在（a，b）内符号.
（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；
若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.
2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.
（1）求f（x）.
（2）f（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
f（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
●点击双基
1.函数y=x2（x－3）的减区间是
A.（－∞，0） B.（2，+∞）
C.（0，2） D.（－2，2）
解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0
答案：C
2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足
A.a<0且b=0 B.a>0且b∈R
C.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R
解析： f（x）=2ax，x<0且f（x）<0，
∴a>0且b∈R.
答案：B
3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］
A.在（－2，0）上递增 B.在（0，2）上递增
C.在（－2，0）上递增 D.在（0，2）上递增
解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F（x）=4x3－8x，
令F（x）>0，得－22，
∴F（x）在（－2，0）上递增.
答案：C
4.在（a，b）内f（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.
解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第三章 §3.3 导数与函数的极值、最值
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析
§3.3导数与函数的极值、最值课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数
的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)
叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；
而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)
叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(√)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(×)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(√)
2．(选择性必修第二册P98T4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个
2014届高考数学一轮复习 第3章《导数的概念及运算》名师首选学案 新人教A版
第3章 导数及其应用
学案13 导数的概念及运算
导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C (C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm (m为有理数)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．
自主梳理
1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________________．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．
(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，是物体的运动方程s＝s(t)在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，是物体的运动方程v＝v(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________.
3．函数f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内任一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．
4．基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝____