中考数学复习 圆的计算与证明
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圆的计算与证明
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．
（1）求证：∠ACD＝∠ACF；
（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长．
3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
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4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．
6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
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7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝24，求OP的长．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
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10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）求证：AD＝DE．
12．如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DE⊥AB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD＝6，BE＝8，求EF的长；
（2）求证：CE＝EF．
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13．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．
（1）求证：∠ADC＝∠AOB；
（2）求AE＝2，BC＝6，求OA的长．
14．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC＝6，求BE的长．
15．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若tan∠ACO＝，CD＝6，求⊙O的直径．
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16．已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A．
（1）求∠A的度数．
（2）求BD的长．
17．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
（1）求证：ED＝DC；
（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
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19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
20．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，高AD的延长线交⊙O于点E，BC＝6，AD＝5．
（1）求⊙O的半径；
（2）求DE的长．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在BC上取一点D使AD＝BD，连结AD，作△ACD的外接圆⊙O，交AB于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若CD＝3，AB＝4，求AC的长．
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22．如图，△ABC内接于⊙O，OE⊥BC于E，延长EO交AB于F，交⊙O于D，A为的中点，连接BD．
（1）求证：∠ACB＝3∠ABC；
（2）若OF＝5，EO＝7，求△BDF的面积．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC和∠BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC，⊙O于点F，D，连接BD．
（1）求证：BD＝DE．
（2）若BD＝6，AD＝10，求EF的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC于点E，连结CO．
（1）求证：∠COD＝∠CAB；
（2）若＝2，AB＝3，求图中阴影部分面积．
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25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
26．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，FG是⊙O的切线，FG∥BD，DF与AB交于点E．
（1）求证：BE＝BD；
（2）若AB＝8，DH＝3，求EH的长．
27．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线；
（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．
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28．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
29．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连接DE交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA＝AF，DF＝4，求阴影部分面积．
30．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
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31．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
32．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧BC上（不与B、C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为2cm，求⊙O的半径及阴影部分的面积．
33．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
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34．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
35．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
36．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】
考点01圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长
的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
考点02垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的
垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
考点03圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量
关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
考点04圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
考点05与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．
(1)d
(2)d=r⇔点在⊙O上；
(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系相离相切相交
图形
公共点个数0个1个2个
数量关系d>rd=rd
考点06切线的性质与判定
1．切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点．
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
1 / 14 中考专题——与圆有关的证明和计算
纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：
（1）线段、角以及切线的证明；
（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.
例题精讲：
1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
2 / 14
2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．
3 / 14
3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． 4 / 14 （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
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补充练习：
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.
2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)
1 圆的有关计算及证明
2023年数学中考试题精选（一）
1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于 点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.
（1）求证：DF为圆O的切线；
（2）若BE=3，cosC=45，求BF的长。
2.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.
（1）求证：EF与圆O相切 ；
（2）若BF=1，sin∠AFE=45，求BC的长。
3.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； 2 （2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.
4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.
（1）求∠BED的度数；
（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。
5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC相切于点D.
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)， 3 求FG的长.
6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.
（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；
（2）求证：△AED∽△CEB;
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明 理由。
圆的有关计算与证明(共50题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
圆的有关计算与证明(50题)
一、单选题
1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的
面积是()
A.12πB.6πC.4πD.2π
2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直
径向外作半圆．若AB=4,BC=5，则阴影部分的面积是()
A.414π-20B.412π-20C.20πD.20
3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O是这段弧所在圆
的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m，则AC的长为()
A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm
4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个
等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()
A.14πcm2B.13πcm2C.12πcm2D.πcm2
·1·5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为
12的正方形，曲线DA1B1C1D1A2⋯
是由多段90°的圆心角的圆心为C，半径为CB1；C1D1的圆心为D，半径为DC1⋯,DA1、A1B1、B1C1、
C1D1⋯的圆心依次为A、B、C、D循环，则A2023B2023�的长是()
A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π
6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部
分的面积是()
A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-47.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，CD=DB，连接OC,CA,OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1,△OBE的面积为S2，
陕西中考圆的证明与计算(2023版)
3A数学VX:AAAshuxue·理由太多妨碍进步
第1页共16页陕西中考圆的证明与计算（2023版）知识总结1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．3A数学VX:AAAshuxue·理由太多妨碍进步
第2页共16页【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．3A数学VX:AAAshuxue·理由太多妨碍进步
第3页共16页1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）连接BE，OD，交点为F，若cosA＝，BC＝6，求OF的长．3．如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．（1）求证：AB＝AC．（2）若⊙O的半径为3，，求BF的长．3A数学VX:AAAshuxue·理由太多妨碍进步
初三数学复习圆的认识与证明
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初三数学复习圆的认识与证明
① 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系 .
② 了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征
③ 了解三角形的内心和外心.
④ 了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画 圆的切线.
⑤ 会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积
【知识精要】
一、圆的认识
1 •圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2 •有关概念：弦、直径，弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、弧、优弧、劣弧。在同圆或等圆中，能 够互相重合的弧叫做等弧。等圆、同心圆、同圆或等圆的半径相等。
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. （补充）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个；（ 1）垂直于
弦；（2）过圆心；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
其中重点注意：（2）（ 3） = （1）（ 4）（ 5），所平分的弦要不是直径。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行
圆的计算和作图提供了方法和依据。
5•与圆有关的角：
⑴圆心角，圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等。 2 / 9
⑵圆周角，圆周角定理：一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。
注意：一、由于圆特殊的对称性，造成点与圆心相对位置不同，就有可能产生双解情况。
1、 点 0 是 ABC 的外心，.BOC =80 °，则.A=.
解读：应考虑外心 O在-ABC的内部和外部两种情况.A=40 °，140°
中考数学点对点-涉及圆的证明与计算问题(解析版)
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专题27 涉及圆的证明与计算问题
专题知识点概述
圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律
1.圆的性质：
（1）圆具有旋转不变性；
（2）圆具有轴对称性；
（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 第 2 页 共 46 页
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
河南数学中考题型汇总圆的相关证明与计算题型练习含答案
河南数学中考题型汇总圆的相关证明与计算题型练习含答案
类型 1 圆的实际应用
1.[2022安阳一模]如图(1)是某厂家设计生产的一种中药碾槽,碾槽底部近似圆弧形(本题以圆弧记),槽内可以安放一个带轴的碾轮,将中药放入碾槽中,使碾轮滚动,可将中药粉碎.碾槽及槽内碾轮的侧面简易示意图如图(2),经测量,碾槽两端点C,D的距离为32 cm,碾轮直径为20 cm,碾轮中心轴的直径为4 cm,设碾轮中心轴的截面圆的圆心为G,当碾轮经过碾槽最低点E时,☉G恰好与CD相切于点F,请求出碾槽底部圆弧CED所在圆的半径.
图(1)
图(2)
2.[2022河北中考改编]如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得竖直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°,点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的长; (2)请用尺规在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深(保留作图痕迹,不写作法,不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).
(参考数据:tan 76°取4,√17取4.1)
3.筒车,亦称“水转筒车”,是一种以水流作为动力,取水灌田的工具,它由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成.如图是一个筒车灌田的简化示意图.立式水轮☉O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处,水沿水槽AP流到田地里,☉O与水面交于点R,Q,且点R,Q,P在同一直线上,AP与☉O相切.若☉O的半径为5米,点P到点Q的距离为42米,立式水轮☉O的最低点到水面的距离为2米.连接AQ,AR.
请解答下列问题.
(1)求证:∠PAQ=∠PRA.
(2)请计算出水槽AP的长度.
4.[2022贵州六盘水]牂牁江“佘月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,下图是月亮洞的截面示意图.
中考数学复习 圆的计算与证明
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圆的计算与证明
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．
（1）求证：∠ACD＝∠ACF；
（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长．
3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
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4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．
6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
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7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝24，求OP的长．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
复习目标
1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。
2.掌握圆的基本性质。
3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。
考点梳理
一、圆的有关概念
1. 圆的定义
如图所示，有两种定义方式：
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；
①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2.与圆有关的概念
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．
①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．
①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．
①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．
①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．
①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．
①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．
①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．
⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．
例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．
(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；
(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.
【答案】
解：①半径OD经过弦AB的中点C，
①半径OD①AB．
(1)①AB＝23，AC＝BC＝3．
①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．
①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1， 即CD＝1.
(2)①OD①AB，OA＝OB，