2004年山东青岛理工大学结构力学考研真题A卷
2004年山东青岛理工大学结构力学考研真题A卷
一、分析图示结构体系的几何构造。
二、做静定多跨梁的剪力图和弯矩图。
三、试做图示桁架N1 、N2 、N3 、N4 的影响线。
四、图示结构 EI=常数，求 C 点水平位移。
五、图示刚架支座B移至B1 ，如图，用力法求解，做弯矩图，并求C结点水平位移。
六、求出用位移法求解时位移法典型方程的全部系数，i 为线刚度。
七、用力矩分配法求解连续梁，并做出弯矩图。
2004合工大机械原理考研真题
2004 年硕士生入学考试《机械原理》考题
一、简述题(40 分) 1. 什么是构件，什么是零件? 2. 平面机构中用低副代替高副的方法和条件是什么?目的是什么? 3. 速度多边形的特性如何? 4. 何谓机构的静力分析和动态静力分析? 5. 何谓“摩擦圆”?怎样决定转动副中总反力的作用线? 6. 差动螺旋机构的结构特点是什么?怎样设计可使做移动的构件获得极微小的 位移? 7. 用飞轮来调节机器的周期性速度波动，能否节省原动机的输出功率，为什么? 8. 为什么对刚性转子进行动平衡时，校正平面不能少于两个?
二、画出图示制动机构的运动简图，计算其自由度，并说明其省力的原理。(15 分)
第二题图
第三题图
三、在图示刨床机构中，设已知结构尺寸为 h、hl、h2、l1 (AB)、l3(CD)、14(ED)， 又主动曲柄的位置θ l 也为已知，试用解析法导出计算运动变量θ 4、lDB 及 Xc 的 公式。(20 分)
四、图示两种曲柄滑块机构，若已知 a=120mm、b=600mm，对心时 e=0 及偏置时 e=120mm，求此两机构的极位夹角θ 及行程速比系数 K。(15 分)
a)
b)
第四题图
1 / 2004
五、在对心直动从动件盘形凸轮机中，已知从动件按等加速等减速运动规律运动， 基圆半径为 ra,=50／3mm，行程 h＝lOmm，l／3 行程为等加速上升，其后 2／3 行程为等减速上升。试求(20 分) 1．从动件的运动方程及运动线图。 2．最大压力角的值。
哈工大结构力学2004年考研试题
哈尔滨工业大学2004年硕士研究生考试试题一、选择题（本大题分6小题，共27分）1、（本小题6分）图示刚架，EI＝常数，B点的竖向位移（↓）为：（）A、Pl3/(6EI ) ；B、2Pl3/(3EI)；C、2 Pl3/(6EI)；D、Pl3/(3EI )。
2、（本小题6分）用力法计算图示结构时，使其典型方程中副系数全为零的力法基本结构是：（ D）A.B.C.D.3、（本小题6分）图示结构（ƒ为柔度）：（ ）A 、M A >M CB 、 M A ＝MC C 、 M A <M C D、M A ＝﹣MC4、（本小题3分）图示结构位移法基本未知数的数目是：（ ）A 、2B 、3C 、4D 、55、（本小题3分）图示结构用力法求解时，基本体系不能选：（ D ）A 、 C 为铰结点，A 为不动铰支座；B 、C 为铰结点，D 为不动铰支座； C 、 A 、D 均为不动铰支座； D 、A 为竖向链杆支座。
6、（本小题3分）若平衡力系作用于静定结构的某一几何不变的部分上则其支座反力：（ A ） A 、恒为零； B 、不一定为零； C 、恒大于零 D 、恒小于零。
二、填充题（本大题分5小题，共24分） 1、（本小题3分）间接荷载下梁的影响线特点是节点处竖标与 的相同，节间则由 连以直线。
2、（本小题6分）图b 为图a 所示结构的基本体系，EI ＝常数，k 为弹簧刚度，试写出其力法方程。
3、（本小题6分）图示抛物线三铰拱，矢高为4m ，在D 点作用力偶M＝80kN ⋅m ，M D 左＝，M D 右＝。
4、（本小题6分）图示结构，当支座B 发生沉降△时，支座B 处梁截面的转角大小为 6Δ/5l ，方向为顺时针 ，设EI ＝常数。
5、（本小题3分）图示体系计算自由度W ＝1，是几何 变体系，若在A 点加一竖向链杆支座，则成为几何 变体系，若在A 点加一固定铰支座，则成为 变体系。
三、（本小题6分）试分析图示体系的几何组成。
04年工硕数据结构考题和答案1
04年工硕数据结构考题和答案1注：1、除第九题外，其他各题每题10分，第九题20分。
2、所有试题的答案写在答题纸上。
一、判断下列叙述的对错。
（1）线性表的逻辑顺序与物理顺序总是一致的。
（2）线性表的顺序存储表示优于链式存储表示。
（3）线性表若采用链式存储表示时所有结点之间的存储单元地址可连续可不连续。
（4）二维数组是其数组元素为线性表的线性表。
（5）每种数据结构都应具备三种基本运算：插入、删除和搜索。
二、设单链表中结点的结构为typedef struct node { file://链表结点定义ElemType data； file://数据struct node * Link； file://结点后继指针} ListNode；（1）已知指针p所指结点不是尾结点，若在*p之后插入结点*s，则应执行下列哪一个操作？A. s->link = p； p->link = s；B. s->link = p->link； p->link = s；C. s->link = p->link； p = s；D. p->link = s； s->link = p；（2）非空的循环单链表first的尾结点（由p所指向）满足：A. p->link == NULL；B. p == NULL；C. p->link == first；D. p == first；三、设有一个顺序栈S，元素s1， s2， s3， s4， s5，s6依次进栈，如果6个元素的出栈顺序为s2， s3， s4， s6，s5， s1，则顺序栈的容量至少应为多少？四、一棵具有n个结点的理想平衡二叉树（即除离根最远的最底层外其他各层都是满的，最底层有若干结点）有多少层？若设根结点在第0层，则树的高度h如何用n来表示（注意n可能为0）？五、从供选择的答案中选择与下面有关图的叙述中各括号相匹配的词句，将其编号填入相应的括号内。
新版青岛理工大学机械专硕考研经验考研参考书考研真题-图文
新版青岛理工大学机械专硕考研经验考研参考书考研真题-图文考研是我一直都有的想法，从上大学第一天开始就更加坚决了我的这个决议。
我是从大三寒假学习开始备考的。
当时也在网上看了许多阅历贴，可是或许是学习方法的问题，本身的学习效率一直不高，后来学姐告知我要给本身订立完善的复习计划，而且依照计划复习。
于是回到学校以后，订立了第一轮复习计划，那个时候已经是5月了。
开始基础复习的时候，是在网上找了一下教程视频，然后跟着教材进行学习，先是对基础学问进行了了解，在5月7月的时候在基础上加深了理解，对于第二轮的复习，本身还依据课本讲义画了学问构架图，是本身更能一目了然的把握学问点。
8月一直到靠近考试的时候，开始认真的刷真题，而且对那些本身不熟悉的学问点反复的加深印象，这也是一个自我提升的过程。
其实很庆幸本身坚持了下来，身边还是有一些伙伴没有走到最终，做了本身的逃兵，所以希望每个人都坚持本身的理想。
本文字数有点长，希望大家耐性看完。
文章结尾有我当时整理的仔细资料，可自行下载，大家请看到最终。
青岛理工大学机械专硕的初试科目为：(101)思想政整治论(204)英语二(302)数学二和(803)材料力学参考书目为：1.《材料力学》（Ⅰ、Ⅱ册）刘鸿文高等教育出版社（第五版）2023年版关于英语无非几大模块：阅读，完型，新题型，翻译，作文。
首先最最最紧要的就是阅读，倘若你把阅读搞“好”了，其他的都不成问题而“好”的定义，不是简简单单的把题做对，“好”的定义有许多方面，下面的内容我会说。
其次是作文，我们都知道考研英语作文有两篇：大作文和小作文。
就英语一来说，大作文通常（是通常哈）是图画作文，小作文是一封信。
而作文是有模板的，模板不是最终简简单单的别人总结的东西，模板是要靠本身的积累，积累，量变后的质变。
今年我在考场上用20分钟的时间把我本身总结的模板稍作修改，工工整整的默写了下来，那感觉真的很爽。
最终对于完形、新题型、翻译来说，前期投入大量的时间在阅读上，这些自然也不成问题。
2004级工程力学期末统考试卷(80学时)答案
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工程力学》试卷（2004级，80学时）1. 考前请将密封线内填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；．一直径为d ＝10mm 的拉伸试样，标距l 0＝50mm ，拉伸断裂后，两标点间的长度l 1＝63.2mm ，颈缩处的直径d 1＝5.9mm ，试确定材料的延伸率δ 和断面收缩率ψ，并判断属脆性材料还是塑性材料。
（10分） %4.26%10050502.63%100001=⨯-=⨯-=l l l δ （5分） %19.65%100109.510%100222010=⨯-=⨯-=ψA A A （3分）%5%5.26>=δ ∴该材料属塑性材料。
（2分）2．试写出图示单元体的三个主应力1σ、2σ和3σ，若材料的弹性模量为GPa 200=E ，泊松比为3.0=ν，试求最大剪应力max τ和该点的主应变1ε。
（10分）MPa 200 ,0 MPa,50321-===σσσ（4分）MPa 1252250231max ==-=σστ （3分）332111055.0)]2000(3.050[2001)]([1-⨯=-⨯-=--=σσνσεE（3分）50MPa200MPa3．如图示结构，水平杆CBD 可视为刚性杆，在D 点加垂直向下的力F ；AB 杆为钢杆，其直径d ＝30mm ，a ＝1m ，E ＝2×105MPa ，p σ＝200MPa 。
若在AB 杆上沿轴线方向贴一电阻应变片，结构加力后测得其应变值为 ε＝715×10－6，求这时所加力F 的大小。
（10分）由CBD 平衡∑=,0CMF F BA 2= （2分）又 EAF l l BABA BA =∆=ε （3分）kN 51.501071503.0411022121216211=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===-πεEA F F BA （2分）MPa 200MPa 99.14203.014.3421051.5023=<=⨯⨯⨯⨯==p BA BAAF σσ （1分）∴测得的应变为弹性应变，上述计算是可行的。
2004硕士研究生入学考试试题
化工原理 共5页 第1页大化工原理 共5页 第2页武汉大学气组成与該板液相组成之间的关系。
三、选择题（下列各小题几个备选答案中，只有一个正确答案，请将正确答案题号写在答题纸上。
共8小题，每小题3分，共24分）1、 往复泵的流量不能采用的调节方法是（A ）改变活塞的行程； （B ）改变电机的转速；（C ）在泵的出口处安装一个调节阀；（D ）出口液体用旁路阀门，使其液体部分循环。
2、某液体在管道中作层流流动时，若将管径增加到原管径的2倍，并保持液体流量、物性等其它条件不变，则直管阻力引起的能耗为原来能耗的（A ）1/2倍； （B ）1/4倍； （C ）1/8倍； （D ）1/16倍。
3、泵的扬程是指（A ）泵的总压头； （B ）泵把流体升扬的高度；（C ）泵的吸入高度； （D ）泵将被输送液体的静压头的提高量。
4、两种化学组成相同的保温材料其密度分别为ρΑ与ρΒ，且ρΑ>ρΒ，它们的保温性能 (A) B 比A 好；（B ）A 比B 好；（C ）两者相同；（D ）无法判断。
5、已知摩尔分数为0.02的稀氨水,在20 ℃时氨的平衡分压为1.67 kPa,氨水上方的总压为100 kPa ,此时亨利常数E 为84 kPa 。
当氨水上方总压变为120 kPa 时,E 值为(A) 42 kPa ; (B) 84 kPa ;(C) 168 kPa ; (D) 64 kPa 6、用纯溶剂逆流吸收气体中的可溶组分,液气比q n,C /q n,B =m (相平衡关系为Y =mX ) 。
进口气体组成Y 1=0.05,出口Y 2=0.01,则过程的平均推动力为(A) 0; (B) 0.01; (C) 0.04 ; (D) 0.02。
化工原理 共5页 第3页武汉大学7、如图所示,ef 线为连续精馏进料操作线,该进料的热状态是(A) 气-液混合物进料;(B) 冷液进料;(C) 泡点下的液体进料;(D) 过热蒸气进料。
8、精馏塔的设备费用与选择回流比R 的大小有关。
2004年山东石油大学(华东)化工原理考研真题
2004年山东石油大学(华东)化工原理考研真题一、选择及填空题（共30分）1. 某稳定流动管路，流体在流经一半开闸阀后，其质量流量，总机械能 。
A 变大B 变小C 不变D 不一定2. 如在测定离心泵的性能曲线时，错误地将压力表安装在泵出口调节阀以后，则操作时压力表读数（表压）将。
A 随真空表读数的增大而减小B 随流量的增大而减小C随泵的实际扬程增大而增大D 随流量的增大而增大3. 离心式水泵吸入管路漏入过量的空气后，将发生现象，当离心式水泵入口压力低于被输送液体的饱和蒸汽压时，将发生现象。
A 气蚀B 气浮C 过载D 气缚4. 灰体辐射能力同温度下黑体辐射能力；灰体的吸收率 该灰体的黑度。
A 大于B小于C等于D 不确定5. 实验室用水吸收NH 3的过程，气相中的浓度梯度 液相中的浓度梯度（均已换算为相应的液相组成）；气膜阻力液膜阻力。
A大于B小于C等于D 不确定6.下列情况 不是诱发降液管液泛的原因。
A 气液负荷过大B 过量雾沫夹带C 塔板间距过小D 过量漏液7.精馏的操作线是直线，主要基于如下原因。
A 理论板假定B 理想物系C 恒摩尔假定D 塔顶泡点回流8. 有一黑表面，当其温度分别为327℃和27℃时，向外辐射的能量之比为。
A 2B 4C 8D 169. 用管子从高位槽放水，当管径增大一倍，则水的流量为原流量倍。
假定液面高度、管长、局部阻力及摩擦系数均不变，且管路出口处的流体动能项可忽略。
10. 某设备上，真空表的读数为80mmHg ，其绝压＝kgf/cm 2＝Pa ，该地区大气压强为720mmHg 。
11. 降液管内停留时间太短会造成，而泛点率过大则会造成 ,气相流速太小会造成。
12. 萃取操作选择萃取剂的原则为（写出两条）：；。
二、问答题(下面两题任选一题)（共10分）1. 试分析造成加热炉热效率低的可能原因（至少提出三条），并阐述它们是如何影响热效率的。
2. 根据所学知识，设计一实验用于测定离心泵的特性曲线。
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(四)试题及答案 .doc
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(四)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxe x e y ，111222++-+='x x xx e e e e y ， 所以，1121+-==e e dx dy x . (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ， ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .（4） 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030003 ．【分析】 将B 的幂次转化为A 的幂次, 并注意到2A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A P B 200412004-=.故E EP P P A P B===--11002212004)(,=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.(5) 设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是T)0,0,1(．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x ) 在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D). (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x ) 的极小值点.显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]【分析】先求分段函数f (x )的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数F (x )的连续性与可导性即可.【详解】当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0. 即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理， 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 从而选 (D).(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu - . (C) 21αu-. (D) αu -1. [ B ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(B).(14) 设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ．令随机变量∑==ni i X n Y 11， 则(A) 212)(σn n Y X D +=+． (B) 212)(σnn Y X D +=-． (C) nσY X Cov 21),(=． (D) 21),(σY X Cov =． [ C ]【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案..【详解】 由于随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布, 于是可得),(1)1,(),(11111∑∑====ni i n i i X X Cov n X n X Cov Y X Cov),(1),(11111X X Cov nX X Cov n n i i ==∑=211)(1σnX D n ==. 故正确答案为(C).三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =30422044sin 212lim 2sin 41lim x xx x x x x x -=-→→. 346)4(21lim 64cos 1lim 22020==-=→→xx x x x x . (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . (17) (本题满分8分)设f (u , v )具有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u='+'),(),(.求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求y '，利用已知关系uv v u f v u f v u='+'),(),(，可得到关于y 的一阶微分方程. 【详解】x v x ux x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='， 因此，所求的一阶微分方程为x e x y y 222-=+'.解得 x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线y = F (x )之间的面积. 对任何t > 0，)(1t S 表示矩形-t ≤ x ≤ t ，0 ≤ y ≤ F (t )的面积. 求(I) S (t ) = S -)(1t S 的表达式；(II) S (t )的最小值.【分析】曲线y = F (x )关于y 轴对称，x 轴与曲线y = F (x )围成一无界区域，所以， 面积S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 120202=-==+∞-∞+-⎰x xedx e S ，t te t S 212)(-=，因此t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于t e t t S 2)21(2)(---='，故S (t )的唯一驻点为21=t ， 又t e t t S 2)1(8)(--=''，04)21(>=''eS ，所以，eS 11)21(-=为极小值，它也是最小值.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】 将T)1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21≠λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为T T k ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000113102121101A ，42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=,故方程组的全部解为T T T k k ηk ηk ξξ)2,0,2,1()0,1,3,1()0,0,1,21(2122110--+-+-=++=(21,k k 为任意常数)．(Ⅱ) 当21≠λ时，由于32x x =，即 k k -=+-2121，解得 21=k ， 故方程组的解为T T T ξ)1,0,0,1()2,1,1,2(21)0,21,21,1(-=--+-= ．当21=λ时， 由于32x x =，即121231k k k =--， 解得 212141k k -=，故方程组的全部解为 T T T k k ξ)2,0,2,1()0,1,3,1)(2141()0,0,1,21(22--+--+-=T T k )2,21,21,23()0,41,41,41(2---+-=， (2k 为任意常数)．(2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当21≠λ时有惟一解, 当21=λ时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当21=λ时，解得12221k k -=，方程组的全部解也可以表示为T T k ξ)4,1,1,3()1,0,0,1(1-+-=， (1k 为任意常数)．(21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若T α)0,1,1(1=, T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(Ⅰ) 求A 的另一特征值和对应的特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A ． 【分析】 由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】 (Ⅰ) 因为621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知Tα)0,1,1(1=，Tα)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是0||=A ，所以A 的另一特征值03=λ．设03=λ所对应的特征向量为T x x x α),,(321=，则有 01=ααT ，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x得基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．(Ⅱ) 令矩阵),,(21αααP =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以1066-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661******** ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224． (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：(23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. 【详解】 (Ⅰ) X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，，，010,1)(x x f X在)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，，00,1)|(|x y x x y f X Y当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为 xx y f x f y x f X Y X 1)|()(),(|== 在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),((Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为⎰⎰-===+∞∞-1ln 1),()(y Y y dx xdx y x f y f ； 当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ．因此 ⎩⎨⎧<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) ⎰⎰⎰⎰->+==>+xx Y X dy xdx dxdy y x f Y X P 112111),(}1{2ln 1)12(121-=-=⎰dx x ．。