第18讲 利用导数研究函数的单调性(原卷版)
1 第18讲：利用导数研究函数的单调性
一、课程标准
1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
二、基础知识回顾
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．
函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．
(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；
函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．
三、自主热身、归纳总结
1、若函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝f′(x)的图像有可能是( )
第1题图
1 A B
C D
2、函数f(x)＝－2lnx－x－3x的单调递增区间是( )
A. ()0，＋∞ B. ()－3，1
C. ()1，＋∞ D. ()0，1
3、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋32bx＋c3的单调递增区间是( )
第3题图
A. (－∞，－2] B. 12，＋∞ C. [)－2，3 D. 98，＋∞
4、已知f(x)＝aln x＋12x2(a>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>2恒成立，则a的取值范围为( )
A.(0，1] B.(1，＋∞)
C.(0，1) D.[1，＋∞)
5、定义在R上的可导函数()yfx的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．3是()fx的一个极小值点
B．2和1都是()fx的极大值点
C．()fx的单调递增区间是(3,)
D．()fx的单调递减区间是(,3)
6、函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．
1 7、(多填题)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.则m＝________，f(x)的单调递减区间为________.
四、例题选讲
考点一、求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－12x2－2x＋3；
(2)g(x)＝x2－2lnx.
方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．
变式1、已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
1 变式2、已知函数f(x)＝ln x＋kex(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
考点二、给定区间求参数的范围
例2、已知函数 f ( x) 1 x3 x2 ax 1 .
（Ⅰ）若曲线 y f ( x) 在点(0,1) 处切线的斜率为3 ，求函数 f ( x) 的单调区间；
（Ⅰ）若函数 f ( x) 在区间[2, a ] 上单调递增，求 a 的取值范围.
【点评】 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．
2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．
变式1、设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x.
①若g(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围；
②若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减的区间，求实数a的取值范围．
1 变式2、设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
考点三、函数单调区间的讨论
例3 已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a∈R.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调性；
(2)讨论f(x)的单调性．
方法总结1. 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．
2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．
变式1、已知函数f(x)＝a2(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
考点四 构造函数研究单调性
例4、(1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
1 A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．
方法总结：(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；
(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；
特别地，对于不等式f′(x)>k(或 (3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； (4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝fxgx(g(x)≠0)； (5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)； (6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝fxx(x≠0)． 变式1、(1)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是( ) A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)>x D．f(x) (2)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x) A．(－∞，1) B．(－1,1) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1) 变式2、（2019秋•滨州期末）已知定义在[0,)2上的函数()fx的导函数为()fx，且(0)0f，()cos()sin0fxxfxx，则下列判断中正确的是( ) A．6()()624ff B．()03fln 1 C．()2()63ff D．()2()43ff 五、优化提升与真题演练 1、【2018年高考天津理数】已知函数()xfxa，()logagxx，其中a>1. 则函数()()lnhxfxxa的单调区间 ； 2、【2017年高考浙江】函数y=f(x)的导函数()yfx的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 3、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数2eexxfxx的图像大致为 4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422yxx的图像大致为
用导数研究含参函数的单调性典型题型(学生版+解析版)
用导数研究含参函数的单调性
一、考情分析
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,
可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,
单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关
重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用
更是高考中的难点.
二、解题秘籍
连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程fx
=0的根,所以求解
含参函数的单调性问题,一般要根据fx
=0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是
二次型
1.若导函数是一次型,分类步骤是：
①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②若有根,求出fx
=0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；
③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
2.若导函数是二次型,分类步骤是：
①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单
调性；
③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间
上的单调性.
下面我们根据fx
=0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一：fx
定义域不是R,fx
=0可化为单根型一次方程
思路：根据根是否在定义域内进行分类
例1.讨论fx=x-1-alnx的单调性
类型二：fx定义域不是R,fx
=0可化为单根型类一次方程
思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类
例2.讨论fx=ax-1-alnx+1的单调性
例3.讨论fx=
1
4ax4
-1
3x3
+1
2ax2-x+1的单调性
考点21 利用导数研究函数的单调性(解析版)
考点21 利用导数研究函数的单调性
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．
函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．
(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；
函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．
.1、若函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝f′(x)的图像有可能是( )
高考数学专题3导数及其应用18用导数研究函数的单调性
1 【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题3 导数及其应用 18 用导数研究函数的单调性 理
训练目标 (1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用.
训练题型 (1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小.
解题策略 (1)函数的单调性可通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0判断；(2)若f(x)在区间D上是增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知条件中含f(x)的不等式，可构造函数，利用单调性求解.
1．设函数f (x)＝－2x1＋x2，则f (x)的单调减区间是________．
2．如图所示是函数f (x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是________．
①函数f (x)在区间(－3,0)上是减函数；②函数f (x)在区间(－3,2)上是减函数；
③函数f (x)在区间(0,2)上是减函数；④函数f (x)在区间(－3,2)上是单调函数．
3．已知函数f (x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝________.
4．已知函数f (x)＝1－xax＋ln x，若函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．
5．(2015·广东江门普通高中调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x)＝xsin x＋cos
x，则f (x)的单调递增区间是________________．
6．已知函数f (x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f (x)的单调递减区间为__________．
7．已知函数f (x)＝12x2－2ax－aln x在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是________．
8．设函数y＝f (x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f (－x)，f′(x)
9．若f (x)是定义在R上的可导函数，且对任意x∈R，满足f (x)＋f′(x)>0，则对任意实数a，b，下列结论成立的是________．
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鑫达捷 第18课 利用导数研究函数的单调性
【自主学习】
第18课 利用导数研究函数的单调性
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1.(选修2-2P28例1改编)函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为 .
【答案】(-1，11)
【解析】f'(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1)，
由(x-11)(x+1)<0，得单调减区间为(-1，11).亦可填写闭区间或半开半闭区间.
2.(选修2-2P29练习4(1)改编)函数y=xln x的单调减区间为
.
【答案】10e，
【解析】y'=ln x+1，令y'<0，即ln x+1<0，解得0
3.(选修1-1P74练习2改编)若函数f(x)=x3+ax-2在区间(-∞，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】[0，+∞)
【解析】f'(x)=3x2+a，
因为f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，
所以f'(x)≥0恒成立，所以a≥0. & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &
鑫达捷 4.(选修1-1P87练习3改编)若函数f(x)=ex-ax在区间(1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
.
【答案】(-∞，e]
【解析】由f'(x)=ex-a>0，得a
5.(选修2-2P29例2改编)方程13x3-3x2+1=0在区间(0，2)上恰好有 个根.
【答案】1
【解析】设f(x)=13x3-3x2+1，则f'(x)=x2-6x=x(x-6)，当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)在(0，2)上为减函数，又f(0)f(2)=1×8-1213<0，所以f(x)=0在区间(0，2)上恰好有1个根.
1.用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f'(x)≥0且不恒为0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)≤0且不恒为0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
高中数学利用导数研究函数的单调性精选练习题
第1页（共23页）
利用导数研究函数的单调性精选题24道
一．选择题（共7小题）
1．设函数
()fx是奇函数
()()fxxR的导函数，
(1)0f，当
0x时，
()()0xfxfx，
则使得
()0fx成立的
x的取值范围是
(
)
A．
(，
1)(0，
1) B．
(1，
0)(1，
)
C．
(，
1)(1，
0) D．
(0，
1)(1，
)
2．若函数1
()sin2sin
3fxxxax在
(,)单调递增，则
a的取值范围是
(
)
A．
[1，
1] B．
[1，1
]
3 C．1
[
3，1
]
3 D．
[1，1
]
3
3．函数32()fxaxbxcxd的图象如图所示，则下列结论成立的是
(
)
A．
0a，
0b，
0c，
0d B．
0a，
0b，
0c，
0d
C．
0a，
0b，
0c，
0d D．
0a，
0b，
0c，
0d
4．已知奇函数
()fx在R上是增函数，
()()gxxfx．若
2(log5.1)ag，0.8(2)bg，
cg
（3），则
a，
b，
c的大小关系为
(
)
A．
abc B．
cba C．
bac D．
bca
5．若函数21
()fxxax
x在1
(,)
2是增函数，则
a的取值范围是
(
)
A．
[1，
0] B．
[1，
) C．
[0，
3] D．
[3，
)
6．若定义在R上的函数
()fx满足
(0)1f，其导函数
()fx满足
()1fxk，则下列结论
中一定错误的是
(
)
A．11
()f
kk B．11
()
1f
kk
C．11
()
11f
kk
D．1
()
11k
f
kk
7．已知21
()sin()
42fxxx
，()fx为
()fx的导函数，则()fx的图象是
(
)
A
．B
． C
．D
．
二．填空题（共12小题）
第2页（共23页）
8．已知函数31
()2x
xfxxxe
e，其中
e是自然对数的底数．若2(1)(2)0fafa„．则
14导数、利用导数研究函数的单调性(含答案)
14导数:利用导数研究函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数y＝f(x)
在区间(a，b)
上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内□01单调递增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)内□02单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是□03常数函数
2.确定不含参数的函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．
(3)令f′(x)＝0，
①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0.
②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0
练习
1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
答案 C
解析 由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0
2.f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0
3.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
考点11 导数与函数的单调性,极值,最值(原卷版)
考点11 导数的单调性、极值、最值
【考点剖析】
1.最新考试说明：
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．
【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数2exfxaxx．
（1）当1a时，讨论fx的单调性；
（2）当0x时，3112fxx，求a的取值范围．
【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数2ln1fxx．
（1）若2fxxc，求c的取值范围；
（2）设0a，讨论函数fxfagxxa的单调性．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).
【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln1fxxxx．证明：
（1）()fx存在唯一的极值点；
（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【2020年高考天津卷20】已知函数3()ln()fxxkxkR，()fx为()fx的导函数．
（Ⅰ）当6k时，
（i）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；
（ii）求函数9()()()gxfxfxx的单调区间和极值；
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．
【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22fxxax．
（1）讨论()fx的单调性；
（2）当0
【2019年高考北京文数】已知函数321()4fxxxx．
（1）求曲线()yfx的斜率为1的切线方程；
（2）当[2,4]x时，求证：6()xfxx；
（3）设()|()()|()FxfxxaaR，记()Fx在区间[2,4]上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
4.会利用导数解决某些实际问题.
【2020年高考江苏卷17】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线（O在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离1h（米）与D到OO的距离a（米）之间满足关系式21140ha；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离2h（米）与F到OO的距离b（米）之间满足关系式3216800hbb．己知点B到OO的距离为40米．
第18讲 利用导数研究函数的单调性(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
1/9第18讲：利用导数研究函数的单调性
一、课程标准
1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
二、基础知识回顾
1.利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a
，b)内
，如果f′(x)≥0且在(a
，b)的任意子区间上不恒为0
，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调
递增；如果f′(x)≤0且在(a
，b)的任意子区间上不恒为0
，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2.判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
3.已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数y＝f(x)在区间(a
，b)上单调递增
，可转化为f′(x)≥0在(a
，b)上恒成立
，且在(a
，b)的任意子区间上不
恒为_0；也可转化为(a
，b)⊆增区间．
函数y＝f(x)在区间(a
，b)上单调递减
，可转化为f′(x)≤0在(a
，b)上恒成立
，且在(a
，b)的任意子区间上不恒
为_0；也可转化为(a
，b)⊆减区间．
(2)函数y＝f(x)的增区间是(a
，b)
，可转化为(a
，b)＝增区间
，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a
，b)；
函数y＝f(x)的减区间是(a
，b)
，可转化为(a
，b)＝减区间
，也可转化为a
，b是f′(x)＝0的两根．
三、自主热身、归纳总结
1、若函数y＝f(x)的图像如下图所示
，则函数y＝f′(x)的图像有可能是()
第1题图2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
2/
9
AB
CD
2、函数f(x)＝－2lnx－x－3x的单调递增区间是()A.(
0
，＋∞)
B.(
－3
，1)
C.(
1
，＋∞)
D.(
0
，1)
3、函数f(x)＝ax3
＋bx2
＋cx＋d的图像如图
，则函数y＝ax2
一元函数的导数及其应用(利用导函数研究单调性(含参)问题)(解答题压轴题)(原卷版)高考数学必刷题
专题05一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究单调性（含参）问题）
利用导函数研究单调性（含参）问题
①导函数有效部分为一次型（或类一次型）
②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）
③导函数有效部分为不可因式分解的二次型
①导函数有效部分为一次型（或类一次型）
角度1：导函数有效部分为一次型
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数
lnfxxaxaR.
判断函数
fx的单调性：
解
lnfxxax的定义域为
0,，11ax
fxa
xx
当0a时，
0fx恒成立，
fx在
0,上单调递增，
当0a时，令
0fx，1
0x
a.令
0fx，1
xa，
所以
fx在10,
a
上单调递增，在1
,
a
上单调递减.
综上，当0a时，
fx在
0,上单调递增；当0a时，
fx在10,
a
上单调递增，在1
,
a
上单调递减.
2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数
lna
fxx
x，
esinxgxxaR
讨论函数
fx的单调性；
解由题意知：
fx定义域为
0,，
221axa
fx
xxx
；
当0a时，
0fx恒成立，
fx在
0,上单调递减；
当0a时，令
0fx，解得：xa
；
当
0,xa时，
0fx；当
,xa时，
0fx；
fx在
0,a上单调递增，在
,a上单调递减；
综上所述：当0a时，
fx在
0,上单调递减；当0a时，
fx在
0,a上单调递增，在
,a上单调递减.
3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数
1lnfxxax
（其中a
为参数）.
求函数
fx的单调区间：
解由题意得：
fx定义域为
0,，
导数专题：含参函数单调性讨论问题(原卷版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题
一、导数与函数的单调性
1、用导数求函数的单调性的概念：
在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递
增；
如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内()0(()0)fxfx是函数()fx在此区间上为增(减)函数的充分
不必要条件．
（2）可导函数()fx在(,)ab上是增(减)函数的充要条件是对(,)xab，都有
()0(()0)fxfx
且()fx在(,)ab上的任何子区间内都不恒为零．
2、确定函数单调区间的求法
（1）确定函数()fx的定义域；
（2）求()fx；
（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
二、含参函数单调性讨论依据
讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓
住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考
虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法
1、含参一次函数单调性讨论
（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；
（2）求解导函数的根；
（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.
2、含参二次函数单调性的讨论
（1）确定函数的定义域；
（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得
12,xx（注意讨论
12xx）；不可因式分解型，讨论0
及0；
（4）讨论
1x和
2x的大小，能因式分解的，注意讨论
12xx；
（5）
12,xx将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负