平行四边形经典练习题
挑战自我：
1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠
ABC
的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，
BD=8，AB=10，则△OAB的周长为 。
5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．
6题
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE
∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为
7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，
推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①
∥，②，③，④．
已知：在四边形中， ， ；求证：四边形是平行
四边形．
8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，8AC，6BD。
（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，
F
E
D
CB
A
ABCD
AD
BCCDABCA180CB
ABCDABCD
D
A
B
C
A
B
C
D
第5题图
F
A E B
C
D
请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边
形的周长。
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
周长为__________ 周长为__________
9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且cmAC5，BD=12c m，
求梯形中位线的长。
10、（2007·山东）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE∥
BD
交AD于E，则∥ABE的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm
(D)10cm
10题
11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥BC于E，AF∥CD于F，∥EAF=45o，且AE+AF=
22
，则平行四边形ABCD的周长是 ．
直击中考：
1. （2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分
别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）【答案】D
A．7 B．9 C．10 D．11
D A B C D A B C D
A
B
C
（图2） （图1） （图3） （图4）
A
B
C
D
O
E
11题
2. （2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF
＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】A
3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第
①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有
11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
……
图① 图② 图③ 图④
A．55 B．42 C．41 D．29
4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】Ｂ
A．120° B．135° C．140° D．144°
6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长
为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如
图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（ ）【答案】C
（A）2n （B）4n （C）12n （D）22n
7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面
积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）【答案】B
A.17 B.17 C.18 D.19
8. （2011山东泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点
B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）【答案】A
A.23 B. 332 C. 3 D.6
10. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形
EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD
面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）【答案】A
（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm
11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD
各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,
图1 图2 图3
……
（第10题）
F
A
B
C
D
H
E
G
①
②
③
④
⑤
…
A1
A
A2
A3 B B1 B2 B3
C
C2
C1
C3
D
D2
D1
D3
如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 【答案】C
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长4ba; ④四边形AnBnCnDn的面积是12nab
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且
AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：（ ） 【答案】
D
①∥AED∥∥DFB； ②S四边形 BCDG= 43 CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．
13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正
方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2
17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形ABCD中，60DAB．连
结对角线AC，以AC为边作第二个菱形11DACC，使 601ACD；连结1AC，再以
O
2
O
1
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
A
2
B
2
C
2
D
2
A
3
B
3
C
3
D
3
第20题图
3
A
B
C
D
E
F
G
H
第12题图
1AC为边作第三个菱形221DCAC，使 6012
ACD
；……，按此规律所作的第n个菱
形的边长为 ．【答案】13n
18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个
动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． 【答案】2;
19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，
G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．
求证：GF∥HE．
C
2
D
2
C
1
D
1
C
D
A
B
H A C B D O
E
G
F
平行四边形性质经典例题及练习
平行四边形性质经典例题及练习（4）一、平行四边形的性质： 1、平行四边形对边相等且平行 2、平行四边形对角相等，邻角互补 3、平行四边形对角线互相平分 二、典型例题 1、角度的计算例1 、 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得x+3x=180，解得x=45，∴ 3x=135∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°． 练习：（1）.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=____ 度, ∠D=_______度. （2）平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _____ . （3） 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 。
2、边长及周长计算 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，的周长比 的 周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长． (答案：19cm ，11cm ，19cm ，11cm ．)说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差． 练习：（1）已知：平行四边形一边AB=12 cm,它的长是周长的1/6，则BC=______ cm,CD=______ cm.（2）已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是______.（3）已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.（4）用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.3、面积计算例3、已知：如图，ABCD 的周长是，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且，.求这个平行四边形的面积.解答：设. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴.又∵四边形ABCD 的周长为36，∴ ① ∵， ∴∴ ② 解由①，②组成的方程组，得.∴.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 练习：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3、平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________． 4、在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝______．5、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
(完整版)平行四边形的性质判定练习题
第一部分 平行四边形的性质练习题 例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。
变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。
例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。
变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。
例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。
变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,则长边是________ ，短边是__________.4、平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _________ .7、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。
2020中考数学复习《平行四边形》专题练习（含答案）
2020中考数学复习《平⾏四边形》专题练习（含答案）中考复习数学分类汇编：平⾏四边形专题练习含答案⼀、选择题1. (2018·宜宾)在ABCD Y 中，若BAD ∠与CDA ∠的平分线交于点E ，则AED ∠的形状是( )A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.钝⾓三⾓形D.不能确定2. (2018·黔西南州)如图，在ABCD Y 中，4AC =cm.若ACD ?的周长为13 cm ，则ABCD Y 的周长为( )A. 26 cmB. 24 cmC. 20 cmD. 18 cm3. (2018·海南)如图ABCD Y 的周长为36，对⾓线,AC BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，12BD =，则DOE ?的周长为( )A.15B. 18C. 21D. 244. ( 2018·台州)如图，在ABCD Y 中，2,3AB BC ==.以点C 为圆⼼，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点,P Q 为圆⼼，⼤于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是( ) A. 12 B. 1 C. 65 D. 325. (2018·东营)如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB BF =.添加⼀个条件使四边形ABCD 是平⾏四边形，你认为下列四个条件中可选择的是( )A. AD BC =B. CD BF =C. A C ∠=∠D. F CDF ∠=∠6. (2018·安徽)在ABCD Y 中，,E F 是对⾓线BD 上不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AECF ⼀定为平⾏四边形的是( )A. BE DF =B. AE CF =C. //AF CED. BAE DCF ∠=∠7. (2018·⽟林)在四边形ABCD 中:①//AB CD ;②//AD BC ;③AB CD =;④AD BC =，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平⾏四边形的选法共有( )A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种8. (2018·呼和浩特)顺次连接平⾯上,,,A B C D 四点得到⼀个四边形，从①//AB CD ;②BC AD =;③A C ∠=∠;④B D ∠=∠四个条件中任取其中两个，可以得出‘“四边形ABCD 是平⾏四边形”这⼀结论的情况共有( )A. 5种B. 4种C. 3种D. 1种9. (2018·眉⼭)如图，在ABCD Y 中，2CD AD =，BE AD ⊥于点E ，F 为DC 的中点，连接,EF BF ，下列结论:①2ABC ABF ∠=∠;②EF BF =;③2EFB DEBC S S ?=四边形;④3CFE DEF ∠=∠.其中正确的结论共有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个10. (2018·通辽)如图，ABCD Y 的对⾓线,AC BD 交于点O ，DE 平分ADC ∠交AB 于点E ，60BCD ∠=?，12AD AB =，连接OE .下列结论:①ABCD S AD BD =Y g ; ②DB 平分CDE ∠; ③AO DE =;④5ADE OFE S S ??=.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个⼆、填空题11. (2018·常州)如图，在ABCD Y 中，70A ∠=?，DC DB =，则C D B ∠= .12. (2018·⼗堰)如图，ABCD Y 的对⾓线,AC BD 相交于点O ，且8AC =，10BD =，5AB =，则OCD ?的周长为 .13. (2018·泰州)如图，在A B C D Y 中，,A C B D 相交于点O .若6,16AD AC BD =+=，则BOC ?的周长为 .14. (2018·衡阳)如图，ABCD Y 的对⾓线相交于点O ，且AD CD ≠，过点O 作OM AC ⊥，交AD 于点M .如果CDM ?的周长为8，那么ABCD Y 的周长是 .15.(2018·临沂)如图，在ABCD Y 中，10,6AB AD ==，AC BC ⊥，则BD 的长为 .16. (2018·东营)如图，(3,3)B -，(5,0)C ，以,O C C B 为边作OABC Y ，则经过点A 的反⽐例函数的解析式为 .17. (2018·株洲)如图，在ABCD Y 中，连接BD ，且B D C D =，过点A 作AM BD⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，且DN =在DB 的延长线上取⼀点P ，满⾜ABD MAP PAB ∠=∠+∠，则AP 的长为 .18.(导学号78816053)(2018·⽆锡)如图，60XOY ∠=?，点A 在边OX 上，2OA =.过点A 作AC OY ⊥于点C ，以AC 为⼀边在XOY ∠内作等边三⾓形ABC ，P 是ABC ?围成的区域(包括各边)内的⼀点，过点P 作//PD OY 交OX 于点D ，作//PE OX 交OY 于点E .设,OD a OE b ==，则2a b +的取值范围是 .三、解答题19. (2018·⽆锡)如图，在ABCD Y 中，,E F 分别是边,BC AD 的中点.求证:ABF CDE ∠=∠.20. (2018·衢州)如图，在ABCD⊥，DF AC⊥，垂Y中，AC是对⾓线，BE AC⾜分别为E，F.求证:AE CF=.21. (2018·⼤连)如图，ABCDY的对⾓线,AC BD相交于点O，点,E F在AC上，且AF CE =.=.求证:BE DF22. (2018·福建)如图，ABCDY的对⾓线,AC BD相交于点O，EF过点O且与AD BC分别相交于点,E F.求证:OE OF,=.23. (2018·宿迁)如图，在ABCD Y 中，点,E F 分别在边,CB AD 的延长线上，且BE DF =，EF 分别与,AB CD 交于点,G H .求证:AG CH =.24. (2018·曲靖)如图，在ABCD Y 的边,AB CD 上截取,AF CE ，使得AF CE =，连接,,EF M N 是线段EF 上两点，且EM FN =，连接,AN CM .(1)求证: AFN CEM ;(2)若107CMF ∠=?，72CEM ∠=?，求NAF ∠的度数.25. (2018·岳阳)如图，在ABCD Y 中，AE CF =.求证:四边形BFDE 是平⾏四边形.26. (2018·孝感)如图，,,,B E C F 在⼀条直线上，已知//,//,A B D E A C D F B E C F =，连接AD .求证:四边形ABED 是平⾏四边形.27. (2018·陕西)如图，//AB CD ，,E F 分别为,AB CD 上的点，且//EC BF ，连接AD ，分别与,EC BF 相交于点,G H ，若AB CD =，求证:AG DH =.28. (2018·巴中)如图，在ABCD Y 中，过点B 作BM AC ⊥于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN AC ⊥于点F ，交AB 于点N .(1)求证:四边形BMDN 是平⾏四边形;(2)已知12,5AF EM ==，求AN 的长.29. (2018·江西)如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为AB 的中点，请仅⽤⽆刻度的直尺分别按下⾯的要求画图.(保留画图痕迹)(1)在图①中，画出ABD ?的BD 边上的中线;(2)在图②中，若BA BD =，画出ABD ?的AD 边上的⾼.30. (2018·黄冈)如图，在ABCD Y 中，分别以边,BC CD 作等腰三⾓形BCF 、等腰三⾓形CDE ，使,BC BF CD DE ==，CBF CDE ∠=∠，连接,AF AE .(1)求证: ABF EDA ;(2)延长AB 与CF ，相交于点G ，若AF AE ⊥，求证: BF BC ⊥.31. (2018·永州)如图，在ABC∠=?，以线段AB为∠=?，30CAB中，90ACB边向外作等边三⾓形ABD，E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD 于点F.(1)求证:四边形BCFD为平⾏四边形;(2)若6Y的⾯积.AB=，求BCFD32. (2018·重庆)如图，在ABCDY中，O是对⾓线AC的中点，E是BC上⼀点，且AB AE=，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，垂⾜为H，交AC于点G.(1)若3,1的⾯积;AH HE==，求ABE(2)若45∠=?，求证:DF=.ACB参考答案⼀、1. B 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. B 8. C 9. D 10. B⼆、填空题11. 40?12. 1413. 1414. 1615. 16. 6y=x17. 618. 225≤+≤a b三、19. 点拨：证明()∠=∠.，即可得ABF CDEABF CDE SAS20. 点拨：证明()=.，即可得AE CFABE CDF AAS21. 点拨：证明()=.BEO DFO SAS，即可得BE DF22. 点拨：证明()AOE COF ASA ，即可得OE OF =.23. 点拨：证明()AGF CHE ASA ，即可得AG CH =.24. (1)点拨：由FN EM AFN CEM AF CE =??∠=∠??=?，得到AFN CEM(2) 35NAF ∠=?25. 点拨：由//BF DE BF DF ??=?，得到四边形BFDE 是平⾏四边形 26. 点拨：证明()ABC DEF ASA ，得到AB DE =，⼜∵//AB DE ，∴四边形ABED 是平⾏四边形.27. 点拨：证明()AEG DFH ASA ，得到AG DH =.28. (1) 点拨：由////CD AB DN BM，得到四边形BMDN 是平⾏四边形; (2)13AN =29. (1)如图①，连接CE ，交BD 于点F ，连接AF ，线段AF 即为所求(2)如图②，连接CE ，交BD 于点F ，连接AF ，DE 交于点G ，连接BG ，并延长BG ，交AD 于点H ，线段BH 即为所求30. (1) 点拨：由BF DA ABF EDA AB DE =??∠=∠??=?，得到ABF EDA(2) 点拨：由90CBF EAF ∠=∠=?，得到BF BC ⊥31. (1) 点拨：由////BC DF CF BD，得到四边形BCFD 为平⾏四边形; (2)BCFD S =Y 32. (1)ABE S ?= (2) 点拨：AOF COE ，得到AF CE =，∵AD BC =，∴DF BE =. AME BNG ，得到ME NG =，∴22BE ME NG ==在Rt GNC ?中，45GCN ∠=?，∴CG =，2NG =，∴DF =。
平行四边形综合练习附答案
平行四边形综合练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE ，则AB的长为（）6cm【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O 平分AC ，则OE 是三角形ABC 的中位线，则AB ＝2OE ，继而求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝CO ，∵点E 是CB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ，∵OE ＝6cm ，∴AB ＝12cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出OE 为△ABC 的中位线．3．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作EF //BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】A【解析】【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =，然后求解即可．【详解】∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM =AE =1，PF =NC =3， ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A ，不能，只能判定为矩形；B ，不能，只能判定为平行四边形；C ，能；D ，不能，只能判定为菱形．故选C ．5．如图，ABC ∆中，DE BC ∥，EF AB ∥，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（ ）A ．BE 平分ABC ∠B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．AB AC =【答案】A【解析】【分析】 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分ABC ∠时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE BC ∥，∴DEB EBC ∠=∠，∵EBC EBD ∠=∠，∴EBD DEB ∠=∠，∴BD DE =，∵DE BC ∥，EF AB ∥，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD DE =，∴四边形DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选A.【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为( )A ．16B ．8C ．4D ．1【答案】A根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设两对角线长分别是：a ，b ． 则（12a ）2+（12b ）2=22，故有a 2+b 2=16．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形，因为菱形的这个性质，使得菱形的题目一般都会和勾股定理结合起来，同学们要注意掌握．7．如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC =1，则AB 的长度为（ ）A 2B 21+C 51+D ．43【答案】A【解析】 【分析】 先判断出∠ADE =45°，进而判断出AE =AD ，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADA '=∠B =∠C =∠A =90°，AD =BC =1，CD =AB ，由第一次折叠得：∠DAE =∠A =90°，∠ADE =12∠ADC =45°，∴∠AED =∠ADE =45°，∴AE =AD =1，在Rt △ADE 中，根据勾股定理得，DE 2AD 2，由第二次折叠可知，DC DE =【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键．8．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ⊥，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ∠=，则BCG ∠的度数是（ ）A ．15B ．15.5C ．20D ．37.5【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质求出OCB ∠的度数，从而得到GAC ∠的度数，再根据垂直平分线的性质得到GCA GAC ∠=∠，最后求出BCG ∠的度数．【详解】解：∵OG AC ⊥，∴90COG ∠=︒，∵15BOG ∠=︒，∴901575COB COG BOG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OC OA AC ==，12OB OD BD ==，//AB DC ，90BCD ∠=︒， ∴OC OB =， ∴1801807552.522COB OCB OBC ︒-∠︒-︒∠=∠===︒， ∴37.5ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵//AB CD ，∴37.5GAC ACD ∠=∠=︒，∴GO 是AC 的垂直平分线，∴AG CG =，∴37.5GCA GAC ∠=∠=︒，∴52.537.515BCG OCB GCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，并结合题目条件进行证明．二、填空题9．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．【答案】 相等 直角 矩形 菱形【解析】【分析】根据正方形的定义和性质填空即可．【详解】 正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．故答案为：相等，直角，矩形，菱形【点睛】本题考查了正方形的定义，解题关键是明确正方形的定义：正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．10．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，则FC =______【答案】32【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，x=32，∴FC=32．故此答案为32．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______．【答案】8【解析】【分析】形ABED 是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式即可得．【详解】由平移的性质得2AD BE ==，4DF AC ==，90C DFE ∠=∠=︒∴四边形ACFD 是矩形//AD CF ∴//AD BE ∴∴四边形ABED 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 则四边形ABED 的面积为428DF BE ⋅=⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识点，掌握平移的性质是解题关键．12．如图，ACE ∆是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是(7,33)-，则D 点的坐标是_____．【答案】（5，0）【解析】【分析】设CE 和x 轴交于H ，由对称性可知63CE =63AC CE ==根据勾股定理即可求出AH 的长，进而求出AO 和DH 的长，所以OD 可求，又因为D 在x 轴上，纵坐标为0，问题得解．【详解】解：点C 与点E 关于x 轴对称，E 点的坐标是(7,33)-， C ∴的坐标为(7，33)，33CH ∴=3CE =63AC ∴=，9AH ∴=，7OH =，2AO DH ∴==，5OD ∴=，D ∴点的坐标是(5,0)，故答案为：(5,0)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用，解题的关键是综合应用以上知识点．13．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为______．【答案】245【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【详解】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴2222.6810BD AB AD ++=，∵四边形ABCD 是矩形，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴12×12×6×8=12×5•PE+12×5•PF，解得PE+PF=245．故答案为：245．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．【答案】（2，6）【解析】【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．【详解】∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)，CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于F,则182CF CD，==过C作CE⊥OA于E，∵A(20,0)，∴OA=20，OM=10，∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2，连接MC,110,2MC OA==∴在Rt△CMF中，2222108 6.MF MC CF=-=-=∴点C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键．三、解答题15．如图是某区部分街道示意图，其中AB AF⊥，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，//BC FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E⇒⇒⇒，且长度为5公里，路线2是B C F E⇒⇒⇒，求路线2的长度．【答案】5公里【解析】【分析】证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵E、D分别是FA和FG的中点，∴AB∥DE，∵BC∥GF，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC ∥DF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴CF ＝BD ，∵AB ∥DE ，AB AF ⊥，FE ＝AE ，∴CE 垂直平分AF ，∴AE ＝FE ，FD ＝DA ，∴BC ＝DA ，∴路线2的长度：BC +CF +FE ＝AD +BD +AE ＝5（公里）．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．已知：如图，ABCD 中，5AB =，3BC =．（1）作DAB ∠的角平分线，交CD 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE 的长为2【解析】【分析】（1）根据尺规作图作DAB ∠的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE ＝DA ＝BC ＝3，再求出CE 即可．【详解】解：如图，（1）AE 即为∠DAB 的角平分线；（2）∵AE 为∠DAB 的角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝BC＝3，∵DC＝AB＝5，∴CE＝CD﹣DE＝2．答：CE的长为2．【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF =BD ．∴AF =DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明如下：∵AF ∥BC ，AF =DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD =DC ．∴平行四边形ADCF 是菱形．18．如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积．【答案】（1）24cm AC =；（2）2120cm【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出AE 的长，从而求出AC 的长；（2）根据菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，∴90AED ∠=︒（菱形的对角线互相垂直），11105(cm)22DE BD ==⨯=（菱形的对角线互相平分）． ∴222213512(cm)AE AD DE =--=．∴221224(cm)AC AE ==⨯=（菱形的对角线互相平分）；（2）ABD BDC ABCD S S S =+菱形1122BD AE BD CE =⋅+⋅ 1()2BD AE CE =⋅+ 12BD AC =⋅ 110242=⨯⨯ 2120(cm )=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟知菱形的性质是解本题的关键．19．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ．（2）若∠BAF =90°，BC =5，EF =3，求CD 的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）8【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，证出∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，由AAS 证明△ADE ≌△FCE 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE =EF =3，由平行线的性质证出∠AED =∠BAF =90°，由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，DAE F D ECF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△FCE （AAS ）；（2）∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE=2222-=-=4，AD AE53∴CD=2DE=8【点睛】考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质20．(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为() A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D．①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1图2【答案】（1）C；（2）①证明见解析；1010【解析】【详解】试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AE E′D的形状为矩形，故选C；（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．如图2：∵△AEF ，将它平移至△DE′F′，∴AF ∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF=2222=34++AE EF =5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D 是菱形；②连接AF′，DF ，如图3：在Rt △DE′F 中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF=2222=13=10''++E D E F ，在Rt △AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′=2222=39'++AE F E =310． 考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE=CF ，连接AF 、CE 交于点G ．求证：AG=CG ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先用SAS 证明△ADF ≌△CDE ，得∠DAF=∠DCE ，再用AAS 证明△AGE ≌△CGF 即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF=∠CDE=90°，AD=CD ．∵AE=CF ，∴DE=DF ，在△ADF 和△CDE 中,AD AD ADF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△CDE （SAS ），∴∠DAF=∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，GAE GCF AGE CGF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△CGF （AAS ），∴AG=CG ．22．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，利用AB=AC 可得AE=AF ，得出△ACF ≌△ABE ，从而得出BE=CF ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以22BD=BE ﹣DE 求解．【详解】（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，在△ACF 和△ABE 中，AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴BE=2AC=2，∴BD=BE ﹣DE=21-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 23．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =；（2）当ABC 满足条件__________时，四边形ADCE 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可； （2）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）∵AD 是ABC 的中线，∴12BD BC =， ∵12AE BC =， ∴AE BD =，∵//AE BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB DE =（2）当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，四边形ADCE 是矩形， 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB =DE ，∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，AC =DE ，∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝5172，请直接写出此时DE 的长．【答案】（1）5（2109（3）52或152． 【解析】【分析】 （1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝22+＝22AD DG+＝55，510故答案为：55；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。
（完整版）平行四边形的性质练习题及答案
（完整版）平⾏四边形的性质练习题及答案平⾏四边形的性质、课中强化（10分钟训练）1?如图3,在平⾏四边形 ABCD 中，下列各式不⼀定正确的是（）A. / 1 + Z 2=180 °B. / 2+ / 3=180 °C. / 3+Z 4=180的周长为（）3. 如图5,」ABCD 中,EF 过对⾓线的交点 O,如果AB=4 cm,AD=3 cm,OF=1 cm,则四边形 BCFE 的周长为 ____________________ .4. 如图6,已知在平⾏四边形 ABCD 中，AB=4 cm , AD=7 cm , / ABC 的平分线交 AD 于点E ,5. 如图7,在平⾏四边形 ABCD 中，点E 、F 在对⾓线6. 如图 8,在 ABCD 中,AE 丄BC 于 E,AF 丄 CD 于 F,BE=2 cm,DF=3 cm, / EAF=60° ,试求 CF 的长.D. /2+ /4=180O , OE 丄AC 交AD 于丘，则⼛DCEA.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm交CD 的延长线于点 F ,贝U DF= _____________cm.BD 上，且 BE=DF ，求证:AE=CF.图32?如图4,⼆ABCD 的周长为图5图6图7图8三、课后巩固（30分钟训练）1?⼆ABCD中，/A⽐/ B⼤20。
，则/ C的度数为（）A.60 °B.80 °C.100 °D.120 2?以A、B、C三点为平⾏四边形的三个顶点,作形状不同的平⾏四边形，⼀共可以作（A.0个或3个B.2个C.3个D.4个3?如图9 所⽰，在—ABCD 中,对⾓线AC、BD交于点0,下列式⼦中⼀定成⽴的是（）A.AC 丄BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD4?如图10,平⾏四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O ,将⼛AOD平移⾄△ BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5?如图11,在平⾏四边形ABCD中，EF // AB , GH // AD , EF与GH交于点O,则该图中的平⾏四边形的个数共有（）6?如图12,平⾏四边形ABCD中，AE丄BD , CF丄BD，垂⾜分别为E、F，求证：/ BAE= / DCF.7、如图13所⽰,已知平⾏四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF.求证:△ ABE CDF.A.7个B.8个C.9个D.11 个图12图138?如图14,已知四边形ABCD是平⾏四边形，/ BCD的平分线CF交边AB于F，/ ADC的平分线DG交边AB于G.⑴求证:AF=GB ;（2）请你在已知条件的基础上再添加⼀个条件，使得△EFG是等腰直⾓三⾓形，并说明理由?19.1.2平⾏四边形的判定⼆、课中强化（10分钟训练）1?如图3,在ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O,E、F是对⾓线AC上的两点，当E、F满⾜下列哪个条件时，四边形DEBF不⼀定是平⾏四边形（）A.AE=CFC.Z ADE= / CBFD. / AED= / CFB，使四边形AECF是平⾏四边形.4. 如图6,AD=BC,要使四边形ABCD是平⾏四边形，还需补充的⼀个条件是：__________________5. 如图，在，ABCD中，已知M和N分别是边AB、DC的中点，试说明四边形BMDN也是平⾏四边形.2.如图4,AB 喪DC ,DC=EF=10 ,DE=CF=8，则图中的平⾏四边形有，理由分别是图4 图53.如图5,E、F是平⾏四边形ABCD对⾓线BD上的两点,B.DE=BF图14三、课后巩固（30分钟训练）1?以不在同⼀直线上的三个点为顶点作平⾏四边形最多能作（）是平⾏四边形的是（）4?已知四边形 ABCD 的对⾓线 AC 、BD 相交于点② OA=OC :③ AB=CD ;④/ BAD= / DCB :⑤ AD // BC.（1）从以上5个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABCD 是平⾏四边形的有（⽤序号表⽰）： _____________________________ :（2）对由以上5个条件中任意选取 2个条件，不能推出四边形请选取⼀种情形举出反例说明平⾏四边形？6?如图，E 、F 是四边形ABCD 的对⾓线 AC 上的两点，AF=CE , DF=BE , DF // BE. 求证：⑴△AFD ◎△ CEB;（2）四边形ABCD 是平⾏四边形A.4个B.3个C.2个D.1个2?下⾯给出了四边形 ABCD 中/A 、/ B 、/ C 、/ D 的度数之⽐,其中能判定四边形 ABCDA.1 : 2 : 3 : 4B. 2 : 2 : 3 : 3C. 2 : 3 : 3 : 2D. 2 : 3 : 2 : 33?九根⽕柴棒排成如右图形状，图中 ____ 个平⾏四边形 ,你判断的根据是O ,给出下列 5个条件：①AB // CD ;5?若三条线段的长分别为20 cm,14 cm,16 cm,以其中两条为对⾓线 ABCD 是平⾏四边形的,，另17?如图,已知DC // AB，且DC= — AB , E为AB的中点.2(1) 求证:△ AED ◎△ EBC ;(2) 观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC⼣⼘，请再写出两个与△ AED的⾯积相等的三⾓形(直接写出结果，不要求证明)： ___________________________8?如图,已知⼆ABCD中DE丄AC,BF丄AC,证明四边形DEBF为平⾏四边形9?如图，已知■ ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点?求证:(1) △ AFD ◎△ CEB;(2) 四边形AECF是平⾏四边形?⼆、课中强化(10 分钟训练)1 答案:D2. 解析：因为四边形ABCD 是平⾏四边形，所以OA=OC. ⼜0E丄AC , 所以EA=EC.贝U △ DCE 的周长=CD+DE+CE=CD+DE+EA=CD+AD. 在平⾏四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，且AB+BC+CD+AD=16 cm ，所以CD+AD=8 cm.答案:C3?解析：0E=0F=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2DF=8(cm).答案:8 cm4?解析：由平⾏四边形的性质AB // DC,知/ ABE= / F,结合⾓平分线的性质/ ABE= / EBC，得/ EBC= / F,再根据等⾓对等边得到BC=CF=7 ,再由AB=CD=4 , AD=BC=7 得到DF=DE=AD-AE=3.答案:35?答案：证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB // CD , AB=CD./ ABE= / CDF.AB CD,在⼛ABE和⼛CDF中，ABE CDF ,BE DF .△ ABE ◎△ CDF.AE=CF.6. 解：/ EAF=60°AE 丄BC,AF 丄CD, C=120°. B=60°「./ BAE=30° .AB=2BE=4(cm). CD=4(cm). CF=1(cm).三、课后巩固(30 分钟训练)1 答案:C2. 解析：分两种情况,A、B、C三点共线时，可作0个当点A、B、C不在同⼀直线上时，可作3 个. 答案:A3. 解析：平⾏四边形对⾓线互相平分,所以OA=OC. 答案:B4. 解析：由平⾏四边形的对⾓线互相平分知OA=OC；再由平移的性质：经过平移，对应线段平⾏且相等可得OA=BE.答案:B5?解析：本题借助于平⾏四边形的定义，按照从左到右，从⼩到⼤的顺序，可找到下列的平⾏四边形：DEOH，.HOFC,. DEFC, EAGO，OGBF，EABF，■ DAGH，■ HGBC，⼆ABCD.答案:C6?答案：证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB // CD , AB=CD. /-Z ABE= / CDF ?/ AE 丄BD , CF 丄BD ,「./ AEB= / CFD=90 .△ABE ◎△ CDF. /.Z BAE= Z DCF.7、答案:证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB=CD, Z B= Z D.在⼛ABE和⼛CDF中,AB CD,B D, ?/△ ABE 也⼛CDF.BE DF.8?答案：(1)证明：四边形ABCD是平⾏四边形，? AB // CD. AGD= Z CDG.vZ ADG= Z CDG，/?/ ADG= Z AGD. ? AD=AG ?同理,BC=BF.⼜四边形ABCD 是平⾏四边形，? AD=BC,AG=BF. ? AG-GF=BF-GF ,即AF=GB.(2)解:添加条件EF=EG.理由如下：1 1由(1)证明易知Z AGD= Z ADG= Z ADC , Z BFC= Z BCF= Z BCD.2 2/ AD // BC，/?/ ADC+ Z BCD=180 ./Z AGD+ Z BFC=90 ./Z GEF=90 .⼜v EF=EG ,?△ EFG为等腰直⾓三⾓形.⼆、课中强化(10分钟训练)1. 解析：当E、F满⾜AE=CF时，由平⾏四边形的对⾓线相等知OB=OD,OA=OC , 故OE=OF.可知四边形DEBF是平⾏四边形.当E、F满⾜Z ADE= Z CBF 时，因为AD // BC,所以Z DAE= Z BCF.⼜AD=BC，可证出⼛ADE ◎△ CBF，所以DE=BF , Z DEA= Z BFC.故Z DEF= Z BFE.因此DE // BF，可知四边形DEBF是平⾏四边形.类似地可说明D也可以.。
平行四边形练习题及答案
20.1 平行四边形的判定一、选择题1．四边形ABCD，从（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d•为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A．任意四边形 B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形3．下列说法正确的是（）A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C．一组对边相等的四边形是平行四边形D．有两个角相等的四边形是平行四边形二、填空题4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F 从C•向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形．5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．图1 图26．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．三、解答题7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：四边形ABCD•是平行四边形吗？为什么？四、思考题8．如图所示，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，•则线段DE•与BF的长度相等吗？参考答案一、1．B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）．故有4种选法．2．B 点拨：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，即（a-b）2=0且（c-d）2=0．所以a=b，c=d，即两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形．3．B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．二、4．相等点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定． 5．AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD•是平行四边形即可．6．8 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．三、7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：在Rt △BCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2，即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8．所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，所以AD=BC，AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求x的值．四、8．解：线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE，如图所示．在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC，所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF．D A CF O E B点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．20.2 矩形的判定一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形二、填空题4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．三、解答题7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．四、思考题8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？参考答案一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．二、4．8cm5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，•可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=12 AC．6．8cm；4cm三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，又因为∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠CBA．所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH是矩形．点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，•CF•平分∠ACD，•所以∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD．所以∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．又因为AE⊥CE，AF⊥CF，•所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.3 菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD 中，AB=4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？•说明理由．四、思考题9．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD∥AC，PC∥BD，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：本题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC 为等边三角形，•所以AC=AB=14×32=8（cm ），AO=12AC=4cm ． 因为AC⊥BD，在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43（cm ），• 所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等．5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE=AF ）6．12cm ；723cm 2点拨：如图所示，过D 作DE⊥AB 于E ，因为AD∥BC，•所以∠BAD+∠ABC=180°．又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ．在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723（cm 2）．7．4；43 点拨：如图所示，因为DE 垂直平分AB ，又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°，由已知可得AE=2．在Rt△AED 中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，所以DE=23，因为12AC ·BD=AB ·DE ，即12AC ·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD 是菱形，因为四边形ABCD 中，AB∥CD，且AB=CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AB=BC ，所以ABCD 是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD 为平行四边形，又AB=BC ，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，•所以四边形PCOD是平行四边形．又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．20.4 正方形的判定一、选择题1．下列命题正确的是（）A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角平分线能围成一个（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形二、填空题3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，•要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．4．如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L•的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．图1 图2 图3D AC F E B5．如图2所示，四边形ABCD 是正方形，点E 在BC 的延长线上，BE=BD 且AB=2cm ，则∠E 的度数是______，BE 的长度为____．6．如图3所示，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F•为AB•上一点，AF=2，P 为AC 上一动点，则当PF+PE 取最小值时，PF+PE=______．三、解答题7．如图所示，在Rt△ABC 中，CF 为∠ACB 的平分线，FD⊥AC 于D ，FE⊥BC 于点E ，试说明四边形CDFE 是正方形．四、思考题 8．已知如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且AE=BF ，•请问：（1）AF 与DE 相等吗？为什么？（2）AF 与DE 是否垂直？说明你的理由．参考答案一、1．C 点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，•对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C ．2．D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．二、3．△ABC 是等腰直角三角形且∠BAC=90°点拨：还可添加△ABC 是等腰三角形且四边形ADEF 是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF 是菱形等条件．4．5 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为2221+=5．5．67.5°；22cm点拨：因为BD 是正方形ABCD 的对角线，所以∠DBC=45°，AD=•AB=2cm ．在Rt△BAD 中，由勾股定理得AD 2+AB 2=BD 2，即22+22=BD 2，所以BD=22cm ，所以BE=BD=22（cm ），又因为BE=BD ，所以∠E=∠EDB=12（180°-45°）=67.5°． 6．17 点拨：如图所示，作F 关于AC 的对称点G ．连结EG 交AC 于P ，则PF+•PE=PG+PE=GE 为最短．过E 作EH⊥AD．在Rt △GHE 中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE=2241+=17，•即PF+PE=17．三、7．解：因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE 是矩形，因为CF•平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD ，所以矩形CDFE 是正方形．点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，•还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．四、8．解：（1）相等．理由：在△ADE 与△BAF 中，AD=AB ，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF ， 所以△ADE≌△BAF（S ．A ．S ．），所以DE=AF ．（2）AF 与DE 垂直．理由：如图，设DE 与AF 相交于点O ．因为△ADE≌△BAF，•所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°，所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA= 90°，所以DE⊥AF．20.5 等腰梯形的判定一、选择题1．下列结论中，正确的是（）A．等腰梯形的两个底角相等 B．两个底角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形是梯形 D．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．课外活动课上，•老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）A．302cm B．30cm C．60cm D．602cm二、填空题4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，•10，•5，•则梯形的高为_____，•对角线为______． 5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．三、解答题7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．求证：•四边形ADCE是等腰梯形．四、思考题8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD<BC，四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？参考答案一、1．D 点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，•因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（•指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．2．B 点拨：因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC，所以共有3对全等的三角形．3．C 点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，•所以梯形面积为12L2=450，解得L=30，所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60（cm）．二、4．4：65点拨：如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4．在Rt△CDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以BD=65．5．7；31点拨：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E．因为AD∥BC，AB ∥DE，所以四边形ABED是平行四边形．所以BE=AD=5（cm），AB=DE．又因为AB=CD，所以DE=•DC，又因为∠C=60°，所以△DEC是等边三角形，所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+•12+7+7=31（cm）．6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）三、7．证明：因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，•所以∠OCE=∠OEC，又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=•AE，所以四边形ADCE是等腰梯形．点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的FBE D CA HF ED CBA两个角相等．四、8．解：四边形ABCD 是等腰梯形．理由：延长BA ，CD ，相交于点E ，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC ． 又AB=DC ，所以EB-AB=EC-DC ，即AE=DE ，所以∠EAD= ∠EDA． 因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B． 故AD∥BC．•又AD<BC ，所以四边形ABCD 是梯形． 又AB=DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形．点拨：由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD<BC 就可知四边形ABCD 为梯形，再由AB=DC ，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠B=∠C 联想到延长BA ，CD ，即可得到等腰三角形，从而使AD∥BC．华东师大版数学八年级（下）第20章 平行四边形的判定测试（答卷时间：90分钟，全卷满分：100分）姓名 得分____________一、认认真真选，沉着应战！（每小题3分，共30分） 1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )（A ）对角线互相垂直 （B ）对角线互相平分 （C ）对角线相等 （D ）对角线平分一组对角2. 如图(1)，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ） （A ）51 （B ）41 （C ）31 （D ）103）1CBA(1) (2) (3) 3．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，那么:::A B C D ∠∠∠∠可以等于（ ）（A ）4：5：6：3 （B ）6：5：4：3 （C ）6：4：5：3 （D ）3：4：5：6 4．如图(2)，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，若A B C D 的周长为48，DE ＝5，DF ＝10，则ABCD 的面积等于( )（A ）87.5 （B ）80 （C ）75 （D ）72.55． A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD; ②AB=CD; ③BC ∥AD; ④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种6．如图(3)，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，AH 是高，如果5ED cm =，那么HF 的长为（ ）（A ）5cm （B ）6cm （C ）4cm （D ）不能确定 7. 如图（4）：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是（ ） （A ）22 （B ）21 （C ）32 （D ）238．如图（5），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，60C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果这个梯形的周长为30，则AB 的长 （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）79．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架． 已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾衣架的两 个铁钉A 、B 之间的距离为203cm ，则∠1等于( )（A ）90° （Ｂ）60° （Ｃ）45° （Ｄ）30° 10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ， 都有a+b ≥2ab 成立．某同学在做一个面积为3 600cm 2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备x cm ． 则x 的值是（ ）(A) 1202 (B) 602 (C) 120 (D) 60ED CB A R QP（4） DCB A （5）A B C Dl N M D C BA 二、仔仔细细填，记录自信！(每小题2分，共20分)11．一个四边形四条边顺次是a 、b 、c 、d ，且bd ac d c b a 222222+=+++，则这个四边形是_______________．12．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒A B C D 是菱形； ⇒A B C D是菱形． 13. 如图，已知直线l 把ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）(第13题) (第16题)14. 梯形的上底长为6cm ，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为21cm ，那么梯形的周长为_________cm 。
平行四边形性质与判定经典例题练习题.docx
第十九章四边形平行四边形的性质第一课时一、自主学习目标导学1、理解平行四边形有关概念以及记作方法。
2、探索并掌握平行四边形的有关性质、平行线间的距离。
并能运用性质解决实际问题。
● 自学生疑1、叫平行四边形2、平行四边形的性质1)边2）角3）对角线4）对称性3.若一凸多边形的内角和等于它的外角和, 则它的边数是 ________.二、合作学习合作探究【探究一】平行四边形的定义1、定义：2、表示方法：3、平行四边形与长方形、正方形、菱形、梯形的关系：【探究二】平行四边形的性质1、根据定义可得到什么性质用几何语言叙述：2、根据定义如何判定一个四边形为平行四边形用几何语言叙述：2、通过量一量. 折一折 . 看看平行四边形的边、角、对角线、对称性还存在什么性质边：；角：；对角线：；对称性：。
3、证明你所得到的性质：4、用几何语言叙述平行四边形的性质：练一练：1. 已知：平行四边形的周长为28cm. 相邻两边的差为4cm. 则相邻两边长为、。
2.如图 , 在ABCD中 . 对角线AC、BD相交于点O. 图中全等三角形共有 ________ 对 .中 . 若∠A∶∠B=1∶ 3, 那么∠A=_____. ∠B=______. ∠C=______. ∠D=_____.4.如图 . ABCD的对角线 AC 和 BD 相较于点 O.如果 AC===m.那么 m的取值范围是。
● 精讲精练例：如图 . E，F是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点. CE AF 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置关系和数量关系并对你的猜想加以证明．（多种方法）．．．．ADEFB C变式： 1、已知ABCD的对角线交于 O.过 O作直线交AB、 CD的反向延长线于E、 F.求证：OE=OF.2、（ 07 日照）如图 . 在周长为20cm 的□ABCD中 . AB≠、BD相交于点⊥BD交AD于E. 则△ABE的周长为cm.EA DOB C三、用中学习1. 平行四边形的周长等于56 cm. 两邻边长的比为3∶ 1. 那么这个平行四边形较长的边长为_______.2、在□ABCD中 . ∠A+∠C=270° . 则∠B=______. ∠C=______.3. 如图.□ABCD中.EF过对角线的交点===. 则四边形BCEF的周长为（）4、如图 . 在□ABCD中 . AB=AC. 若□ABCD的周长为38 cm. △ABC的周长比□ABCD的周长少10cm.求□ABCD的一组邻边的长.第二课时一、自主学习目标导学1、进一步熟悉平行四边形的性质。
平行四边形的判定练习题(含答案)
∴∠ C=∠BAD，∴∠ 3=∠BAD．
又∵∠ 1=∠2， BE=BE，
∴△ ABE≌△ GBE（ AAS），∴ AE=G．E
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形 EGCF是平行四边形，∴ GE=C，F
∴AE=CF．
21 ．答案不唯一，如 AB=CD或 AD∥BC．
22 ． 1 2
23 ．解：（ 1）在 □ABCD中， AD=CB，AB=CD，∠ D=∠B．
∵E， F 分别为 AB， CD的中点，
∴DF=1 CD， BE=1 AB，∴ DF=BE，
2
2
∴△ AFD≌△ CEB．
（ 2）在 □ABCD中， AB=CD，AB∥CD．
由（ 1）得 BE=DF，
∴AE=CE，∴四边形 AECF是平行四边形．
8
2
2
2
又∵ AB=10cm， BC=8cm，AC=6cm，
∴EF=5cm， DE=3cm， DF=4cm， 而 32+42=25=52，即 DE2+DF2=EF2．
∴△ EDF为直角三角形．
∴Ｓ△EDF= 1 DE·DF= 1 ×3×4=6（ cm2）．
2
2
17 ．解：∵ M， N分别是 AC， BC的中点．
15．如图所示，在四边形 ABCD中， E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD的中点， ?则四边形 EFGH是平行四 边形吗？为什么？
16．如图所示，在△ AB C 中， AC=6cm， BC=8cm，AB=10cm，D， E， F 分别是 AB， BC， CA的中点，求△ DEF 的 面积．
∴BD= AB2 AD 2
22 12 = 3 （ cm）．
19 ．解：延长 AD交 BC于 F． （ 1）∵ AD⊥CD， ∴∠ ADC=∠FDC=90°． ∵CD平分∠ ACB，∴∠ ACD=∠FCD． 在△ ACD与△ FCD中， ∠ADC=∠FDC， DC=DC，∠ ACD=∠FCD． ∴△ ACD≌△ FCD，∴ AC=FC， AD=DF． 又∵Ｅ为 AB的中点，∴ DE∥BF，即 DE∥BC．
平行四边形判定练习题
平行四边形判定练习题一、选择题1. 平行四边形的对边具有什么性质？A. 相等B. 平行且相等C. 垂直D. 平行2. 如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是什么形状？A. 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 不规则四边形3. 下列哪个条件不能判定一个四边形是平行四边形？A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且另一组对边相等4. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形一定是：A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形5. 在平行四边形中，对角线的性质是什么？A. 互相垂直B. 互相平分C. 相等D. 平行二、填空题6. 若四边形ABCD是平行四边形，且AB=CD，那么AD与BC的关系是_________。
7. 平行四边形中，若∠A=∠C，则这个平行四边形是_________。
8. 如果一个四边形的一组对边相等，且这组对边的对角线互相平分，则这个四边形是_________。
9. 平行四边形ABCD中，若AC与BD互相平分于点O，则OA与OC的长度关系是_________。
10. 在平行四边形ABCD中，若∠A=90°，则这个平行四边形是_________。
三、判断题11. 平行四边形的对角线一定互相垂直。
（）12. 一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
（）13. 平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。
（）14. 所有矩形都是平行四边形，但不是所有平行四边形都是矩形。
（）15. 如果一个四边形的对角线互相垂直且平分，那么这个四边形是菱形。
（）四、简答题16. 请简述平行四边形的判定方法有哪些？17. 描述矩形与平行四边形之间的关系。
18. 解释为什么平行四边形的对角线互相平分。
19. 如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形可能是哪些形状？20. 请解释什么是菱形，并说明菱形与平行四边形的关系。