高中数学 轨迹方程问题汇总(详细解析)新人教A版
用心 爱心 专心 - 1 - 轨迹方程问题汇总 11.已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，⊙O与MN相切于点B，过M、N与⊙O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为__________. 解析:如图，|PM|－|PN|=|PA|+|AM|－|PC|－|CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－2=2.
ABC
P
MN
O
∴P点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b2=8. ∴方程为12x－82y=1(x>1).
答案:x2－82y=1(x>1) 12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________.
解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y=ca2=8,e=21.
由c=2,ca2=8,得a=4,满足e=ac=42=21. ∴椭圆方程为162y+122x=1. 答案: 162y+122x=1 16.(本小题满分10分)设F1、F2是双曲线x2－y2=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.
解:如图,F1(－22，0)、F2(22，0)、M(x,y)，
PNMFF
12
x
yO 延长F1M与PF2相交于点N，设N(x0,y0). 由已知可得M为F1N的中点,
∴.22,2222220000yyyyxxxx 用心 爱心 专心 - 2 -
又|NF2|=|PN|－|PF2|=|PF1|－|PF2|=2a=4, ∴(x0－22)2+y02=16.
∴(2x+22－22)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4. 评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便. 17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.
AB
CD
P 解:设M是这种界线上的点， 则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, 即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50. ∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点 O
为原点的直角坐标系，则曲线为22ax－22by=1,
其中a=25,c=21|AB|. ∴c=257,b2=c2－a2=3750. ∴所求曲线方程为6252x－37502y=1(x≥25,y≥0). 18.(本小题满分12分)已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=22d,32≤d≤23. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若PF²OF=31，求向量OP与OF的夹角.
解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,ca2=2,∴a=2. e=ac=21=22满足|PF|=22d. ∴P点的轨迹为22x+12y=1. 又d=ca2－x,且32≤d≤23, 用心 爱心 专心 - 3 -
∴32≤2－x≤23.∴21≤x≤34. ∴轨迹方程为22x+y2=1(21≤x≤34). (2)由(1)可知，P点的轨迹方程为22x+y2=1(21≤x≤34),∴F(1,0)、P(x0,y0). OF=(1,0),OP=(x0,y0),PF=(1－x0,－y0).
∵PF²OF=31,∴1－x0=31. ∴x0=32,y0=±37. 又OP²OF=|OP|²|OF|²cosθ, ∴1²x0+0²y0=2020yx²1²cosθ.
∴cosθ=20200yxx=979432=112=11112. ∴θ=arccos11112. 1．【苍山诚信中学·文科】21．（本小题满分12分） 如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，
点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E. （I）求曲线E的方程； （II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.
【解】（1）.0,2AMNPAPAM ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分 又
.222||||,22||||ANCNNMCN ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2. .1,1,22bca……………5分
∴曲线E的方程为.1222yx………………6分 （2）直线l的斜率.145tank 用心 爱心 专心 - 4 -
∴直线l的方程为.1xy…………………………8分 由.043121222xxyyxxy得消去………………10分 设0,34),,(),,(21212211xxxxyxQyxH则， .234)34(24)(1||1||2212212212xxxxkxxkHQ12分
2．【09届苍山·文科】22．（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222babyaxC过点21,),23,1(FF分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率21e （1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点。若AM、AN
的斜率21,kk满足,2121kk求直线l的方程；
【解】（1）由题意椭圆的离心率,21e ∴21ac∴ca2∴22223ccab
∴椭圆方程为1342222cycx………………3分
又点（1，23）在椭圆上，∴13)23(41222cc∴2c=1 ∴椭圆的方程为13422yx………………6分 （2）若直线l斜率不存在，显然120kk不合题意； 则直线l的斜率存在。……………………7分 设直线l为)1(xky，直线l和椭交于11(,)Mxy，22(,)Nxy。
将:1243)1(22中得到代入yxxky 01248)43(2222kxkxk 依题意：110992kkk或得………………………………9分 用心 爱心 专心 - 5 -
由韦达定理可知：2211222143124438kkxxkkxx………………10分 又)2121(2222112211xxxxkxyxykkANAM 1211[23()]22kxx
而4)(24212121212121xxxxxxxx
2222222312)43(416124)43(48kkkkkkk
从而211)31232(22kkkkkkANAM………………13分 求得2k符合.1k 故所求直线MN的方程为：).1(2xy………………14分 3．【09届济宁·文科】22．（本小题满分14分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241xy的焦点，
离心率为552． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若AFMA1，
BFMB2，求21的值．
【解】 （1）设椭圆C的方程为)0(12222babyax， 抛物线方程化为yx42，其焦点为)1,0(， 椭圆C的一个顶点为)1,0(，即1b， …………………………………………3分
由55222abaace，得52a， 用心 爱心 专心 - 6 -
∴椭圆C的方程为1522yx．……………………………………………………6分 （2）由（1）得)0,2(F， …………………………………………………………7分 设),(11yxA ),(22yxB，),0(0yM，显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为)2(xky，代入1522yx，并整理得 052020)51(2222kxkxk， ………………………………………9分
∴2221222151520,5120kkxxkkxx． ………………………………………10分 又),(,),(022011yyxMByyxMA， ),2(,),2(2211yxBFyxAF，
由AFMA1，BFMB2，得 ),2(),(111011yxyyx，),2(),(222022yxyyx，
∴2221112,2xxxx， ………………………………………………12分
∴10)(242)(22221212121221121xxxxxxxxxxxx． ………………14分 4．【临沂一中·文科】21．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为(0,1)B，且其右焦点到直线220xy 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在斜率为(0)kk，且过定点3(0,)2Q的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点
MN、，且||||BMBN？若存在，求出直线l的方程;若不存在,请说明理由．
【解】（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)yxabab, 由已知得1b. ……………………………………………………………………1分 设右焦点为(,0)c，由题意得223,2.2cc…………………………2分
人教版数学高二-备课资料轨迹方程的求法
轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.本文结合具体实例对求曲线的轨迹方程的常用方法作一归纳。
一．直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.例1．AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ . ∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜.∴x 2+y 2＝a ｜y ｜， 即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a ）2.轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆. 二．定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.例2．某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r=73)1412()149(2322=+-，故所求圆柱的直径为76 cm. 三．代入法 如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.例3．如图所示，已知P(4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36O y A BP Q M N C D－(x 2+y 2) 又|AR|=|PR|=22)4(y x +-，所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.四．参数法 如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.例4．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y=k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2k k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），则12120303x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去k ，得x=32+34（43y ）2， ∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x - 98， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98. 五．交轨法 所求动点是两条动直线（或动曲线）的交点且两动直（曲）线能用同一参数表示。
高中数学轨迹方程求解常用方法总结
高中数学轨迹方程求解常用方法总结导语：轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描绘。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：假设能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y 与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
新教材2023年秋高中数学微专题强化练3轨迹问题新人教A版选择性
微专题强化练(三) 轨迹问题一、选择题1．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝15，则动点M的轨迹是( ) A．直线B．圆 C．椭圆D．线段2．曲线方程＝10的化简结果为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝13．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( ) A．＝1(x≠0)B．＝1(x≠0)C．＝1(x≠0)D．＝1(x≠0)4．已知在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan ∠CAB·tan ∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为( )A．＝1 B．＝1(x≠±2)C．＝1 D．＝1(x≠±2)5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，O为坐标原点，且|AB|＝5，＝，则点M的轨迹方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1二、填空题6．已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．7．如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．8．已知P是椭圆＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝，则动点Q的轨迹方程是________．三、解答题9．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求曲线C的标准方程；(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?微专题强化练(三)1．C2．D3．B4．B5．A6．x2＋＝1 7．＋＝18．＋＝19．解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2．所以曲线C的标准方程为＋＝1．(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，∴＝3，∴∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．。
高中数学 轨迹问题专题
轨迹问题专题一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M（x,y）的坐标.⒉写出点M的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f(x,y)=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲破解规律例1.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+EB 为定值，并写出点E的轨迹方程.分析:题目中要求证明EA+EB为定值,容易知道,E的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.AM = λ AD , DN = λ DC , λ ∈[0,1], AN 交 BM 于点 Q .若点 Q 的轨迹是曲线 P 的现学现用 2: 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x + y 2 = 1 上，过 M 做 x 轴点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐 标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程 :轨迹方程问题中 ,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义 相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程. (3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论.现 学 现 用 1: 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ，A (-2,0 ),B (2,0 ),C (2,2 ),D (-2,2 ) 且uuuuv uuuv uuuv uuuv一部分，曲线 P 关于 x 轴、 y 轴、原点都对称,求曲线 P 的轨迹方程.例 2. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (6,5 )，端点 A 在圆 C : (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 1上运动.求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程；2规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点 N 、M ,且点 N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而 M 的运动是由 N 的运动而引发的，这样的题目可采 用相关点法求动点 M 的轨迹方程.基本方法是设 M 的坐标,再反解出 N 的坐标, 然后带入 N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.22现学现用 3: 已知 F , F 为椭圆 C : x + y = 1 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上移动4 3uuur uuuur的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP = 2 NM .求点 P 的轨迹方程；例 3: 已知抛物线 C ： y 2 = 2 x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l , l 分别交 C 1 2于 A ，B 两点，交 C 的准线于 P ，Q 两点．（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR ∥FQ ；（Ⅱ）若 △PQF 的面积是 △ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.点评:本题考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法规律总结: 当动点坐标 x 、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找 x 、y 与某 一变量(或多个)的关系,再消去参变量 ,得到方程,即为动点的轨迹方程 ,这种求轨 迹方程的方法叫做参数法2 21 2时， ∆PF F 的内心 I 的轨迹方程为__________．1 2三.课堂练习 强化技巧A B O1.已知|AB|=3，，分别在x轴和y轴上运动，为原点，OP=1OA+2OB，33则点P的轨迹方程为()．A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.x2+y2=144992.若动圆P与圆M:x2+(y+2)2=1和圆N:x2+(y+3)2=λ(1≤λ≤4)都外切，则动圆P的圆心的轨迹（）A.是椭圆B.是一条直线C.是双曲线的一支D.与λ的值有关3.已知直线l过抛物线C：y2=4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，且交于点P，则点P的轨迹方程为________.四.课后作业巩固内化1.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，uuuv uuuv点Q与点P关于y轴对称，O为原点，若P为AB的中点，且OQ⋅AB=1，则点P的轨迹方程为__________．2.已知A(1,1),B(−1,1)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直44线BM的斜率的差是1，则点M的轨迹C的方程是___________．23.．点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是___．4.如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=x与直线l:y=-x之间的阴影12部分即为W，区域W中动点P(x,y)到l,l的距离之积为1.求点P的轨迹C的方12程；5.已知动圆G过定点F(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.求动圆G的圆心点G 的轨迹方程；6.在平面直角坐标系xOy中，设动点P到两定点M(-2,0)，N(1,0)的距离的比值为2的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；7.已知动点E到点A(2,0)与点B(-2,0)的直线斜率之积为-1，点E的轨迹为4曲线C．求C的方程；8.平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2+2x-15=0的圆心为M.已知点N(1,0)，且T为圆M上的动点，线段T N的中垂线交T M于点P.求点P的轨迹方程；9.设M,N,T是椭圆x2+y2=1上三个点，M,N在直线x=8上的射影分别为1612（1）若直线MN 过原点O ，直线MT, NT 斜率分别为k , k ，求证：k k 为定值； （2）若M, N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3, 0)，ΔM N L 与ΔMNL 面积之比M 1, N 1．1 2 1 211为 5，求MN 中点K 的轨迹方程．10. 已知椭圆 Γ: x 2 + y 2 = 1(a > b > 0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为a 2b 22 的等腰直角三角形，O 为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y = 2上，且OA ⊥ OB ，求证： 1 +OA 21 OB 2为定值；（3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥ OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数√3，求动点的轨迹方程．轨迹问题专题答案一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M（x,y）的坐标.⒉写出点M的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f(x,y)=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲破解规律例1.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+EB 为定值，并写出点E的轨迹方程.分析:题目中要求证明EA+EB为定值,容易知道,E的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.答案: x + y = 1（ y ≠ 0 ） + = 1 （ y ≠ 0 ）. AM = λ AD , DN = λ DC , λ ∈[0,1], AN 交 BM 于点 Q .若点 Q 的轨迹是曲线 P 的22 4 3解析:因为 | AD |=| AC | ， EB // AC ，故 ∠EBD = ∠ACD = ∠ADC ，所以 | EB |=| ED | ，故 | EA | + | EB |=| EA | + | ED |=| AD | .又圆 A 的标准方程为 ( x + 1)2 + y 2 = 16 ，从而 | AD |= 4 ，所以 | EA | + | EB |= 4 . 由题设得 A(-1,0) ， B(1,0) ， | AB |= 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x 2 y 24 3点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐 标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程 :轨迹方程问题中 ,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义 相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程. (3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现 学 现 用 1: 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ，A (-2,0 ),B (2,0 ),C (2,2 ),D (-2,2 ) 且uuuuv uuuv uuuv uuuv一部分，曲线 P 关于 x 轴、 y 轴、原点都对称,求曲线 P 的轨迹方程.解析：设 Q (x, y )，由 AM = λ AD , DN = λ DC ,求得 M (-2,2 λ ), N (4λ - 2,2 ), 1λ ,∴ k1 ⎛ λ ⎫ 1 ,⋅ - ⎪ =-=-∴ y ⋅ y = - ，整理得 + y 2 = 1(-2 ≤ x ≤ 0,0 ≤ y ≤ 1) .uuuuv uuuv uuuv uuuv∵ kQA = k AN = 2λ 2Q A ⋅ k QB = 2λ ⎝ 2 ⎭ 41 x2 x + 2 x - 2 44可知点 Q 的轨迹为第二象限的 1 椭圆，由对称性可知曲线 P 的轨迹方程为4x 24+ y 2 = 1 .例 2. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (6,5 )，端点 A 在圆 C : (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 1上运动.求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程；2分析：设点 P 的坐标为 (x, y )，点 A 的坐标为 (x , y )，根据 B 点坐标，和点 P 是 0 0线段 AB 的中点，得 x = 2 x - 6 ， y = 2 y - 5 ，再由点 A 在圆 C 上运动，求得点 0 01A 的轨迹方程，进而可求得点 P 的轨迹 C 的方程； 2答案: (x - 5)2 + ( y - 4)2 = 1解析：设点 P 的坐标为 (x, y )，点 A 的坐标为 (x , y )，由于点 B 的坐标为 (6,5 )， 0 0且点 P 是线段 AB 的中点，所以 x = x 0 + 6 ， y = y 0 + 52 2于是有 x = 2 x - 6 ， y = 2 y - 5 ①因为点 A 在圆 C 上运动，所以点 A 的坐标满足 C 的方程 (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 41 1即：(x- 4)2 + ( y - 3)2 = 4 ②把①代入②，得 (2 x - 6 - 4)2 + (2 y - 5 - 3)2 = 4整理，得 (x - 5)2 + ( y - 4)2 = 1所以点 P 的轨迹 C 的方程为 (x - 5)2 + ( y - 4)2 = 1 .2现学现用 2: 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x + y 2 = 1上，过 M 做 x 轴⎧⎪ x - x ' = 0 ( x - x ', y) = 2(0, y ') 即 ⎨ ⇒⎨y ⎪⎩ y = 2 y ' ⎪ 代入椭圆方程 x+ y '2 = 1 ，得到 x 2 + y 2 = 2（ 2规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点 N 、M ,且点 N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而 M 的运动是由 N 的运动而引发的，这样的题目可采 用相关点法求动点 M 的轨迹方程.基本方法是设 M 的坐标,再反解出 N 的坐标, 然后带入 N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.22uuur uuuur的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP = 2 NM .求点 P 的轨迹方程；uuur uuuur解析:设 P( x , y) ， M ( x ', y ') ， N ( x ',0) NP = 2 NM⎧ x ' = x ⎪ y ' =⎩2'2 2∴点 P 的轨迹方程 x 2 + y 2 = 2 。
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程．三、代入法若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟：交轨是一种动态解题策略，注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得到动点的轨迹方程，称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时，常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2)，代入圆锥曲线方程，然后作差法求出曲线的轨迹方程，此法称之为点差法，也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟：上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程，注意参数的取值范围，因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法：。
专题-高中数学数学《轨迹问题》课件(共23张PPT)
练习二： 1、（P160变式训练2）若动圆M恒过定点 B（－2，0），且和定圆C：(x-2)2+y2=4外 切，求动圆圆心M的轨迹方程。
x2 y2 2、双曲线 C： 2 2 1( a 0, b 0)的离心率为 2， a b 4 2 2 且 | OA | | OB | | OA |2 | OB |2 , 其中A（ 0, b ) 3 2 y B( 0, a ), 求双曲线 C的方程。 答案：x 2 1 3
练习三：
（ 2 ）求动点 M的轨迹方程。
C
答案：（1）[-1，1］
E
பைடு நூலகம்
M
B
A D
（2）x2=4y，x∈[-2
，2］
2、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上 异于坐标原点O的两个不同动点A，B，满足 AO⊥BO，求△AOB的重心G的轨迹方程。 提示：法1：点参数，设A(x1,x12),B(x2,x22) 有x1x2=-1 法2：k参数，设直线AB的方程为y=kx+b, 有b=1
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2、已知点 F（ 1,0 ），直线 l : x 1, P为平面上 的动点，过 P作直线l的垂线，垂足为点 Q，且 QP QF ＝FP FQ ，求动点 P的轨迹方程。
y2=4x
3、设M是圆A：x2+y2-6x-8y=0上的动点 ，O是原点，N是射线OM上的点，若 OM· ON＝150，求点N的轨迹方程。 N 提示：如图 M
知识要点 求轨迹方程的基本方法：
（1）直接法 （2）定义法
（3）相关点法（代入法） （4）参数法
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双基固化 题型一：用直接法求轨迹方程
例1：平面内有两个定点B（－1，1）、 C（1，－1），动点A满足条件 tan∠ACB=2tan∠ABC，求动点A的轨迹方 程。 答案：3x-3y-2=0或x+y=0(除去B、C ）
高二数学轨迹问题的求法
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 2、定义法
［例2］如图，1 在△ABC中边BC=a，若三内角满足 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。
移动，且，BE CF DG
BC CD DA
P为GE与OF的交点（如图），问是
否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求
出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
解：根据题意，首先求出点P 坐标满足的方程， y
根据此判断是否存在两定点，使得
DF
点P到两定点的距离和为定值。
P
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
……（1）
………（2）
解得
代入①得a2=2|x|
当 x＞ 0时得（x— 5）2＋ y2=9 当x＜0时得（x＋5）2＋y2=9
由2＜a＜4，知2＜|x|＜8
故所求轨迹为半径为3，分别以（5，0）及（－5，0）〕圆心
的两个圆。
2003年高考第22题：已知常数a>0,在矩形ABCD中，
AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上
整理得
x2 ( y a)2
1
1
a2
当a2=
1 2
时，点2 P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
距当离a之2≠和为12 定时值，；点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的
2 1
高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总
高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总．直接法例1．已知线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之积是4，求点MAB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)AB，M的坐标为(,)xy，则直线AM的斜率(3)AMykxx，直线BM的斜(3)AMykxx4(3)39yyxxxM的轨迹方程为221(3)4xyx．平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方。
．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P 是l上满足PAPBP的轨迹方程。
到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线（）．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线．定义法2．若(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，ABC的重心轨迹方程是_______________。
ABC的重心为(,)Gxy，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得20BGCG，而点(8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,BC220,8ac可得2210,6abacABC的重心轨迹方程是221(0)36xyy．方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（）．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线．点差法锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，2yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，22yyy且直线AB的斜率为211yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。
3．椭圆2212xy中,过(1,1)P的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为。
(1,1)P的直线交椭圆于1(,)Axy、22(,)Bxy，则有212xy ① 2222142xy ②②可得12121212()()()()02xxxxyyyy(1,1)P为线段AB的中点，故有2122,2xxyy1212122()2()210422xxyyyyxx，即12ABk11(1)yx化简可得230xy．已知以(2,2)P为圆心的圆与椭圆222xym交于A、B两点，求弦AB的中点M．已知双曲线221yx，过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,AB两点，使P AB的中点？．转移法P在已知方程的曲线上移动；M随P的变化而变化；P和M满足一定的规律。
(完整版)高考数学轨迹问题
第23讲：轨迹问题一．高考要求能理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程，在高考中小题大题均会出现，注重数学方法和数学思想的运用，综合性较强．二．两点解读重点：①求轨迹方程的两大类方法：直接法（定义法、直译法)；间接法（坐标转移法、参数法、交轨法)②几何性质转化为方程;③运用向量知识．难点：①求轨迹方程的“完备性”、“纯粹性"；②数形结合的思想和分类讨论的思想的运用．三．课前训练1．分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是221x y +=2．椭圆14922=+y x 与直线 y x =平行的所有弦的中点的轨迹方程为490x y += 3．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ A ）（A ）圆 (B)椭圆 (C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4．抛物线22y x =上各点与焦点连线中点的轨迹方程是214y x =- 四．典型例题例1 直角坐标平面xoy 中,若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=⋅OA OP ，则点P 的轨迹方程是_____________ 解:由向量的坐标运算知 24OP OA x y •=+=，则点P 的轨迹方程是：24x y +=例2 与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在 （ ）（A ） 一个椭圆上 （B ）双曲线的一支上（C)一条抛物线上 （D ）一个圆上解：将228120x y x +-+=配方得22(4)4x y -+=，设所求圆心为P ，则由题意知211PO PO R r -=-=,故选B例3 在圆229x y +=中,过已知点(1,2)P 的弦中点轨迹方程为解：设弦的中点为M ,则OM PM ⊥，所以M 在以OP 为直径的圆上，故所求轨迹方程为 2215()(1)24x y -+-= 例4 过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹方程是解：(0,1)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得 l k = 21212142y y x x x x x -+==-，又1l FM y k k x -==，12x y x -∴=，即2112y x =+ 例5 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系,则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得:222PN PM =因为两圆的半径均为1,所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x 所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）。
高一数学求轨迹方程
例：已知点M与两个定点O（0，0）， A（3，0）是距离的比为1/2，求M点的 轨迹方程
练：点M与定点F（1，0）的距离和它 到直线x=8的距离的比为1/2，求M点的 轨迹方程
直接法
例：求与圆x2+y2-4x=0外切，又与y轴 相切的圆的圆心的轨迹方程
练：求与圆x2+y2=1外切，又与圆 x2+y2-6x+8=0内切的圆的圆心的轨 迹方程
几何法
例：等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2） 底边的一个端点B的坐标是（3，5）， 求另一个顶点C的轨迹方程
练：长为2a的线段AB的两个端点A、B分 别在x轴和y轴上运动，求线段AB中点的 轨迹方程
定义法
例：已知圆C的圆心在直线x-2y-1=0 上，并且经过原点和A（2，1），求 圆C的标准方程
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很繁华 门票价格 比2000年多18123人 导流明渠截流前验收工作正式启动 昌 加上航道弯曲狭窄 着力于漕粮在平粜方面的运用 2.合掌石 也称为父母石及相传它是父亲念青唐古拉山峰和母亲纳木措女神的化身 服饰 出外旅游宜穿宽松舒适的衣物 三峡工程北线船闸将采取单向通过、 定时换向方式运行 蒸发量（mm） 长江沿线重庆境内 至元三十年（1293）元代大运河全线通航 在中华大地上烙了一个巨大的“人”字 可以直通船舶 棋布溪水两岸 Ⅲ 需时1至2天 入郭登桥出郭船 全长224千米 疾病监测 地理编辑 2-3天 接近全国平均水平 又名明月峡 下船游览景 点时 完全是从调节市场、平抑物价出发 Ⅱ Ⅱ 西藏雪鸡可作为高原的代表 亦为一自然奇景 经济 海拔约5000米～5500米 肠道传染病如痢疾、感染性腹泻的发病数较多 那根拉 种类繁多 4 漕运鼎盛时 [17] Ⅰ 每一变化都是总结实践中的经验教训实事求是解决问题发展而来 Ⅱ 因此 纳木错的风能资源亦相当丰富 翻译 深锁的长安城笼罩在层层烟霞之中 1.朝廷年复一年地进行着南粮北运 并发出通知 多年平均8级以上大风日为 当雄73.至重庆江北机场26公里 三峡只有此期间方可行船 0.度过风雪严寒 积淀了深厚悠久的文化底蕴 秋季库区平均降水量为235毫米 Ⅱ 种类最普遍 又想选取江都作为自己华丽的别宫 Ⅱ 两岸群山峻岭不宜行车等 “长江三峡”是重庆十大文化符号 在北方城市里非常少见 也可住在当地雄兵站、藏人定居的土围子 念青唐古拉的妻子” 奉节年均气温最低 经济重心一直在黄河流域 13 春秋末期 特别是在沼泽草甸环 境中数量更高；截至2014年6月 西陵峡 成效突出 抬头仰望 扎西半岛下面就是纳木错优美的弧形湖岸线 促进了沿岸城市的迅速发展 所属地区 8 2km3（22.地处重庆市忠县忠州镇和万州区之间的长江北岸 运用漕粮赈济灾荒 起初离湖是越来越远 重庆奉节县 通州区到天津称北运河 也 称瞿塘峡关 为了使南北相连 鲁北运河也称位山、临清运河 15年 三峡工程二期移民工程通过国家验收 有全国最大的文物集中复建保护地凤凰山 重庆万州区 2 是长江三峡中最长、以滩多水急闻名的山峡 1730.拉萨市附近的居民 [14] 李敬芳《汴河直进船》汴河通淮利最多 [12] 游 船简介 1 4718米 社会 2001年5月份 季节变化 7 三峡美景 把天津至江苏清江之间的天然河道和湖泊连接起来 山水景观令人称绝 运河是由统治者主导开凿整修而成 不久签订了《中英南京条约》 在运河堤上吃苦受罪 运河生产过程中也创造了许多与生产相关的艺术 涉外游轮又称豪 华游轮 盛况空前 水深不足 湖泊类型咸水湖 背景 2001 构成了分别以白帝城瞿塘峡和天坑地缝为中心的两大特色旅游区 其船票价格分别为1200-1600元/人 另外纳木错还蕴藏着丰富的矿产 当晚霞染红天际时 隋开运河不仅仅有经济方面的动机 惟妙惟肖； 著名的西陵彩陶古朴文雅 主要污染因子 又可享受每日不同的窗外景观 其中包括国家重点保护动物和自治区重点保护动物 水清见底 藉漕运之利 藏民的风俗是转扎西岛13圈 年度水质为Ⅲ类 各家开始串帷幕做客 沿湖有不少大小溪流注入 Ⅱ ?813.因此 历史性通航河道 即 一个馆（石牌抗战纪念馆） 其它 用途（如芳香油、栲胶、果类、树脂树胶、色素等）植物480种 88%与2000年的5.记住游船停靠的码头和游船开航的时间 旅行旺季最好赶早到达扎西半岛 [5] 距宜昌三峡机场29公里 献哈达 巴东水位站 这样 87%；3.可通航100吨级船舶 相关事件 [17] [15] 在其沿线重镇之一宜昌 只 到纳根山下的湖边会影响行程 后来纳木错成为著名的佛教圣地之一 Ⅱ 长江上每年有20万艘船航行 这标志着三峡移民工作取得重大阶段性成果 后来逐渐演变成以演藏戏为主 开漕移师上将燃放“万头鞭” 同时对邗沟进行了改造 对库区古树的跟踪监测结果表明 北运河 每到名胜登 岸观光 红楼日日柳年年 包括水等各种物资 Ⅱ 达到或优于Ⅲ类水质的断面数 75 奇怪的是 转湖提醒 其中冬季藏雪鸡向藏南方向迁徙转移 [6] 当年威严峻拔的保吉山常与念青唐古拉山的爱妻——纳木措窃窃私语、缠缠绵绵 Ⅱ 主要有昭君村文化旅游区、高岚自然风景区、龙门河国 家森林公园、古夫新县城民俗生态旅游区和古洞口水上旅游区 面积约1920km2 则需到武汉中转 库区珍稀植物篦子三尖杉、福建柏、银杉、金钱松、黄杉、穗花杉、巴山榧等19种保护状况良好 米市圈 因此 沿着这条路是通向北面的纳木乡政府的 Ⅱ 镇江到杭州称江南运河 每年蒸发 的水量为23.于是雪顿节便被解释为喝酸奶子的节日 2001年度（2000年12月～2001年11月）三峡库区气候总体特征为偏旱偏暖 浙江段（南浔—杭州） 雷暴日数（d） 6 留下了丰富的历史文化遗存 以维持帝国经济政治中心的联系 Ⅱ 三峡工程机组安装奏序曲 由少到多 是湖北省首批 优秀旅游县 随着规模巨大的三峡工程的兴建 西北是起云峰 三峡工程胜利实现大江截流 大运河虽为漕运所开 勤劳朴实的巫山人民愿意同全国旅游同仁交朋友 西藏毛沙鸡则迁至4000米以下 地图(9张) 监测站点 最大水深达120米以上 [3] 以后随着津浦铁路通车 盐指数偏高 扶老携 幼 雪顿节 进海河最后流入渤海 见洪水肆虐 Ⅱ 33 占18.景点级别 保吉山从此再也无法站立了 曾到湖上修习密宗要法 会非常的辛苦 在雪线附近仍有活动 Ⅱ 至大王庙与中运河汇合 运河沿线的主要港口有济宁、徐州、邳州、泗阳、淮阴、淮安、宝应、高邮、扬州、镇江、常州、无 锡、苏州、吴江和杭州等 矿产资源 气候条件 例如吴王夫差命人开凿邗沟的直接目的是为了运送军队北伐齐国 三峡涉外旅游业进入飞速发展的黄金时期 国内船与涉外游轮 [18] 中下游干流 清溪场 其初衷是为满足国际政务接待的要求 由于上游岳城水库蓄水 位于藏北高原的东南部 舟从地窟行” 如通州、直沽（即天津）、沧州、德州、临清、徐州、淮安等 红嘴山鸦、黄嘴山鸦、胡兀鹫、岩鸽、雪鸽等均为高山常见鸟类 东西长70多千米 969.（2）重庆夔门 宗教圣地 如人此时前往朝拜 ? “青藏高原湖区” 《隋帝陵》 平水期 水质较好 0 Ⅱ 另一部分是流 域总面积土地上降雨所形成的径流 他们仍依恃其强大的势力 7克/升左右 水文水质 长94公里 山岩上有“夔门天下雄”五个大字 68.影响库区城市江段水质的主要污染因子仍是化学耗氧量、高锰酸盐指数和氨氮等 重庆主城 5℃ Ⅱ 文学作品 人杰地灵 素有“巴蜀胜境”的美誉 是 瞿塘峡 12世纪末 吴淞口下 以湖中显现的灵异景象来预卜未来 三峡大坝最关键的泄洪坝段已经全部建成 漕运发达时期 明永乐之后 将各地的物资源源不断的输往都城所在地 扬州是里运河的名邑 数量很多 [4] 以免迷失方向 沿岸风俗 Ⅲ 2000-3000元/人 34 是经喜马拉雅运动凹陷 而成 但降水量明显少于常年 寒骨枕荒沙 连同商船共3万艘 漕运之中围绕运河的水运 旅游路线 断 因为此时天下已统一 宜昌九码头距宜昌火车站3公里 Ⅱ 沿途商铺施茶献果 前两者多栖息于盆地与河谷 50%）、感染性腹泻（418.清溪场 Ⅱ 8 与“剑门天下险、峨眉天下秀、青城天 下幽” 代表性的四星级涉外游轮 维多利亚1号、中国龙·平湖号、长江公主号 自南向北逐渐增长 紫泉宫殿锁烟霞 国务院总理李鹏在宜昌三斗坪向全世界宣布三峡工程正式开工 2003年4月16日 封建王朝当权者以它为基础建立了将各地物资输往都城的历时千年的漕运体系 运河两岸兴 起数十座商业城镇 在雅鲁藏布江中游谷地及其南部喜马拉雅南麓、滇西北横断山区和贵州高原西北草海一带越冬 西王母幼女瑶姬携狂章、虞余诸神出游东海 生长着蒿草、苔藓、火绒草等草本植物 16 [7] 鞋不宜穿皮鞋和塑料底鞋 航道全部达到四级标准 故得名“邗沟” 可以看看 清晨和黄昏的纳木错 您必须在开航前返回游船 生物资源 海外运来的商品过境之后也是经运河到燕京 东临三峡大坝 过巫山 04亿立方米； 唐贞观23年（公元649年） 载到扬州尽不还 改民运为官运 年货运量可达3亿多吨 3 正因国际政务接待的设计初衷 必须开凿运河把粮食从南方 运到北方 凡去神湖朝佛敬香者 其湖盆呈西南—东北走向 50.与此相比 11月至翌年5月为旱季 元明清时期 是长江三峡中“险滩之冠” 水量较大、通航条件较好的江苏省境内一段 请一定要看管好小孩 800.依山座岩临江 最盛时 2000 [18] 人口100万 水系 城 Ⅱ 从此扬州成为南北交 通枢纽 可以向纳木错投宝 0 贯通南北运河势在必行 柳暗花明又一村” 年运货量1500万吨左右 而我又被抓来为龙舟拉纤 1842年 河湖交织 而湖滨牧民说因湖面海拔很高如同位于空中 免费 16 隋炀帝时在城内开凿运河 建立庞大而复杂的漕运体系 长江三峡旅游线上的牛肝马肺峡 临大节而不夺”的忠君爱国思想而改为奉节县沿用至今 朝廷见禁不住 于是“助禹斩石、疏波、决塞、导厄 ? 这些都内在地蕴含着务实之魂 ?户部从全国所收定额税银400万两 也在一天之内湖面大部分冰冻消失 最终抵达刺桐港（福建泉州） 这些既是在实际的运河生产中形成 峭壁 屏列 滩 企图与中央政权抗衡 长江北岸 位于长江三峡中最为奇幻壮丽的西陵峡境内 Ⅱ 2001 食用植物610种 一般以东线代表运河的位置 长20公里 相传“纳木措是帝释天的女儿 贾船掷银捐物 为开拓3天的旅游市场 卫运河底宽30米 汉 今我挽龙舟 现有京杭大运河苏杭段客运航线 往返 春秋季节最佳 文化编辑 幽深秀丽 三峡的美食有一些是“大有来头”的历史名菜 曹操曾大设萝卜宴犒劳三军将士、“张飞鱼”的美丽故事千年流传、昭君桃花鱼至今仍是春季时节的传统名菜 三峡大坝后花园四溪 71 冬季、秋季及初春、盛夏气温偏高 [16] 绵延不断 长江干流 2001年第一、四季度各断面水质状况良好 消费