高中数学 轨迹方程问题汇总(详细解析)新人教A版

轨迹方程问题汇总

11.已知点M (－3，0)、N (3，0)、B (1，0)，⊙O 与MN 相切于点B ，过M 、N 与⊙O 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为__________.

解析:如图，|PM |－|PN |=|PA |+|AM |－|PC |－|CN |=|MA |－|NC |=|MB |－|NB |=4－

2=2.

∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,c =3,a =1,b 2=8.

∴方程为12x －82

y =1(x >1).

答案:x 2

－8

2y =1(x >1)

12.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________.

解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y =c a 2=8,e =2

1

.

由c =2,c a 2=8,得a =4,满足e =a c =42=2

1.

∴椭圆方程为162y +122

x =1.

答案: 162y +12

2

x =1

16.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 2=4的左、右两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程.

解:如图,F 1(－22，0)、F 2(22，0)、M (x ,y )，

延长F 1M 与PF 2相交于点N ，设N (x 0,y 0). 由已知可得M 为F 1N 的中点,

∴???

????=?=+=?-=.

22,2222220000y y y y x x x x

又|NF 2|=|PN |－|PF 2|=|PF 1|－|PF 2|=2a =4, ∴(x 0－22)2+y 02=16.

∴(2x +22－22)2+(2y )2=16.∴x 2+y 2=4.

评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.

17.(本小题满分12分)如图，某农场在P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA 或PB 送到庄稼地ABCD 中去，已知PA =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°.能否在田地ABCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA 送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB 送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.

A

B

C

D P

解:设M 是这种界线上的点， 则必有|MA |+|PA |=|MB |+|PB |, 即|MA |－|MB |=|PB |－|PA |=50. ∴这种界线是以A 、B 为焦点的双曲线靠近B 点的一支.建立以AB 为x 轴，AB 中点 O

为原点的直角坐标系，则曲线为22a x －22

b

y =1,

其中a =25,c =2

1

|AB |.

∴c =257,b 2=c 2－a 2=3750.

∴所求曲线方程为6252x －3750

2

y =1(x ≥25,y ≥0).

18.(本小题满分12分)已知点F (1，0)，直线l :x =2.设动点P 到直线l 的距离为d ,且

|PF |=

22d ,32≤d ≤2

3. (1)求动点P 的轨迹方程；

(2)若PF 2OF =

3

1

，求向量OP 与OF 的夹角. 解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P 的轨迹为椭圆.由条件知c =1,c

a 2

=2,∴a =2.

e =

a c =2

1

=22满足|PF |=22d .

∴P 点的轨迹为22x +1

2

y =1.

又d =c a 2－x ,且32≤d ≤2

3,

∴

32≤2－x ≤23.∴21≤x ≤3

4. ∴轨迹方程为22x +y 2=1(21≤x ≤3

4

).

(2)由(1)可知，P 点的轨迹方程为22x +y 2=1(21≤x ≤3

4

),∴F (1,0)、P (x 0,y 0).

OF =(1,0),OP =(x 0,y 0),=(1－x 0,－y 0).

∵PF 2OF =

31,∴1－x 0=31

. ∴x 0=3

2

,y 0=±37.

又2=||2||2cos θ, ∴12x 0+02y 0=2

02

0y x +212cos θ.

∴cos θ=

2

2

00y x x +=

9

7

9432

+=112=11112. ∴θ=arccos

1111

2

. 1．【苍山诚信中学·文科】21．（本小题满分12分）

如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2

2

定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，

点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的

轨迹为曲线E.

（I ）求曲线E 的方程；

（II ）过点A 且倾斜角是45°的直线l 交曲线E 于两点H 、Q ，求|HQ|.

【解】（1）.0,2=?=

∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分

又

.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN

∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===

∴b c a ……………5分

∴曲线E 的方程为.12

22

=+y x ………………6分 （2）直线l 的斜率.145tan =?=k

∴直线l 的方程为.1-=x y …………………………8分

由.04312

122

2=-?????=+-=x x y y x x y 得消去………………10分 设0,3

4

),

,(),,(21212211==

+x x x x y x Q y x H 则， .23

4

)34(24)(1||1||2212212212=?=-+?+=-+=∴x x x x k x x k HQ 12分

2．【09届苍山·文科】22．（本小题满分12分）设椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C 过点

21,),23,1(F F 分别为椭圆C 的左、右两个焦点，且离心率?=2

1

e （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点F 2与椭圆C 交于M 、N 两点。若AM 、AN

的斜率21,k k 满足,21

21-

=+k k 求直线l 的方程； 【解】（1）由题意椭圆的离心率,2

1

=e

∴2

1

=a c ∴

c a 2=∴22223c c a b =-= ∴椭圆方程为13422

22=+c

y c x ………………3分

又点（1，23）在椭圆上，∴13)23

(41

22

2=+c

c ∴

2c =1 ∴椭圆的方程为13

42

2=+y x ………………6分 （2）若直线l 斜率不存在，显然120k k +=不合题意；

则直线l 的斜率存在。……………………7分

设直线l 为)1(-=x k y ，直线l 和椭交于11(,)M x y ，22(,)N x y 。 将:1243)1(2

2

中得到代入=+-=y x x k y

01248)43(2222=-+-+k x k x k

依题意：110992

-<>>-=?k k k 或得………………………………9分

由韦达定理可知：???

????+-=+=+22

11222143124438k k x x k k x x ………………10分

又)2

121(2222112211+-++-=+++=

+x x x x k x y x y k k AN AM 1211[23(

)]22

k x x =-+++ 而

4

)(2421

2121212121+++++=

+++x x x x x x x x 2

22222231

2)43(416124)43(48k

k k k k k k +=+++-++= 从而21

1)31232(2

2-=-=+?-=+k k

k k k k AN

AM ………………13分 求得2k =符合.1>k

故所求直线MN 的方程为：).1(2-=x y ………………14分 3．【09届济宁·文科】22．（本小题满分14分）

已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4

1x y =的焦点，离心率为

5

5

2． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若AF MA 1λ=，

2λ=，求21λλ+的值．

【解】 （1）设椭圆C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，

抛物线方程化为y x 42

=，其焦点为)1,0(，

椭圆C 的一个顶点为)1,0(，即1=b ， …………………………………………3分

由5

5222=

-==a b a a c e ，得52

=a ，

∴椭圆C 的方程为15

22

=+y x ．……………………………………………………6分 （2）由（1）得)0,2(F ， …………………………………………………………7分

设),(11y x A ),(22y x B ，),0(0y M ，显然直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为)2(-=x k y ，代入15

22

=+y x ，并整理得 052020)51(2222=-+-+k x k x k ， ………………………………………9分

∴2

2212221515

20,5120k

k x x k k x x +-=+=+． ………………………………………10分 又),(,),(022011y y x y y x -=-=， ),2(,),2(2211y x BF y x AF --=--=， 由AF MA 1λ=，BF MB 2λ=，得

),2(),(111011y x y y x --=-λ，),2(),(222022y x y y x --=-λ，

∴2

2

21112,2x x x x -=

-=

λλ， ………………………………………………12分 ∴10)(242)(2222

1212

121221121-=++--+-+-=

+x x x x x x x x x x x x λλ． ………………14分 4．【临沂一中·文科】21．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶

点为(0,1)B -，且其右焦点到直线0x y -+= 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠，且过定点3(0,)2

Q 的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点

M N 、，且||||BM BN =？若存在，求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由．

【解】（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)y x a b a b

+=>>,

由已知得1b =. ……………………………………………………………………1分

设右焦点为(,0)c 3,c =∴=…………………………2分

2223a b c ∴=+=.……………………………………………………………………3分

∴椭圆的方程为221x y +=. ………………………………………………………4分 （Ⅱ）直线l 的方程32

y kx =+，

代入椭圆方程,得

2

2

15(13)90.4

k x kx +++= …………………………………5分

设点1122(,),(,),M x y N x y

则1229.13k x x k

-+=+…………………………………………………………………6分

设M 、N 的中点为P ， 则点P 的坐标为22

93(,

)2626k k

k -++.……………………………………………7分 ||||,BM BN = ∴点B 在线段MN 的中垂线上.

31

261.926BP

k k k k

k ++∴=-=-+…………………………………………………………8分 化简,得2

23

k =.……………………………………………………………………10分 由0?>得,2

5.12

k >

52.312k >∴= ………………………………………………………………11分 所以,存在直线l 满足题意，直线l 的方程为

302y -+=

302

x y +-=.…………………………12分 5．【临沂高新实验中学】21．（本小题满分12分）已知，椭圆13

2

2

=-y x C 以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），且以线段

MN 为直径的圆过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

【解】（1）椭圆方程为.13

42

2=+y x （4分） （2）设M ),(),,(2211y x N y x ，将m kx y +=代入椭圆方程得

01248)34(222=-+++m kmx x k

∴

,3

412

4,3482221221+-=+-=+k m x x k km x x （6分） ∵,)(,,221212212211m x x km x x k y y m kx y m kx y +++=+=+= 又以MN 为直径的圆过点A （2，0），

∴,04)(2,0211121=+++-=?y y x x x x 即 ∴,0416722=++k km m

∴

,27

2

k m k m -=-=或且满足0>?，（9分） 若k m 2-=，直线l 恒过定点（2，0）不合题意舍去，

若)0,7

2

()72(:,72恒过定点直线-=-=x k y l k m

例1： 已知双曲线的两个焦点分别为F 1、F 2，其中F 1又是抛物线 y 2 = 4 x 的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．

(1)求点F 2的轨迹;

(2)是否存在直线y = x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，若不存在，说明理由．

解 (1) 由题意知F 1(1, 0)，设F 2(x , y)，则 | |AF 1|-|AF 2| | = | |BF 1|-|BF 2| | = 2a > 0．……………………………①

∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF 1| = | BF 1| =22．于是 (ⅰ) 当 | AF 1|-|AF 2| = |BF 1|-|BF 2|时，有 |AF 2| = |BF 2| , 再代入①得： F 2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F 1(1, 0), D(1, 4)．

(ⅱ) ∵ 当 | AF 1|-|AF 2| = - ( |BF 1|-|BF 2| ) 时，有 | AF 2| + |BF 2| = |AF 1| + |BF 1| =24> 4 = |AB| ,

∴ 点F 2的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆Q ，且除去F 1(1, 0)，D(1, 4)两点， 故所求的轨迹方程为 l ：x = 1与Q ：

14

)2(8)1(2

2=-+-y x ( y ≠0，y ≠ 4 )． (2) 设存在直线L ：y = x+ m 满足条件．(ⅰ) 若L 过点F 1或点D ，

∵ F 1、D 两点既在直线l ：x = 1上，又在椭圆Q 上，但不在F 2的轨迹上， ∴ L 与F 2的轨迹只有一个公共点，不合题意．

(ⅱ) )若L 不过点F 1和D 两点，(m ≠-1, m ≠3)，则L 与l 必有一个公共点E ，且E 点不在椭圆Q 上，

∴ 要使L 与F 2的轨迹有且只有两个公共点，则L 必与Q 有且只有一个公共点．

由 ?

??

??=-+-+=,14)2(8

)1(,

22y x m x y 得 3x 2 - (10 - 4m) x +2m 2- 8m +1= 0,

从而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m 2- 8m+1) = - 8 ( m 2

-2m -11) , 当△= 0时，有321±=m ．即存在符合条件的直线 y = x+321±．

点评 这是“定义法”求轨迹的问题．对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的． 考点二：交轨法求轨迹

例2.已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O ，以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，试问：是否存在两个定点E , F ，使得 | PF | + | PF | 为定值，若存在，求出E, F 的坐标，若不存在，说明理由．

解 ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) ,

由向量平行关系得 OP 与AP 的方程分别为λy = ax ，y - a = - 2λax ．…………………………………… ①

由

此消去参数λ，得 点P(x ,y)满足方程为

1)2

()

2(8

1222

=-

+a a y x , …………………………………………… ② ∵ a > 0 , 从而，有(1) 当2

2

=a 时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E ，F ；

(2) 当0<2

2

,2121(),2,2121(

22a

a F a a E ---； (3) 当2

2

>

a 时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：) )2

1(21,0(,))21(2

1,0(22---+a a F a a E ．

点评 这是“交轨法”求轨迹的问题．将向量c +λi 与i - 2λc 分别用坐标表出是解题的关键．回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求．对于①也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试． 考点三：代入法(相关点法)

例3 如图

, (),(,)A m B n 两点分别在射线OS,OT 上移动, 且1

2

OA OB ?=-

,O 为坐标原点,动点P 满足OP OA OB =+. (1)求m n ?的值

(2)求点P 的轨迹C 的方程,并说明它表示怎样的曲线.

【解析】(1)

由已知得1()(,)2,2

OA OB m n mn ?=?=-=-

14

m n ∴?=

(2)设点P 坐标为(,)(0),x y x OP OA OB ≥=+由,得

(,)()(,)()) x y m n m n m n =+=+-

22

22

,41(0)

33

)

x m n y y

m n x mn x x

y m n

=+

??

∴-=?-=>

?

=-

??

消去为,它表示以坐标原点为中心,焦点在x轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线

2

21

3

y

x-=的右支.

【点评】 (1)的结果

1

4

mn=表示点(,)

m n轨迹在曲线

1

4

xy=上,为解决(2),利用

OP OA OB

=+,建立(,)

P x y与参数,m n的关系,然后解出,m n(用,x y表示),代入

1

4

mn=

即得所求轨迹,这就是代入法.

考点四：与轨迹有关的综合题

例4 O为坐标原点, (,)

A A

A x y和(,)

B B

B x y

两点分别在射线0(0),

x x

=≤

0(0)

x x

=≥上移动,且2

OA OB

?=-,动点P满足

2

OA OB

OP

+

=,记点P的轨迹为C.

(I)求

A B

y y的值;

(II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?

(III)设点G(－1,0),若直线(0)

y kx m m

=+≠与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在以G 为圆心的圆上,求k的取值范围.

【解析】 (I) ∵(,)

A A

A x y,(,)

B B

B x y

分别在射线0,0

x x

==上

,

0,0,

A A

B B

x x

∴==

即,

A A

B B

x x

==,

3,

A B A B

x x y y

∴=-

又∵2

OA OB

?=-

2

A B A B

x x y y

∴+=-.

22

A B

y y

∴-=-,

1

A B

y y

∴=.

(II) 设(,)

p x y由

2

OA OB

OP

+

=可得,,

22

A B A B

x x y y

x y

++

==

即),22

A B A

B

y y y y x y -+=

= 22

224(),()43

A B A B y y x y y y ∴-=

+= 两式相减有: 2222

444,133

A B x y y x y y -=--

=即. ∵0,0,A B A y y y ≥≥且、B y 不同时为0,

0y ∴>

∴轨迹C 的方程为2

2

1(0)3

x y y -=>,它表示焦点在y 轴上的双曲线.

(III) 2

213

x y y kx m ?-=???=+?

消去x ,整理得: 2222(31)230k y my m k -+--=. ∵直线y kx m =+与曲线C 交于M 、N 两点, 设1122(,),(,)M x y N x y

12120,0,0,y y y y ∴?>+>>

即22222

22

2(2)4(31)(30,............(1)20,................................................(2)3130,...........................................(3)31

m k m k m

k m k k ?

?---->?

-?>?-??-->?

-? 由(1)整理得: 2

2

310......................................(4)m k +-> 由(3)有: 2

310......................................(5)k -<

∴由(2)有0m >.

又∵M 、N 在以点G 为圆心的圆上,

设MN 的中点为Q,则,0.GQ MN GQ MN ⊥?=即 ∵1212

(

,)22

x x y y Q ++,

1212

2121(

1,),(,),22

x x y y GQ MN x x y y ++∴=+=-- 2

2122121(1)()0.22

x x y y x x +-∴+-+=

2

212212111(

1)()()0.223

x x x x x x +∴+-+?-= ∵12x x ≠

121210,26

x x x x

++∴

++= 123

.2

x x ∴+=-

又∵12121222631

y m y m y y m mk

x x k k k k --+--+=+==- 263312mk k -∴=--. 整理得243 1.....................(6)mk k =- 把(6)代入(4)中有: 240,m mk +> 由0,40.m m k >+>所以

又由(6)有223131

40,44k k m k k k --=

+>代入上式得 2191

0,4k k

-∴>

∵2

2

431310,0,0mk k k m k =--<>∴<中 于是2

1910,k -<

解得0,19

k -

<<

再由2

310,k k -<<<得.

综合得k 的取值范围为(19

-