2018中考数学专题复习 三角形与四边形综合题专项训练(pdf,无答案)
1 1. 如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是角平分线，E是BC边的中点，EF⊥AD于点F，CG⊥AD于点G，若tan∠CAD=43，AB＝20，则线段EF的长为____
2. 如图，在△ABC中，tan∠ACB=3，点D、E在BC边上，∠DAE＝21∠BAC，∠ACB＝∠DAE＋∠B，点F在线段AE的延长线上，AF＝AD，若CD＝4，CF＝2，则AC边的长为_____
3. 如图，在△ABC中，∠A=30°，点D、E分别在AB、AC边上，BD=CE=BC，点F在BC边上，DF与BE交于点G。若BG=1，∠BDF=21∠ACB，则线段EG的长为___
FGED
ABC
EBD
ACF
GD
E
AB
CF 2
4. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点F，若BC＝3CD，BF＝2，则BC边的长为____ 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝45°，点E在射线BD上，AE//CD，AE＝DE，若BD＝1，CD＝5，则AE的长为____
6. 如图，△ABC中，∠AB＝90°，CD是AB边上的中线，点F在线段AD上，点F在CD延长线上，AE＝DF，连接CE、BF，若∠AEC＝∠DFB，AC＝32，DF＝13，则线段CE的长为_____
7. 如图，在等边△ABC中，D为AB边上一点，连接CD，在CD上取一点E，连接BE，∠BED＝60°，若
EFDCABE
DBC
A
ED
AB
C
F 3
CE＝5，△ACD的面积为4
335，则线段DB的长为_____
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，点D是AB的中点，DE//BC， 点F为BC上一动点，连接AF交DG于E，∠AEC恰好为90°，连接CE，当DE＝2时，线段AB的长为____
9. 如图，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，点C为∠ADB的角平分线上一点，连接AC、DC，过点A作DB的平行线，分别交DC、BC于点E、F，若BE＝BF，AC＝52，则AE的长为____
10. 已知：在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC，AD为∠BAC的平分线，E为线段AC上一点，DE＝DB，过E作AD的垂线交直线AB于F，取BF的中点M，连接DM。若DC＝4，2:3:ACDABDSS
，则DM的长为____
EFABCD
EGD
A
BC
F
FCE
M
DNAB 4
11. 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，∠DCB＝90°，CD＝2
1AB，若∠DAE＝45°，GD为∠EDC
的角平分线，连接CG，AB＝8，则EG的长为_____
12. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C＝120°，AB＝10，CD＝6。 M为BC中点，N为AD中点，则MN的长为____
13. Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过D作DE⊥DF，交BA延长线于点E，交AC延长线于点F，若CF＝2
7，AC＝4，AB＝2，则AE的长为____
MFADBC
E
HGE
DABCND
MBC
A 5
14. 如图，已知四边形ABCD为正方形，E是BC边上一点，射线DE交AB的延长线于点F，若DE＝BE＋BF，DF＝6，则CE的长为_____
15. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，E在AC上，AD＝DE，若BD＝3，CD＝102，AB＋CE＝7，则AE的长为____
16. 如图，正方形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE，在DE上取一点G，连接BG，使BG＝BC，连接CG并延长与AD交于点F，在CG上取一动点P（不与点C，点G重合），过点P分别作BG和BC的垂线，垂
EDF
ABC
FCD
AB
E
EADBC 6
足分别为点M、点N，若四边形AEGF的面积是54，则PM＋PN的值为____ 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边的右侧，连接DA、DB、DC，若AD＝DC，∠ADB＝∠ACB，AD＝5，BD＝11，则BC边的长为____
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BD平分∠ABC，点E在CB边的延长线上，∠ADE＝120°，若AE＝21，BE＝1，则线段BD的长为____
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将AB边绕点A按逆时针方向旋转90°，得到线段AD，AD交BC边于点E，过点D作AD的垂线，交AC边的延长线于点F，若AE＝9，DF＝8，则线段DE的长为____
NMFG
E
DA
BCP
DBC
A
DCABE 7
20. 在△ABC中，D为AB的中点，∠CDA=45°，E在AC上，连接BE交CD于F，满足EF=EC，△CBF的面积为8，则CF=_____
21. 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，点D在BC上，BD＝13，CD＝13，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE、CE，则22CEBE
＝_____
22. 如图，四边形ABCD是正方形，以AB为边向内部做等边△ABE，连接DE并延长交BC于点F，若CF＝13，则BF的长为_____
23. 如图，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，点P在△ABC的内部，连接PA、PB、PC、PD，∠BPC＝105°，PC＝2，PB＝22，则△APD的面积为_____
EF
DB
C
A
FDBC
A
E
EADBC
FEDABC 8
24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，过点B作BC的垂线，交AD的延长线于点E，若AD：DE＝3：2，BD＝2，则AC的长为_____
25. 如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝CD，∠ABC＝75°，若AB＝23，BC＝5，则BD的长为_____ 26. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，过点C作直线L//AB，点D在线段BC上，点E在直线L上，若∠ADE＝120°，CE＝1，则DC的长为____
27. 如图，在△ABC中，点D在AC上，过点D作DE⊥BD交AB于点E，点F为BE的中点，连接CF，CF
PD
A
BC
DA
BC
E
CAD
B
lE
A
BCD 9
平分∠BCA，若BC＝BE，AD＝3，CD＝4，则AE的长为_____ 28. 如图，在△ABC中，点D为△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠DBC＝∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，DB＝3，BC＝8，则AB的长为_____
29. 如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，连接AC，且∠ACD＝30°，tan∠BAC=332，CD＝3，则AC的长为_____
30. 如图，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，BC＝2AD，AB＝8，AC＝4，∠D＝2∠B，则CD的长为
DAFBC
E
ADBC
DA
BC 10
______ 31. 已知在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝3，∠ACB的角平分线CD交AB于D，过点D作CD的垂线交CB于E，过点D作CD的垂线交CB于E，连接AE交CD于F，当BD＝6时，则EF的长为_____
32. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△ABD、△BCE均为等边三角形， DE、AB交于点F，AF＝63，则△ACE的面积为_____
33. 如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E、F分别在BC、AC上，连接AE、EF。若∠BAE＝2∠CEF，CE＝4，AF＝24，则AC的长为_____
DABC
EDA
CB
FE
DACB
2018年最新人教版中考数学《三角形》专项练习及答案
2018年中考数学《三角形》专项练习1.如图，AB=DC，AC=DB，求证：AB∥CD．2.已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A．B关于x轴对称；（2）A．B关于y轴对称．3.如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．4.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC．5.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．6.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，O，F.若∠CAD=20°，求∠OCD的度数.7.如图,在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG.求证：（1）AD=AG;（2）AD与AG的位置关系如何?并证明你的结论.8.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．10.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC。
11.如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．12.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B13.如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．（1）求∠ACN的度数．（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？（直接写出结论即可）14.如图,∠BAD=∠CAE=90o,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.（1）若AC=10,求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE=2AF .15.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2,当点D在线段BC上移动,则α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．参考答案1.证明：∵在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC=∠DCB（全等三角形的对应角相等）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．2.解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A．B关于y轴对称，∴，解得：．3.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．4.解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．5.证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．6.50°7. (1)证明：∵BE⊥AC∴∠AEB＝90∴∠ABE+∠BAC＝90∵CF⊥AB∴∠AFC＝∠AFG＝90∴∠ACF+∠BAC＝90,∠G+∠BAG＝90∴∠ABE＝∠ACF∵BD＝AC,CG＝AB∴△ABD≌△GCA （SAS）∴AG＝AD2、AG⊥AD证明:∵△ABD≌△GCA∴∠BAD＝∠G∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90∴AG⊥AD8.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．9.证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．10.证明：(1) AD为△ABC上的高，∴BDA=ADC =90.∵BF=AC,FD=CD.∴Rt△BDF≌Rt△ADC.(2)由①知∠C=∠BFD，∠CAD=∠DBF.∠BFD= ∠AFE，又∠CBE=∠CAD，∴∠AEF=∠BDF.∠BDF= 90，∴BE⊥AC.11.解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．12.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD ∴AE=AB∵AD平分∠CAB ∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB ∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B 且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B13.14.（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°，∴∠ACB=∠ACE，∴AC平分∠ECF；（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF=AG，又∵AC=AE，∴∠CAG=∠EAG=45°，∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，∴CG=AG=GE，∴CE=2AG，∴CE=2AF．15.。
2018届初三中考数学专题复习-相似三角形--专项训练题-含答案
2018届初三中考数学专题复习 相似三角形 专项训练题An 2 AE在厶 ABC 中，DE // BC ,若DB = 3,则=(2.如图，在厶ABC 中, DE// BC, MN // AB ，则图中与厶ABC 相似的三角形有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. 如图，四边形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ,且将这个四边形分成①，②, ③，④四个三角形.若 OA ： OC= OB ： OD,贝卩下列结论中一定正确的是（）A .①和②相似B .①和③相似C .①和④相似D .②和④相似4. 在Rt A ABC 和 Rt A A ' B ' C 中，/ C =Z C' = 90° ,若添加一个条件，使得 Rt △ ABC s Rg A ' B ' C ,则下列条件中不符合要求的是（）1.如图,A-iB -2 D -3 ACA . /A = Z A B. ZB = Z BAB _ AC AB _ AC C A B^A Z C D A C B f C5. 如图，在△ ABC 中，AD 是中线，BC = 8,/ B =Z DAC ，则线段AC 的长为（A . 4B . 4 2() A . 2 : 3B. 2 : 3C . 4 : 9D . 8 : 27AB 27. 已知△ ABC A B ，,厂亍3, AB 边上的中线 CD = 4 cm,贝卩A B &上的中线8. 如图，点D , E 分别是△ ABC 的边AB, BC 上的点，且DE// AC, AE, CD 相交于点O ,若 S DOE • S COA = 1 • 25 ,则 S BDE 与 S CDE 的比是(6. 如果两个相似三角形对应边的比为 2 : 3,那么这两个相似三角形面积的比是6 cmB.8 cmC . 8 cmD . 12 cmC . 6D . 4 3A. 1 :3 B .1 ：BA为15米，然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（出□C A BA.10 米B .点 O ,右 Sx DOE :乐CQA = 1 : 25，贝S Sx BDE 与 S^CDE 的比是()的长为则当B‘ C已知/ ACB = Z ABD = 90° , AB = .6, AC = 2,贝S AD =1如图，在?ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F , DE = 2CD.时, 图中两直角三角形相似.DA . 1 : 3B . 1 ：4 11.如图，已知AB// CD//果 AC ： CN3 : 5, BF = 9,C . 1 : 5D . 1 : 25EF,它们依次交直线l i , I 2于点A , C, E 和点B, D, F ,如 那么DF =12. 如图，AB// CD, AD 与BC 交于点O , 已知AB = 4, CD= 3, OD= 2,那么线段 OA14.15. R \D时，△ ABC^A A B‘ C .13.中，A B'= 1, C A'= 2,(1)求证：△ ABFCEB;参考答案:1---10 CCBDB CABAB12. 13. 1.5 14. 3 2或 315. 解：(1) T 四边形 ABCD^平行四边形，二 AB// CD / A =Z C,「./ ABF =Z E ,•••△ ABF^A CEB(2) v AB// CD •△ ABF ^A DEF ,由(1)知，△ ABF ^A CEBABF ^A CE 盼DEFDE 2 1 2 1 . rilil△ DEF 二 =(二I =(;) — , .・ CEB — 9x 2— 18,同理可得 S ^ABF — 2x 4— 8,•S ^ CEB EC 3 911. 45 ~8S?ABCD= S^ABF+ S^ CEB一S^ DEF—18 + 8-2 —24。
河南地区2018年中考数学总复习：专题检测(4)三角形(Word版,含答案)
章节检测卷4三角形(建议时间：90分钟总分：100分) 一、选择题(本大题共9个小题，每小题3分，共27分)1．如图，能判定EB∥AC的条件是(A)A．∠A＝∠ABE B．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABC D．∠C＝∠ABE第1题图第2题图2．将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2为(C) A．115°B．120°C．135°D．145°3．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是(C)A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为(C)A．12 B．4 C．8 D．不确定第4题图 第5题图5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝13，则S △ADE ∶S四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶8D ．1∶96．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( B )A ．2aB ．22aC ．3aD 433a第6题图第7题图7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(D)A．∠A＝∠D B．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD8．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米第8题图第9题图9．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD ＝AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③S△ABF ＝3S△DEF；④△DEF∽△DAE.其中正确的有(C)A．1个B．4个C．3个D．2个二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)10．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝200°.第10题图第11题图11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D是BC上一点，BD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为 3 .12．在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM.当AM⊥BM时，BC的长为8 .第12题图第13题图13．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3 cm，则AB＝ 6 cm. 14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM三、解答题(本大题共4个小题，共58分)15．(14分)已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．(1)证明：∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE .∵CF ∥AB ，∴∠DAE ＝∠CFE .在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧ ∠DAE ＝∠CFE ，∠AED ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS)；(2)解：∵点E 是CD 的中点，DE ＝2，∴CD ＝2DE ＝4.∵点D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴BD ＝CD ＝4.∵CF ∥AB ，∠DCF ＝120°，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝60°.又∵BD ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴BC ＝CD ＝4. 16．(14分)如图，在△ABC 中，AC ＝4，D 为BC 边上的一点，CD ＝2，且△ADC 与△ABD 的面积比为1∶3.(1)求证：△ADC∽△BAC;(2)当AB＝8时，求AD的长度．(1)证明：∵△ADC与△ABD的面积比为1∶3，CD＝2，∴BD＝3DC＝6，∴BC＝BD＋CD＝8.在△BAC与△ADC中，BCAC＝ACDC＝2，∠BCA＝∠ACD，∴△ADC∽△BAC；(2)解：∵△ADC∽△BAC，∴ADDC＝BAAC.又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2，∴AD＝2×84＝4.17．(15分)如图，AB为一斜坡，其坡角为19.5°，紧挨着斜坡AB底部A处有一高楼，一数学活动小组量得斜坡长AB＝15 m，在坡顶B处测得楼顶D处的仰角为45°，其中测量员小刚的身高BC＝1.7 m，求楼高AD.(参考数据：sin 19.5°≈13，cos 19.5°≈1920，tan 19.5°≈2057，结果精确到0.1 m)解：作CF⊥AD于点F，如解图所示，则四边形AECF为矩形．∴AE＝CF，AF＝CE＝BE＋BC.在Rt△ABE中，∵AB＝15，∴BE＝15sin 19.5°，AE＝15cos 19.5°.在Rt△CDF中，∵∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝AE，∴AD＝DF＋AF＝AE＋BC＋BE＝15cos 19.5°＋1.7＋15sin 19.5°≈21.0(m)．答：楼高AD约为21.0 m．18．(15分)数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度(图中GH的长)，经测量知CD＝2 m，在B处测得点D的仰角为60°，在A处测得点C的仰角为30°，AB＝10 m，且A，B，H三点共线，请根据以上数据计算GH的长．(3≈1.73，要求结果精确到0.1 m)解：如解图所示，过点D作DE⊥AH于点E，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m.在Rt△BED中，BE＝DEtan∠DBE＝33x.在Rt△AEC中，AE＝CEtan∠CAE＝3(x＋2)．∵AE－BE＝AB＝10，∴3(x＋2)－33x＝10，解得x＝53－3.∴GH＝CE＝CD＋DE＝2＋53－3＝53－1≈7.7(m)．答：GH的长约为7.7 m.。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
2018年中考数学总复习特殊三角形专题训练题含答案
2018 初三数学中考复习特殊三角形专题复习训练题1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，122．一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( )A．13 cm B．14 cm C．13 cm或14 cm D．以上都不对3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°4．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A.32B.332C.32D．不能确定6. 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．16或207. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )A．6 B．6 2 C．6 3 D．128. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35°B．40°C．45°D．50°9. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km10. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，611. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．12. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__°．13. ．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．14．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__20__.15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.16．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为____．17. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC 边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝____18. 在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．19. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.参考答案：1---10 CCDDBCAADA11. 13或1012. 4013. 5 14. 20 15. 2 16. 7 17. 818. 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 319. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3 (2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E ，∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为620. 证明：如解图，过点A 作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ，则∠BAD＝∠CAD，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS )，∴∠B ＝∠C(也可过点A 作BC 边上的中线，证△ABD≌△ACD)。
2018年中考数学总复习《三角形内角和定理》专题复习练习及答案
2018 初三中考数学复习三角形内角和定理专题复习练习1. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )A．125° B．120° C．140° D．130°2. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 3. 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A．180° B．360° C．540° D．无法确定4. 如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )A．110° B．80° C．70° D．60°6. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )7. 如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数为( )A．53° B．63° C．73° D．83°8. 已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．35° C．40° D．45°9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A．40° B．35° C．30° D．25°10. 如图，a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是( )A．∠1＋∠5＋∠4＝180° B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180° D．∠1＋∠6＝∠211. 如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝____度．12. 如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝______．13. 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____度．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于_______．16．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝____°.17. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．18. 如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角．19. 在三角形ABC 中，∠BAE ＝12∠BAC ，∠C>∠B ，且FD ⊥BC 于D 点．(1)试推出∠EFD ，∠B ，∠C 的关系；(2)当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题(1)推导的结论还成立吗？请直接写出结论．20. 如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 与BA 的延长线相交于点E ，求证：∠BAC>∠B.21. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，试说明：∠BOC ＝90°＋12∠A.参考答案1---10 DBBCC DBCAD 11. 35 12. 60° 13. 45 14. 30° 15. 360° 16. 8017. 解：在△ABN 中，∠A ＋∠B ＋∠1＝180°，在△CDP 中，∠C ＋∠D ＋∠3＝180°，在△EFM 中，∠E ＋∠F ＋∠2＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠1＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠3＋∠2＝540°，在△MNP 中，∠5＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝360°18. 解：①当110°是顶角的外角时，则底角为110°×12＝55°，②当110°是底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，即它的底角是55°或70°19. 解：(1)∠EFD ＝90°－∠FED ＝90°－(∠B ＋∠BAE)＝90°－∠B －12∠BAC＝90°－∠B －12(180°－∠B －∠C)＝90°－∠B －90°＋12∠B ＋12∠C ＝12(∠C－∠B)(2)在(1)中推导的结论成立，∠EFD ＝12(∠C －∠B)20. 证明：∵∠BAC>∠ACE ，∠DCE>∠B ，又∠ACE ＝∠DCE ，∴∠BAC>∠B21. 证明：∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A。
2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题
年份题型考点题号分值难易度2017选择题、填空题、解答题三角形的三边关系、三角形的中位线、三角形全等，三角形的外心、正方形性质、平行四边形性质、矩形的性质9、11、16、17、18、23、253＋2＋2＋3＋3＋9＋11＝33容易题、中等题、较难题2016选择题、填空题、解答题三角形的内心、外心等概念、三角形内外角的关系、三角形全等证明、等边三角形的判定、平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的判定6、9、13、16、19、213＋3＋2＋2＋4＋9＝23容易题、中等题、较难题2015选择题、填空题三角形的中位线、三角形内外角关系、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形、正方形的性质15、16、19、20、222＋2＋3＋3＋10＝20容易题、中等题、较难题命题规律此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性大，既可出容易题，如2017年9，11题，又可出较难题如2016年19题，每年都会在解答题中涉及1～2题，预测2018年选择、填空、解答均会出现.解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433， ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE.∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD，∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ，∴四边形EFDG 是平行四边形．又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形；(2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF. 即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ； (3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)GF. ∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝1255. 【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．。
河南地区2018年中考数学总复习：专题检测(4)三角形(Word版,含答案)
章节检测卷4三角形(建议时间：90分钟总分：100分) 一、选择题(本大题共9个小题，每小题3分，共27分)1．如图，能判定EB∥AC的条件是(A)A．∠A＝∠ABE B．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABC D．∠C＝∠ABE第1题图第2题图2．将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2为(C) A．115°B．120°C．135°D．145°3．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是(C)A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为(C)A．12 B．4 C．8 D．不确定第4题图 第5题图5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝13，则S △ADE ∶S四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶8D ．1∶96．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( B )A ．2aB ．22aC ．3aD 433a第6题图第7题图7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(D)A．∠A＝∠D B．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD8．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米第8题图第9题图9．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD ＝AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③S△ABF ＝3S△DEF；④△DEF∽△DAE.其中正确的有(C)A．1个B．4个C．3个D．2个二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)10．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝200°.第10题图第11题图11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D是BC上一点，BD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为 3 .12．在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM.当AM⊥BM时，BC的长为8 .第12题图第13题图13．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3 cm，则AB＝ 6 cm. 14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM三、解答题(本大题共4个小题，共58分)15．(14分)已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．(1)证明：∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE .∵CF ∥AB ，∴∠DAE ＝∠CFE .在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧ ∠DAE ＝∠CFE ，∠AED ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS)；(2)解：∵点E 是CD 的中点，DE ＝2，∴CD ＝2DE ＝4.∵点D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴BD ＝CD ＝4.∵CF ∥AB ，∠DCF ＝120°，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝60°.又∵BD ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴BC ＝CD ＝4. 16．(14分)如图，在△ABC 中，AC ＝4，D 为BC 边上的一点，CD ＝2，且△ADC 与△ABD 的面积比为1∶3.(1)求证：△ADC∽△BAC;(2)当AB＝8时，求AD的长度．(1)证明：∵△ADC与△ABD的面积比为1∶3，CD＝2，∴BD＝3DC＝6，∴BC＝BD＋CD＝8.在△BAC与△ADC中，BCAC＝ACDC＝2，∠BCA＝∠ACD，∴△ADC∽△BAC；(2)解：∵△ADC∽△BAC，∴ADDC＝BAAC.又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2，∴AD＝2×84＝4.17．(15分)如图，AB为一斜坡，其坡角为19.5°，紧挨着斜坡AB底部A处有一高楼，一数学活动小组量得斜坡长AB＝15 m，在坡顶B处测得楼顶D处的仰角为45°，其中测量员小刚的身高BC＝1.7 m，求楼高AD.(参考数据：sin 19.5°≈13，cos 19.5°≈1920，tan 19.5°≈2057，结果精确到0.1 m)解：作CF⊥AD于点F，如解图所示，则四边形AECF为矩形．∴AE＝CF，AF＝CE＝BE＋BC.在Rt△ABE中，∵AB＝15，∴BE＝15sin 19.5°，AE＝15cos 19.5°.在Rt△CDF中，∵∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝AE，∴AD＝DF＋AF＝AE＋BC＋BE＝15cos 19.5°＋1.7＋15sin 19.5°≈21.0(m)．答：楼高AD约为21.0 m．18．(15分)数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度(图中GH的长)，经测量知CD＝2 m，在B处测得点D的仰角为60°，在A处测得点C的仰角为30°，AB＝10 m，且A，B，H三点共线，请根据以上数据计算GH的长．(3≈1.73，要求结果精确到0.1 m)解：如解图所示，过点D作DE⊥AH于点E，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m.在Rt△BED中，BE＝DEtan∠DBE＝33x.在Rt△AEC中，AE＝CEtan∠CAE＝3(x＋2)．∵AE－BE＝AB＝10，∴3(x＋2)－33x＝10，解得x＝53－3.∴GH＝CE＝CD＋DE＝2＋53－3＝53－1≈7.7(m)．答：GH的长约为7.7 m.。
2018年中考数学亮点好题汇编专题7 三角形专题(PDF版含解析)
∴△OAB 是等边三角形， ∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60° ①当点 C 在线段 OB 上时，如图 1， ∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD，∠CAD=60°， ∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC 和△ABD 中，
，
∴△AOC≌△ABD， ∴∠ABD=∠AOC=60°， ∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB， ∴BD∥OA，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG 是△ABC 沿 CB 方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
2018 年中考试卷三角形专题 1. （14.00 分）【2018 安徽省中考数学】如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 点 D 为边 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E．点 M 为 BD 中点，CM 的延长线交 AB 于点 F． （1）求证：CM＝EM； （2）若∠BAC＝50°，求∠EMF 的大小； （3）如图 2，若△DAE≌△CEM，点 N 为 CM 的中点，求证：AN∥EM．
2.（4.00 分）【2018 福建省中考数学 a 卷】把两个同样大小的含 45°角的三 角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重 合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB= ，则 CD= ﹣
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1．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求 出 DF，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F， 在 Rt△ABC 中，∠B=45°， ∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，
5.15四边形综合题(第2部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第五部分图形的性质5.15 四边形综合题【一】知识点清单四边形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题二、填空题1．（2018年甘肃省兰州市-第9题-4分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为（）A．102°B．112°C．122°D．92°【知识考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．【解答过程】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠可得∠ADB=∠BDF，∴∠DBC=∠BDF，又∵∠DFC=40°，∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，又∵∠ABD=48°，∴△ABD中，∠A=180°﹣20°﹣48°=112°，∴∠E=∠A=112°，故选：B．【总结归纳】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．2．（2018年广东省广州市-第16题-3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE；③AF：BE=2：3；④S四边形AFOE：S△COD=2：3．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）【知识考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．【思路分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可；【解答过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵EC垂直平分AB，∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE，∵OA∥DC，∴===，∴AE=AD，OE=OC，∵OA=OB，OE=OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB⊥EC，∴四边形ACBE是菱形，故①正确，∵∠DCE=90°，DA=AE，∴AC=AD=AE，∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，∵OA∥CD，∴==，∴==，故③错误，设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确，故答案为①②④．【总结归纳】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．。