刚体的角动量及守恒定律
刚体的角动量及守恒定律
一、选择题
1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑
铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的
是： 。
A.机械能守恒，角动量守恒；
B.机械能守恒，角动量不守恒；
C.机械能不守恒，角动量守恒；
D.机械能不守恒，角动量不守恒；
2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
(A) 刚体不受外力矩的作用．
(B) 刚体所受合外力矩为零．
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．
(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今
有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，
在碰撞中守恒的量是 。
(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量．
(C) 机械能． (D) 动量．
4、光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细
杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，
其转动惯量为31mL2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m
的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同
速率v相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与
杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。
(A) L32v． (B) L54v．
(C) L76v． (D) L98v．
(E) L712v．
5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O
旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与
细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。
(A) 只有机械能守恒．
(B) 只有动量守恒．
(C) 只有对转轴O的角动量守恒．
(D) 机械能、动量和角动量均守恒．
6、 质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直
光滑固定轴自由转动，转动惯量为J．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地
面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向
分别为 。
(A) RJmRv2，顺时针． (B) RJmRv2，逆时针．
(C) RmRJmRv22，顺时针． (D) RmRJmRv22，逆时针．
7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作
系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。
(A) 动量守恒．
(B) 机械能守恒．
O
v
v
俯视图
O
(C) 对转轴的角动量守恒．
(D) 动量、机械能和角动量都守恒．
(E) 动量、机械能和角动量都不守恒．
8、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕
通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转
动惯量为231ML。一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与
棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v21，则此时棒的角速度应为 。 (A) MLmv． (B) MLm23v． (C) MLm35v． (D) MLm47v． 9、一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A) 它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． (B) 它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． (C) 它受热或遇冷时，角速度均变大． (D) 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大． 10、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 。 (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． 二、填空题 1、力矩的定义式为______________________________________________。在力 矩作用下，一个绕轴转动的物体作__________________________运动。若系统所 受的合外力矩为零，则系统的________________________守恒。 2、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s转一周，转台对轴的转动惯量为1200 kg·m2。质量为80kg的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心2m时， 转台的角速度为__________________。 3、如图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动．今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的 ______________守恒，原因是_______________木球被击中后棒和球升高的过程中，木球、子弹、细棒、地球系统的__________守恒。 4、有一半径为R的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O且垂直于盘面的竖直固定轴OO＇转动，转动惯量为J．台上有一人，质量为m．当他站在离转轴r处时(r＜R)，转台和人一起以1的角速度转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度2＝______________。 5、在一水平放置的质量为m、长度为l的均匀细杆上，套着一质量也为m的套管B(可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO＇的距离为l21，杆和套管所组成的系统以角速度0绕OO＇轴转动，如图所示。若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动．在套管滑动过程中，该系统转动的角速度与套管离轴的距离x的函数关系为_______________。(已知杆本身对OO＇轴的转动惯量为231ml ) O v21 v 俯视图
O
M
m m
O
O
r
1
O
m
0
l
l
2
1
O
O
m
6、质量为m、长为l的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖
直光滑固定轴O在水平面内自由转动(转动惯量J＝m l 2 / 12)．开
始时棒静止，现有一子弹，质量也是m，在水平面内以速度v
0
垂直射入棒端并嵌在其中．则子弹嵌入后棒的角速度＝
_____________________。
7、一飞轮以角速度0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动
惯量为J1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转
动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度＝__________________。
8、长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定
轴转动，转动惯量为231Ml，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量
为m的子弹以水平速度0v射入杆上A点，并嵌在杆中，OA＝2l / 3，
则子弹射入后瞬间杆的角速度＝____________________。
三计算题
1、如图所示，一半径为R的匀质小木球固结在一长度为l
的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O转动．今有一质量
为m，速度为0v的子弹，沿着与水平面成角的方向射向球心，
且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O的水平轴的转动惯量的
总和为J．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．
2、一均匀木杆，质量为m1 = 1 kg，长l = 0.4 m，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光
滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m2 = 10 g的子弹在
距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v0 = 200 m/s，方向与杆
和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s，但方向未变，求子弹刚穿出的瞬时，杆
的角速度的大小．(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = m1l 2 / 12)
3、一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一
粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过
其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为
m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘
边上，求
(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．
(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为221MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
m
O
m
l
0
v
俯视图
0
v
A
O
2l/3
m
O
l
R
m
0
v
m
R
O
0
v
角动量和角动量守恒定律
恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .
L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验
定轴转动刚体的角动量守恒
在量子力学中，角动量是一个重要的物理量，描述了粒子的转动状态，角动量守 恒是粒子运动的基本规律之一。
在工程学中的应用
机械系统设计
在机械系统设计中，角动量守恒是重要的设计准则之一，用 于确保机械系统的稳定性和可靠性。
航空航天工程
在航空航天工程中，飞行器的稳定性和控制需要遵循角动量 守恒的原理，通过合理设计飞行器的结构和姿态控制系统， 可以保持飞行器的稳定。
定轴转动刚体的角动量守恒
contents
目录
• 引言 • 定轴转动刚体的角动量 • 角动量守恒的推导 • 角动量守恒的应用 • 结论
01 引言
主题简介
角动量守恒是物理学中的一个基 本原理，它描述了刚体绕固定轴 转动的角动量保持不变的规律。
在定轴转动的情况下，刚体的角 动量是一个重要的物理量，它与 刚体的转动惯量和角速度有关。
01
02
03
预测运动规律
角动量守恒是确定刚体转 动运动规律的重要依据， 可以用来预测刚体的运动 轨迹和周期等。
指导实验设计
在实验设计中，可以利用 角动量守恒来设计实验装 置，确保实验结果的准确 性和可靠性。
解决实际问题
角动量守恒在解决实际问 题中具有广泛的应用，如 陀螺仪、航天器姿态控制 等。
04 角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多领域都有 广泛的应用，如天文学、力学、
航天工程等。
角动量守恒的定义
角动量守恒是指刚体在不受外力矩作用或者外力矩的矢量和为零的情况下，刚体绕 固定轴转动的角动量保持不变。
角动量是描述刚体转动状态的物理量，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
在定轴转动的情况下，刚体的角动量是一个常数，不随时间变化。
教学设计：定轴转动刚体的角动量守恒定律及其应用
问题1：单旋翼直升机为什么要有尾翼装置？双旋翼直升机为什
么设计两个机翼？两个机翼的旋转方向有什么关系？
、播放一段花样滑冰和跳水的视频，提醒学生注意观察运动员的肢体动作。
d J t d t =
（类比：d d P F t
=外）
21
d t 为M 冲量矩。
说明： （1）冲量矩是矢量
角动量定理：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量的增量。
定轴转动刚体的角动量守恒定律=
角动量守恒定律：当合外力矩等于零，刚体的角动量保持不变。
，与内力矩无关；ω均变，但对定轴的角动量守恒定律的应用
多个刚体组成的系统： M =外i i L J ω=∑=恒量
双旋翼直升机：装置反向转动的双旋翼产生反向角 动量
0 , L Jω==
外=恒量0 , P mv
===恒量
课后思考题：
（1）为什么猫从高处落下时总能四脚着地？（视频）
（2）航天器在对接时是如何实现姿态控制的？（图片）。
43角动量角动量守恒定律
r
F
dL
M
dt dt
dt
14
物理学
第五版
质点的合外力矩
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
角动量守恒
v0
m v
例2、如图所示，将单摆和一等长l的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量与 单摆的摆锤质量相等，均为m。
开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下摆,于 垂直位置和直杆作弹性碰撞。
求碰撞后直杆下端达到的高度h及摆锤达到的高度h’。
l m ho
c l hc 求h=?
h’
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越 小，力矩越大。
3、意义
表示力矩对刚体作功的快慢
思考： P15 1-8、1-11
第一章 刚体力学(2)
第4节 角动量守恒定律 一、质点的角动量 二、刚体定轴转动的角动量 三、角动量守恒定律 四、力矩作功
一、质点的角动量 质点质量m，速度v，位置矢量 为 r， 定义质点对坐标原点O的角动量L 为该质点的位置矢量与动量的矢 量积
L o r m
P θ
L r P r mv
单位：kgm2/s
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定
说明
•角动量是物理学的基本概念之一。 •角动量与质点的运动和参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量L ＝ r m v
P r
L o
•质点作匀速直线运动时，质点的角动量 L保持不变。
大小：L＝
rmvsinα = mvd
二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1、刚体定轴转动的角动量
刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：L ＝ ri m vi
Li mi ri
2
o
L
所以刚体绕此轴的角动量为：
vi o ri mi
L Li ( mi ri2 )
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
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r 对于定轴转动， 对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为
Lz = ∑ ∆Li cosθ = ∑ ∆mi Ri vi cosθ = ∑ ∆mi ri vi = (∑ ∆mi ri )ω
2
称刚体绕定轴转动的角动量。 称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量： 刚体转动惯量
I = ∑ ∆mi ri
ml 2 ω ′2 23 l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2 mgh =
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3、物体系的角动量守恒 、 若系统由几个物体组成， 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒： 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。 直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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飞轮1： 摩擦轮 ： 例4-7 摩擦离合器 飞轮 ：I1、 ω1 摩擦轮2： I2、 静止，两轮沿轴向结合， 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。 速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 角动量定理比转动定律的适用范围更广， 刚体，非刚体和物体系。 刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统， 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 I ω ， I 2 ω 2 ，L
1 1
系统对该轴的角动量为 且系统满足角动量定理
Lz = ∑ I i ω i
i
dLz d = ∑ I iω i Mz = dt dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
大学物理 习题课(刚体)
J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
11、质量为m，长为 l的均匀棒，如图， 若用水平力打击在离轴下 y 处，作用时 Ry 间为t 求：轴反力
解：轴反力设为 Rx Ry d 由转动定律： yF J y dt yF t t 为作用时间 F 得到： J 由质心运动定理： l d l 2 切向： F Rx m 法向： R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) R 于是得到： x (1 ) F R y m g 2l 2l 3 m
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
o2
f
m1 g
m2 g
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。
r
at r
在R处：
R
at R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同；线速度也相同；
a t A a t B a t C a t D
A B C D
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6