小波与分形理论
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基于小波和分形的直流系统环网支路接地故障检测研究
由于环 网电流信号的横 向为时间尺度 ， 纵向为 信号幅值 ， 采用正方形 网格相 当于只用其 中的一个 尺度 来对 时 间和振 幅两 个 物理 量 进 行 测 量 ， 物理 从 意义 上来说 无 法反 映 出各 自的标 度 特性 ， 此 采用 因 矩形 网格对信号曲线进行覆盖。矩形网格不会掩盖 信号曲线 的周期性和振幅特征 。这样在不 同尺寸矩 形网格下， 分别计算与信号相交的网格数 ， 得到的盒 维数更加合理。 ２ ２ 小 波理论 的 多分辨 率分 析 ． １８ 年 Ｓ Ｍ ｌｔ 出了多分辨率 的概念， ９８ ． ａａ 提 ｌ 从空 间角度上说 明了小波的多分辨率特性。小波空间可 以构成 Ｌ（ 的正交 分解 。设 。 （） Ｒ） ． ｔ为 上 的小 波基函数， 那么其二进伸缩和整数平移序列 （） ｔ＝ ２ （～ — ） ２ ｔ ｋ 构成 了 空 间的正交基 。对于任 意函数 ｔ ∈Ｖ， ） ｏ我们可以将它分解为细节部分 和大尺 度 逼 近 部 分 ， 后 将 大 尺 度 逼 近 部 分 Ｖ 然 。 进一步分解 ， 如此重复就可得到任意分辨率上的逼 近部 分 和细 节 部 分 ， 就是 多分 辨 率 分 析 的框 这 架 ・ 。 基于多分辨率分析 ， 将信号在时间和频率的多 个 尺度 上进 行分 解 ， 可提 取 出 所需 的特 征 。假 设 采 样频率为 ， 则经过 ｛ 低通滤波器作用后得到平 ｈ｝ 滑部分 ， 它是频率介于［ ／ ］ ０ ４ 的分量 ； 而经过 ｛ ｇ｝ 高通滤波 器作 用后得到 细节部 分 ， 它是频 率介 于 ［ ４ ／］ Ｌ／ ２ 的分量。再对平滑部分 重复上 面的操 作 ， 可得 到 ２尺度上 的平 滑和 细节部 分 。 则 由于环 网支路中接地电流信号和无接地 的电流 信号在低频段的特征区别 比较明显， 容易实现两种 信号的鉴别 。因此对最底层 的平滑部分进行重构 ， 以获得滤除噪声和高次谐波后的支路电流信号。
基于小波分形技术提取发动机曲轴轴承故障特征
的一个 重要 特征 量 。
关键词 ： 小波分析 ； 分形 维数 ； 曲轴 轴承 ； 故 障诊 断 中 图分 类号 ： ０ ２ ３ ６ 文献标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ ０— ０ ６ ８ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４一 Ｏ １ １ ６— ０ ５
Ｅｘ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｃ ｒ ａ ｎｋ ｓ ｈ ａ ｆ ｔ ｂｅ ａ ｒ ｉ ｎｇ ｆ ａ ｕｌ ｔ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ ｔ ｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
・
１ １ ６・
工 业 仪 表 与 自动 化 装 置
２ ０ １ ３年 第 ４期
基 于 小 波 分 形 技 术
提 取 发 动机 曲轴 轴 承 故 障特征
耿纪洲 ， 程广涛 ， 王成恺
（ １ ． 山 东省公 安厅 ， 济南 ２ ５ ０ ０ ０ １ ； ２ ． 济南 军 区汽 车技 工训 练 队 ， 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ３ ）
ＧＥ ＮＧ Ｊ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｃ ＨＥ ＮＧ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｔ ａ ｏ ， ＷＡＮＧ Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｋ ａ ｉ
（ １ ．Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｐ ｕ ｂ ｌ ｉ ｃ Ｓ ｅ ｃ ｕ ｒ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ ， Ｊ ｉ ＇ ｎ ａ ｎ ２ ５ ０ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｊ ｉ ＇ ｎ ａ ｎ Ｍｉ ｌ ｉ ｔ ａ ｒ ｙ Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ Ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｍ， Ｊ ｉ ＇ ｎ ａ ｎ ２ ５ ０ ０ ２ ３， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
关键词 ： 小波分析 ； 分形 维数 ； 曲轴 轴承 ； 故 障诊 断 中 图分 类号 ： ０ ２ ３ ６ 文献标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ ０— ０ ６ ８ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４一 Ｏ １ １ ６— ０ ５
Ｅｘ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｃ ｒ ａ ｎｋ ｓ ｈ ａ ｆ ｔ ｂｅ ａ ｒ ｉ ｎｇ ｆ ａ ｕｌ ｔ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ ｔ ｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
・
１ １ ６・
工 业 仪 表 与 自动 化 装 置
２ ０ １ ３年 第 ４期
基 于 小 波 分 形 技 术
提 取 发 动机 曲轴 轴 承 故 障特征
耿纪洲 ， 程广涛 ， 王成恺
（ １ ． 山 东省公 安厅 ， 济南 ２ ５ ０ ０ ０ １ ； ２ ． 济南 军 区汽 车技 工训 练 队 ， 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ３ ）
ＧＥ ＮＧ Ｊ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｃ ＨＥ ＮＧ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｔ ａ ｏ ， ＷＡＮＧ Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｋ ａ ｉ
（ １ ．Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｐ ｕ ｂ ｌ ｉ ｃ Ｓ ｅ ｃ ｕ ｒ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ ， Ｊ ｉ ＇ ｎ ａ ｎ ２ ５ ０ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｊ ｉ ＇ ｎ ａ ｎ Ｍｉ ｌ ｉ ｔ ａ ｒ ｙ Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ Ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｍ， Ｊ ｉ ＇ ｎ ａ ｎ ２ ５ ０ ０ ２ ３， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
小波理论及其在经济金融数据处理中的应用
方向性：小波变换能够捕 捉信号在不同方向上的特 征
尺度不变性：小波变换能 够保持信号在不同尺度下 的特征不变
平移不变性：小波变换能 够保持信号在不同平移下 的特征不变
正交性：小波变换能够保 持信号在不同尺度下的正 交性
快速性：小波变换能够快 速计算信号在不同尺度下 的特征
Part Two
小波理论在经济金 融数据处理中的应
小波理论在金融风险管理中的应用
风险识别：通 过小波变换识 别金融风险信
号
风险度量：利 用小波变换对 金融风险进行
量化评估
风险预警：通 过小波变换进 行金融风险预
警
风险控制：利 用小波变换进 行金融风险控
制和优化
小波理论在金融数据挖掘中的应用
小波变换：将金融数据分解为不同频率的子波，便于分析 降噪处理：通过小波变换去除金融数据中的噪声，提高数据质量 特征提取：通过小波变换提取金融数据的特征，便于分类和预测 趋势分析：通过小波变换分析金融数据的趋势，预测市场走势
小波理论在经济金 融数据处理中的未
来发展
小波理论与其他方法的结合
小波理论与深度学习的结合：提高 数据处理的准确性和效率
小波理论与机器学习的结合：提高 数据处理的自动化和智能化
添加标题
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小波理论与统计学的结合：提高数 据处理的稳定性和可靠性
小波理论与数据挖掘的结合：提高 数据处理的深度和广度
性
THANKS
汇报人：abc
小波变换的原理
小波变换是一种数学工具，用于分析信号和图像 小波变换可以将信号分解成一系列小波函数，每个小波函数对应一个频 率和空间位置 小波变换可以提取信号中的局部特征，如边缘、纹理等
小波包与分形组合技术在爆破振动信号分析中的应用研究
２ ６ ９ ８ Ｔ ｏ ｐ ， Ｌ ，ｉｃ ｅ ｇ０ ８ ０ ， ｈ ａ ． ３ ８ ｒｏ ｓ Ｐ Ａ． Ｊ ｈ ｎ ４ ０ ０ Ｃ ｉ ） ｎ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｒ ｂ ｌ ｙ ｏ ｖ ｌｔ ａ ｋ ｔ ｎ ｒ ｃａ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｓｒ ｃ ： ｓ ｄ ｏ ｈ ｏ ａ ａ ｉ ｔ ｆ ｉ ｗａ ｅ ｅ ｃ ｅ ｄ ｆ ｔ ｌ ｃ ｎ ｌｇ ，ｗａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｎ ｒ ｃａ ｏ ｉ ａ ｐ ａ ａ ｔ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ｄ ｆ ｔ ｌ ｍｂ ｎ ． ａ ａ ｃ
振
第 ３ Ｏ卷 第 １ 期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣＫ Ｉ Ｓ
小 波 包 与 分 形 组 合 技 术 在 爆 破 振 动 信 号 分 析 中 的 应 用 研 究
谢 全 民 ，龙 源 ，钟 明 寿 ，刘 好 全 ，周 翔
晋城 ０ ８０ ） ４ ０ ０
ｃ ａ ａ ｔｒｓｉｓｗｅ ｅ ｖ ｒｆ ｄ，ｔ ｒ ｕｇ ｎ ｌｚｎ ｎ ｏ ｐ ｒｎ ｈ ｘ ｃ ｕ ｔｎ ｉ ｎ ｉｎ ｆｔ ａｎ ｗａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ， ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｒ ｅ ｉ ｅ ｉ ｈ ｏ ｈ ａ ａｙ ｉ ｇ ａ ｄ ｃ ｍ ａ ｉ ｇ ｔ ｅ ｂｏ — ｏ ｎ ｉ ｇ ｄ ｍｅ ｓｏ ｓ ｏ ｈｅ ｍ ｉ ｖ ｌ ｔｐ ｃ ｅ ｓ ｔ ｅ ｆａ ｔｌｄ ｍｅ ｓｏ ｈ ｎ ｅ ｆｄ ｆｅ ｅ ｔｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ｍｐ ｎ ｎ ｓｏ ｌｓｉ ｇ ｖｂ ａｉ ｎ ｓｇ ａｓｃ ｕ ｄ ｂ ｎａｙ ｅ ｕ ｔ ｒ Ｔｈ ｈ ｒ ｃａ ｉ ｎ ｉｎ ｃ ａ ｇ ｓｏ ｉｆ ｒ ｎ ｑ ｅ ｃ ｏ ｏ ｅ ｔ ｆｂ ａ ｔｎ ｉｒ ｔ ｉ ｎ ｌ ｏ ｌ ｅ ａ ｌ ｚ ｄ ｆ ｒｈｅ ． ｒ ｏ ｅ
基于小波变换的带钢表面缺陷分形特征研究
ＩＡ ｉ Ｉ Ｎ Ｑ ，Ｋ Ｇ —Ｗ ｌ Ｇｅ ｅ ｌ
（ ｕ ｍ ｔｎＥ ｇ ｅ，ＳＩｓｔｅｏ ｎ ｅ ｌ ｆ ｃ ｎｅａｄＴｃｎｌ ｙｏ Ｃ Ｈ 。ｈｎｄ １０４ Ｃ ｉ ） Ａ ｔ ａｏ ｎｉ ｅｎ ｔ ｔ ｆ ｉ ｍｔ ｏ Ｓｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏ ｈＪ Ｃ ｅｇｕ６０５ ， ｈ ａ ｏ ｉ ｎ ｉ ｎｉ Ｕ ｖ ｙ ｅ ｕ ｇ ｆ ａ ｎ
分形维数差异 。实验结果表 明所提取 的分维特征对于缺陷分类有较好作用。 关键词 ： 分形维数 ；小波分解 ； 表面缺陷
中图分类 号 ：Ｔ３ ５ 文献标识码 ：Ａ 文 章编号 ：１０。２ １２０ ）３００－３ Ｐ３ ０３７ ４（０６ ｏ．０４０
Ｗ ａ ｅ ｅ — ｂ ｓ ｄ Ｆ ａ ｔ ＩＦ ａ ｕｒ ｆｔ ｅ ｖ ｌｔ ａ ｅ ｒ ｃ ａ ｅ ｔ ｅ ｏ ｈ Ｓｔ ｅ ｔｉ Ｓ Ｓｕｔａ ｅ Ｄｅ ｅ ｔ ｅ ＩＳ ｒｐ’ ｃ ｆ ｃ ｓ ｒ
形在纹理 分割、 图像数据压缩 、 纹理边 缘检测等方面都有 广泛的 应用前景 。而小波函数 的定义使得它一出现就和分形理论有了 不解之缘 ， 小波分析总是从远到近观察物体 ， 具有放大和位移的
功能， 与分形几何具有深刻的内在联系， 它们在尺度变换上具 有一致性， 分形的特征正是各种意义下的尺度对称性 。本文 将小波分析和分形相结合， 在塔型小波变换的基础上， 根据“ 双
１， ）即信号不断地在低频通道上进行分解， １ Ｌ 图 中 Ｌ代表低频
分量，Ｌ代表水平高频分量、Ｈ代表垂直高频分量、Ｈ代表对 Ｉ ｌ Ｌ Ｈ
角高频分量 ，，， ， １２… 代表分解级数 。本 文的小波分 解选用的是
Ｄ ４ 小波 。 ｂ基
形函数来描述纹理模型， 并以分形维数作为纹理特征。因此， 分
（ ｕ ｍ ｔｎＥ ｇ ｅ，ＳＩｓｔｅｏ ｎ ｅ ｌ ｆ ｃ ｎｅａｄＴｃｎｌ ｙｏ Ｃ Ｈ 。ｈｎｄ １０４ Ｃ ｉ ） Ａ ｔ ａｏ ｎｉ ｅｎ ｔ ｔ ｆ ｉ ｍｔ ｏ Ｓｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏ ｈＪ Ｃ ｅｇｕ６０５ ， ｈ ａ ｏ ｉ ｎ ｉ ｎｉ Ｕ ｖ ｙ ｅ ｕ ｇ ｆ ａ ｎ
分形维数差异 。实验结果表 明所提取 的分维特征对于缺陷分类有较好作用。 关键词 ： 分形维数 ；小波分解 ； 表面缺陷
中图分类 号 ：Ｔ３ ５ 文献标识码 ：Ａ 文 章编号 ：１０。２ １２０ ）３００－３ Ｐ３ ０３７ ４（０６ ｏ．０４０
Ｗ ａ ｅ ｅ — ｂ ｓ ｄ Ｆ ａ ｔ ＩＦ ａ ｕｒ ｆｔ ｅ ｖ ｌｔ ａ ｅ ｒ ｃ ａ ｅ ｔ ｅ ｏ ｈ Ｓｔ ｅ ｔｉ Ｓ Ｓｕｔａ ｅ Ｄｅ ｅ ｔ ｅ ＩＳ ｒｐ’ ｃ ｆ ｃ ｓ ｒ
形在纹理 分割、 图像数据压缩 、 纹理边 缘检测等方面都有 广泛的 应用前景 。而小波函数 的定义使得它一出现就和分形理论有了 不解之缘 ， 小波分析总是从远到近观察物体 ， 具有放大和位移的
功能， 与分形几何具有深刻的内在联系， 它们在尺度变换上具 有一致性， 分形的特征正是各种意义下的尺度对称性 。本文 将小波分析和分形相结合， 在塔型小波变换的基础上， 根据“ 双
１， ）即信号不断地在低频通道上进行分解， １ Ｌ 图 中 Ｌ代表低频
分量，Ｌ代表水平高频分量、Ｈ代表垂直高频分量、Ｈ代表对 Ｉ ｌ Ｌ Ｈ
角高频分量 ，，， ， １２… 代表分解级数 。本 文的小波分 解选用的是
Ｄ ４ 小波 。 ｂ基
形函数来描述纹理模型， 并以分形维数作为纹理特征。因此， 分
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
多小波理论分析
多小波理论简介
多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalar wavelet)相比，它是多个尺度函 数或者说是向量尺度函数生成的小波，它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消 失矩等性质，这在标量小波中是不可能同时具有的。
1994 年,Goodman 等人基于r 重多分辨分析(MRA) 建立了多小波的理论框架,并给出 了多小波的例子；同年, Geronimo ,Hardin 和Massopust 应用分形插值的方法成功地构造
一、 多小波的定义及原理
正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小 波也是由多分辨率分析着手。
1．多尺度函数：
令φ = [φ1 φ2 …φr ]T ，其中，φ ∈ L2 (R)r ， r ∈ N ，则可定义空间Vj , j ∈ Z 如下：
Vj = span{2 j /2φi (2 j i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(7) (8)
⎧⎪φˆ(aω) = P(z)φˆ(ω),
(9)
⎨ ⎪⎩ψˆ
(aω
)
=
Q(
z)φˆ(ω),
(10)
∑ ∑ P(z)
Байду номын сангаас
=
1 a
k∈Z
Pk zk , Q(z)
=
1 a
k∈Z
Qk
zk
其中， Pk 是 r × r 阶系数阵， Qk 是 (a − 1)r × r 阶系数阵。
多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，因而主要就是求解系数
生的 a 尺度 r 重多分辨率分析。此种情况下，仍定义Wj 为V j 在V j+1 中的补空间，那么与Wj
多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalar wavelet)相比，它是多个尺度函 数或者说是向量尺度函数生成的小波，它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消 失矩等性质，这在标量小波中是不可能同时具有的。
1994 年,Goodman 等人基于r 重多分辨分析(MRA) 建立了多小波的理论框架,并给出 了多小波的例子；同年, Geronimo ,Hardin 和Massopust 应用分形插值的方法成功地构造
一、 多小波的定义及原理
正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小 波也是由多分辨率分析着手。
1．多尺度函数：
令φ = [φ1 φ2 …φr ]T ，其中，φ ∈ L2 (R)r ， r ∈ N ，则可定义空间Vj , j ∈ Z 如下：
Vj = span{2 j /2φi (2 j i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(7) (8)
⎧⎪φˆ(aω) = P(z)φˆ(ω),
(9)
⎨ ⎪⎩ψˆ
(aω
)
=
Q(
z)φˆ(ω),
(10)
∑ ∑ P(z)
Байду номын сангаас
=
1 a
k∈Z
Pk zk , Q(z)
=
1 a
k∈Z
Qk
zk
其中， Pk 是 r × r 阶系数阵， Qk 是 (a − 1)r × r 阶系数阵。
多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，因而主要就是求解系数
生的 a 尺度 r 重多分辨率分析。此种情况下，仍定义Wj 为V j 在V j+1 中的补空间，那么与Wj
小波理论的新进展和发展趋势
小波理论的新进展和发展趋势计研111 李宏涛1、引言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。
小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波_基础知识
n 1
完全标准正交系、 Parseval 定理和付里叶展开之间 的本质联系。只要找到 一种正交系，则 空间的任意元素均可以 表示为一个付里叶级数 的形式： x(t ) x(t ), en (t ) en
n 1
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
函数序列 k (t )是相关的，空间 中的元素也能够展开为 (t ) x(t ), k (t ) k (t ) X x
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 中的标准正交系en }，x X , n Z , 若xen，必有x 0. X {
什么叫双正交基？
~ 基底{en }不一定满足正交关系， 但是满足 el (t ), ek (t ) (l k ) 正交性体现在展开系和 对偶系之间。
Hilbert空间
线性赋范空间
设X为一线性空间， x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足 1. x 0,当且仅当x 0时， 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y x 距离定义为 ( x, y ) y x
Banach (巴拿赫)空间
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
完全标准正交系、 Parseval 定理和付里叶展开之间 的本质联系。只要找到 一种正交系，则 空间的任意元素均可以 表示为一个付里叶级数 的形式： x(t ) x(t ), en (t ) en
n 1
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
函数序列 k (t )是相关的，空间 中的元素也能够展开为 (t ) x(t ), k (t ) k (t ) X x
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 中的标准正交系en }，x X , n Z , 若xen，必有x 0. X {
什么叫双正交基？
~ 基底{en }不一定满足正交关系， 但是满足 el (t ), ek (t ) (l k ) 正交性体现在展开系和 对偶系之间。
Hilbert空间
线性赋范空间
设X为一线性空间， x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足 1. x 0,当且仅当x 0时， 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y x 距离定义为 ( x, y ) y x
Banach (巴拿赫)空间
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
基于多分形小波模型的网络流量分析
小 波模 型 的 流 量 发 生 原 理 ， 通 过 小波 技 术 对 某 校 园网 流 量数 据进 行 分析 ， 明 了流 量 到 达 过程 的 多 重分 形特 性 。 并 证
关键词 ： 网络 流 量 ； 波 分析 ； 小 自相 似 性 ； 多重 分 形
中 图 分 类 号 ：Ｐ ９ Ｔ ３３
１中 数的个数。通过分析 ｌ 和尺度， ｏ ｇ 之间的关系 ， 可 这 就 要 求 式 （） 的小 波 系数 ｍ 和 尺 度 系数 ，
ｌ ２＝ ｇ （ ） ａｋ Ｉ 一 ）ｃ ｏ ￣ ｌ ： １ ∑ Ｊ（） ） ｇ ｏ（ ｖ （ １＋
ｃ为 一 常 数 。
＿． ２ １＝
文献 标 识 码 ： Ａ
文 章编 号 ： ６ ３ ２ ２ （ ０ ０ ０ － ０ １ ０ １ ７ － ９ ８ ２ １ ）２ ０ ３ － ４
随着 网络 技 术 的迅 猛 发 展 ．网 络体 系结 构 日
该 流量 是单 分 形 的 。小 波 参数 有 如 下特 性 ： ｎ 当 一
。 。时 ， Ｊ ） ２ｎ＋’ （ √） ２ －） ｄ （ －ａ ， ｑ 椰ｍ。因此检 测划 分 ｋ （￣ Ｓ
２ ０年 ４月 ０１
安 阳工 学 院学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＡ ｙ ｎ ｎ ｔｕｅｏ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｇＩ ｓｉ ｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｔ Ｔ
Ａｐ ．０１ ｒ ２ ０
第 ９卷 第 ２期 （ 第 ４ 总 ４期 ）
Ｖ １ ｏ２ Ｇ ｎＮ ． ） ｏ． Ｎ ．（ ｅ ． ｏ ４ ９ ４
以检测 信号 在整 体上 所表 现 出来 的尺度 行 为特 征 。
假定 Ｃ Ｄ ） （和 Ｏ 的大 小 处 于【，］且 Ｃ 是 长 ） ０ １， ） 度 为 ２ 的 离散 时 间信 号 ， 了减 小计 算 的 复杂 度 ， “ 为 通 常采 用 Ｈ ａ 小 波 函数 。 保证 信 号 的非 负值 性 ， ａｒ 要