回归模型的函数形式
如果用符号 Y 代表Y的一个微小变动，X 代表X的一个微 小变动，则弹性E定义为：
E Y 变动的百分数 Y / Y •100 Y • X slop( X )
X变动的百分数 X / X •100 X Y
Y
从图形上看，变量线性的回归模型的图形是一条直线，而 双对数模型的图形是一条曲线，并且对于不同的X值来说， 都具有相同的弹性。所以，双对数模型又称为不变弹性模 型。
倒数模型的一个显著特征是，随着X 的无限增大，(1/ Xi ) 趋于零，Y 接近渐进值或极限值 B1 。因此，当变量 X 无限增大 时，倒数模型中的应变量的取值将逐渐靠近其渐进线或极值。
下图描绘了倒数模型的一些曲线形状： 倒数模型：Yi B1 B2 (1/ X i )
上图ａ）中，若Ｙ表示生产的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表产出，则 根据经济理论，随着产出的不断增加，平均固定成本将逐渐降低，最 终接近产出轴。
４.线性－对数模型：解释变量是对数形式
考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系 （1993.1～1998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：
1993.1～1998.3个人总消费支出与各类支出的季度数据（10亿美元）
以个人总消费支出X与服务支出Y的关系为例，得到线性－ 对数模型如下：
Variable Coefficient
C
0.420412
DASSET 0.054930
Std. Error t-Statistic 0.012858 32.69715 0.022099 2.485610
Prob. 0.0000 0.0322
R-squared
0.381886
Adjusted R-squared 0.320075
S.E. of regression 0.041335
Sum squared resid 0.017086
Log likelihood
22.29911
Durbin-Watson stat 0.551052
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
0.432317 0.050129 -3.383185 -3.302367 6.178255 0.032232
变为变量线性模型。试作如下变换
Y
i
ln Yi
，X
i
ln
X
，得到
i
：
Yi
B1
B2
X
i
ui
如果上式满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二
乘法估计，从而得到BLUE估计量。
2.双对数模型系数的特殊含义
与变量线性回归模型不同，双对数模型的斜率系数 B2度量 了Y对X的弹性，即X的变动引起Y变动的百分比。
因此，可得：
ln Yt B1 B2t
将上式变化成为经济计量模型，得到：
ln Yt B1 B2t ut
形如上式的回归模型称为半对数模型或者增长模型、对数线性模型。
利用OLS方法估计美国一例的半对数模型，得到：
l· n(uspop) 5.3593 0.0107 t
se (0.0006)
(0.0000)
Yi
AX
B2 i
从模型可知，就我们目前的知识，无法用普通最小二乘法 估计这样的模型。但我们可以把以上模型作如下变化，得 到：
ln Yi ln A B2 ln X i
继而，如果令 B1 ln A，则有：
ln Yi B1 B2 ln X i ui
以上模型称为双对数模型，或双对数线性模型。
如果我们将 ln Yi 和ln Xi 都看作单独的变量，那么就可以将双对数模型
上图ｂ）中的曲线可用来表示恩格尔消费曲线。该曲线表明消费者在 某一个商品上的支出与其总收入或总消费支出的关系。若Ｙ表示消费 者在某一个商品上的消费支出，Ｘ表示消费者的总收入，则该商品具 有如下特征(1)收入有一个临界值，在此临界值下，不能购买某商品。 在图ｂ）中，收入的临界值是 (B2 / B1)。(2)消费有一个满足水平， 在此水平之上，无论消费者的收入有多高，也不会再有任何消费。
r eb2 1
在美国人口增长率一例中，有：
r e0.0107 1 1.010757 1 0.010757
此处要注意的是，通过对半对数模型估计所得到的斜率 b2 的值为0.0107，该值为美国人口的瞬时增长率，而通过计
算而得到的r 值0.010757称为复合增长率。
3.线性趋势模型 形如如下形式的模型称为线性趋势模型：
共 同 基 金 的 管 理 费 用
首先作上表的散点图
管理费用与资产规模的散点图
由散点图可知，两个变量之间的关系是非线性的，具有一定的倒数关பைடு நூலகம்。所以 考虑采用倒数模型。
利用如下的倒数模型
咨询费 B1 B2 (资1产) ui
采用最小二乘法得到回归结果如下：
Dependent Variable: FEE Method: Least Squares Date: 10/29/08 Time: 11:21 Sample: 1 12 Included observations: 12
t (3321.13)
(129.779) r 2 0.9982
美国人口增长一例估计的样本回归线
美国人口一例估计的半对数模型中，斜率0.0107表示，平 均而言，美国人口的年增长率为0.0107。截距5.36的反对数 （为212.576）可以表示1974年的人口值。
2.瞬时增长率与复合增长率 由 b2 B2的估计值 ln(1 r ) 可知 eb2 1 r 于是：
Yt B1 B2 ln X t ut
利用最小二乘法估计以上模型，回归结果如下：
Yˆt 17907.5 2431.69 ln X t se (228.61) (27.05)
t (78.33) (89.89)
p (0.00)
(0.00) r 2 0.997
在以上回归结果中，斜率系数表示，如果个人总消费支出 增加1个百分点，则平均服务支出将增加24.32(10亿）美元。 作出这一解释是因为，线性-对数模型中的斜率系数 可以表示为：
第五章 回归模型的函数形式
到目前为止，我们考虑的都是参数线性，同时又是变量线 性的模型。本章将考虑参数线性，但变量不一定是线性的 模型。
1.双对数模型或不变弹性模型
2.半对数模型
3.倒数模型
所有这些模型的一个重要特征是，它们都是参数线性模型， 但变量却不一定是线性的。
一、双对数模型
1.模型 假设有如下函数
上图Ｃ）中可以用来表示宏观经济学中著名的菲利普斯曲线。菲利普 斯根据英国货币工资变化的百分比(Y)与失业率(X)的数据，得到了形 如图Ｃ）的曲线。图中，工资随着失业水平的变化是不对称的。当失 业率低于 U N 时，工资U随N 失业率单位变化的变化比失业率高于 U N 时更 快，经济学家称 U N 为自然失业率。
5.多元对数线性回归模型 对于三变量对数线性模型来说：
ln Yi B 1 B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui
模型中的偏斜率系数 B2 、B3 又称为偏弹性系数。因此，B2 度量了 X3不变条件下，Y 对 X2 的弹性，即在 X3 为常量时，X2 每变动1%引起的 Y 变化的百分比。类似地，B3度量了X2 不变 条件下 Y 对 X3 的弹性。
二、如何测度增长率：半对数模型
1.半对数模型 先看一个例子：根据下表中的美国人口数据求1975-2007年 美国的人口增长率。考虑如下复利计算公式：
Yt Y0 (1 r )t
将上式作如下变形，等式两边取对数，得：
ln Yt ln Y0 t ln(1 r )
如果令
B1 ln Y0 B2 ln(1 r )
不变弹性模型
例子：数学分数（见P23）
该例子主要关注美国S.A.T大学入学考试中的 数学成绩与家庭收入之间的关系。即：考察数 学成绩与家庭收入之间的回归关系。
３.双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型没有任何不同。在随机 误差项服从正态分布的假设下，估计的回归系数服从自由 度为（n-k）的t分布，其中k为包括截距在内的参数个数。
Y的绝对变化
Y
B2 X的相对变化 X / X
而上式又可以表示为：
X Y B2 ( X )
所以，线性-对数模型中的斜率系数可以解释为，解释变量 的相对变化所引起的应变量的绝对变化量。
三、倒数模型
形如下式的模型称为倒数模型（reciprocal model）：
1 Yi B1 B2 ( X i ) ui
Yt B1 B2t ut
对美国人口增长率一例线性趋势模型的OLS估计结果如下：
u·spopt 209.6731 2.757t
t (287.4376)
(73.6450) r 2 0.9943
回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年以2.757(百 万)的绝对速度增长。因而美国人口表现出向上的趋势。 截距表明美国1969年的人口数为210（百万）。
例1：美国1958-1969年的菲利普斯曲线（p113） 利用Eviews得到如下回归结果：
样本回归方程为：
Yˆi
0.26
20.59
1 Xi
t (0.26) (4.40) R2 0.66
例2：共同基金收取的咨询费 下表给出了美国共同基金支付给投资顾问管理资产的费用。 支付的费用与基金的净资产有关。
4.比较线性和双对数回归模型（一个经验问题）
对于数学成绩支出一例来说，线性支出模型和双对数模型哪个更合适？
1.作散点图，通过散点图来判断。（这种方式只适合双变量模型） 2.比较两个模型的 值。该方法要求应变量的形式必须是相同的。 3.即使两个模型中的r 2应变量相同，两个 值可以直接比较，我们也 建议不要根据最高 值这一标准选择模型r。2 而应该首先考虑进入模型 中的解释变量之间的r 2 相关性、解释变量系数的预期符号、统计显著性 以及类似弹性系数这样的度量工具。
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
多元非线性回归
1
2
例如，常替代弹性CES生产函数模型
Q A[ K (1 ) L ] e ,
Q:产出量, K:资本, L:劳动, :替代参数, :分配参数。 方程两边取对数后，得到：
ln Q ln A 1
1
ln[ K (1 ) L ] ,
f ''(0) [ ln K (1 )ln L]2 ln 2 K (1 )ln 2 L K (1 )(ln K ln L) (1 )ln , L
2 2
于是
1 2 k ln Q ln A ln K (1 )ln L (1 )ln . 2 L
对数变换: lnQ = 0 +1 ln X + 2 ln P1 + 3 ln P0 + . (***) 考虑到零阶齐次性时， lnQ = 0 +1 ln(X P0 ) + 2 ln(P1 P0 ) + , (****)
Q = AX 1 P1 2 P0 3 e ,
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 1 + 2 + 3 = 0.
意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。
（2）双曲线模型
1 Y = 0 + 1 + , X 1 设 Z = , 原方程变换为 X Y = 0 +1 Z + .
例如，Y ：儿童死亡率； X：人均GDP。
（3）对数模型
ln Y 0 1 X ; 半对数模型 Y 0 1 ln X ,
这时，就需要选择适当类型的曲线模型拟合这种 关系，这就是非线性回归模型或曲线回归模型。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运 用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
第二章 简单线性回归模型-参考
33
2.3.1 回归线过样本均值
由 1 Y 2 X ，知：Y 1 2 X 即样本均值点( X , Y ) 满足回归线方程
Y 1 2 X
Y
SRF
( X ,Y )
X
34
2.3.2 残差和为零 ei 0 （Residuals Sum to Zero）
40
2.4.2 无偏性
由2.2.4，知：
2 2 ci u i ,
又 E( u i ) 0 易得： E( 2 ) 2 , E( 1 ) 1
X i 是非随机的，或者虽然 X i 是随机的，
ui 但是与 是不相关的； X i 无测量误差； 变量和函数形式设定正确。
24
假定的两个方面： （2）关于随机扰动项 u i
也称高斯假定、古典假定 假定1 零均值： E (u i / X i ) 0 2 假定2 同方差： Var(u i / X i ) 假定3 无自相关：Cov(ui , u j ) 0, i j 假定4 随机扰动项 u i与 X i 不相关。 即：Cov( X i , ui ) 0. u i 服从正态分布， 假定5 u i ~ N (0, 2 ) 即：
一定方法得出 近似看成是
SRF的参数
总体函数的参数
Yi 1 2 X i ei
SRF1：
PRF2： Yi
1 2 X i ui
（观察参数的对应估计关系）
21
第二节 简单线性回归模型的 最小二乘估计（OLS）
本节主要介绍： 2.1 简单线性回归模型的基本假定 2.2 普通最小二乘法（OLS） 2.3 OLS回归线的性质 2.4 最小二乘估计的统计性质
probit logit 解析表达式
probit logit 解析表达式
Probit模型和Logit模型是二项式回归模型的两种常见形式，用于分析二分类问题。
它们的表达式如下：
1. Probit模型表达式：
Probit模型使用累积标准正态分布函数（cumulative standard normal distribution function）来建模概率。
对于观测变量y的概率p，Probit模型的表达式为：
P(y=1|x) = Φ(β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + β_kx_k)
其中，Φ代表标准正态分布函数，β₀、β₁到β_k表示模型的参数，x₁到x_k是自变量。
2. Logit模型表达式：
Logit模型使用逻辑函数（logistic function）来建模概率。
对于观测变量y的概率p，Logit模型的表达式为：
P(y=1|x) = 1 / (1 + exp(-(β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + β_kx_k)))其中，exp表示指数函数，β₀、β₁到β_k表示模型的参数，x₁到x_k是自变量。
这两个模型的主要区别在于建模概率的函数形式不同。
Probit 模型使用标准正态分布函数，而Logit模型使用逻辑函数。
在实际应用中，选择哪种模型取决于具体情况和问题需求。
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
一元线性回归模型及参数估计
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。
解或然方程
sm2
L*
= n
2sm2
+1
2sm4
S(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
=0
即可得到sm2的最大或然估计量为：
sˆm2
1 =nS(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
s P (Y i)=
1 e2s 1m 2(Y ibˆ0bˆ1X i)2 2
i= 1,2,… ,n
因为Yi 是相互独立的，所以 Y 的所有样本观测值的联合概率， 也即或然函数(likelihood function)为：
L(bˆ0,bˆ1,sm2) = P(Y1,Y2,,Yn)
=
1
e 1 2sm2
S(Yi
，当
Q对
b$ 、 0
b$ 的一阶偏导数为 1
0 时， Q 达到最小。即
Q
bˆ 0 Q
bˆ1
=0 =0
(
( bˆ
bˆ
0
0 +
+ bˆ1 X bˆ1 X i
i
Yi ) Yi ) X
= i
0 =
0
SYi SYi X i
= nbˆ0 + bˆ1SX i
=
bˆ0 SX i
+
bˆ1S
X
2 i
解得：
bˆ0 = Y bˆ1X
bˆ1
=
nSYi Xi SYiSXi nSXi2 (SXi )2
由于
bˆ 0
、bˆ 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为 1
古扎拉蒂《计量经济学基础》第6章
倒数模型
Yi
1
2(
1 Xi
)
ui
这一模型的特点：关于参数是线性的，但关
于变量是非线性的，所以从回归的角度看，这是
一个线性回归模型；当X趋于无穷大时，1/X趋于0，
而 Y则趋于β2。
一个例子：菲利普斯曲线
其中Y为通胀变化率，X为失业率，上半部 （较陡）表明，当失业率低于自然失业率时， 失业的单位变化（下降）引起的工资的变化率 （通胀）上升，其速度快于对应的在失业率高 于自然失业率时，失业的同样变化所引起的工 资下降（下半部较上半部平缓）。
yt 1 2 xt ut (绝对变化) R 2 0.67 ln yt 1 2 xt u（t 相对变化） R2 0.8
对数－线性模型
Yi 1 2 ln X i ui
X 变化一个百分比，Y的绝对变化量
2
Y X / X
Y
2 X
/
X
含义：Y的绝对变化（Y）等于2乘以X的相对变化。
（参数线性）
Yi
X e 2 ui 1i
ln Yi
ln 1
2
ln
Xi
ui
（参数线性）
Yi
X 2 1i
ui
ln Yi
ln(
1
X
i
2
ui )
（参数非线性）
运用OLS估计，假定：ln ui ~ i.i.d.N (0, 2 )
因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差 lnˆ ui
进行诊断，而不是对原始的残差。
要点与结论 1．有时一个回归模型并不明显包含截距项。 这样的模型被称为过原点回归。虽然估计这种模型 的代数方法很简单，但应小心使用这些模型。对于 这种模型，残差和是非零的；此外，通常计算的r2 不一定有意义。除非有很强的理论原因，否则还是 在模型中明显地引入一个截距为好。 2．因为单位和尺度是回归系数赖以解释的关 键，所以用什么单位和尺度来表达回归子和回归元 是很重要的。在经验研究中，研究者不仅要注明数 据的来源，还要声明变量是怎样度量的。
经济计量学第五讲 回归方程的函数形式
双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限 增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以
用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消
费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。
东北财经大学数量经济系
第六节 多项式回归模型
下述模型称为多项式回归模型：
Yi B1 B2 X i B3 X B4 X ui
Yi B1 B2 ln X i ui
B2的含义为：X的相对变化引起的Y的绝对量变 化量；即表示自变量的一个单位相对增量引起因变量 平均的绝对增量。
Y B2 (X / X )
东北财经大学数量经济系
第五节 双曲函数模型
下述模型称为双曲函数模型：
Yi B1 B2 1 Xi ui
2 i 3 i
多项式回归模型在生产与成本函数领域应用广
泛。在多项式回归模型中，等式右边虽然只有一个 解释变量，但却以不同的次幂出现，因此可以把它
们看做是多元回归模型中的不同解释变量。
东北财经大学数量经济系
我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似
的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需 求量和价格之间的关系。 若需求量和价格之间的关系不是线性关系而是指 数形式，则我们就需要建立下面的模型来描述需求量
和价格之间的关系，即：
Yi AX
东北财经大学数量经济系
B i
(1)
第一节 双对数模型（2）
东北财经大学数量经济系
第三节 多元对数线性回归模型（4）
例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对 数模型的结果如下：
东北财经大学数量经济系
第四节 半对数模型（1）
下述模型称为半对数模型或对数—线性模型：
高斯回归过程的均值函数
高斯回归过程的均值函数1. 引言在机器学习领域中，高斯回归（Gaussian Regression）是一种经典的回归算法。
它通过对训练数据进行拟合，可以估计出输入变量与目标变量之间的关系，并预测新的输入变量对应的目标变量。
在高斯回归中，均值函数（Mean Function）是关键的组成部分，它决定了回归模型的整体表现。
本文将详细介绍高斯回归过程的均值函数，包括定义、性质、常用的均值函数形式以及均值函数的选择方法。
2. 均值函数的定义在高斯回归中，均值函数指的是对输入变量进行条件期望的函数，用于估计输出变量的均值。
具体而言，对于输入变量 x，输出变量 y 的高斯回归模型，均值函数可以表示为：μ(x) = E[y | x]其中，μ(x) 表示在给定 x 的条件下，y 的平均值。
3. 均值函数的性质均值函数在高斯回归中起着至关重要的作用，其性质可以决定模型的拟合能力和预测结果的准确性。
下面介绍一些常见的均值函数性质：3.1 可微性均值函数通常要求是可微的，这是因为高斯回归中常使用最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）来拟合模型。
而最大似然估计需要对模型的参数进行求导，因此均值函数需要具备可微性。
如果均值函数不可微，可以通过适当的变换来得到可微的函数。
3.2 凸性凸函数在高斯回归中具有重要的意义。
如果均值函数是凸函数，那么说明模型能够更好地拟合训练数据，并具有更好的泛化能力。
凸函数的凸性可以通过计算二阶导数或使用凸性检验方法来进行验证。
3.3 线性性高斯回归中，线性均值函数是一种比较简单且常用的形式。
线性均值函数的形式为：μ(x) = w^T * x其中，w 是参数向量，x 是输入变量向量。
线性均值函数可以认为是在输入变量 x 的线性组合下实现的。
3.4 非线性性除了线性均值函数外，高斯回归还可以采用非线性均值函数。
非线性均值函数可以更好地适应特定的数据分布和模式，提高回归模型的灵活性。
计量经济学第二篇一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。