高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值
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第3章 导数的应用
函数的极值与最值
【教学目的】：
1. 理解函数的极值的概念；
2. 掌握求函数的极值的方法；
3. 了解最大值和最小值的定义；
4. 掌握求函数的最值的方法；
5. 会求简单实际问题中的最值。
【教学重点】：
1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件；
2. 导数不存在情况下极值的判定；
3. 函数最值的求解方法；
4. 函数的最值的应用。
【教学难点】：
1. 导数不存在情况下极值的判定；
2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；
3. 区分极值点与极值，最值点与最值；
4. 函数的最值的应用。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
3.3.1函数的极值
从图3-7可以看出，函数
)(xfy
在点2x、5x处的函数
值2y、5y比它们近旁各点的函
数值都大；在点1x、4x、6x处
的函数值1y、4y、6y比它们近
旁各点的函数值都小，因此，
给出函数极值的如下定义：
一般地， 设函数
)(xfy
在0x的某邻域内有定义，若对
于0x邻域内不同于0x的所有x，均有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xfy的
一个极大值，0x称为极大值点；若对于0x邻域内不同于0x的所有x，均有
)()(0xfxf
，则称)(0xf是函数)(xfy的一个极小值，0x称为极小值点.
函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.
注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻
点不一定是它的极值点.
极值的第一充分条件 设函数)(xfy在点0x的邻域内可导且0)(0xf，则
（1）如果当x取0x左侧邻近的值时，0)(0xf；当x取0x右侧邻近的值时，
图3-7
y
O
x
a
1x2x3x4x5
x
b
;
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0)(0xf，则0x为函数)(xfy的极大值点，)(0xf
为极大值；
（2）如果当x取0x左侧邻近的值时，0)(0xf；当x取0x右侧邻近的值时，
0)(0xf，则0x为函数)(xf的极小值点，)(0xf
为极小值；
（3）如果当x取0x左右两侧侧邻近的值时，)(0xf不改变符号，则函数
)(xf
在0x处没有极值.
根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：
（1）确定函数的定义域；
（2）求函数的导数)(xf，并求出函数)(xf的全部驻点以及不可导点；
（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近)(xf的符号情况以及不可
导点的情况，根据定理2.12判定极值点和极值.
例2 求函数3223)(xxxf的极值.
解（1）函数的定义域为),(；
（2）311)(xxf；
（3）令0)(xf，得驻点1x.当0x时，导数不存在；
（4）列表讨论如下：
x
)0,( 0 )1,0( 1 ),1(
)(xf
不存在 0
)(xf
极大值 极小值
由上表知，函数的极大值为0)0(f，极小值为21)1(f.
极值的第二充分条件 设函数)(xfy在点0x的邻域内具有二阶导数且
0)(0xf，0)(0xf
，则
（1）当0)(0xf时，函数)(xf在0x处取得极大值；
（2）当0)(0xf时，函数)(xf在0x处取得极小值.
注意 当0)(0xf，且0)(xf时，则上述方法失效，此时仍用第一充分
条件来判定.
3.3.2 函数的最大值与最小值
求函数)(xf在闭区间],[ba上的最值的步骤如下：
（1）求出函数)(xf的导数，并求出所有的驻点及不可导点；
（2）计算函数)(xf在这些点和端点处的函数值；
（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
注意
（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一
个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最
小值．
（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单
;
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调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小
值。
例6 用一块边长为cm24的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小
正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最
大？
解 设截去的小正方形的边长为cmx，铁盒的容积为3cmV.根据题意，得
2)224(xxV )120(x，
于是，问题归结为：求x为何值时，函数V在区间)12,0(内取得最大值.
)2)(224(2)224(2•xxxV
)4)(12(12)624)(224(xxxx，
令0V，解得121x，42x.
因此，在区间)12,0(内函数只有一个驻点4x，又由问题的实际意义知，函
数V的最大值在)12,0(内取得.所以，当4x时，函数V取得最大值.即当所截
去的正方形边长为cm4时，铁盒的容积为最大.
【教学小节】：
通过本节的学习，学会应用导数求解函数的极值与最值，并能够解决实际生
活中遇到的简单最值问题。
【课后作业】：
无
高二数学教案：函数的极值与最值-word文档
高二数学教案：函数的极值与最值本文题目：高二数学教案：函数的极值与最值23.函数的极值与最值一、课前准备：【自主梳理】1.若函数f(x)在点x0的附近恒有 (或 )，则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，称点x0为极大值点(或极小值点).2.求可导函数极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极值;如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极值.3.求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在[a,b]内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
【自我检测】1.函数的极大值为 .2.函数在上的最大值为 .3.若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为 .4.已知函数，若对任意都有，则的取值范围是 .(说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲) 二、课堂活动：【例1】填空题：(1)函数的极小值是__________.(2)函数在区间上的最小值是________ ;最大值是__________.(3)若函数在处取极值，则实数 = _.(4)已知函数在时有极值0，则 = _.【例2】设函数 .(Ⅰ)求的最小值 ;(Ⅱ)若对恒成立，求实数的取值范围.【例3】如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积.(1)求的表达式;(2)当为何值时，取得最大值?课堂小结三、课后作业1.若没有极值，则的取值范围为 .?2.如图是导数的图象，对于下列四个判断：?① 在[-2，-1]上是增函数;?② 是的极小值点;?③ 在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数;?④ 是的极小值点.?其中判断正确的是 .?3.若函数在(0，1)内有极小值，则的取值范围为 .4.函数 ,在x=1时有极值10，则的值为 .5.下列关于函数的判断正确的是 .①f(x)0的解集是{x|0②f(- )是极小值，f( )是极大值;?③f(x)没有最小值，也没有最大值.?6.设函数在处取得极值，则的值为 .7.已知函数 ( 为常数且 )有极值9，则的值为 .8.若函数在上的最大值为，则的值为 .9.设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围.10.已知函数 ,求函数在[1，2]上的最大值.四、纠错分析错题卡题号错题原因分析参考答案：【自我检测】1.72.3.4.例1：(1)0 (2)1， (3)3 (4)11例2：解：(Ⅰ) ，当时，取最小值，即 .(Ⅱ)令，由得， (不合题意，舍去).当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值 .在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为 .例3：解：(1)由折起的过程可知，PE平面ABC，，V(x)= ( )(2) ，所以时，，V(x)单调递增; 时，V(x)单调递减;因此x=6时，V(x)取得最大值 ;课后作业1.[-1，2]2.②③3.05.?①②6.17.28.9.解：(Ⅰ) ，因为函数在及取得极值，则有， .即解得， .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，当时， ;当时， ;当时， .所以，当时，取得极大值，又， .则当时，的最大值为 .因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为 .10.解：∵ ，令 ,即 ,得 .?f(x)在(-,0), 上是减函数，在上是增函数.?①当 ,即时, 在(1，2)上是减函数,? .②当 ,即时, 在上是减函数,③当 ,即时, 在上是增函数,?综上所述，当时，的最大值为 ,?当时，的最大值为 ,当时，的最大值为 .。
求函数的极值与最值(优秀教案)
求函数的极值与最值教案)(x f y =的极小值点，)(0x f 叫做函数)(x f y =的极小值；函数)(x f y =在点0x x =的函数值)(0x f 比它在点0x x =附近其他点的函数值都小，0)(0='x f ；而且在点0x x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .我们把点0x 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(0x f 叫做函数)(x f y =的极大值；概念辨析：根据概念，若函数)(x f y =在其定义域内有极值点0x x =，则0x x =是否一定是函数)(x f y =导函数的零点？反之，若函数)(x f y =的导函数有零点0x x =，则0x x =是否一定是函数)(x f y =的极值点？时借助例题巩固已学内容，梳理解题方法，发展核心素养。
例题问题2 如何求一个函数的极值呢？例 求函数31()443f x x x =-+的极值.小结：求函数极值的步骤.问题3 如何求一个函数在区间],[b a 上的最值呢？ 变式 求函数31()443f x x x =-+在区间]3,1[上的最值.小结：求函数在区间],[b a 上的最值的步骤.通过例题与练习帮助学生巩固今天所学习的内容：分析题目确定思路，学依据性质画函数的大致图象，养成反思的习惯x反馈练习 已知函数321()4f x x x x =-+.当[2,4]x ∈-时，求证6()x f x x -≤≤．问题4 如果函数含参，那么我们应该如何求它的极值和最值呢？例 设函数2()[(41)43]e x f x ax a x a =-+++．若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围.例 已知函数()()e x f x x k =-.求函数()f x 在区间]1,0[上的最小值.小结：含参函数常见讨论.反馈练习 设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =++++，若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.反馈练习 设函数2()e x f x x x =--.求证：存在0c <，当x c >时，()0f x >.总结通过本节课的学习，你获得了哪些新的知识和解决问题的方法？在学习的过程中，又有怎样的体会？ 1. 根据教材中的概念，若0x x =是函数()f x 的极值点，通过回顾反思引领学生总结本节课所学习的基。
(完整版)函数的极值与最值问题
第讲函数的极值与最值问题
【最新考纲】
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.会用导数求函数的极大值、极小值；
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
知识梳理
1.函数的极值
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
(1)如果在x0附近的左侧_______，右侧______，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧_______，右侧，那么f(x0)是极小值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.
题型一用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图像判断极值
命题点2 求函数的极值
命题点3 已知极值求参数
题型二用导数求函数的最值
题型三函数极值和最值的综合问题
答题模板系列利用导数求函数的最值问题。
〖2021年整理〗《导数与函数的极值、最值》优秀教案
导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[做一做]1．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．3．已知x＝3是函数f(x)＝a ln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．考点一__函数的极值问题(高频考点)____________函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[规律方法] 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．1.(1)已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．(2)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． ①求a 和b 的值；②设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．考点二__函数的最值问题______________________已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0.(1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．方法思想——转化与化归思想求解曲线间交点问题已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．[名师点评] (1)本题求解利用了转化与化归思想，把证明曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点问题转化为证明方程f (x )－kx ＋2＝0只有一个根，分x ≤0和x >0两情况给予说明．(2)转化与化归原则：一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且 g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．课后作业1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6432．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c <14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c >143. 已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－235．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )7．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．8．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，求a 的取值范围．课后作业答案1解析：选′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．解析：选′(x )＝x 2－x ＋c .因为函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则方程x 2－x ＋c ＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c >0⇒c <14.3．解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0.所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x ＝9处取得最大值．4．解析：选A.由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.5．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＞0；当－1<x <0时，y ′＜0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 答案：－36． 解析：选C.由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.7．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧（－a ）3－3a （－a ）＋b ＝6（a ）3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，所以f (x )的单调递减区间是(－1，1)． 答案：(－1，1)8．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1.。
高二数学教案：函数的极值与最值
高二数学教案：函数的极值与最值本文题目：高二数学教案：函数的极值与最值23.函数的极值与最值一、课前准备：【自主梳理】1.若函数f(x)在点x0的附近恒有 (或 )，则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，称点x0为极大值点(或极小值点).2.求可导函数极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极值;如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极值.3.求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在[a,b]内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
【自我检测】1.函数的极大值为 .2.函数在上的最大值为 .3.若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为 .4.已知函数，若对任意都有，则的取值范围是 .(说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲) 二、课堂活动：【例1】填空题：(1)函数的极小值是__________.(2)函数在区间上的最小值是________ ;最大值是__________.(3)若函数在处取极值，则实数 = _.(4)已知函数在时有极值0，则 = _.【例2】设函数 .(Ⅰ)求的最小值 ;(Ⅱ)若对恒成立，求实数的取值范围.【例3】如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积.(1)求的表达式;(2)当为何值时，取得最大值?课堂小结三、课后作业1.若没有极值，则的取值范围为 .?2.如图是导数的图象，对于下列四个判断：?① 在[-2，-1]上是增函数;?② 是的极小值点;?③ 在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数;?④ 是的极小值点.?其中判断正确的是 .?3.若函数在(0，1)内有极小值，则的取值范围为 .4.函数 ,在x=1时有极值10，则的值为 .5.下列关于函数的判断正确的是 .①f(x)0的解集是{x|0②f(- )是极小值，f( )是极大值;?③f(x)没有最小值，也没有最大值.?6.设函数在处取得极值，则的值为 .7.已知函数 ( 为常数且 )有极值9，则的值为 .8.若函数在上的最大值为，则的值为 .9.设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围.10.已知函数 ,求函数在[1，2]上的最大值.四、纠错分析错题卡题号错题原因分析参考答案：【自我检测】1.72.3.4.例1：(1)0 (2)1， (3)3 (4)11例2：解：(Ⅰ) ，当时，取最小值，即 .(Ⅱ)令，由得， (不合题意，舍去).当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值 .在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为 .例3：解：(1)由折起的过程可知，PE平面ABC，，V(x)= ( )(2) ，所以时，，V(x)单调递增; 时，V(x)单调递减;因此x=6时，V(x)取得最大值 ;课后作业1.[-1，2]2.②③3.05.?①②6.17.28.9.解：(Ⅰ) ，因为函数在及取得极值，则有， .即解得， .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，当时， ;当时， ;当时， .所以，当时，取得极大值，又， .则当时，的最大值为 .因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为 .10.解：∵ ，令 ,即 ,得 .?f(x)在(-,0), 上是减函数，在上是增函数.?①当 ,即时, 在(1，2)上是减函数,? .②当 ,即时, 在上是减函数,③当 ,即时, 在上是增函数,?综上所述，当时，的最大值为 ,?当时，的最大值为 ,当时，的最大值为 .。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
《函数的极值与最值》课件
在经济学中，很多问题涉及到成本和收益的权衡 ，这些问题的解决往往需要利用极值的概念。
3
物理现象解释
在物理学中，很多现象可以用极值的概念来解释 ，如物体运动的轨迹、电流的分布等。
05
习题与解答
习题
判断题
如果函数在某点的导数大于0，则该点为函数的极小值点。（）
选择题
函数f(x)在x=2处取得极大值，则f''(2)（）
学习目标
01 掌握函数极值和最值的定义、性质和求解方法。 02 理解极值与最值在实际问题中的应用，提高解决
实际问题的能力。
03 通过案例分析和练习，加深对极值与最值概念的 理解和掌握。
02
函数的极值
极值的定义
极值
函数在某点的值比其邻域内的任 何点的值都大或都小，则称该点 为函数的极值点，函数在该点的 值为极值。
表格法
通过列表比较函数的一阶导数、二阶导数和函数值的 变化趋势，确定极值点。
极值的求法
求解一阶导数
首先求出函数的一阶导数。
判断单调性
根据一阶导数的符号变化，判断函数的单调性。
寻找极值点
在单调性变化的点处寻找极值点。
验证
通过比较极值点附近函数值的凹凸性，验证所找到的极值点是否正确。
03
函数的最值
最值的定义
《函数的极值与最 值》ppt课件
目 录
• 引言 • 函数的极值 • 函数的最值 • 极值与最值的比较与联系 • 习题与解答
01
引言
主题介绍
函数极值与最值的概念
介绍函数极值和最值的定义，以及它 们在数学和实际应用中的重要性。
极值与最值的区别
阐述极值和最值的不同之处，包括定 义、性质和求解方法等。
函数的最值教案范文
函数的最值教案范文【教案名称】：函数的最值【教学目标】：1.了解函数的最值的概念和意义2.能够找到函数在给定区间上的最值3.掌握最值问题在现实生活中的应用【教学重点】：1.函数最大值、最小值的定义和求解方法2.最值问题在实际问题中的应用【教学难点】：1.函数最值问题的思考方式与解题方法2.实际问题中最值问题的转化与解决方法【教学工具】：多媒体课件、计算器【教学过程】：一、导入新知识（15分钟）1.引导学生回顾函数的定义和性质，复习函数取值范围的概念。
2.引出函数最值的概念：函数最大值和最小值，即在给定的定义域上，函数输出的最大和最小值。
3.以实际问题为例，引导学生思考最值问题的意义和应用。
二、函数的最值概念与性质（20分钟）1.给出数列的最值定义，并引导学生用图像表示法来理解最值的概念。
2.讲解函数最值的定义和求解方法：a. 最大值：对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在x0∈[a, b]，使得f(x0)≥f(x)，则称f(x0)是f(x)在闭区间[a, b]上的最大值，记为f(x0)=max{f(x)，x∈[a, b]}。
b. 最小值：对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在x0∈[a, b]，使得f(x0)≤f(x)，则称f(x0)是f(x)在闭区间[a, b]上的最小值，记为f(x0)=min{f(x)，x∈[a, b]}。
3.引导学生举例并求解具体最值问题。
三、最值问题的讨论及应用（30分钟）1.讲解最值问题在实际生活中的应用，如最大利润、最小花费、最高速度等。
2.根据实际问题，引导学生将最值问题转化成数学问题，通过解方程、求导等方法求解。
3.通过实际案例的讨论，培养学生分析问题、归纳规律和解决问题的能力。
四、进行小组合作探究（25分钟）1.将学生分为小组，每组选取一道最值问题，利用课上学到的方法进行解答，要求全组成员积极参与并记录解题过程。
2.每组选择一名代表展示解题过程，并与其它组员分享思路和方法。
高等数学《极值与最值》课件
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .
例如:
为极大值 ,
但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法:
(1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
最小值
特别:
当 在 内只有一个极值可疑点时,
则
令
得驻点
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,
唯一,
驻点又
因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
问观察者在距墙多远处看图才最
存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.
售出该产品 x 千件的收入是
例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是
解: 售出 x 千件产品的利润为
问是否
故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润,
而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
说明：在经济学中
称为边际成本
称为边际收入
称为边际利润
由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上
即边际收入＝边际成本
（见右图）
成本函数
收入函数
即
收益最大
亏损最大
内容小结
1. 连续函数的极值
的导数存在 ,
取得极大值 ;
取得极小值;
的导数不存在.
B
提示: 利用极限的保号性
2. 设
在
的某邻域内连续, 且
则在点
处
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且
(C) 取得极大值 ;
(D) 取得极小值 .
D
提示: 利用极限的保号性 .
大学高等数学_15方向导数与梯度_极值与最值_二元泰勒公式_最小二乘法和习题讲解
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
y
o
P
x 2 1
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
cos
f l M l grad f M l
6 arccos 130
2. P73 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17