北师大版九年级数学上册第四章检测
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 黄金分割
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的 长度之和比约为 0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比，普通树叶的 宽与长之比也接近 0.618.
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时
还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚
脐上贴药治好了某些疾病. 人体最感舒适的
人
温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)
离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m
4.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄 金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =__________cm，DC =___________cm.
都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468 米. 设计师在 263 米处设计了一 个球体，使平直单调的塔身 变得丰富多彩，非常协调、 美观.
当堂小结
黄金 分割
定义
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，
如果
AC AB
BC AC
，那么称线段
AB
被点
C
黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割
2
D
②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB.
E
③在 AB 上截取 AC = AE.
A
CB
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗?
令BD = 1 ，则AD = 2
12
1 2
2
=
5 ，AC = AE = 2
5 -1 22
= 5 -1，BC = 1- AC = 1- 5 -1 = 3 - 5 ；
B．S1＜S2
C．S1 = S2
北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明说课稿
1. 教学重点：
相似三角形的判定定理的理解和应用，以及相似三角形性质的运用。学生需要掌握判定定理的具体条件和证明方法，能够熟练地运用这些知识解决问题。
2. 教学难点：
构造辅助线证明相似三角形的判定定理，以及利用全等三角形证明相似三角形。学生在这一部分内容的学习中，可能会遇到以下困难：
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
3. 相似三角形判定定理的证明方法：通过构造辅助线、利用全等三角形等方法证明相似三角形的判定定理。
（二）教学Leabharlann 标1. 知识与技能：学生能够理解和掌握相似三角形的判定定理，能够运用定理判断两个三角形是否相似；能够运用相似三角形的性质解决问题，如求对应边长、角度等。
四、教学过程设计
（一）导入新课
新课的导入将采用情境导入法，通过展示生活中常见的相似三角形实例，如建筑物的影子、照片中的相似物体等，引导学生观察并发现相似三角形的特征。这种方式可以快速吸引学生的注意力，激发他们的好奇心和兴趣。接着，我会提出一些问题，如“你们在哪里见过相似形状的物体？”“这些相似形状之间有什么关系？”通过这些问题，引导学生思考并自然过渡到本节课的主题。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采用循序渐进的方式呈现知识点。首先，回顾已学的三角形基础知识，为学习相似三角形判定定理打下基础。然后，通过几何模型和动态软件展示相似三角形的形成过程，让学生直观感受相似三角形的特征。接下来，我会逐步介绍相似三角形的判定定理，通过具体的例子和几何图形的演示，引导学生理解判定定理的含义和应用。在此过程中，我会鼓励学生提问和思考，确保他们对每个知识点都有深入的理解。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生应具备以下前置知识或技能：掌握三角形的基本概念和性质，了解全等三角形的判定定理和性质，具有一定的几何证明能力。然而，学生在学习本节课时可能存在以下学习障碍：对于相似三角形判定定理的理解可能存在困难，难以把握证明过程中的逻辑关系；在构造辅助线时可能缺乏思路和方法，导致无法顺利完成证明；对于相似三角形性质的灵活运用可能不够熟练。
相似三角形常考综合题精练(11大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
相似三角形常考综合题精练（11大题型）本讲目录链接题型01比例线段的应用题型02黄金分割题型03平行线分线段成比例定理题型04相似多边形的性质题型05相似三角形的性质与判定题型06相似三角形的实际应用题型07图形的位似题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定题型11相似三角形的综合问题题型01比例线段的应用1．定义一个运算()()1212121212,,,,0n n n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++¹+++L L L L L ，下列说法正确的有（ ）个①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x ---=-，则=1x -或2；③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++=L ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c d a b +=+．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若A B C a ===，则一次函数1y ax =-的图像必过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 均为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实数根，则22182023y A B C +=+．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，已知在ABC V 中，点D F 分别为边AB BC AC 、、上的点，且AE BF CD 、、相交于点G ，如果2014AG BG CG GE GF GD ++=，那么AG BG CG GE GF GD ××的值为 ．4．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若()0A B C a a ===¹，则一次函数1y ax =-的图象必定经过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实根，则2211A B +与82023C+的值相等；⑤若222x y zx yzxy yz zx z-+-=+++，222y z xy zxxy yz zx x-+-=+++()()()A AB B BC C C A-+-+-的值为28．A．1B．2C．3D．4题型02黄金分割5．我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD()AB BC<中,ABCÐ的平分线交AD边于点E,EF BC^于点F,则下列结论错误的是（）A．AE DEAD AE=B．CF BFBF BC=C．AE BEBE BC=D．DE ABEF BC=6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF BE=，以AF为边作正方形AFGH，则点H 即是线段AB的黄金分割点．若20AD=，记正方形AFGH的面积为1S，矩形BCIH的面积为2S，则1S与2S 的和为．7．如图①，点C把线段AB分成两部分()AC BC>，若AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．类似的，可以定义“黄金分割线”：直线l把一个面积为S的图形分成面积为1S和2S的两部分12()S S>，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在ABC V 中，若点D 是线段AB 的黄金分割点()BD AD >，线段CD 所在直线是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？(2)在（1）的条件下，如图③，过点C 作一条直线交BD 边于点E ，过点D 作DF EC ∥交ABC V 的一边于点F ，连接EF ，交CD 于点G ，回答问题．①CFG S V ______EDG S △（填“＞”“＜”或“=”）．②EF 是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？8．（1）在图①中按下列步骤作图：第一步：过点C 画CD AC ^，使12CD AC =；第二步：连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；第三步：以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（不写作法，保留作图痕迹）9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300著．黄金分割（goldensection ）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段AD 上找一个点C ，C 把AD 分为AC 和CD 两段，其中AC 是较小的一段，如果::AC CD CD AD =，那么称线段AD 被C 点黄金分割，点C 叫做线段AD 的黄金分割点，AC 与CD 的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设1,AD CD x ==，则1AC x =-．∵::AC CD CD AD =，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设AB 是已知线段，过点B 作BD AB ^且使12BD AB =；②连接DA ，在DA 上截取DE DB =；③在AB 上截取AC AE =；则点C 即为线段AB 黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段1AB =，点C ，D 是线段AB 上的两个黄金分割点，则线段CD 的长是 ．10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图 ，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC AB .”根据定义不难发现，在线段AB 另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，满足BD AB ＝AD BD ，所以点D 也是线段AB 的黄金分割点．材料二：对于实数：a 1＜a 2＜a 3＜a 4，如果满足（a 3﹣a 1）2＝（a 4﹣a 3）（a 4﹣a 1），（a 4﹣a 2）2＝（a 2﹣a 1）（a 4﹣a 1）则称a 3为a 1，a 4的黄金数，a 2为a 1，a 4的白银数．请根据以上材料，回答下列问题（1）如图，若AB ＝4，点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，则AC ＝ ，CD ＝ ．（2）实数0＜a ＜b ＜1，且b 为0，1的黄金数，a 为0，1的白银数，求b ﹣a 的值．（3）实数k ＜n ＜m ＜t ，t ＝2|k |，m ，n 分别为k ，t 的黄金数和白银数，求m n 的值．11．根据以下素材，探索完成任务．题型03平行线分线段成比例定理12．如图，在正方形中，分别以点A 和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和ABCD B 12AB E，作直线，再以点A 为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）AB ．CD13．如图是一张矩形纸片，点为AD 中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则．14．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．15．如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．F EF AD EFG G ABCD DG BC K 2BK =ABCD 1521ABCD E F BC EF A B A ¢B ¢A E ¢BC G B A ¢¢C 23BF GC =AD AB =AB CD ∥AD CE F G AC FD G AB AD CD CE M N P Q 2PQ PN +=OPQ a Ð=A PQ A PO OPQ ÐB M PB C PM P M ，AC AC A 180a °-AD BD(1)①直接写出线段与之间的数量关系；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；(2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系．16．四边形的两条对角线，相交于点O ，．(1)如图1，已知．①求证：；②若，求的值；(2)如图2，若，，，求的值．题型04相似多边形的性质17．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动AP AB BD BM MC DC AB PO E F ，M OP DC N CF CN NE ABCD AC BD 90BAD Ð=°AC CD =ACD BAC Ð=Ð225OC OA =OB OD 90BCD Ð=°AB AD =3CD BC =AC BDABCD AB 2=BC 6=E D DA 1A F B AB 3E到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 的值为定值．上述结论中正确的个数为 （ ）个．A．B ．C ．D ．18．已知E、F 、G 、H 各点分别在四边形的、、、边上（如图）．(1)当时，求证：(2)当上述条件中比值为3，4，…，n 时（为自然数），那么与之比是多少？19．如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相似比为1：4，矩形ABCO 的边AB =4，BC （1）求矩形ODEF 的面积；（2）将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC 、EA ，ACE 的面积是否存在最大值或最小A E F BD E EH BD ^H EF BD G BC M CF CDE CBF V V ∽DBC EFC ÐÐ=DE HG AB EH=GH 1234ABCD AB BC CD DA 2AE BF CG DH EB FC GD HA ====59EFGH ABCDS S =四边形四边形n EFGH S 四边形ABCD S 四边形V值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．20，则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．ABCD EF BC^AD BC E F AE AB =EF ABCD ABCD 2AB = 3AD =ABCD MN M AD N BC AM GH ABCD（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）．21．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，连接EG ，HF 交于点O ，易知分割成的四个四边形AEOH 、EBFO 、OFCG 、HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）如图1中正方形ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 将△ABC 分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD ∽△ABC ，则△ACD 与△ABC 的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD 是自相似图形，其中长AD=a ，宽AB=b （a ＞b ）．请从下列A 、B 两题中任选一条作答．A ：①如图3﹣1，若将矩形ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；ABCD 1AB =AD a =ABCD EF ABCD a=②如图3﹣2若将矩形ABCD 纵向分割成n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n ，b 的式子表示）；B ：①如图4﹣1，若将矩形ABCD 先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD 先纵向分割出m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m ，n ，b 的式子表示）．题型05相似三角形的性质与判定22．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（ ）A ．的长B ．的长C ．的长D ．的长23．如图，，，，点E 在边上运动（不与端点重合），边始终过点A ，交于点G 是等腰三角形时，的面积是（ ）．A ．8或B ．8C．D ．6或 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边AB ，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ．Rt ABC △90ACB Ð=°AB ABDE EF BC ^F AD G BG BFG V AC BC BF FG ABC DEF ≌△△5AB AC ==6BC EF ==BC DE EF AC AEG AEG △625108625108625107ABCD EF BC G H 5GH =25．如图，在正方形中，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)求证：．26．如图1，四边形是正方形，点E 在边的延长线上，点F 在边上，且，连接交于点P ，连接交于Q ，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若的长；②若，则 ．27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．如图①，在正方形中，E 、F 、G 分别是、、上的点，于点Q ．求证：．小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：方法一：平移线段使点F 与点B 重合，构造全等三角形；ABCD E F ，AB A DE A ¢AA ¢BC G DE A F ¢∥GA B ¢Ð2A C A B ¢¢=ABCD BC AB AF CE =EF DC AC EF DE DF 、EQ FQ =BQ AQ DP ×=BQ FP FD =PE PQ=ABCD BC AB CD FG AE ^=AE FG FG方法二：平移线段使点B 与F 重合，构造全等三角形；【尝试应用】(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；(2)如图②，点E 、F 、G 、H 分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；【拓展探究】(3)如图③，点E 、F 分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G ，若，求证：．28．如图，，，．(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；(2)如图2，若点E 落在边上，求证：；(3)如图3，若点H ，I ，J 分别为，AB ，AD 中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．题型06相似三角形的实际应用29．将一本高为（即）的词典放入高（AB ）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD 中点．BC ABCD AB CD AD BC EF GH ^3AB =4BC =EF GHABCD AB AD CF DE 180B EGC Ð+Ð=°DE AD CF CD=90BAC AED ÐÐ==°AB AC =EA ED =BC 2222AD EF BF EF =+×BC IJ HE 17cm 17cm EF =16cm 8cm H H ¢（1）收纳盒的长 ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．30．【问题探究】（1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ；（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值；【问题解决】（3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）．31．BC =Rt ABC △90BAC Ð=°4AB=AC =ABC V C DEC V A D BC BD ABCD 2AB =6AD =O ABCD E AD 2AE =F BC EF OF EF OF -ABC 24cm AB BC ==90ABC Ð=°DE D BC E ABC V B E 13cm DE BC ^BC BA M N M N BM BN =EM EN EP EM =PN PN PN NBN32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f ，主光轴，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，EF l EF ^2OB OD f ==PQ l ^且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h ，像高为，物距，像距为v ．(1)若，，， ．(2)求证．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？33．阅读理解：如图1，在△ABC 中，当DE ∥BC 时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE ∥BC ．理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形，将矩形DEFG 沿CB 方向向左平移得矩形PBQH ，其中顶点D 、E 、F 、G 的对应点分别为P 、B 、Q 、H ，在图2中画出平移后的图形；（2）在（1）所得的图形中，连接CH 并延长交BP 的延长线于点R ，连接AR ．求证：AR ∥BC ；（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC 空地的边AB ＝400米，BC ＝600米，∠ABC ＝45°；准备在△ABC 内建一个内接矩形广场DEFG （点E 、F 在边BC 上，点D 、G 分别在边AB 和AC 上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG 的对角线EG 最短，请在备用图中画出使对角线EG 最短距离（不要求证明）．34．阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF BC ，可以得到以下结论：．OQ f >PG l ∥GC PP ¢P ¢P Q l ¢¢^()PQ ()P Q ¢¢h ¢()OQ ()OQ ¢10cm f =10cm h =15cm u ==v cm 111u v f+=()u f >AD AE DE AB AC BC ==AD AE BD CE =BD CE AB AC=//AH EF AD BC=拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC 上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．36．【问题背景】人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少?【提出问题】在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？【分析问题】小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题．【解决问题】为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究．如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上．请你完成下面两个问题：（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；（2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其ABC 120mm BC =80mm AD =BC AB AC，556cm cm cm ，，AB AC ，EFGH E H ，AB AC ，FG BC MNPQ M N ，AB BC ，PQ AC余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）．【学以致用】定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题：在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由．题型07图形的位似37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，点P 在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；(2)在图（2）中，连接，将以C为位似中心缩小为原来的得到，画出；88´BC AB BC CD PC AC 180°GA GA AP APC △12EFC V EFC V(3)在图（3）中，在上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得最小．38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC 是一个格点三角形，点A 的坐标为（－2，2）．①△ABC 的面积为______；②在所给的方格纸中，请你以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）③在（2）中，若P （a ，b ）为线段AC 上的任一点，则缩小后点P 的对应点P 1的坐标为______．（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．AC PM PN+①如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH ．39．如图①，在中，，，点D 是上一点，且．动点F 从点C 出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B 运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F 为直角顶点，且点E 与点B 位于线段两侧．设点F 的运动时间为t （秒）．AI(1)求线段的长度；(2)当点E 落在的中位线上时，求出t 的值：(3)连接，则线段的最小值是______．(4)如图②．以点B 为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t 的值．题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A 为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为Rt ABC △9AB =12BC =AB 2AD BD =CB DF DEFDF AC Rt ABC △CE CE DEF V D E F ¢¢¢△3DF D F ¢¢=E C ¢E C ¢Rt DEF △ABC V 465AB AC BC ===，，AB C ¢¢△ABC V A AB C ¢¢¢¢△B C ¢¢¢¢，B C 、B C ¢¢¢¢41．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，的长．42．综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt △AEF 绕正方形ABCD 的顶点A 逆时针方向旋转，其中∠AEF ＝90，EA ＝EF ，连接CF ，点H 为CF 的中点，连接HD ，HE ，DE ，得到△DHE ．应用探究：（1）勤奋组：如图2，当点E 恰好落在正方形ABCD 的对角线AC 上时，判断△DHE 的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E 恰好落在正方形ABCD 的边AB 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：ABCD O AC BD EPF ÐP O OE OF AB BC E F EF BC k AB =×k 1k =OE OF=1k ¹OE OF FO FC =k OD =EF发现若连接BE ，在旋转Rt △AEF 的过程中，为定值，请你直接写出其值 ．43．数学课上，有这样一道探究题．如图，已知中，AB =AC =m ，BC =n ，，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；【类比探究】他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m 、n 的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．（2）求出时的值和的度数．BE CFABC V ()0180BAC a a Ð=°<<°EF AP b 60a =°EF PA =b =90a =°EF PA =b =EF PA EF PA =b =120a =°EF PAb44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．(1)【问题初探】如图1，在中，点D 在边上，交于点E ．绕点A 逆时针旋转得到（点D 的对应点为点，点E 的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．请你帮助他们证明这一发现．(2)【问题应用】如图3，中，，，，M ，N 分别为边与的中点．绕点C 旋转，点M 的对应点为点E ，点N F ，直线与直线交于点G ．①如图4，当点E 落在线段AF 上时，求证：；②当点A ，E ，F 三点在同一条直线上时，直接写出的长．(3)【问题拓展】如图5，在（2）条件下，连接，取中点K ，取中点H ，请直接写出的最大值为___________．题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定45．在边长为4的正方形中，E 是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A 落在点H 处，直线交于点F ，连接，，分别与AC 交于点P 、Q ，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．ABC V AB DE BC ∥AC ADE V AD E ¢¢△D ¢E ¢BD ¢CE ¢ABD ¢△ACE ¢V ABD ACE ¢¢△∽△Rt ABC V 90ACB Ð=°6AC =8BC =AC BC CMN V EF BC 90BFE Ð=°BG AF AF EB HK ABCD AD ABE V BE EH CD BF BE BF PD PF =PB PD 2EFD FBC Ð=ÐPQ AP QC =+BPF △DHDH 446．如图，正方形的边长为6，点P 是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F ，E 点．(1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：；(2)如图②，当时，求的长；(3)如图③，当时，求的面积．47．如图①，在中，，动点D 从点C 出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A 从点A 出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B 运动．设点D 运动的时间是t 秒．过点D 作于点F ，连结．(1) ， ；（用含t 的代数式表示）(2)当四边形是菱形时，t 的值为 ；ABCD BC ABP V AP APB ¢V AB ¢DCBC APED DF EF =DF 2CF =BP FB CF ¢=DFE △Rt ABC △90159ABC AC AB Ð=°==，，CA AB ()03t <<DF BC ^DE EF、AE =AD =AEFD(3)当垂直于的一边时，求t 的值；(4)如图②，将沿翻折，点A 的对应点为点，直接写出点在外部时t 的取值范围．48．在矩形中，点E ，F 分别在边AD ，上，将矩形沿折叠，使点A 的对应点P 落在边CD 上，点B 的对应点为点G ，交于点H ．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当P 为CD 的中点，，时，求的长；(3)如图3，连接，当P ，H 分别为CD ，的中点时，探究与AB 的数量关系，并说明理由．49．（1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M 始终落在边上（点M 不与点A ，D 重合），点C 落在点N 处，与交于点P ，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：；（2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长；（3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m 的式子表示）题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定50．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿AB 边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）．DE ABC V DEA △DE A ¢A ¢ABC V ABCD BC ABCD EF PGBC DEP CPH △∽△2AB =3AD =GH BG BC BG ABCD EF B AD MN CD AB CD E F BM BM EF=ABCD 3P CD MD ABCD ABCD AB mAD =1m ³2AD =EF ABCD 12AB =6BC =P A B 2Q DA D A 1t 06t ££。
4.4.4九年级数学上册第四章第四节探索三角形相似的条件4黄金分割-新北师大版
2014.10
练习与拓展
人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的 比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使 是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美. 某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应选择 多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到1cm）
2014.10
趣味数学
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有
九年级数学(上) 第四章
图形的相似
第4节
探索三角形相似的条件（四） 黄金分割源自2014.10欣赏美
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2014.10
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2014.10
数学美的魅力
巴台农神庙
维纳斯
2014.10
这些图片好看吗？
(舍去负值）
点 C 是线段 AB 黄金分割点，且 AC>CB，
AC 5 1 求得黄金分割比为 0.618. AB 2
5 1 3 5 当 AB＝1 时，AC＝ ≈0.618，BC＝ ≈0.382。 2 2
2014.10
数学理解 1．如图，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A，B 固 定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支 撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点．试确定支撑点 C 到端点 B 的距离以及支撑点 D 到端点 A 的距离．
2014.10
练习与拓展：古希腊的巴台农神庙
如果把左图中用虚线表示的矩形画成右图中 的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部 作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，
BC AB . BE BC
九年级数学上册第四章图形的相似专题课堂七相似三角形的基本模型课件北师大版
14．如图，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°. (1)求证：△BDE∽△CFD； (2)当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠EDB＋∠BED＝120°.∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＋∠EDB＝120°， ∴∠BED＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD (2)由(1)可知△BDE∽△CFD，∴CBDE ＝BCDF . ∵BD＝1，CD＝BC－BD＝5，CF＝3，∴BE＝53
C．AADB ＝AACE
D．AADB ＝DBCE
10．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证： (1)△ADE∽△ABC； (2)△ADB∽△AEC.
证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝ABC，∴△ADE∽△ABC (2)∵△ADE∽△ABC，∴AADE ＝AACB . 又∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC
A．AABE ＝AAGD
B．DCFF ＝DADG
C．FAGC ＝EBGD
D．BAEE ＝DCFF
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm， 动点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s， 动点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s， 连 则接当Pt＝Q.若1设70 运或动12时35时，间以为At，s(P0，＜Qt＜为2顶)，点的三角形与△ABC相似．
(2)∵△DAP∽△PBC，∴DPCP ＝BACP ，∴150 ＝A9P ，∴AP＝4.5 【应用】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵∠CPE＝∠A，∴∠A＝∠CPE＝∠B，
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
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在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
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【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
山东省枣庄市第四十二中学九年级数学上册 第四章《太阳光和影子》教案 北师大版
某某省枣庄市第四十二中学九年级数学第四章《太阳光和影子》教案北师大版教学过程一、创设情境，导入新课太阳光和影子是日常生活中的常见现象，你知道阳光在我们现实生活中的作用吗？太阳光在古代的应用你知道哪些吗？（出示大屏幕）我们已经积累了物体在太阳光下形成的影子的的有关知识，本节课我们众多实例进一步讨论在阳光下形成的影子的大小、形状、方向等。
二、探究新知（一）投影与平行投影的定义（动手操作感受太阳光与影子的关系）实践：取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。
提问：（1）如果改变小棒或纸片的位置和方向，它们的影子发生了什么变化？（2）如果改变投影面的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？（在窗户下学生分组活动，通过具体操作，体会物体在太阳底下形成的影子随着物体与投影面的位置关系变化而变化，从而引出平行投影的概念。
）概念：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
（二）平行投影的规律：思考下列问题：1、图4-11中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的①三个不同时刻，同一颗树的影子长度不同，请将他们按拍摄的先后顺序进行排列，并说出你的理由。
②同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流？学生讨论或进行实际测量总结规律：（1）顺序为（3）（2）（1）.太阳东升西落，在早晨位于正东方向，此时树影较长，影子位于数的正西方向。
在上午，随着太阳位置的变化，树影的长度逐渐变短，树影也由正西方向向正北方向移动。
（2）大树的高度与其影长之比等于小树高度与其影长之比。
（也可以说：大树和小树高度之比等于其对应影长之比）2、某校墙边有甲、乙两根木杆。
⑴某一时刻甲乙木杆在阳光下的影子如图4-12所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？⑵在图4-12中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？⑶你在所画的图形中有相似三角形吗？为什么？学生画图、实验、观察、探索。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解 巩固练习 第4讲《特殊平行四边形》全章复习和巩固(基础)
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；高底平行四边形⨯=S（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】宽＝长矩形S类型一、平行四边形1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【答案与解析】∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2019•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若10AC ==222(8)4x x -=+AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．【答案与解析】探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形,∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形，222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2018•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于．【答案】65°。
新北师大版九年级数学上册目录
北师大版九年级数学上册目录
第一章特殊的平行四边形
1.菱形的性质与判定
2.矩形的性质与判定
3.正方形的性质与判定
回顾与思考
复习题
第二章一元二次方程
1.认识一元二次方程
2.配方法
3.公式法
4.因式分解法
5.一元二次方程的应用
回顾与思考
复习题
第三章相似图形
1.成比例线段
2.平行线分线段成比例
3.相似多边形
4.相似三角形的判定
5.黄金分割
6.测量旗杆的高度
7.相似三角形的性质
8.图形的放大与缩小
回顾与思考
复习题
第四章投影与视图
1.投影
2.视图
回顾与思考
复习题
第五章反比例函数
1.反比例函数
2.反比例函数的图象与性质
3.反比例函数的应用
回顾与思考
复习题
第六章对概率的进一步研究
1.游戏公平吗
2.投针试验
3.生日相同的概率
回顾与思考
复习题
综合与实践
⊙池塘里的鱼
⊙猜想、证明与拓广⊙制作视力表
总复习。
北师大版九年级数学上册第四章教学课件
新课讲解
知识点03 比例的基本性质
议一议
如果a, b, c, d四个数成比例，即 a c , 那么ad=bc
bd
吗？反过来，如果ad=bc，那么a, b, c, d四个数成比
例吗？与同伴交流.
新课讲解
典例分析
如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式
例 将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原
比例 ①概念：项、比例内项、比例外项； 线段
②四条线段有顺序要求；
比例 ①代入法
的基 本性
②参数法
质
当堂小练
1.下列四条线段能组成成比例线段的是( C )
A.1,1,2,3
B.1,2,3,4
C.2,2,3,3
D.2,3,4,5
2.如果线段a=2 cm,b=10 cm,那么a10的值为( A )
A.15
新课导入
情境导入
在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片。
新课讲解
知识点1 两条线段的比
合作探究
你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？ 这些形状相同的图形有什么不同？
新课讲解
分析：
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可 以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以 看成是由较大的图形“缩小”得到的。在这个过程中，两 个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对 于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段 长度的比来描述它们的大小关系.
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
4.1.2比例的其他性质
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业