北京一零一中学2020-2021学年第一学期高三数学统考二试题
2020-2021北京市高中必修二数学下期中第一次模拟试卷附答案
三、解答题 21．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD ， AB / /CD ，且 CD 2AB 2, BC 2 2 ， ABC 90， M 为 BC 的中点．
（1）求证：平面 PDM 平面 PAM ； （2）若二面角 P DM A 为 30 ，求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值． 22．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BA＝BD＝ 2 ，AD＝2，PA＝PD ＝ 5 ，E，F 分别是棱 AD，PC 的中点．
17．已知 B 与点 A1, 2,3 关于点 M 0, 1, 2 对称，则点 B 的坐标是______．
18．小明在解题中发现函数 f x x 3 ， x0,1 的几何意义是：点 x, x x 0,1
x2
与点
2,
3
连线的斜率，因此其值域为
3 2
,
2
，类似地，他研究了函数
g
x
x 3 ， x2
SC OA ， SC OB ，SC 平面 AOB ，
三棱锥 S ABC 的体积可看成是两个小三棱锥 S ABO 和 C ABO 的体积和．
1
V三棱锥S ABC
V三棱锥S ABO
V三棱锥C ABO
3
3 r2 r 2 4 3 ，
4
3
r 2．
故选：C．
【点睛】
本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥 S PA 平面 AB ， AB, BC 平面 ABC ， PA BC ， PA AB, AB BC ， 所以三棱锥的外接球，就是以 AP, AB, BC 为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即 2R 4 11 6 ，所以外接球的表面积为： 4 R2 6 ，故选 A.
2019-2020学年北京一零一中学高三期中数学试题及答案
2019 北京一零一中高三（上）统练五数学（理）一、选择题共8 小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -12.已知为等差数列，为其前n 项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 33.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a 的值可以为（）A. B. C. D.5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4 本不同的名著中选出3 本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6 种B. 12 种C. 18 种D. 24 种6.已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A. B. C. D.7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值8.已知非空集合A，B 满足以下两个条件：①；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题共 6 小题。
9.已知集合，则M∩N＝.10.在等比数列中，，且，则的值为.11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x 的值为.12.已知向量a，b 的夹角为60°，，则＝.13.在边长为1 的等边三角形ABC 中，点D、E 分别是边AB，BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE＝2EF. 设，则14.已知；＝.（1）若有两个零点，则a 的取值范围是，（2）当时，则满足的x 的取值范围是.三、解答题共 4 小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.已知函数的图像与x 轴的相铃两个交点的距离为.（1）求的值；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值.16.如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.（1）求；（2）求AD 的长和△ABC 的面积.17.设数列的前n 项和为，且，在正项等比数列中，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.2019 北京一零一中高三（上）统练五数学（理）参考答案一、选择题共8 小题。
北京市101中学2020届高三第二学期统练三数学试题及答案
√
√
π 4
,
则
cos
B
=
( ) √
(A)
7 3
(B) ±
7 3
(C) ± 2 3 2
√
(D)
22 3
【参考答案】A
√
由正弦定理
a sin A
=
b sin
B
,
得
9 π
sin
4
=
6 sin
B
,
解 得 sin B
=
2 3
,
所 以 cos2 B
=
√
1 − sin2 B =
7 9
.
因为
a
>
b,
所以
A
>
B,
④若存在正整数 T , 对任意 n ∈ N∗, 都有 an+T = an, 则 a1 是数列 {an} 的最大项.
所有正确的结论是 ( )
(A) ①②
(B) ②③
(C) ①②③
(D) ①②③④
【参考答案】(2019 上海闵行区一模 (改编) ) D
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 2 页（共 11 页）
max{a1, a2, · · · , an−1} 表示 a1, a2, · · ·, an−1 中的最大项), 则以下结论:
①若数列 {an} 是常数列, 则 an = 0 (n ∈ N∗);
②若数列 {an} 是公差 d 0 的等差数列, 则 d < 0;
③若数列 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 q > 1;
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考三
北京市一零一中学2019-2020学年度第二学期高三数学统考四(详解版)
5.
函数
f (x) = A sin(ωx +
π 4
)
(ω
>
0)
的图像与
x
轴交点的横坐标构成一个公差为
π 3
的等差
数列, 要得到函数 g(x) = A cos ωx 的图像, 只需将 f (x) 的图像 ( )
(A) 向左平移
π 12
个单位
(B) 向右平移
π 4
个单位
(C) 向左平移
π 4
个单位
(D) 向右平移
试卷编号：3817 北京一零一中题库管理系统 Q
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考四
一、选择题共 10 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集 U = R, 集合 A = {x | 0 < x < 2}, B = {−3, −1, 1, 3}, 则集合 ( U A) ∩ B = ( )
13. 已知双曲线 C 与椭圆 √
x2 12
+
y2 3
= 1 的焦点相同, 且双曲线 C 的一条渐近线方程为
y=
5 2
x,
则双曲线
C
的方程为
＿＿＿＿＿
.
14. 如图所示, ABCD − A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体, M,
N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 的中点, P 是上底面的
1 2
对称
(C) 线段 PO 长度的取值范围是 [1, 2]
(D) △OAP 的面积最大值为 1
二、填空题共 5 小题。 √
11. 在 二 项 式 ( 2 + x)9 的 展 开 式 中, 常 数 项 是 ＿＿＿＿＿ , 系 数 为 有 理 数 的 项 的 个 数 是 ＿＿＿＿＿ .
高中数学选择性必修二 北京一零一实验学校高二下学期期末数学试题(含答案)
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
∴满足 的 的值是 .
故答案为：
14.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝ －m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求得 的最小值，以及 的最大值，根据已知条件的等价转化，列出不等式，则问题得解.
【详解】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g（2）＝ －m，
对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合A，B，再求两集合的交集
【详解】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
12.写出“ ”的一个充分不必要条件_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先由不等式 求出解集，在解集内的任何数或范围，都可以是“ ”的一个充分不必要条件.
（2）设函数 为“ 函数”，且存在 ，使 ，求证：
（3）试写出一个“ 函数”，满足 ，且使集合 中元素最少（只需写出你的结论）
【答案】（1） 是“ 函数”， 不是“ 函数”；（2）证明见解析；（3） (答案不唯一).
【解析】
【分析】（1）利用“ 函数”定义，结合 与 解析式，判断 上的符号，利用作差法、函数单调性比较对应函数 的大小，进而确定是否为“ 函数”；
A.16B.25C.9D.36
【答案】B
北京市101中学(一零一中学)2020-2021学年第一学期初一期末数学试卷及答案
2021北京101中学初一（上）期末数 学一、选择题：本大题共12小题，共24分。
1. 月球与地球的距离大约是384400千米，用科学记数法表示为（ ）千米。
A. 3384.410⨯B. 63.84410⨯C. 60.384410⨯D. 53.84410⨯2. 下列关于单项式2x 2y 的说法正确的是（ ）A. 系数是1，次数是2B. 系数是2，次数是2C. 系数是1，次数是3D. 系数是2，次数是33. 下列式子的变形中，正确的是（ ）A. 由6+x =10得x =10+6B. 由3x +5=4x 得3x -4x =-5C. 由8x =4-3x 得8x -3x =4D. 由2(x -1)= 3得2x -1=34. 方程x ＋y =6的正整数解有（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 无数个5. 下图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看得到的平面图形是（ ）A.B.C.D.6. 将一副三角板按如下图所示位置摆放，已知∠α=30°14′，则∠β的度数为（ ）A. 75°14′B. 59°86′C. 59°46′D. 14°46′7. 根据“ x 的3倍比x 的13多2”可列方程为（ ）A. 1323x x =- B. 1323x x =+ C. 1323x x += D. 13(2)3x x =+ 8. 若方程3,26x y x y +=-=和7kx y +=有公共解，则k 的值是（ ）A. 1B. -1C. 2D. -29. 有理数a 、b 、c 、d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A. 4a <-B. 0bd >C. 0b c +>D. ||||a b >10. 如下图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，且∠BOE =140°，则∠BOC 为（ ）A. 140°B. 100°C. 80°D. 40°11. 在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：②总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分。
2021北京高三一模数学试卷含答案 东城 西城 朝阳 丰台等
2021北京朝阳高三一模数 学2021．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，}0{|1x B x -=≥，则AB =（A ）{0,1,2,3} （B ）{1,2,3}（C ）{2,3} （D ）{3}（2）如果复数2iib +（b ∈R ）的实部与虚部相等，那么b = （A ）2-（B ）1（C ）2（D ）4（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31a =，918S =，则1a =（A ）0（B ）1-（C ）2-（D ）3-（4）已知圆224x y +=截直线2y kx =+所得弦的长度为k =（A （B ）（C ）2（D ）3（5）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（A ）y =（B ）y x = （C ）12y x =±（D ）2y x =±（6）在ABC △中，若2220a b c ac -++=，则B =（A ）π6（B ）π4（C ）π3（D ）2π3（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（A ）2（B（C（D ）（8）在ABC △中，“tan tan 1A B <”是“ABC △为钝角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且5AF =，则PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为 （A ）8（B）（C（D ）6（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直．当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是 （A ）1（B ）54（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市一零一中学2021届高三下学期统考四数学试卷(解析版)
11.函数 的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】
【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解
【详解】由已知得： ，其最小正周期为 .
故答案为：
12.二项式 的展开式的常数项是_______.（用数字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解即可．
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
19.椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由
因集合 ，集合 ，则有 ，
所以图中阴影部分表示的集合是 .
故选：C
2.复数 在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
化简复数 ，再判断对应点所在象限.
【详解】
所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限，
故选：D
【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标,属于基础题.
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
8.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么设三棱锥的棱长组成的集合为 ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把给定三视图还原成几何体，经计算即可得解.
【详解】如图，棱长为2的正方体 中，点D为CQ中点，连接AB，AC，AD，BD，BC而成的三棱锥A-BCD
2020～2021学年度北京市第一学期高三数学期中试卷
2020—2021学年度第一学期 高三第一学期期中数学试题2020.11班级 姓名 学号 成绩（本试卷满分150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案） 1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2. 下列函数中既是偶函数又是),0(+∞上的增函数的是（ ） A.3x y = B.1+=x y C.1)(2+-=x x f D.x x f -=2)(3. 如果0b a <<,那么下列不等式成立的是A ．22log ||log ||b a <B ．11()()22b a < C ．33b a > D ．2ab b <4. 函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）5.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，将点(1,2)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于（A） （B） （C（D ）25-7． 已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围A. [0,)+∞B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. [,1)-∞8. 在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210lg()10IL -=给出，其中I 为声强（单位：2/W m ）。
若160L dB =，275L dB =，那么12I I = A ．4510 B ．4510-C ．32- D ．3210-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.）9.若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域 ．10. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________.11. 已知2>a ，则a a y +-=24的最小值为12. 已知函数, 1,()1, 1.x a x f x bx x ⎧>-=⎨+-⎩≤若(2)0f -=，且()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是13. 若)(x f 是定义在R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.47(f14. 某公园划船收费标准如下：租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15.（本题满分12分）已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tan 2α=-.（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin 2cos2αα+的值.16.（本题满分14分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10,20）的概率；（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25,30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；x 时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接（Ⅲ）当5写出结果）17．（本题满分13分）（1）已知c bx ax x x f +++=23)(，412)(-=x x g ，若0)1(=-f ，且)(x f 图象在点))1(,1(f 处的切线方程为)(x g y =，求c b a ,,的值。
数学汇编：高三一模2020~2021立体几何
2021北京高三一模数学汇编：立体几何一．选择题（共9小题）1．（2021•延庆区一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）A．1B．2C．3D．42．（2021•西城区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．12B．C．16D．3．（2021•东城区一模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）A．B．9C．D．274．（2021•怀柔区一模）某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．85．（2021•石景山区一模）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（2021•房山区一模）祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．4πh2C．π（2﹣h2）D．π（4﹣h2）7．（2021•朝阳区一模）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．8．（2021•门头沟区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．4D．9．（2021•丰台区一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（）A．2B．C．D．4二．填空题（共1小题）10．（2021•丰台区一模）如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体AEBF﹣GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A﹣BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是．①三棱锥A﹣BCD的体积为；②三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形；③三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣CD﹣B不会是直二面角；④三棱锥A﹣BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ≤2．三．解答题（共11小题）11．（2021•延庆区一模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD1A1为矩形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1＝4，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面C1DE；（Ⅰ）求二面角D﹣C1E﹣B1的余弦值．12．（2021•西城区一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面ACE；（Ⅰ）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．13．（2021•东城区一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是边长为1的正方形，AB＝2，M，N分别为AD，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MA1∥平面ANC；（Ⅰ）求直线CN与平面D1AC所成角的正弦值．14．（2021•海淀区一模）在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2．（Ⅰ）求证：平面ABE∥平面CDF；（Ⅰ）设平面BEF∩平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B﹣l﹣C的大小确定，并求此二面角的余弦值．条件①：AB⊥AD；条件②：AE⊥平面ABCD；条件③：平面AED⊥平面ABCD．15．（2021•丰台区一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，M是棱PB上的点，O 是AD中点，且PO⊥底面ABCD，．（Ⅰ）求证：BC⊥OM；（Ⅰ）若，求二面角B﹣OM﹣C的余弦值．16．（2021•怀柔区一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A＝2．（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅰ）求二面角C1﹣BD﹣D1的余弦值．17．（2021•房山区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝BC＝1，AC＝，BB1＝2，E为CC1上一点，且EC＝．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅰ）求直线A1C与平面ABE所成角的正弦值．18．（2021•石景山区一模）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面ABFE∩面CDEF＝EF，AD⊥ED，CD⊥EA．（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；（Ⅰ）若EF＝ED，CD＝2EF＝2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．19．（2021•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅰ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．20．（2021•门头沟区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝P A，P A⊥底面ABCD，∠ABC ＝，E是PC上任一点，AC∩BD＝O．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面P AC；（Ⅰ）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值．21．（2021•平谷区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△P AB为正三角形，且侧面P AB⊥底面ABCD，PM＝MD．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅰ）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．2021北京高三一模数学汇编：立体几何参考答案一．选择题（共9小题）1．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝2，AB＝BC＝1，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝2，则该几何体的体积为V＝．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．2．【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的表面积．【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的表面积为：S＝S正方形ABCD+S△P AB+S△P AD+S△PBC+S△PCD＝22+×2×3+×2×3．故选：D．【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积，是基础题．3．【分析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，结合图中数据求出四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为V＝S正方形ABCD•P A＝×36×3＝9．故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积，是基础题．4．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2的直四棱柱；如图所示：故：V＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，所以C；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确．故选：B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征，属于基础题．6．【分析】根据三视图知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，根据圆环面积公式计算即可．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2，截面为圆环，设小圆半径为r，则＝，所以r＝h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2＝π（3﹣h2）；故选：D．【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的计算问题，也考查了空间几何体的结构特征，是基础题．7．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的个各棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝7，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．【分析】画出直观图，利用三视图的数据转化求解即可．【解答】解：根据直观图不难得出，PC是最长的棱长，长度为：．故选：D．【点评】本题考查三视图求解几何体的相关数据，最长棱长的求法，是基础题．9．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出最大棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：最长的棱长为AB＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．填空题（共1小题）10．【分析】求出三棱锥A﹣BCD的体积判断①；由余弦定理的推论判断②；利用空间向量判断③；直接证明sin2α+sin2β+sin2γ≤2判断④．【解答】解：对于①，长方体的体积为abc，三棱锥A﹣BCD的体积为abc﹣4×＝，故①正确；对于②，三棱锥A﹣BCD的每一个面的三边长都可以用过一个顶点的三条侧棱表示，不妨以△ACD为例，AD2＝a2+c2，AC2＝b8+c2，CD2＝a6+b2，∵AD2+AC5＞CD2，AD2+CD3＞AC2，AC2+CD3＞AD2，∴△ACD一定是锐角三角形，同理可得△ABC，△BCD为锐角三角形，则三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形，故②正确；对于③，如图，分别以F A、FD所在直线为x、y，则A（a，0，4），b，0），b，0），5，0），0，c），C（a，b，c），2，c），，，，设平面ACD的一个法向量为，由，取y＝7，则，同理可得平面BCD的一个法向量为，，取a＝b＝，，可得二面角A﹣CD﹣B是直二面角；对于④，不妨设AB与底面所成角为α，AD与底面所成角为γ，由③可知，平面BCD的一个法向量为，，sinβ＝，＝＝．同理可得，，，则sin6α+sin2β+sin2γ，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间角与多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．三．解答题（共11小题）11．【分析】（Ⅰ）连结B1C，ME，利用中位线定理可证明四边形MNDE为平行四边形，从而得到MN∥ED，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C，ME，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B5C，且，又因为N为A1D的中点，所以，由题设知A1B7∥DC且A1B1＝DC，可得B3C∥A1D且B1C＝A8D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C8DE；（Ⅰ）因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD，且侧面ADD2A1∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面ADD1A2，又DD1⊂平面ADD1A6，所以CD⊥DD1，又因为侧面ADD1A2为矩形，所以AD⊥DD1，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，其中D（0，2，0），C1（7，2，4），4，0），2，3），所以，，因为CD⊥平面ADD1A4，所以DC⊥平面BCC1B1，故为平面C7EB1的一个法向量，设为平面DC1E面的法向量，则，即，令y＝﹣2，可得，所以，因为二面角A﹣DE﹣B4的平面角是钝角，所以二面角A﹣DE﹣B1的余弦值．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．12．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接OE，证明OE∥BD1.然后证明BD1∥平面ACE．（Ⅰ）不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ACE所成角的正弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在正方形ABCD中，OB＝OD．因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.………………（7分）因为BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE． ………………（8分）（Ⅰ）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，5，0），2，7），2，0），6，1），所以，，． ………………（8分）设平面ACE的法向量为＝（x，y，所以所以即令y＝﹣1，则x＝7，于是＝（1，2）设直线AD与平面ACE所成角为θ，则．………………（13分）所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．13．【分析】（Ⅰ）取AC的中点O，连结OM，ON，先证明OM∥CD，OM＝CD，再证明NA1∥CD，NA1＝CD，从而证明MA1∥ON，利用线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面D1AC的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OM，因为M是AD的中点，所以OM∥CD CD，在长方体ABCD﹣A6B1C1D5中，因为N是A1B1的中点，所以NA3∥CD，NA1＝CD，所以NA1∥OM且NA1＝OM，所以四边形NOMA3是平行四边形，所以MA1∥ON，又因为MA1⊄平面ANC，ON⊂平面ANC，所以MA8∥平面ANC；（Ⅰ）解：在长方体ABCD﹣A1B1C5D1中，以点B为坐标原点，则C（1，6，0），2，2），D1（1，7，1），1，6），所以，设平面D1AC的法向量为，则有，即，令y＝1，则x＝2，故，所以＝，故直线CN与平面D1AC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面平行的证明以及线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．14．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理分别证明CF∥平面ABE，CD∥平面ABE，再利用面面垂直的判定定理，即可证明面面平行；（Ⅰ）若选①②：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BEF和平面CDF 的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可．若选①②③：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BEF和平面CDF的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可．若选①③：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BEF和平面CDF的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形ACFE为矩形，所以CF∥AE，又AE⊂平面ABE，CF⊄平面ABE，又因为AB∥CD，又AB⊂平面ABE，所以CD∥平面ABE，又CD∩CF＝C，CD，所以平面ABE∥平面CDF；（Ⅰ）选择①②：因为AE⊥平面ABCD，AB，所以AE⊥AB，AE⊥AD，所以AB，AE，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B（1，0，6），0，1），4，1），所以，设平面BEF的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，因为AD⊥平面ABE，又平面ABE∥平面CDF，所以AD⊥平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，所以，故二面角B﹣l﹣C的余弦值为．选择①②③：因为AE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，所以AB⊥AE，又因为AB⊥AD，所以AB，AE，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B（1，0，3），0，1），7，1），所以，设平面BEF的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，因为AD⊥平面ABE，又平面ABE∥平面CDF，所以AD⊥平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，所以，故二面角B﹣l﹣C的余弦值为．选择①③：因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，所以AB⊥AE，在矩形ACFE中，AE⊥AC，又AC，AB⊂平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AD，所以AB，AE，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B（1，0，5），0，1），4，1），所以，设平面BEF的法向量为，则，即，令x＝1，则y＝﹣1，故，因为AD⊥平面ABE，又平面ABE∥平面CDF，所以AD⊥平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，所以，故二面角B﹣l﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了面面平行的判定定理，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．15．【分析】（Ⅰ）推导出OB⊥AD，由AD∥BC，得OB⊥BC，由PO⊥底面ABCD，得OP⊥BC，从而BC⊥平面POB，由此能证明BC⊥OM．（Ⅰ）由PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣OM﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，，△ABD为等边三角形，∵O为AD的中点，∴OB⊥AD，∵AD∥BC，∴OB⊥BC，∵PO⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴OP⊥BC，∵OP∩OB＝O，OP，∴BC⊥平面POB，∵M是棱PB上的点，∴OM⊂平面POB，∴BC⊥OM．（Ⅰ）∵PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，设OA＝1，则OP＝OB＝，O（0，0，6），0，0），，0），，2），0，），∴＝（﹣7，，由PM＝，得＝＝（6，，），设＝（x，y，由，令y＝2，得），∵平面POB的法向量为＝（1，5，∴cos＜＞＝＝．由题知二面角B﹣OM﹣C为锐二面角，∴二面角B﹣OM﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【分析】（Ⅰ）证明C1D平行于平面ABB1A1内的直线AB1即可；（Ⅰ）证明AC垂直于平面C1BD内两条相交直线，得到AC⊥平面C1BD，从而得到AC⊥BC1；（Ⅰ）先求二面角两面的法向量，再用夹角公式计算二面角的余弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为B1C1∥BC、B6C1＝BC，AD∥BC，所以B1C2∥AD、B1C1＝AD，所以四边形B5C1DA为平行四边形，所以C1D∥AB4，AB1⊂平面ABB1A7，C1D⊄平面ABB1A4，所以C1D∥平面ABB1A2；（Ⅰ）证明：因为AB1⊥平面ABCD，由（Ⅰ）知C1D∥AB8，所以C1D⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以AC⊥C1D，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为C6D∩BD＝D，所以AC⊥平面C1BD，因为C1B⊂平面C6BD，所以AC⊥BC1；（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABCD，所以AB5⊥AD，AB1⊥AB，又因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，于是AD、AB1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，平面C4BD的法向量为＝＝（1，1，＝（﹣4，1，0），，﹣1，），设平面BDD6的法向量为＝（x，y，则，令y＝，则，，1），所以二面角C2﹣BD﹣D1的余弦值为＝＝．【点评】本题考查了直线与平面位置关系，线面垂直的判定定理和性质，考查了二面角的计算问题，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）由BB1⊥平面ABC，知BB1⊥AB，由勾股定理的逆定理证AB⊥BC，再结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，即可证明平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅰ）以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABE的法向量，设直线A1C与平面ABE所成角为θ，由sinθ＝|cos＜，＞|，求出直线A1C与平面ABE所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB＝BC＝4，AC＝，∴AB⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB2、BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B4BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC6．（Ⅰ）以B为原点，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，则A（1，3，0），0，3），1，0），8，），A7（1，0，4），∴＝（﹣1，6，＝（1，0，＝（5，1，），设平面ABE的法向量为＝（x，y，则，即，令z＝2，则x＝0，∴＝（3，2），设直线A1C与平面ABE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝，故直线A1C与平面ABE所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）证明CD∥AB，然后证明CD∥平面ABFE．（Ⅰ）以点D为坐标原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．求出平面ADE的法向量，平面BCF的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ADE与平面BCF所成锐二面角的大小即可．【解答】（Ⅰ）证明：在五面体ABCDEF中，因为面ABCD是正方形，所以CD∥AB．又因为AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．（Ⅰ）解：因为面ABCD是正方形，所以CD⊥AD．又因为CD⊥AE．又AD∩AE＝A，所以CD⊥平面ADE又因为DE⊂平面ADE，所以CD⊥DE．因为面ABCD是正方形，所以CD⊥AD．又因为AD⊥DE，所以以点D为坐标原点，DA，DE分别为x，y，如图建立空间直角坐标系．因为CD＝2EF＝2，EF＝ED，7，0），0，7），2，0），4，0），0，5）．由（Ⅰ）CD∥平面ABFE，CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面ABFE＝EF，所以CD∥EF．所以．可得F（2，1，1）．由题意知平面ADE的法向量为设平面BCF的法向量为．由得令y＝1，得z＝3，所以设平面ADE与平面BCF所成锐二面角为θ．cosθ＝．所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角为【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅰ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅰ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣2，B（1，0，C（3，1，D（0，3，P（0，0，所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，故，因为OB⊥平面P AD，所以是平面P AD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）证明P A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面P AC，即可证明平面EBD⊥平面P AC．（Ⅰ）E是PC的中点，连结OE，OB，OC，OE两两垂直，建立如图所示的坐标系，求出平面EBC的法向量，直线DE的方向向量，利用空间向量的数量积求解ED与平面EBC所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）P A⊥平面ABCD⇒P A⊥BD，…………………………………（1分）底面ABCD菱形，可得BD⊥AC又P A∩AC＝A，又P A⊥BD，BD⊥AC，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，…………………………………………（2分）BD⊂平面EBD，平面EBD⊥平面P AC（Ⅰ）若E是PC的中点，连结OE，……（6分）所以，OB，OE两两垂直，………（1分）不妨设AB＝2，则…（6分）设平面EBC的法向量为＝（x，y，，取x＝1，则y＝z＝，＝（1，，），直线DE的方向向量为＝（，0，cos＝＝．ED与平面EBC所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．21．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于H点，连接MH，推导出MH∥BP，从而PB∥平面ACM；（Ⅰ）取AB中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以OB，OH，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MBC与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣BC﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AC于H点，连接MH，∵四边形ABCD是菱形，∴点H为BD的中点．又∵M为PD的中点，∴MH∥BP，又∵BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM；解：（Ⅰ）取AB中点O，连接PO，∵△P AB为正三角形，且侧面P AB⊥底面ABCD，以O为原点，分别以OB，OP所在直线为x，y，则B（1，0，6），2，0），1，），＝（0，2，0），，1，），设平面MBC的一个法向量为，由，取z＝，得，平面ABCD的一个法向量为，∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角M﹣BC﹣D为锐角．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．第31页共31页。