(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CBA应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．CCBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。
3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C ACDBAP21DCBA5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用：三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .CB例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.ED CBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.EDGFCBAA F E D CB A 应用：1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
五、旋转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。
（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。
(第23题图)O P AM NE B CDF ACE F BD 图①图② 图③例3 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；BC应用：1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1） A B CD E FM N（图2）A B CD E FM N（图3）ABC DE F MN2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．D C BAED F CB A参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中，BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：Rt ABD ∆和等腰1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．解：（1）AM ED 2=，ED AM ⊥；证明：延长AM 到G ，使AM MG =，连BG ，则ABGC 是平行四边形 ∴BG AC =，︒=∠+∠180BAC ABG 又∵︒=∠+∠180BAC DAE ∴DAE ABG ∠=∠ 再证：ABG DAE ∆≅∆∴AM DE 2=，EDA BAG ∠=∠ 延长MN 交DE 于H ∵︒=∠=∠90DAH BAG ∴︒=∠+∠90DAH HDA ∴ED AM ⊥ （2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA 至F ，使FA AC =，F A 交DE 于点P ，并连接BF ∵BA DA ⊥，AF EA ⊥ABC ∆GCHABDM N EEDA∴EAD DAF BAF ∠=∠+︒=∠90 ∵在FAB ∆和EAD ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BA EAD BAF AE FA ∴EAD FAB ∆≅∆（SAS ） ∴DE BF =，AEN F ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠90AEN APE F FPD ∴DE FB ⊥又∵AF CA =，MB CM = ∴FB AM //，且FB AM 21= ∴DE AM ⊥，DE AM 21=二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BCF CP A B DMNEDAPQCBA解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
全等三角形辅助线常见方法
一．作平行线法例：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，在AB 上截取BD ，在AC 延长线上截取CE ，且使CE=BD 。
连接DE 交BC 于F 。
求证：DF=EF 。
二．连接法例1：如图，AB=AD ，BC=DC ，求证:∠B=∠D 。
练：如图,AB=AC,BD=CD, M 、N 分别是BD 、CD 的中点，求证：∠AMB ＝ ∠ANC 。
B例2：如图,AB 与CD 交于O, 且AB=CD ，AD=CB ，OB=5cm ，求OD 的长。
三．倍长中线法例1：已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AB=8，AC=6，试求AD 的取值范围。
练：如图△ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，证明：BE+CF ＞EF 。
BB例2：已知AD ，AE 分别是△ABC 与△ABD 的中线，且BA=BD 。
(1) 求证：AE=12AC 。
(2) 求证：∠C=∠BAE 。
四．截长补短法例1：如图，AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB ，∠DBA ，CD 过点E 。
求证：AB=AC+BD 。
例2：已知，如图在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠BAD=∠CAD 。
求证：AB=AC+AD 。
B五．角平分线法例1：在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC。
求证：∠A+∠C=180°例2：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O。
求证：OE=OD。
B。
2024八年级上《全等三角形》常见辅助线作法总结
全等三角形是初中数学中的重要概念，掌握全等三角形的判断和性质是解决三角形问题的关键。
常用的辅助线作法可以帮助我们更好地理解和应用全等三角形的知识。
下面将对2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法进行总结。
一、三角形内部的辅助线作法：1.外切圆：对于一个三角形，可以在它的外面作出三个外接圆，然后通过外接圆的协调定理来判断和证明两个三角形全等。
2.角平分线：对于一个角，可以作出它的角平分线，然后利用角平分线的性质来判断和证明两个三角形全等。
3.中位线：对于一个三角形，可以连接它的两个顶点和中点，得到两条中位线。
根据中位线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
4.高线：对于一个三角形，可以分别作出它的三条高线，然后根据高线的性质来判断和证明两个三角形全等。
5.角高线和中线：对于一个锐角三角形，可以连接其中一个角的顶点和对边的中点，得到一条角高线和一条中线。
根据角高线和中线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
二、三角形外部的辅助线作法：1.外接圆和割线：对于一个三角形，可以通过外接圆和割线的性质来判断和证明两个三角形全等。
2.正弦定理和余弦定理：对于一个三角形，可以通过正弦定理和余弦定理来判断和证明两个三角形全等。
3.对称性和重叠法：对于一个三角形，可以利用对称性和重叠法来判断和证明两个三角形全等。
4.平移法和旋转法：可以通过平移法和旋转法来判断和证明两个三角形全等。
以上仅是2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法的总结，实际问题中可能还会有其他的辅助线作法。
在解决三角形问题时，选择合适的辅助线作法可以简化问题，提高解题效率。
同时，还需要对全等三角形的基本知识进行深入理解和掌握，不仅要掌握判断全等三角形的条件，还要熟练运用全等三角形的性质和定理。
三角形中常见辅助线的作法(已整理)
几何常见的辅助线作法(三角形篇)1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2.中线类辅助线作法：遇到三角形的中线，常用倍长中线法，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．倍长中线辅助线作法：方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ， 方式2：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE ，即得△ACD ≌△EBD 连接CE ，即得△ABD ≌△ECD3. 角平分线类辅助线作法：角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种：①.截长与补短构全等：截长：已知∠1=∠2，在AB 上 补短：已知∠1=∠2，延长AC 到点E ， 截取AF =AC . 即得△ACD ≌△AFD 使AB =AE ，即得△AED ≌△ABD注：截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
②．角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题；说明：作PB ⊥ON ，可知PA=PB,进而得到△PAO ≌△PBO.F D C B A12截长图E D C B A 12补短图③．延长垂线段：题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形。
说明：延长AP交ON于点B，可证△PAO≌△PBO，进而得到△AOB是等腰三角形。
④．作平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形（如左下图）；或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形（如右下图）．说明：作PQ平行于ON交OM于点Q，说明：作AB平行于OP交NO的延长线于点B，三角形POQ即为等腰三角形。
全等三角形经典辅助线做法汇总(供参考)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最要紧的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一碰运气。
线段垂直平分线，常向两头把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可实验。
三角形中两中点，连接那么成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两头5.用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度，能够从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，如此能够取得在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，如此能够取得在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最要紧的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)碰到角平分线在三种添辅助线的方式4)（1）能够自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”DCB AEDFCBA，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）能够在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
2017中考全等三角形专题8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂DCBA EDF CBA线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
归纳：全等三角形问题中常见的辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:遇到三角形的 中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”例3、如图，△ ABC 中，BD=DC=AP E 是DC 的中点，求证： AD 平分/因为 BD=DC=AC ，所以 AC=1/2BC 因为E 是DC 中点，所以EC=1/2DC=1/2AC1) 2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一 ”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.5) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，AD 为△ ABC 的中线,求证：AB+AO2AD 。
分析：要证 AB+AO2AD ,由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD 所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD但它的左边比要证结论多 BD+CD ，故不能直接证出此题，而由2AD到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长 AD 至E ，使DE=AD ，连接BE , CE 。
BAE./ ACE= / BCA ，所以△ BCAACE 所以/ ABC= / CAE 因为 DC=AC ，所以/ ADC= / DAC / ADC= / ABC+ / BAD所以/ ABC+ / BAD= / DAE+ / CAE 所以/ BAD= / DAE即AD 平分/ BAE应用: 二、截长补短 例1.已知：如图1所示， AD 为^ ABC 的中线，且/ 1= / 2,/ 3= / 4。
(完整版)全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。
(完整版)全等三角形经典题型——辅助线问题
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，D C BAED F CB A利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
（完整版）全等三角形经典题型——辅助线问题
（完整版）全等三⾓形经典题型——辅助线问题全等三⾓形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三⾓形问题最主要的是构造全等三⾓形，构造⼆条边之间的相等，构造⼆个⾓之间的相等【三⾓形辅助线做法】图中有⾓平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
⾓平分线平⾏线，等腰三⾓形来添。
⾓平分线加垂线，三线合⼀试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三⾓形中两中点，连接则成中位线。
三⾓形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三⾓形“三线合⼀”法：遇到等腰三⾓形，可作底边上的⾼，利⽤“三线合⼀”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三⾓形3.⾓平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.⽤“截长法”或“补短法”：遇到有⼆条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有⼀个⾓为60度或120度的把该⾓添线后构成等边三⾓形7.⾓度数为30、60度的作垂线法：遇到三⾓形中的⼀个⾓为30度或60度，可以从⾓⼀边上⼀点向⾓的另⼀边作垂线，⽬的是构成30-60-90的特殊直⾓三⾓形，然后计算边的长度与⾓的度数，这样可以得到在数值上相等的⼆条边或⼆个⾓。
从⽽为证明全等三⾓形创造边、⾓之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直⾓三⾓形，正⽅形时，或30-60-90的特殊直⾓三⾓形，或40-60-80的特殊直⾓三⾓形,常计算边的长度与⾓的度数，这样可以得到在数值上相等的⼆条边或⼆个⾓，从⽽为证明全等三⾓形创造边、⾓之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下⼏种：最主要的是构造全等三⾓形，构造⼆条边之间的相等，⼆个⾓之间的相等。
1)遇到等腰三⾓形，可作底边上的⾼，利⽤“三线合⼀”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三⾓形．2)遇到三⾓形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三⾓形，D C BAED F CB A利⽤的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三⾓形．3)遇到⾓平分线在三种添辅助线的⽅法，（1）可以⾃⾓平分线上的某⼀点向⾓的两边作垂线，利⽤的思维模式是三⾓形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是⾓平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在⾓平分线上的⼀点作该⾓平分线的垂线与⾓的两边相交，形成⼀对全等三⾓形。