贵州大学高等数学期末考试卷汇编(含答案)
（
）.
2
2
（A） c f (x)dx c g(x)dx
c
c
（C） 1 f (x)dx 1 g(x)dx
2
2
（B） c f (x)dx c g(x)dx
c
c
（D） 1 f (x)dx 1 g(x)dx
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得分 评分人
二、 填空题（每空 3 分，共 18 分）
1、 lim[ 7x3 x 1 (1 2) x ]
专业 __________________ 学号 __________________ 姓名 _________________
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 统分人 复查人
得分
得分 评分人
一、 选择题（每题 3 分，共 12 分）
1、下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是（
）.
sin x （A） (x 0)
x
x ln x lim
x1 x ln x x 1
ln x 1 lim
x1 ln x 1 1
1
2
2、解
x
t cos t 3dt
lim 0
x0
x2
x cos x3 = lim
x0 2x
cos x3 = lim
x0 2
1 =
2
四、求下列函数的导数（每小题 6 分，共 12 分）
1、 7 e2 ； 2、0；
cos x y
1
3、
； 4、 c ;
4 5、 ;
1 6、 .
3
y
e x
x
3
3
三、求下列函数的极限（每小题 5 分，共 10 分）
1、解
x ln x x 1 原式 lim
x1 (x 1) ln x
ln x
lim
x1
x 1
ln x
.
x 3x3 x2 x
x
ln(1 x)
x0
2、已知 f (x) x
在 x 0 处连续，则 a
.
2a 1 x2 x 0 Nhomakorabea3、方程 e y xy sin x 0 确定了隐函数 y yx , 则 y
.
4、如果 f ( x ) ex ，则
x
（B） e x 1 (x 0)
x2
（C）
(x )
x3 2x 1
1
（D） e x (x 0 )
2、函数 f (x) 1 x3 x 3 的单调递增凸区间为 (
).
3
（A） (,1) （B） (1,0) （C） (0 （D） (
f (2x 1) f (1)
3、设函数 f (x) 在 x 1 处可导，且 f (1) 1，则 lim
（ ）.
x0
x
（A）-1
（B）-2
1 （C）
2
1 （D）
2
4、设函数 f (x), g(x) 在区间[1,3] 上连续，且 f (x) g(x) ，则对于任意 c (1,3) 有
y ex sin 2x 2ex cos 2x 2ex cos 2x 4ex sin 2x
3ex sin 2x 4ex cos 2x
五、求下列函数的积分（4 小题，共 26 分）
1、解 令 x t ， x t 2 ， dx 2tdt ，
t2 1
原积分 1 t 2tdt
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得分 评分人
五、求下列函数的积分（ 4 小题，共 24 分）
x 1
1、 1
dx （6 分） x
2、 arcsin xdx （6 分）
1
3、 x (1 x2 )3 dx （6 分） 0
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4、 4 e x dx （6 分） 0
得分 评分人
六、求由曲线 y x 及 y x 所围成的平面图形的面积，以 及该图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (8 分)
2、求 lim 0
（6 分）
x0
x2
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得分 评分人
四、求下列函数的导数（ 2 小题，共 12 分）
x ln(1 t 2 ) dy d 2 y
1、已知参数方程
y arctan t
,求 , dx dx 2
（6 分）
2、已知函数 y ex sin 2x ，求 y ， y （6 分）
贵州大学 2015 -2016 学年第一学期考试试卷 A 高等数学 1-1
注意事项: 1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。 2 .请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分 100 分，考试时间 120 分钟
f (ln x) dx
x
.
5、
2
(cos3
x
x3 1 x4
)dx
.
2
6、反常积分 x2ex3 dx 0
.
得分 评分人
三、 求下列函数的极限（ 2 小题，共 12 分）
x1 1、求 lim( ) （6 分）
x1 x 1 ln x
x t cos t 3dt
1、解 dy (arctan t) dx (ln(1 t 2 ))
1 1t2
2t 1 t2 1 2t d 2y ( 1 )/ 1 dx2 2t x/ (t)
1 1 1 t2
2 t 2 2t
1 t2
4t 3
2、解 y ex sin 2x 2ex cos 2x
在 0, 内至少存在两个不同的点1 ，2 ，使 f (1 ) = f (2 ) 0 .（6 分）
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2015 -2016 学年第一学期考试高等数学 1-1 试卷 A 答案
一、选择题（每空 3 分，共 12 分）
1、B 2、A 3、B 4、D
二、填空题 （每空 3 分，共 18 分）
2 (t 1)tdt
2 t 2dt 2 tdt
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得分 评分人
七、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 4 m 和 6m ，高为 3 m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门一侧所受的水压力
（重力加速度为 g(m s 2 ) ，水的密度为 (kg m3 ) ）．（8 分）
得分 评分人
八、证明题
设 f (x) 在 0, 上连续，且 0 f (x)dx = 0 f (x) cos xdx =0，证明：
高数下期末考试试卷与答案
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2021学年春季学期"高等数学Ⅰ〔二〕"期末考试试卷〔A〕注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、**、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题〔 8 个小题，每题 2 分，共 16 分〕将每题的正确答案的代号 A、B、 C 或 D 填入下表中．题号12345678答案1．a与b都是非零向量，且满足a b a b ，那么必有〔〕.(A) a b0(B) a b0(C) a b0(D) a b 02.极限lim( x2y 2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D) 不存在3．以下函数中，df f 的是().〔 A 〕f ( x, y)xy〔B 〕f ( x, y)x y c0 , c0为实数〔 C〕f (x, y)x2y2〔 D〕f ( x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的().〔 A〕驻点与极值点〔 B〕驻点，非极值点〔 C〕极值点，非驻点〔 D〕非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x 1)2( y1)22，假设I1x y d， I 2x yd ，D4D43x y d，那么有〔〕 .I 34D〔A〕I1I 2I 3〔B〕I1I 2I 3〔C〕I2I 1I 3〔D〕I3I1 I26．设椭圆L：x2y 21的周长为l，那么(3x2 4 y2 )ds〔〕 .43L(A) l(B)3l(C)4l(D)12l7．设级数a n为交织级数， a n0(n) ，那么〔〕 .n1(A) 该级数收敛(B) 该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D) 该级数绝对收敛8. 以下四个命题中，正确的命题是〔〕 .〔 A 〕假设级数a n发散，那么级数a n2也发散n 1n 1〔 B〕假设级数a n2发散，那么级数a n也发散n 1n 1〔 C〕假设级数a n2收敛，那么级数a n也收敛n 1n 1〔 D〕假设级数| a n |收敛，那么级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每题 2 分，共 14 分) ．1. 直线3x 4 y2z60a 为.x3y z a与 z 轴相交，那么常数2．设f ( x, y)ln( xy),那么 f y (1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5f x2222在是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x y } ， f ( x y )dv．设的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1 x n的收敛域是.n 1n!7. 将函数 f ( x)1,x0为周期延拓后，其傅里叶级数在点x2,0 x以 21于.2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第1 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一〔 5 个小题，每题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u，u．y x y解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxsin ydy ．0x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I xy2 z3dxdyd解：5．求幂级数nxn 1的和函数 S(x) ，并求级数n的和．n 1n 12n解：2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第2 页⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二〔 5 个小题，每题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．L解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．y y x2x y2DOx4．计算xdS ，为平面xy z 1在第一卦限局部.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的局部的下侧.解：2021年"高等数学Ⅰ〔二〕"课程期末考试试卷 A 共 3 页第3 页2021学年春季学期"高等数学Ⅰ〔二〕"期末考试试卷 (A)答案及评分标准一、单项选择题〔 8 个小题，每题 2 分，共 16 分〕题号 123456 7 8答案DABB A D CD1．a 与b 都是非零向量，且满足 ab a b ，那么必有〔 D〕(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C)a b0；(D)a b0 ．2. 极限lim( x 2y 2 )sin2 1 2 ( A )x 0x yy(A) 0 ；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 .3．以下函数中，df f 的是(B )；〔 A 〕 f ( x, y) xy ；〔B 〕f (x, y) x yc 0 ,c 0为实数；〔 C 〕f (x, y)x2y 2；〔 D 〕f ( x, y)e xy .4．函数f ( x, y) xy (3 xy) ，原点 (0,0) 是 f (x, y) 的( B).（ A 〕驻点与极值点；〔B 〕驻点，非极值点；（ C 〕极值点，非驻点； 〔 D 〕非驻点，非极值点 . 5 ．设 平 面 区 域 D ：( x 1)2( y 1)22，假设I 1x yd ，I 2x yd ，D4D 43xy，那么有〔 A 〕I 3dD4〔A 〕I 1 I 2 I 3； 〔B 〕 I 1 I 2 I 3；〔C 〕I 2 I 1 I 3；〔D 〕I 3I 1I 2． 6．设椭圆L ：x 2y 21的周长为l ，那么(3x24 y 2)ds 〔 D〕43L(A) l ；(B)3l ；(C)4l ；(D) 12l ．7．设级数a n 为交织级数， a n 0 ( n) ，那么〔C〕n 1(A) 该级数收敛； (B) 该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散； (D)该级数绝对收敛． 8. 以下四个命题中，正确的命题是〔 D 〕 〔 A 〕假设级数 a n 发散，那么级数 a n 2 也发散；n 1n 1〔 B 〕假设级数 a n 2发散，那么级 a n 也发散；数n 1n 1〔 C 〕假设级数 a n 2收敛，那么级数a n 也收敛； n 1n 1〔 D 〕假设级数 | a n |收敛，那么级数a n 2也收敛．n 1n 1二、填空题 (7 个小题，每题 2分，共 14 分)．1. 直线3x 4 y 2z 6 0 与 z 轴相交，那么常数a 为3。
高等数学期末考试A(附答案)
-------------------------------------密-----------------------封-----------------------线---------------------------------系部___________ 班级___________ 考场_________ 姓名______________ 学号_________高等数学期末试卷（A ）一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分） 1．下列各对函数定义域相同的是（ ）.A.2)()(,)(x x g x x f ==B.x x g x x f ==)(,)(2C.x x g x x f lg 2)(,lg )(2== D.11)(,1)(2--=+=x x x g x x f2．下列函数在其定义域内不是奇函数的是（ ）. A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x x y -=33．函数)(x f 在0x x =处有定义是0x x →时)(x f 有极限的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D.无关条件 4．下列各式中正确的是（ ）. A.0sin lim0=→x x x B.1sin lim =∞→x x x C.e n n x =+∞→)11(lim D.e nx =+→)11(lim 05．=+→xx x 1)41(lim ( ).A.4-eB.4e C.41e D.41-e6．=→xxx 5tan 3tan lim( ). A .1 B.53 C.35D.07．设)2(x f y -=，则='y ( ).A.)2(x f 'B.)2(x f -'-C.)2(x f -'D.)2(2x f -'-8．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，是),(+∞-∞上的连续函数，则)(=aA. 0B.1C.1-D.2 9．下列各式错误的是( ).A.1-)(μμμx x ='B.a a a x x ln )(⋅='C.x x cos )(sin ='D.x x sin )(cos =' 10．函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 11．函数2)(-=x x f 在点2=x 处的导数为( ). A.1 B.0 C.1- D.不存在12．设x 为自变量，当,1=x 0=∆x .1时，=)(3x d ( ). A.3.0 B.0 C.01.0 D.03.013．设)(),(x v v x u u ==都是可微函数，则=)(uv d ( ). A.vdv udu + B.du v dv u '+' C.vdu udv + D.vdu udv -14．设曲线22++=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ). A.）（4,1 B.）（1,4 C.)0,1( D.)1,0( 15．已知函数⎩⎨⎧>≤-=-,0,0,1)(x e x x x f x 则)(x f 在0=x 处( ).A.间断B.连续但不可导C.1)0(-='fD.1)0(='f 16．若)(x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有0)()()(2>--a x a f x f ，则以下结论正确的是( ).A.)(x f 在点a 的邻域内单调增加B.)(x f 在点a 的邻域内单调减少C.)(a f 为函数)(x f 的极大值D.)(a f 为函数)(x f 的极小值 17．函数)(x f y =在点0x 处取极大值，则必有( ).A.0)(0='x fB.0)(0<''x fC.0)(0='x f ,0)(0<''x fD.0)(0='x f 或)(0x f '不存在 18．下列函数在其定义域内不是单调递增的是( ).A.x x x f 2)(3+=B.)1ln()(2x x x f +-=C.x x x f cos )(+=D.3)1)(1()(+-=x x x f 19．下列极限计算正确的是（ ）.A.626lim )2(223lim )2(42lim 222232==--=---→→→x x x x x x x x x B.6122lim 222lim )2()22)(2(lim )2(42lim 222222232=+=-++=-++-=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x C.∞=--=---→→)2(223lim )2(42lim 22232x x x x x x x D.不存在2232232)2(lim )42(lim )2(42lim---=---→→→x x x x x x x x x20．当0→x 时，1)1(212-+ax与x cos 1-为等价无穷小，则=a ( ).x2A.1 B.0 C.1- D.常数21．设)(x f 是可导函数，则))(('⎰dx x f 为( ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 22．下列等式中成立的是( ).A.⎰=)()(x f dx x f dB.⎰=dx x f dx x f dxd)()(C.⎰+=c x f dx x f dxd)()( D.dx x f dx x df )()(= 23．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则下列各式中一定成立的是( ). A.)()(x g x f = B.1)()(+=x g x f C.))(())(('='⎰⎰dx x g dx x f D.⎰⎰'='dx x g dx x f )()( 24．)(x f 在区间[]b a ,上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(( ).A. 小于零B.等于零C.大于零D.不确定25．用定积分表示右图x y 2=，2=x 和x 轴围成的面积，正确的是( A.⎰212xdx B.⎰22xdx C.⎰xtdt 02 D.⎰22xtdt二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 26．(=dx ))32(x d - )()(xxe d dx e --=．27．设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则[]=')0(f ．28．若函数bx ax x f +=2)(在点1=x 处取极大值2，则=a ，=b ．29．设⎰=xx e dt t f 02)(，则=)(x f ．30．判断下列两个定积分的大小，⎰12dx x⎰13dx x ． 三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．驻点一定是极值点．（ ）32．可导一定连续，连续不一定可导．( )33．设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(,0)(00≠''='x f x f ，则当0)(0<''x f 时，)(x f 在点0x 处取极大值．（ ）34．若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．( )35．1)21(211122222-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰--x dx x ．( )四、求下列各式的极限（共2小题，每题4分，共计8分）36．xe e xx x 20lim-→- 37．xdt txa tx ⎰++∞→)11(lim )0(>a五、计算下列不定积分（共2小题，每题4分，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin( 39．⎰xdx x cos六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-17)12(dx x七、综合题（共1小题，共计10分）41．平面图形D 由抛物线2x y =，1=x 和x 轴组成，请 （1）画出D 的草图 （2）求D 的面积答案：一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分）1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A. 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．D 17．D 18．D 19．C 20．A 21．A. 22．D 23．C 24．B 25．B二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）26．31- - 27．0 28．=a -2 =b 4 29．=)(x f x e 22 30．>三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．× 32．√ 33．√ 34．× 5．× 四、求下列各式的极限（共2小题，共计8分）36．x e e xx x 20lim -→-=1)2(lim 20x e e x x x ---→————3分=1————————————1分37．x dt t xa t x ⎰++∞→)11(lim )0(>a =1)11(lim x x x ++∞→——3分 =e ————1分五、计算下列不定积分（共2小题，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin(=⎰++)23()23sin(31x d x ——2分 =C x ++-)23cos(31————2分39．⎰xdx x cos =⎰x xd sin ——2分=⎰-xdx x x sin sin ————1分 =C x x x ++cos sin ————1分六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-107)12(dx x =⎰--107)12()12(21x d x ——2分=108])12(81[21-⋅x ————1分 =0]11[161=-————1分七、综合题（共1小题，共计10分） 41．（1）略————5分（2）⎰=12dx x D ————3分=10331⎥⎦⎤⎢⎣⎡x ————1分 =31——————1分。
2021年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (3)
20XX年大学高等数学高数期末考试试卷及答案(3)20XX学年第1学期考试科目：高等数学（经贸类）一．填空题（每空2分）1．已知0→x 时，1)1(312-+x 与1cos -x 为等价无穷小量，则=2．函数216ln x x y -+=的定义域为3. 已知10)0('=f ，则xx f x f x )()2(lim 0-→= 。
4．已知x x y 3cos 31sin +=在3π=x 处有极值，则=5．设)3cos(x y =，则)12(y = 。
6．若等式)34(x d dx -=成立，则=7．设收益函数201.0150)(x x x R -=（元）,当产量100=x 时，其边际收益是。
8．由曲线)(θr r =及射线βθαθ==,所围的曲边扇形面积公式为。
9．设曲线的参数方程为???==)()(t y y t x x ，βα≤≤t ，则弧长公式为。
10．53)1(lim e x k x x =+∞→，则=k二．选择题（每题3分）1．当0→x 时，x e x sin 1--是2x 的无穷小。
. 低阶；B. 高阶；C. 等价；D. 同阶非等价；2．设x x x f -+=22)(在区间),(+∞-∞内是。
偶函数B.单调增函数C.有界函数D.单调减函数3．设)1(1)(2--=x x x x f ，则x=1是)(x f 的间断点。
．第二类间断点；B.可去；C.跳跃；4．函数)(x f 在0x 处左、右连续是)(x f 在0x 处连续的。
．必要条件；B.充分条件；C.充分必要条件；D.都不是；5．?+=c ex dx x f x 22)(，则)(x f = . x xe 22 B. x e x 222 C. c xe x +22 D. )1(22x xe x +三．解答下列各题（第9题10分,其余每题5分）1．20XXlim 22x dt e t x t x ?+→2. 设sin x y x =，求dy 3.?--+dx e e xx1 4. ?xdx ln 5. ?-2022dx x 6. ?+∞-1dx xe x 7. 确定、b 的值，使函数???≤>+=1,1,)(2x x x b x x f 在定义域内可导。
大学高数期末考试题及答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），1．求极限()xx x xx 30sin 2cos 1lim -+→．解：()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim xx x x x x x x x xx x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+→→→ 20302cos 1ln 032cos 1ln 02cos 1lnlim 2cos 1lnlim2cos 1ln1lim1limxxx x x x x ex ex x x x x x x x +=+⋅+-=-=→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+→⎪⎭⎫⎝⎛+→ ()412cos 1sin lim0-=+-=→x x x x ．2．设0→x 时，()x f 与22x 是等价无穷小，()⎰3xdt t f 与kAx等价无穷小，求常数k 与A ．解：由于当0→x 时，()⎰3xdt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim3=⎰→kxx Axdtt f ．而()()()10132320132323230132300061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3-→--→-→-→→=⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅⋅=⎰k x k x k x k x k xx Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，61,1==A k ．3．如果不定积分()()⎰++++dx x x bax x 22211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．解：将()()22211xx bax x ++++化为部分分式，有()()()2222211111xDCx x B x A x x bax x ++++++=++++， 因此不定积分()()⎰++++dx x x bax x 22211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数0==C A ．即()()()()()()()22222222211111111x x x D x B x D x B x x bax x +++++=+++=++++． 所以，有()()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++2112222．比较上式两端的系数，有D B b D a D B +==+=,2,1．所以，得1=b ．5．计算定积分{}⎰-2502,1min dx x ．解： {}⎩⎨⎧>-≤--=-1211222,1min x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤-<=3132221211x x x x x x ．所以，{}()()8132212,1min 2522110250=-+-+=-⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 的极坐标方程为3sin 3θa r =，求曲线C 的全长．解： 曲线3sin3θa r =一周的定义域为πθ≤≤30，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长为()()()()a d a d a a d r r s πθθθθθθθθθπππ233sin 3cos3sin3sin30230242623022==+='+=⎰⎰⎰．二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），6．求出函数()()()n n x x x f 221sin lim +=+∞→π的所有间断点，并指出这些间断点的类型．解：()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-=-=<=+=+∞→2102121212121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．因此211-=x 与212=x 是函数()x f 的间断点． ()00lim lim 2121==---→-→x x x f ，()()1sin lim lim 2121-==++-→-→x x f x x π，因此21-=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．()()1sin lim lim 2121==---→-→x x f x x π，()00lim lim 2121==++-→→x x x f ，因此21=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限bb ξlim →．解：()x x f arcsin =在区间[]b ,0上应用Lagrange 中值定理，知存在()b ,0∈ξ，使得()0110arcsin arcsin 2--=-b b ξ．所以，22arcsin 1⎪⎭⎫⎝⎛-=b b ξ．因此，()()22220220220arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim b b b b b b b b b b b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→→→ξ 令b t arcsin =，则有422022220220sin lim sin sin lim lim ttt t t t t b t t b -=-=→→→ξ 3122sin 2lim 612cos 1lim 61122cos 22lim 42sin 2lim0202030==-=-=-=→→→→t t t t t t t t t t t t t所以，31lim=→bb ξ． 8．设()()⎰--=xy y dy ex f 102，求()⎰1dx x f ．解：()()()⎰⎰'-=11010dx x f x x xf dx x f在方程()()⎰--=xy y dy ex f 102中，令1=x ，得()()()01021102===⎰⎰---dy e dy ef y y y y ．再在方程()()⎰--=xy y dy e x f 102两端对x 求导，得()21xe xf --='， 因此，()()()()⎰⎰⎰'-='-=110101dx x f x dx x f x x xf dx x f()12121101011222-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅===---⎰⎰e e e dx xe e dx xex xx．9．研究方程2x a e x=()0>a 在区间()∞+∞-,内实根的个数．解：设函数()12-=-xeax x f ，()()x x x e x ax e ax axe x f ----=-='222．令()0='x f ，得函数()x f 的驻点2,021==x x ．由于0>a ，所以 ()()+∞=-=--∞→-∞→1lim lim 2xx x eax x f ，()()112lim 12lim 1lim 1lim lim 22-=-=-=-=-=+∞→+∞→+∞→-+∞→+∞→x x x x x x xx x ea e x a e x a eax x f ．因此，得函数()x f 的性态⑴ 若0142>--ae ，即42e a >时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-、()2,0、()∞+,2内各有一个零点，即方程2x a e x=在()∞+∞-,内有3个实根．⑵ 若0142=--ae ，即42e a =时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-、()∞+,0内各有一个零点，即方程2x a e x=在()∞+∞-,内有2个实根．⑶ 若0142<--ae ，即42e a <时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,内有1个实根．10．设函数()x f 可导，且满足()()()1-'=-'x f x x f ，()00=f ．试求函数()x f 的极值． 解：在方程()()()1-'=-'x f x x f 中令x t -=，得()()()1--'-='t f t t f ，即()()()1--'-='x f x x f ．在方程组()()()()⎩⎨⎧-=-'+'-=-'+'xx f x f x xx f x x f 中消去()x f -'，得()221xx x x f ++='． 积分，注意()00=f ，得()()⎰++=-xdt t t t f x f 02210．即 ()()x x x dt t t t x f xarctan 1ln 2112022-++=++=⎰． 由()221x x x x f ++='得函数()x f 的驻点1,021-==x x ．而()()222121xx x x f +-+=''．所以， ()010>=''f ，()0211<-=-''f ． 所以，()00=f 是函数()x f 极小值；()42ln 2111π-+-=-f 是函数()x f 极大值． 三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），11．求曲线x y =的一条切线，使得该曲线与切线l 及直线0=x 和2=x 所围成的图形绕x 轴旋转的旋转体的体积为最小． 解：设切点坐标为()t t ,，由ty 21=，可知曲线x y =在()t t ,处的切线方程为()t x tt y -=-21，或()t x ty +=21．因此所求旋转体的体积为()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰t t dx x t x tV 24384212022ππ所以，023842=⎪⎭⎫⎝⎛+-=t dt dV π．得驻点32±=t ，舍去32-=t ．由于031643223222>⋅===t t t dt Vd π，因而函数V 在32=t 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为2143+=x y ．12．设函数()x f 在闭区间[]10，上连续，在开区间()10，内可导，且()21arctan 2=⎰πxdx e x f ，()01=f ． 证明：至少存在一点()10，∈ξ，使得()()ξξξarctan 112+-='f ．解：因为()x f 在闭区间[]1,0上连续，所以由积分中值定理，知存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πη2,0，使得 ()()ηπηπarctan 2arctan 2f x f e xdx e =⎰．由于()21arctan 2=⎰πxdx ex f ，所以，()21arctan 2=ηπηf e ．再由()01=f ，得 ()()1arctan 4arctan 1f f e e ==πηη．作函数()()x ex g x f arctan =，则函数在区间[][]1,01,⊂η上连续，在区间()1,η内可导．所以由Rolle 中值定理，存在()()1,01,⊂∈ηξ，使得()0='ξg ．而 ()()()()21arctan xe x xf ex g x f x f ++'='． 所以存在()()1,01,⊂∈ηξ，使得 ()()()01arctan 2=++'ξξξξξf f e f e．由于()0≠ξf e，所以()011arctan 2=++'ξξξf ，即()()ξξξarctan 112+-='f ．一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。
大学高等数学期末考试试题与答案
大学高等数学期末考试试题与答案1、已知曲线y x2bx的一条切线过点(1,2)，求b的值，并求该切线与x轴正半轴所夹的角度。
2、求函数f(x)x36x29x的最大值和最小值，并求最大值和最小值所对应的x值。
一）填空题1、x3或x 52、a 13、m04、k 25、y e(x1)6、F(x)7、ln|secx+tanx|+C8、cos2tdt(cos2t sin2t)dt t+C二）单项选择1、D2、A3、B4、C5、B6、B三）计算题1、（1）limxx2x112limxx2x1)11lim xx2x1) 1x111limxx 1x 12）limx(2arctanx)limx2XXX0xx因为当x趋近于正无穷时，arctanx趋近于/2，所以XXX也趋近于正无穷，与0相差无穷大，所以limx(/2arctanx)不存在。
2、（1）y coslnx1/x sinxdycoslnx1/x sinx dxdx2）y sinlnx1/x2cosx；y(0)sinln11/02cos0 13）2tanxdy2sec2xdx2tanx Cdxe3xxdx e3xd(lnx)dx e3xlnx3e3x/xdxe3xlnx3e3x/x C11dx x ln|x+3|+Cx(13x)xarctanxdx xd(arctanx)xarctanx arctanxdxxarctanx x ln(1x2)+C四）应用题1、设曲线的方程为y x2bx，其导数为y2x b，所以在点(1,2)处的切线方程为y2(2b)(x1)，因为该切线过点(1,2)，所以22(2b)(11)，解得b0.此时切线方程为y2，与x轴正半轴的夹角为45度。
2、f(x)3x212x9，令f(x)0，解得x1或x3，将这两个点代入f(x)得f(1)4，f(3)0，所以最大值为4，最小值为0，对应的x值分别为1和3.1.求函数 $y=x-\ln(1+x)$ 的单调区间与极值。
贵州高一数学期末考试试题及答案
贵州高一数学期末考试试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^5答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {2, 4}D. {1, 4}答案：B3. 函数f(x) = 2x + 3的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x - 3) / 2B. f^(-1)(x) = (x + 3) / 2C. f^(-1)(x) = (x - 2) / 3D. f^(-1)(x) = (x + 2) / 3答案：A4. 根据三角函数的周期性，下列哪个函数的周期为π？A. y = sin(2x)B. y = cos(2x)C. y = sin(x/2)D. y = cos(x/2)答案：A5. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 1B. -1C. 5D. -5答案：D6. 已知双曲线的方程为x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正数，该双曲线的焦点位于：A. x轴上B. y轴上C. 原点D. 无法确定答案：A7. 函数y = ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：B8. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则该数列的第10项a10为：A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A9. 已知抛物线方程为y^2 = 4x，该抛物线的焦点坐标为：A. (1, 0)B. (2, 0)C. (0, 2)D. (0, -2)答案：B10. 函数y = x^2 + 2x + 1的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为______。
贵阳市2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
贵阳市2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 4．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．135．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．33C ．12D ．229．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．411．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2212．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A B ．32C ．53D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整word版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
高数高等数学A（下册）期末考试试题、填空题：（本题共5小题，每小题4分,满分20分，把答案直接填在题中横线上）r r r r r r r r r1、已知向量a、b满足a b 0, a 2, b 2,则ab .32、设z xln（xy）,贝U ---- 2x y2 23、曲面x y z 9在点（1,2, 4）处的切平面万程为 .4、设f（x）是周期为2的周期函数，它在［,）上的表达式为f（x） x,则f（x）的傅里叶级数在x 3处收敛于,在x 处收敛于.5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则L（x y）ds .※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.・1!■■■■■・ MM ■・・・・・■■■■■ ■ ■・・・■:■»■■■■■、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）C 2 c 2 2 c... 2x 3y z 9» j ....... .. ..1、求曲线2 2 2在点M0 （1, 1,2）处的切线及法平面方程.z 3x y.. 2 2 一 2 2 一2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数（1）n ln --- 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x .......... z z4、设z f （xy,—） sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求一, ------- -y x x ydS 2 2 2 25、计算曲面积分——，其中是球面x y z a被平面z h （0 h a）截出的顶部.z、（本题满分9分）抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分Je x siny m)dx (e x cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).四、(本题满分10分)n求哥级数4—的收敛域及和函数.n i 3 n五、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,2 2其中为曲面z 1 x y (z 0)的上侧.六、(本题满分6分)设f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t是由曲面z xx y2t与z t2x2y2所围成的闭区域，求lim F(t ) t3备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面不得带走试卷。
大学数学期末考试试卷(A卷)和参考答案
大学数学期末考试试卷（A 卷）2020学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（每小题2分，本题共12分）1．若事件B A 、相互独立，且()0.5P A =，()0.25P B =，则()P A B = ； 2则()()4,3P X P X ≤=≠=；3．设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布，且已知[](1)(2)1E X X --=，则λ=；4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则=)(X E ；()D X = ；5．设1621,,,X X X 是来自总体),2(~2σN X 的一个样本，∑==161161i i X X ，则~84σ-X ；6．假设某种电池的工作时间服从正态分布，观察五个电池的工作时间（小时），并求得其样本均值和标准差分别为：43.4,8.08x s ==，若检验这批样本是否取自均值为50（小时）的总体，则零假设为 ，其检验统计量为 。
二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）．A ．12513； B ．12516； C ．12518； D ．12519．2．如果随机变量X 的密度函数为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.，则()1.8P X ≤=（ ）．A ．0.875；B ． 1.80()f x dx ⎰； C ． 1.80x dx ⎰； D ．()1.82x dx -∞-⎰． 3．设物件的称重,05.0%95),01.0,(~过的置信区间的半长不超的为使μμN X 则至少应称多少次？（ ）． 0.0250.051.96, 1.64]u u ==[注: A ．16；B ．15；C ．4；D ．20．4．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,)(4x Cx x f ，则常数C=（ ）．A ．51；B ．5；C ．2；D ．12．5．在一个已通过F 检验的一元线性回归方程中，若给定α-=1,00的则y x x 的预测区间精确表示为（ ）．A．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αα--+-； B．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αασ--+-； C．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αα--+-；D．0022ˆˆ[,]yy ααμμ-+．6．样本容量为n 时，样本方差2S 是总体方差2σ的无偏估计量，这是因为（ ）． A ．()22E Sσ=； B ．()22E Snσ=； C ．22S σ=； D ． 22S σ≈．三、解下列各题（6小题，共48分）1．设总体()~0,1X N ，12,,,n X X X 为简单随机样本，且32124(1)3i i ni i X nF X ===-∑∑．证明：~(3,3)F F n -． （6分）2．已知连续型随机变量X 的分布函数为 0,1;()arcsin ,11;1 1.x F x a b x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，① 试确定常数,a b ； ② 求1{1}2P X -<<； ③ 求X 的密度函数．（10分）3．若从10件正品、2件次品的一批产品中，无放回地抽取2次，每次取一个，试求第二次取出次品的概率．（6分）4．设X的密度函数为1(),(,)2xf x e x-=∈-∞+∞．①求X的数学期望EX和方差DX；②求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关．（8分）5．设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中D 是由曲线2y x =和直线y x =所围成．试求(,)X Y 的联合分布密度及关于,X Y 的边缘分布密度)(x f X 与)(y f Y ，并判断,X Y 是否相互独立．（10分）6．设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，试证明：c X Y +=（c 为常数）也服从均匀分布． （8分）四、应用题：以下是某农作物对三种土壤123,,A A A ，两种肥料12,B B ，每一个处理作四次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，分别写出各零假设，并完成方差分析表，写出分析结果 (0.01)α=． （12分）已知参考临界值：()()()0.010.010.012,18 6.01,1,188.29,3,18 5.09,F F F ===()()()0.010.010.012,23 3.42,1,23 4.28,3,23 3.03F F F ===五. 综合实验报告（10分）试卷参考答案一、 填空题（每小题2分，本题共12分） 1． 0.625； 2． 0.87,0.7； 3．1； 4．2,nσμ； 5．)1,0(N ； 6．50:0=μH ，X t =二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）三、解下列各题（本大题共48分）1．证明 由题设可知 ()12~0,1,1,2,,,,,,i n X N i n X X X =且相互独立...........1分所以 ()()3222214~3,~3nii i i X X n χχ==-∑∑ .......................................................3分从而()()321243~3,33i i nii X F n Xn ==∑--∑....................................................................5分所以 ()321241~3,33ii n ii X n F n X ==∑⎛⎫--⎪⎝⎭∑......................................................................6分2． 解：① 因为X 是连续型随机变量，故()F x 在(),-∞+∞内处处连续由(10)(1)(10)(1)F F F F -+=-⎧⎨-=⎩， 可得 0212a b a b ππ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩...................................................................4分 解得 11,2a b π==......................................................................................................6分 ② 111112{1}()(1)arcsin 022223P X F F π-<<=--=+-=.................................8分③ X 的密度函数 ,1()()0,x f x F x <'==⎩其它 .........................................10分3．解：令=ˆi A “第i 次取出的是次品”，2,1=i 。
大学高数期末考试题及答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），1．求极限()xx x xx 30sin 2cos 1lim -+→．解：()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim xx x x x x x x x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+→→→ 20302cos 1ln 032cos 1ln 02cos 1lnlim 2cos 1lnlim2cos 1ln1lim1limxxx x x x x ex ex x x x x x x x +=+⋅+-=-=→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+→⎪⎭⎫⎝⎛+→ ()412cos 1sin lim0-=+-=→x x x x ．2．设0→x 时，()x f 与22x 是等价无穷小，()⎰3xdt t f 与kAx等价无穷小，求常数k 与A ．解：由于当0→x 时，()⎰3xdt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim3=⎰→kxx Axdtt f ．而()()()10132320132323230132300061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3-→--→-→-→→=⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅⋅=⎰k x k x k x k x k xx Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，61,1==A k ．3．如果不定积分()()⎰++++dx x x bax x 22211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．解：将()()22211xx bax x ++++化为部分分式，有()()()2222211111xDCx x B x A x x bax x ++++++=++++， 因此不定积分()()⎰++++dx x x bax x 22211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数0==C A ．即()()()()()()()22222222211111111x x x D x B x D x B x x bax x +++++=+++=++++． 所以，有()()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++2112222．比较上式两端的系数，有D B b D a D B +==+=,2,1．所以，得1=b ．5．计算定积分{}⎰-2502,1min dx x ．解： {}⎩⎨⎧>-≤--=-1211222,1min x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤-<=3132221211x x x x x x ．所以，{}()()8132212,1min 2522110250=-+-+=-⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 的极坐标方程为3sin 3θa r =，求曲线C 的全长．解： 曲线3sin3θa r =一周的定义域为πθ≤≤30，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长为()()()()a d a d a a d r r s πθθθθθθθθθπππ233sin 3cos3sin3sin30230242623022==+='+=⎰⎰⎰．二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），6．求出函数()()()n n x x x f 221sin lim +=+∞→π的所有间断点，并指出这些间断点的类型．解：()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-=-=<=+=+∞→2102121212121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．因此211-=x 与212=x 是函数()x f 的间断点． ()00lim lim 2121==---→-→x x x f ，()()1sin lim lim 2121-==++-→-→x x f x x π，因此21-=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．()()1sin lim lim 2121==---→-→x x f x x π，()00lim lim 2121==++-→→x x x f ，因此21=x 是函数()x f 的第一类可去型间断点．7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限bb ξlim →．解：()x x f arcsin =在区间[]b ,0上应用Lagrange 中值定理，知存在()b ,0∈ξ，使得()0110arcsin arcsin 2--=-b b ξ．所以，22arcsin 1⎪⎭⎫⎝⎛-=b b ξ．因此，()()22220220220arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim b b b b b b b b b b b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→→→ξ 令b t arcsin =，则有422022220220sin lim sin sin lim lim ttt t t t t b t t b -=-=→→→ξ 3122sin 2lim 612cos 1lim 61122cos 22lim 42sin 2lim0202030==-=-=-=→→→→t t t t t t t t t t t t t所以，31lim=→bb ξ． 8．设()()⎰--=xy y dy ex f 102，求()⎰1dx x f ．解：()()()⎰⎰'-=11010dx x f x x xf dx x f在方程()()⎰--=xy y dy ex f 102中，令1=x ，得()()()01021102===⎰⎰---dy e dy ef y y y y ．再在方程()()⎰--=xy y dy ex f 102两端对x 求导，得()21x ex f --='，因此，()()()()⎰⎰⎰'-='-=11101dx x f x dx x f x x xf dx x f()12121101011222-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅===---⎰⎰e e e dx xe e dx xex xx．9．研究方程2x a e x=()0>a 在区间()∞+∞-,内实根的个数．解：设函数()12-=-xeax x f ，()()x x x e x ax e ax axe x f ----=-='222．令()0='x f ，得函数()x f 的驻点2,021==x x ．由于0>a ，所以 ()()+∞=-=--∞→-∞→1lim lim 2xx x eax x f ，()()112lim 12lim 1lim 1lim lim 22-=-=-=-=-=+∞→+∞→+∞→-+∞→+∞→x x x x x x xx x ea e x a e x a eax x f ．因此，得函数()x f 的性态⑴ 若0142>--ae ，即42e a >时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-、()2,0、()∞+,2内各有一个零点，即方程2x a e x=在()∞+∞-,内有3个实根．⑵ 若0142=--ae ，即42e a =时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-、()∞+,0内各有一个零点，即方程2x a e x=在()∞+∞-,内有2个实根．⑶ 若0142<--ae ，即42e a <时，函数()12-=-xe ax xf 在()0,∞-有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,内有1个实根．10．设函数()x f 可导，且满足()()()1-'=-'x f x x f ，()00=f ．试求函数()x f 的极值． 解：在方程()()()1-'=-'x f x x f 中令x t -=，得()()()1--'-='t f t t f ，即()()()1--'-='x f x x f ．在方程组()()()()⎩⎨⎧-=-'+'-=-'+'xx f x f x xx f x x f 中消去()x f -'，得()221x x x x f ++='．积分，注意()00=f ，得()()⎰++=-xdt t t t f x f 02210．即()()x x x dt t t t x f xarctan 1ln 2112022-++=++=⎰． 由()221x x x x f ++='得函数()x f 的驻点1,021-==x x ．而()()222121xx x x f +-+=''．所以，()010>=''f ，()0211<-=-''f ． 所以，()00=f 是函数()x f 极小值；()42ln 2111π-+-=-f 是函数()x f 极大值． 三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），11．求曲线x y =的一条切线，使得该曲线与切线l 及直线0=x 和2=x 所围成的图形绕x 轴旋转的旋转体的体积为最小． 解：设切点坐标为()t t ,，由ty 21=，可知曲线x y =在()t t ,处的切线方程为()t x tt y -=-21，或()t x ty +=21．因此所求旋转体的体积为()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰t t dx x t x tV 24384212022ππ所以，023842=⎪⎭⎫⎝⎛+-=t dt dV π．得驻点32±=t ，舍去32-=t ．由于 031643223222>⋅===t t t dtVd π，因而函数V 在32=t 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为2143+=x y ． 12．设函数()x f 在闭区间[]10，上连续，在开区间()10，内可导，且()21arctan 2=⎰πxdx e x f ，()01=f ．证明：至少存在一点()10，∈ξ，使得()()ξξξarctan 112+-='f ．解：因为()x f 在闭区间[]1,0上连续，所以由积分中值定理，知存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πη2,0，使得 ()()ηπηπarctan 2arctan 2f x f e xdx e =⎰．由于()21arctan 2=⎰πxdx ex f ，所以，()21arctan 2=ηπηf e ．再由()01=f ，得 ()()1arctan 4arctan 1f f e e ==πηη．作函数()()x ex g x f arctan =，则函数在区间[][]1,01,⊂η上连续，在区间()1,η内可导．所以由Rolle 中值定理，存在()()1,01,⊂∈ηξ，使得()0='ξg ．而 ()()()()21arctan xe x xf ex g x f x f ++'='． 所以存在()()1,01,⊂∈ηξ，使得()()()01arctan 2=++'ξξξξξf f e f e．由于()0≠ξf e ，所以()011arctan 2=++'ξξξf ，即()()ξξξarctan 112+-='f ．一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。