人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》复习练习题
《勾股定理》复习
一、基础达标:
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；
D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．
2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）
A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+
3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）
A 、2k
B 、k+1
C 、k 2－1
D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A ．121
B ．120
C ．90
D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）
（A
2d （B
d （C
）2d （D
）d
8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）
A ：3
B ：4
C ：5
D ：7
9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）
A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，
如果满足2(6)100
a c --=则三角形的形状是（ ）
A ：底与边不相等的等腰三角形
B ：等边三角形
C ：钝角三角形
D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．
12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．
17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为
cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方
是 ．
18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为2
12cm ，那么它的一条对角线
长是 ．
二、综合发展:
A
C
B
1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？
4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5．如图，有一只小鸟在一棵高13m
的大树树梢上捉虫子，它的伙伴
A
E
B
在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
答案:
小汽车小汽车
观测点
一、基础达标
1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．
答案: D.
2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.
答案：B.
3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然
后再求它的周长. 答案：C ．
4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角
形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.
5． 解析: 勾股定理得到：2
2215817=-，另一条直角边是15，
所求直角三角形面积为2
1
158602cm ⨯⨯=．答案: 2
60cm ．
6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．
答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．
7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、
︒90，3．
9． 解析：由勾股定理知道：2
2222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．
10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展
11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．
答案：5m ．
12解析：因为2
22252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为
xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522
x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm
13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助
勾股定理求出.
答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,
所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2
) ．
14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ． 15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。
人教版数学八年级下册第17章 勾股定理 单元习题 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（）A．a2﹣b2＝c2B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝7：24：252．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．20203．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．B．0.8 C．3﹣D．4．如图△ABC中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是（）A．8 B．9 C．6 D．155．下列说法中，正确的个数有（）①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个C．3个D．4个6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，则DC的长（）A．7 B．C．D．28．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（）m2的红地毯．A．21 B．75 C．93 D．969．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm10．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（）A．13km B．12km C．11km D．10km二．填空题（共5小题）11．现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为．12．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．13．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．17．如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米．18．如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离．19．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DC．试判断△BEF的形状，并说明理由．20．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．21．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．D．3．C．4．C．5．D．6．D．7．B．8．C．9．D．10．D．二．填空题（共5小题）11．30cm．12．9013．45°．14．15．15．17．三．解答题（共6小题）16．（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．17．①将正面和左面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则△ABC为直角三角形，∵AC＝×8+×6＝8m，BC＝5m，∴AB＝＝＝m．故壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6m，垂直距离为7m，此时的最短距离为m③将下面和右面展开，则A到B的水平距离为11m，垂直距离为2m，此时的最短距离为5m．综上所述，壁虎爬到蚊子处的最短距离为米．18．作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点．因为B′D＝DB，所以B′D＝AC，∠B′DO＝∠OCA＝90°，∠B′＝∠CAO，所以△B′DO≌△ACO（ASA），则OC＝OD＝AB＝×6＝3米．连接OB．在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，所以OB2＝32+42＝52，即OB＝5（米），所以点B到入射点的距离为5米．19．【解答】证明：设正方形ABCD的边长为4x，∵E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DC，∴AE＝DE＝2x，DF＝x，CF＝3x，∴在Rt△EDF中，EF2＝ED2+DF2＝x2+（2x）2＝5x2；在Rt△AEB中，EB2＝EA2+AB2＝（2x）2+（4x）2＝20x2；在Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2＝（4x）2+（3x）2＝25x2；∴EF2+BE2＝BF2，∴△BEF是直角三角形．20．【解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）解：S阴影＝S Rt△ABC﹣S Rt△ACD＝×10×24﹣×8×6＝96．21．（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S＝×4×t＝2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3﹣＝．。
人教版数学八年级下册第十七章 勾股定理 章节综合练习(附答案)
人教版数学八年级下册第十七章 勾股定理 章节综合练习（含答案） 一、单选题 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 2．下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A．1，3，2 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．5，6，7 3．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（ ） A．a2﹣b2＝c2 B．△A﹣△B＝△C
C．△A：△B：△C＝3：4：5 D．a：b：c＝7：24：25 4．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一
圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．8cm B．13cm C．12cm D．15cm 5．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A．4 B．8 C．64 D．16 6．已知
x，y为正数，且224(3)0xy，如果以x
，y的长为直角边作一个直角三
角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A．5 B．25 C．7 D．15 7．如图，在ABCV中，D是BC上一点，已知1312155ABADACBD，，，，
则DC的长为( )
A．13 B．
12
C．9 D．8
8．下列说法中，正确的有（ ） △如果△A+△B-△C=0，那么△ABC是直角三角形； △如果△A:△B:△C=5:12:13，则△ABC是直角三角形； △如果三角形三边之比为7:10:17，则△ABC为直角三角形；△如果三角形三边长分别是2244nnn、4、（n＞2），则△ABC是直角三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三
角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 10．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》171勾股定理同步练习题(含答案).docx
17.1《勾股定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a = 15, b = & c = 17B. Q =9,b = 12, c = 15C. Q =7,h = 24, c = 25D. a = 3, b = 5, c = 72.如图所示：数轴上点A所表示的数为a,则“的值是（）•3-2 -1 0 1 • 2 3 4A. A/5+1B. V5-1C. -V5+1D. -V5-13.如图，在RtAABC屮，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落在斜边AC的中点0处，若BC = 3,则折痕CE的长为（）A. V3B. 2A/3C. 3^3D. 64.如图，已知AB丄CD, AABD, A BCE都是等腰直角三角形.如果CD = 7, BE=3, 那么AC的长为（）D B CA. 8B. 5C. 3D. 45.如图，三个正方形中的两个的面积为：Sl=25, S2 = 144,则另一个的面积S3 为.（）A. 12B. 13C. 169D. 1946.在A ABC屮，ZA, ZB, ZC的对应边分别是a, b, c,若ZB = 90°,则下列等式中成立的是( )A. a2+b2=c2B. b2 + c2 = a2C. a2 + c2=b2D. c2—a2=b27.由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是( )A. ZA+ZC=ZBB. a=—，b=—，c=—3 4 5C. (b+a) (b-a) =c2D. ZA： Z B： ZC=5： 3： 2二、填空题&木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线为68cm,这个桌面________ (填”合格，域”不合格”).9.一个直角三角形的两直角边长分别为6、&则其斜边上的高为________ o10.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m,当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m,木板顶端向下滑动了0.9m,则小猫在木板上爬动了____________ m.11.如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表而爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_____ (兀取3)12.已知AABC 的三边8、b、c 满足Q-5) 2+ (b-12) 2+c2-26c+169=0,则△ ABC 是三角三角形.三、解答题13.在RtAABC 中，ZC = 90°, ZA、ZB、ZC 的对边分别为a、b、c.⑴若a ： b=3 ： 4, c=75cm,求a、b；(2)若a： c=15 : 17, b=24,求Z\ABC 的面积；(3)若c—a=4, b=16,求a、c；(4)若ZA=30°, c=24,求c 边上的高he；(5)若a、b、c为连续整数，求a+b+c.14.如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E, AD=8, AB=4,(1)判断ABDE的形状并说明理由;(2)求A DEC'的面积.15.在RtAABC 中，ZC=-90° , BC=3, ACM.现在要将交ABC 扩充成等腰三角形, 且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长.赵佳同学是这样操作的：如图1所示，延长BC到点D,使CD二BC,连接AD.所以，AADB为符合条件的三角形.则此时△ADB的周长为_____________ .请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长.参考答案1. D2. B3. B4. B5. C6. C7. B&合格9. 4.810. 2. 511.25解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示,点彳,〃的最短距离为线段的长，3020, /C为底面半圆弧长，AC=5T^15,所以MB = A/202 4- 152 = 25.则蚂蚁爬的最短路线长约为25.故答案为：25.12.直角13.(l)a=45cm. b = 60cm； (2)540； (3)a=30, c=34； (4)6V3； (5)12. 解析：⑴设a=3x,b=4x侧(3x)2 +(4町2 = 7S2/解得：x=15,故可得：a=45cm, b=60cm；(2)设a=15x,c=17x,M!|(17x)2一(15%)2 = 242, 解得：%=3,则 &=45,故厶ABC的面积=| x 45 x 24 = 540；(3)c2— a2 = b2 = 16勺即(c + a)(c — a) = 162 /丁c-a=4, ••• c + a = 64 /c — a = 4 c +a = 64,解得：｛a豐lc = 34.即a=30, c=34；(4)v LA = 30°, c = 24,••• a = 12,b = 12A/3/则扣b =|c x h c,解得：h c = 6V3；(5)设Q=X T,b=x, c=x+l,则可得：(X — 1)2 +送=(x + 1)2，解得：x=4,即a=3, b=4, c=5,故a+b+c=12.14.(1) ABDE是等腰三角形，理由见解析；(2) S ADEC-6.解：⑴厶BDE是等腰三角形，理由如下：由折叠可知，ZCBD=ZEBD f•: AD//BC,:.ZCBD=ZEDB,・・・ ZEBD=ZEDB,:.BE=DE,即是等腰三角形；(2)设QE=x,贝ij BE=x, 4E=8 - x,在Rt^ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即4?+(8 - x)2=x2, 解得：x=5, 所以S△肋尸学)氏/皆^5><4=10, 斯以S、DE W=S HBCE!~ *S，A5D^=^x8x4-10=6.所以△DEC的面积为6.15.16 10+2 苗丰解析：•・•在RUABC 中，ZC=90°, BC=3, AC=4, CD=BC, ・•・ AB=V32 + 42 = 5,则AD=AB=5,故此时AADB的周长为：5+5+6=16；如图2所示：AD=BD B寸，设DC=x,则AD=x+3, 在RtAADC 中，(x+3) 2=X2+42,解得：x£,6故AD=3+^ ,6 6则此时△ ADB的周长为：竺+至+5』；6 6 3如图3所示：AB=BD时，在RtAADC中，AD=“22 + 42 = 2V5,则此吋AADB的周长为：2^5+5+5=10+275.。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是（）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米2、长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于（）A.60B.40C.50D.704、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A.12B.7+C.12或7+D.以上都不对5、一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）A. B. C. D.6、有下列命题中是真命题的为（）A.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形B.三边长为，，的三角形为直角三角形 C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.不能确定8、如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A，B，以点A为圆心、AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心、AB1长为半径画弧交x轴于点A2按此做法进行下去，则点A2020的坐标是( )A.(2 2020， 0)B.(2 1010， 0)C.(2 1010+1，0)D.(2 1010-1，0)9、下列图形中，面积最大的是（）A.边长为6的正三角形；B.长分别为3、4、5的三角形；C.半径为的圆； D.对角线长为6和8的菱形；10、如图,在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<C.c<b<aD.b<a<c11、已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A＝∠C－∠BB.a 2＝b 2－c 2C.a:b:c＝2:3:4D.a＝，b＝，c＝112、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P.若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（）A. B.5 C. D.13、如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（）A. B. C. D.14、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )A.9B.36C.27D.3415、如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，则△ACE的周长为（）A.16B.15C.14D.13二、填空题(共10题，共计30分)16、一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是________ cm．17、如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是________。
八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版(含答案)
八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版（含答案）一、单选题(共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A3,4,5B．2,3C．6,7,8D．2,3,42．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和4．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于于12点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A ．2B ．103C ．158D ．1525．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()22610x x =--B ．()222610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C 7D ．577．如图所示，圆柱的高AB =3，底面直径BC =3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．31π+B ．32C 234π+D ．231π+8．在Rt △ABC 中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．13 9．如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A 7B ．38C ．78D ．5810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225C ．365D 33二、填空题(共30分)11．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，当a 、b 、c 满足_______时，△B =90°． 12．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，5AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，现将ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD =__________．14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了__米．15．已知：如图，ABC 中，△ACB =90°，AC =BC 2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．16．如图，在四边形ABCD 中，22AD =27AB =10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”，该图说明数轴上的点并不都表示________．18．在Rt△ACB中，△ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．19．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．20．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．三、解答题(共60分)21．如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长．22．一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?23．如图，把一块直角三角形（ABC ，90ACB ∠=︒）土地划出一个三角形（ADC ）后，测得3CD =米，4=AD 米，12BC =米，13AB =米．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求图中阴影部分土地的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，△ABC=90°．（1）求△ADC 的度数；（2）求出四边形ABCD 的面积．25．如图，在△ABC 和△DEB 中，AC △BE ，△C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =． （1）求证：△ABC △△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．26．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD△CD，AE△BD于点E，且△ABE△△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．27．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？参考答案1．B2．C3．C4．C5．D6．D7．C8．D9．C10．C11．a2+c2= b212．513．5 214．9．1531 16．14 17．有理数18．15 719．0.820．x2−（x−3）2＝8221．EF的长为15 222．（1）这个梯子的顶端A距地面有24m高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m．23．2424．（1）△ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为2234cm252527．（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°。
【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业同步练习(含答案)
微课堂第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为 c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B . 5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．6 3 cm 6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6． 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)a ＝7，b ＝24，求c ； (2)a ＝4，c ＝7，求b.解：(1)∵∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2. ∴72＋242＝c 2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5 B．6 C．8 D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作AD ⊥BC 于点D ， 设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．习题解析第2课时 勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是(D )A ．5 mB ．12 mC ．13 mD ．18 m第1题图 第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE.解：在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝CB 2－BD 2＝252－152＝20(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE 为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h 后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C ，1.5 h 后甲船所在位置为A ，乙船所在位置为B ，则 AC 与正北方向的夹角为45°，BC 与正北方向的夹角为45°， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18. ∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15 m高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B 距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图习题解析12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt △APO 中，∠APO ＝60°，则∠PAO ＝30°. ∴AP ＝2OP ＝200 m ，AO ＝AP 2－OP 2＝2002－1002＝1003(m )．在Rt △BOP 中，∠BPO ＝45°，则BO ＝OP ＝100 m .∴AB ＝AO －BO ＝1003－100≈73(m )． ∴从A 到B 小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m /s )＝87.48 km /h >80 km /h . ∴此车超过每小时80千米的限制速度．03 综合题15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16. ∴BC ＝4 cm .(2)由题意，知BP ＝t cm ，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2. 解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3 等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图 第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03 综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10. (3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】 直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图 第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】 (教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】 如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15 cm.3．如图是一个高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图 第4题图4．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01 m )．5．如图，长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ， ∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )． ∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm )． (2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm )． 如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm )． 如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm )．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是5 2 cm .17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2 勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形8．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a ＝3，b ＝22，c ＝5； (2)a ＝5，b ＝7，c ＝9； (3)a ＝2，b ＝3，c ＝7； (4)a ＝5，b ＝26，c ＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．02中档题10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．13c－10＝0，那么下列说法中不正确的是(C) 11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋||A．这个三角形是直角三角形B．这个三角形的最长边长是10C．这个三角形的面积是48D．这个三角形的最长边上的高是4.812．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5 cm.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，即AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．解：(1)连接AC.∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝ 2.又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.03 综合题17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a ，b ，c b ，c ，则a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 解：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝(n 2＋1)2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A. 6 B．6 2C．6 3 D. 12第1题图第2题图2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m第5题图第6题图6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B 两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题与逆定理8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形02中档题10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋1第10题图第11题图11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有(C)A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°第12题图第13题图13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC .∵∠ADC ＝90°，∴△ADC 是直角三角形．∴AD 2＋CD 2＝AC 2，即82＋62＝AC 2，解得AC ＝10.又∵AC 2＋CB 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ACB －S Rt △ACD＝12×10×24－12×6×8 ＝96(m 2)．故这块空白地的面积为96 m 2.16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD ＝2，求AC 的长．解：∵BD ＝CD ＝2，∴BC ＝22＋22＝2 2.∴设AB ＝x ，则AC ＝2x.∴x 2＋(22)2＝(2x)2.∴x 2＋8＝4x 2.∴x 2＝83. ∴x ＝263. ∴AC ＝2AB ＝436.03 综合题17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，CD ＝PC ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形．∴∠CPD＝45°.∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)．∴DB＝P A＝3.在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.∴∠DPB＝90°.∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.。
第17章 勾股定理解答题练习(四川地区专用)下学期四川省各地人教版八年级数学期中复习
第17章勾股定理解答题1．（2021·四川·成都新津为明学校八年级期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．2．（2021·四川·成都实外八年级期中）如图：四边形ABCD中, AB=BC2,CD 5DA=1, 且AB⊥CB 于B.试求:（1）⊥BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积.3．（2021·四川省渠县中学八年级期中）已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=1，CD3AD=1，且⊥B=90°．试求：（1）四边形ABCD的面积．（结果保留根号）（2）⊥BAD的度数．4．（2021·四川成都·八年级期中）如图，有一块菜地，已知AB＝4m，BC＝3m，AB⊥BC，AD＝53m，CD＝10m，求这块地的面积．5．（2021·四川·西川中学南区八年级期中）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN与点D，主梁上有两根拉索分别为AB、AC．⊥，AB、BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC＝米；（1）若拉索AB AC（2）若AB、AC的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．6．（2021·四川·中和中学八年级期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，⊥ABC中，⊥ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．7．（2021·四川·成都七中八年级期中）如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且AC⊥AB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么8．（2021·四川眉山·八年级期中）我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？9．（2021·四川省达川第四中学八年级期中）如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．（1）求折叠后DE的长；（2）求重叠部分△BEF的面积．10．（2021·四川省绵阳外国语学校八年级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C 着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．11．（2021·四川省达川第四中学八年级期中）A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）在x 轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P ，使得抽水站P 到A 、B 两个村庄的距离之和最小，请作出点P 的位置，并求此时距离之和的最小值．12．（2021·四川成都·八年级期中）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块四边形空地上种植草皮，经测⊥B ＝90°，AB ＝6米，BC ＝8米，CD ＝24米，AD ＝26米，如果种植草皮费用是300元/米2，那么共需投入多少钱？13．（2021·四川·达州中学八年级期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点P 1（1x ，1y ），P 2（2x ，2y ）其两点间的距离P 1P 2 = ()()221212x x y y -+-时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|2x − 1x |或|2y − 1y |．（1）已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A 、B 两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为 D (-1，4)、E (-2，2)、F (3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x 轴上找一点 P ，使得∆PDF 是以DF 为底的等腰三角形，求点P 的坐标．14．（2021·四川·达州中学八年级期中）已知：直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且b 的平方根分别为24a -与1a -，求c 的值．15．（2021·四川·成都市青羊实验中学八年级期中）在⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ，点O 是AB 的中点，点D 是射线CA 上一点，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，连接EO ．（1）若CD ＝1，CB ＝3，求CE 的长；（2）过点O 作OF ⊥OE 交BD 于点F ，求证OE ＝OF ；（3）请直接写出CE ，EB ，EO 三条线段间的关系．16．（2021·四川·成都高新新源学校八年级期中）八年级1班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE ，测得如下数据：⊥测得BD 的长度为8米：(注：BD ⊥CE )⊥根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为17米；⊥牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE ．（2）若松松同学想风筝沿CD 方向下降9米，则他应该往回收线多少米?17．（2021·四川·达州市通川区第八中学八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？18．（2021·四川·成都新津为明学校八年级期中）如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标．19．（2021·四川省达川第四中学八年级期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD 中，AB ＝3 m ，BC ＝4 m ，CD ＝12 m ，DA ＝13 m ，⊥B ＝90°.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？20．（2021·四川省绵阳外国语学校八年级期中）如图，在⊥ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB =13，AD =12，AC =15，BD =5，求CD 的长．21．（2021·四川·达州市第一中学校八年级期中）已知，如图，等腰△ABC 的底边BC ＝10cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝8cm ，BD ＝6cm ，求AB 的长．22．（2021·四川·达州中学八年级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？23．（2021·四川德阳·八年级期中）已知：如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13，（1）求BC的长度；（2）证明：BC⊥BD．24．（2021·四川·西川中学南区八年级期中）如图，⊥ABC和⊥ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD ＝AE，且⊥BAC＝⊥DAE．（1）如图⊥，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图⊥，连接BD、CD，若⊥BAC＝⊥DAE＝60°，CD⊥AE，CD＝3BD＝7⊥ACD的面积；（3）如图⊥，若⊥BAC＝⊥DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究AB、CD、CE之间的数量关系，并证明．25．（2021·四川省巴中中学八年级期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：⊥测得BD的长度为24米；⊥根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；⊥牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．（1）求风筝的高度CE；CM=米），则他往回收线多少米？（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即826．（2021·四川·中和中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中两直角边a，b满+-（3a﹣2b+5）2=0，求第三边长c的值．27a b27．（2021·四川广安·八年级期中）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知⊥BAC=60°，⊥DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE2m，求点B到地面的垂直距离BC．28．（2021·四川·树德中学八年级期中）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得前方小岛C的俯角为30°，水平飞行20km后到达B处，发现小岛在其后方，测得小岛的俯角为45°．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．29．（2021·四川·雅安中学八年级期中）已知：如图，⊥ABC中，CD⊥AB，AB＝5BC＝2，AC＝4．（1）求证：⊥ABC是直角三角形；（2）求CD的长．30．（2021·四川·成都实外八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为()0,a，(),0b，(),b c（如图所示），其中a，b，c满足关系式()2230c-≤．a b--=，40（1）求a，b，c的值；P m，是否存在点P，使AOP的面积与ABC的面积相等？若存在，（2）如果在第二象限内有一点(),1求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在y轴上是否存在一点M，使ABM为等腰三角形，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．31．（2021·四川省渠县中学八年级期中）“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传．如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：（1）村庄能否听到宣传？请说明理由．（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？32．（2021·四川·成都市青羊实验中学八年级期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，⊥B＝90°，连接AC．(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？33．（2021·四川省渠县中学八年级期中）定义：如图⊥，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图⊥，在等腰直角⊥ABC中，AC=BC，⊥ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足⊥MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把⊥CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；（3）在（2）的问题中，若⊥ACM=15°，AM=1，31，求BM的长．（提示：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半．）34．（2021·四川·达州市通川区第八中学八年级期中）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离是5cm，在点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬行到点B去吃蜂蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？请通过画图和计算进行解答．35．（2021·四川·西川中学南区八年级期中）已知三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图：（1）分别写出点A、A′的坐标：A，A′；（2）若点P（m，n）是三角形ABC内部一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点P′的坐标为；线段PP′的长度为；（3）求三角形ABC的面积．36．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在△ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，E为BC 边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点D且⊥BCF＝⊥CAE，CG平分⊥ACB交AD于点G．（1）如图1，求证：CF ＝AG ；（2）如图2，延长CG 交AB 于H ，连接BG ，过点C 作CP ⊥BG 交AE 的延长线于点P ，求证：P A ＝CP +CF ；（3）如图3，在（2）问的条件下，当⊥GBC ＝2⊥FCH 时，若AG ＝8，求BC 的长．37．（2021·四川广安·八年级期中）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点Q 、R 处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．38．（2021·四川·达州市通川区第八中学八年级期中）已知：如图，在△ABC 中，⊥A 、⊥B 、⊥C 所对的边分别为a 、b 、c ，点E 是AC 边上的一个动点（点E 与点A 、C 不重合）．（1）当a 、b 满足a 2+b 2﹣16a ﹣12b +100＝0，且c 是不等式组12642233x x x x +⎧≤+⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩的最大整数解，试求△ABC 的三边长；（2）在（1）的条件得到满足的△ABC 中，若设AE ＝m ，则当m 满足什么条件时，BE 分△ABC 的周长的差不小于2？39．（2021·四川·成都市第十八中学校八年级期中）如图，⊥ABC中，⊥BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC 边上一点．（1）如图1，若AD＝AM，⊥DAM＝120°．⊥求证：BD＝CM；⊥若⊥CMD＝90°，BD＝2，求CD的长；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且BD＝1，AB＝2，⊥DAE＝60°，求DE的长．40．（2021·四川·成都西川中学八年级期中）在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，点E是AD上一点．（1）如图1，作BF⊥CE于点F，交CD于点G．求证：AE＝CG；（2）如图2，作AH⊥CE交CE延长线于点H，交CD延长线于点M．⊥判断CM与BE的数量关系，并说明理由；⊥若⊥ACE＝15°，AB＝6，求AH的长．41．（2021·四川绵阳·八年级期中）如图：每个小正方形的边长都是1．（1）求四边形ABCD的周长．（2）求证：90BCD ∠=︒．42．（2021·四川成都·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1，1），B （4，1），C （3，3）．（1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）43．（2021·四川·成都七中八年级期中）已知，在⊥ABC 中，AB=AC ，（1）如图1，2,,ABC BDA αα∠=∠=若30α=︒，且点D 在CA 的延长线上时，求证：222CD BD AD =+；（2）如图2，2,,ABC BDA αα∠=∠=若30α=︒，试判断AD ，BD ，CD 之间的等量关系，并说明理由 （3）如图3，若45,2,BDA ABC AD ∠=∠=︒=BD =5，求CD 的长．44．（2021·四川·南部县第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，⊥B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．45．（2021·四川·成都七中八年级期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“22+-+”244(12)9x xx+可看作两直角边分别为x和22（）可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜12-9x+边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB22+-+的最小值是x x4(12)9_________（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a + b = 422++_________41a b（3）方法应用：已知a，b222222+++4,9,4a b a b a b形的面积（用含a，b的代数式表示）46．（2021·四川·成都七中八年级期中）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B 在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．（1）试判断⊥AOB的形状，并说明理由；（2）在第二象限内是否存在一点P，使得⊥POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值．47．（2021·四川·中和中学八年级期中）已知在⊥ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰⊥ADE ，AD =AE ．（1）如图1，若⊥BAC =⊥DAE =90°，连接CE ．求证：⊥ABD ⊥⊥ACE ；（2）如图2，若⊥BAC =⊥DAE =120°，AB =AC =2．⊥当AE ⊥BC 时，求线段BD 的长；⊥取AC 边的中点F ，连接EF ．当点D 从点B 运动到点C 过程中，求线段EF 长度的最小值与最大值．48．（2021·四川·成都西川中学八年级期中）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．请完成下列探索过程：【研究情景】如图1，在⊥ABC 中，⊥ABC 的角平分线交AC 于点D ．【初步思考】（1）若AB ＝4，BC ＝7，则ABD CBDS S ∆∆＝ ； 【深入探究】（2）请判断AB BC 和AD CD之间的数值关系，并证明； 【应用迁移】（3）如图2，⊥ABC 和⊥ECD 都是等边三角形，⊥ABC 的顶点A 在⊥ECD 的边ED 上，CD 交AB 于点F ，若AE ＝4，AD ＝2，求⊥CFB 的面积．参考答案：1．旗杆的高度为12米【解析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为（x +1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为（x +1）米，根据勾股定理可得：x 2+52=（x +1）2，解得，x =12．答：旗杆的高度为12米．【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键是利用勾股定理即可求得AB 的长． 2．（1）135°（2）2【解析】（1）连接AC ，根据Rt ⊥ABC 求出AC 的长，再利用勾股定理证明⊥ACD 是直角三角形，故可求出⊥BAD 的度数（2）由S 四边形ABCD =S △ABC + S △ADC ，即可求出四边形ABCD 的面积.（1）连接AC ，⊥AB =BC 2,⊥AC ()()22222+⊥⊥BAC =45°，⊥AD 2+AC 2=1+4=5=CD 2，⊥⊥ACD 为直角三角形.⊥⊥BAD =90°+45°=135°，（2）S 四边形ABCD =S △ABC + S △ADC=1122BC AB AC AD ⨯+⨯ =1+1=2【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理.3．（1）122；（2）135° 【解析】（1）连接AC ，由勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD △的形状，再根据ABC ADC ABCD S S S =+四边形即可得出结论；（2）根据等腰直角三角形的性质可得⊥BAC ，加上⊥CAD 即可．解：（1）连接AC ，1AB BC ==，90B ∠=︒，22112AC ∴=+=又1AD =，3DC = ∴22(3)1(=+22)，即222CD AD AC =+，90DAC ∴∠=︒，ABC ADC ABCD S S S ∴=+四边形11121112222=⨯⨯+=． （2）1AB BC ==，45BAC BCA ∴∠=∠=︒，4590135BAD ∴∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．（253m2．【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出⊥CAD是直角三角形，分别求出⊥ABC和⊥CAD的面积，即可得出答案．解：连结AC，在⊥ABC中，⊥⊥B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，⊥AC22AB BC5（m），S△ABC＝12×3×4＝6（m2），在⊥ACD中，⊥AD＝3，AC＝5m，CD＝10m，⊥AD2+AC2＝CD2，⊥⊥ACD是直角三角形，⊥S△ACD＝123253（m2）．⊥四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝（253（m2）．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出⊥ABC和⊥CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．（1）24米；（2）12米【解析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理建立方程即可得解．⊥，AB、BC的长度分别为10米、26米，解：（1）⊥AB AC⊥AC2222--=（米），261024BC AB故答案为：24米；BC＝，（2）⊥21⊥BD＝21﹣CD，⊥AD BC⊥，⊥2222--＝，AB BD AC CD⊥2222=---，BD BD1320(21)⊥BD＝5，⊥AD2222-=-=（米）．AB BD13512【点睛】本题考查了勾股定理结合方程的应用；关键在于根据勾股定理建立方程．6．AC=4.55【解析】由题意可设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得32+x2=（10﹣x）2，然后问题可求解．解：设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得：32+x2=（10﹣x）2，解得：x=4.55，⊥AC=4.55．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．需要封闭，理由见解析【解析】过A 作AK BC ⊥于,K 先求解,BC 再利用等面积法求解,AK 再与260比较，可得答案.解：过A 作AK BC ⊥于,K,400,300,AB AC AB AC 22500,BC AB AC 11,22AB AC BC AK 300400500,AK240,AK240260,所以进行爆破时，公路BC 段需要暂时封闭.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.8．超速了，超速了12km /h【解析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．.解：由已知得50m,30m AB AC ==⊥在直角三角形ABC 中AB 2＝AC 2＋BC 2⊥BC 2＝AB 2－AC 2＝222503040-=，40m BC ∴=又4020m /s 22BC == 20m /s 72km /h 60km /h => ⊥72－60＝12km /h⊥这辆小汽车超速了，超速了12km/h．【点睛】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点．9．（1）折叠后DE的长为5cm；（2）重叠部分△BEF的面积为7.5cm2．【解析】（1）设DE=xcm，由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=（9-x）cm，在Rt⊥ABE中，由勾股定理可求得ED的长；（2）由翻折的性质可知⊥DEF=⊥BEF，由矩形的性质可知BC⊥AD，从而得到⊥BFE=⊥DEF，故此可知⊥BFE=⊥FEB故此FB=BE，最后根据三角形的面积公式求解即可．解：（1）设DE=xcm．由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=（9-x）cm．在Rt⊥ABE中，由勾股定理得；BE2=EA2+AB2，即x2=（9-x）2+32．解得：x=5．DE的长为5cm；（2）由翻折的性质可知⊥DEF=⊥BEF．⊥四边形ABCD为矩形，⊥BC⊥AD．⊥⊥BFE=⊥DEF．⊥⊥BFE=⊥FEB．⊥FB=BE=5cm．⊥⊥BEF的面积=12×BF×AB=12×5×3=7.5cm2．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得⊥BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键．10．5米【解析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立方程，进而求解即可．解：依题意得AC＝2，AE＝3，设原标杆的高为x，⊥⊥A＝90°，⊥由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．⊥原来标杆的高度为5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.11．（1）（1，1），（5，2）；（2）作图见解析；此时距离之和的最小值为5．【解析】（1）根据图示直接写出点A、点B的坐标即可；（2）先求出点A关于x轴的对称点C的坐标，连接CB交x轴于P，此时P A+PB最小，在直角三角形BCD中利用勾股定理求出CB的长即可．解：（1）点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(5，2)；故答案为：(1，1)，(5，2)；（2）点P的位置如图所示，P A+PB最小值为CB22+．435⊥距离之和的最小值为5．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题以及勾股定理的运用，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．12．43200元【解析】连接AC 根据勾股定理求出AC 的长，然后运用勾股定理逆定理得出90ACD ∠=︒，运用三角形面积计算公式计算即可．解：连接AC ，⊥⊥B ＝90°，⊥在Rt⊥ABC 中，由勾股定理得AC 22AB BC +2268+10（米），在⊥ACD 中，⊥AC 2+CD 2＝102+242＝262＝AD 2，⊥⊥ACD 是直角三角形，且⊥ACD ＝90°，⊥S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝12AB •BC +12AC •CD ＝12×6×8+12×10×24＝24+120＝144（平方米），所以需费用300×144＝43200（元）．⊥需要投入43200元．【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解本题的关键．13．（1）25（2）DEF 是直角三角形；（3）102P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）根据题目中给出的两点间的距离P 1P 2 = ()()221212x x y y -+-（2）根据两点间距离公式分别求出DE ，DF ，EF 的长度，即可判断此三角形的形状；（3）设点P 的坐标为(x ，0)，根据两点间距离公式分别表示出PD 和PF 的长度，根据PD PF =列出方程求解即可．解：（1）⊥两点间的距离P 1P 2 = ()()221212x x y y -+-A (1，4)、B (-3，2)， ⊥()()2213425AB =++-=（2）⊥三角形各顶点坐标为 D (-1，4)、E (-2，2)、F (3，2)，⊥()()2212425DE =-++- ()()2213425DF =--+-= ()()2223225EF =--+-， ⊥(222252525DE DF +=+=，22525EF ==，⊥222DE DF EF +=，⊥DEF 是直角三角形；（3）设点P 的坐标为(x ，0)，⊥∆PDF 是以DF 为底的等腰三角形，⊥PD PF =， ()()()()2222104302x x ++--+- 即()()()()2222104302x x ++-=-+-， 整理得：84x =-，解得：12x =-．⊥点P 的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】此题考查了两点间距离公式的运用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用两点间距离公式．14．57【解析】先根据平方根的性质，可求出3a = ，从而得到b =4，然后分两种情况：当c 为直角三角形的斜边时，当c 为直角三角形的直角边时，利用勾股定理，即可求解．解：⊥b 的平方根分别为24a -与1a -，⊥2410a a -+-= ，解得：3a = ，⊥()()221134b a =-=-= ，当c 为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：2222345c a b ；当c 为直角三角形的直角边时，由勾股定理得：2222437c b a --综上所述，c 的值为57．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平方根的性质，熟练掌握勾股定理，平方根的性质，并会利用分类讨论思想解答是解题的关键． 15．（13102）见解析（3）BE =CE 2EO 【解析】（1）利用勾股定理求出BD ，再利用等积法即可求CE 的长；（2）连接CO ，交BD 于H 点，证明⊥BOF ⊥⊥COE ，故可求证OE ＝OF ；（3）由（2）得到⊥EOF 是等腰直角三角形，得到EF 2EO ，故可得到CE ，EB ，EO 三条线段间的关系．（1）⊥⊥ACB ＝90°，CD ＝1，CB ＝3，⊥BD 221310+⊥S △BCD =1122CD BC BD CE ⨯=⨯ ⊥CE =310CD BC BD ⨯=； （2）连接CO ，交BD 于H 点，⊥点O 是AB 的中点，AC ＝BC ，⊥ACB ＝90°，⊥CO ⊥AB ，CO =BO⊥⊥BOF +⊥FOH =90°，⊥EO ⊥FO⊥⊥COE +⊥FOH =90°⊥⊥BOF =⊥COE又CE ⊥BD⊥⊥CEH =⊥BOH =90°又⊥CHE =⊥BHO⊥⊥FBO=⊥ECO⊥⊥BOF⊥⊥COE（ASA）⊥OE＝OF；（3）BE=CE2，理由如下：⊥OE＝OF，EO⊥FO⊥⊥EOF是等腰直角三角形⊥EF2EO⊥⊥BOF⊥⊥COE⊥CE=BF⊥BE=BF+EF=CE2．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．16．（1）风筝的高度CE为16.6米；（2）往回收线7米．【解析】∆中应用勾股定理求得CD，然后利用CE=CD+1.6求解即可；（1）在Rt BDC∆中使用勾股定理即可求得BF，（2）根据题意得到示意图，且根据第（1）问求得DF，然后在Rt BDF最终利用BC-BF即可求解．∆中，根据勾股定理得：（1）在Rt BDC2222--=（米）CD BC BD17815⊥CE=CD+1.6=15+1.6=16.6（米）⊥CE=16.6（米）（2）根据题意得到下图：⊥CD=15（米）⊥FD=CD-9=15-9=6（米）⊥在Rt BDF ∆中，由勾股定理得：22228610BF BD FD ++=⊥BC -BF =17-10=7（米）⊥应该往回收线7米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，其中第（2）问一定要注意收线时，人的位置不动，要和梯子滑落问题做好区分．17．（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；（2）利用勾股定理的逆定理得出⊥ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，⊥⊥ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，2270()ED EC CD km -，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．18．E （4，8） D （0，5）【解析】先根据勾股定理求出BE 的长，从而可得出CE 的长，求出E 点坐标．在Rt⊥DCE 中，由DE =OD 及勾股定理可求出OD 的长，从而得出D 点坐标．解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，⊥在Rt⊥ABE 中，AE =AO =10，AB =8，22221086BE AD AB --=，⊥CE =4，⊥E （4，8）在Rt⊥DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，又⊥DE =OD ，⊥（8-OD ）2+42=OD 2⊥OD =5⊥D （0，5）【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形．19．3600元【解析】（1）利用勾股定理可以证明三角形ACD是直角三角形；（2）运用勾股定理可以求得AC的值，同样，可以求出这块草坪的面积，然后就能求得铺满这块空地共需花费的费用．解：（1）⊥⊥B=90°, AB=3m，BC=4m,22AB BC，又⊥CD=12m,DA=13m，⊥AC2+CD2=DA2，⊥⊥ACD是直角三角形．（2）解：连接AC，则由勾股定理得AC=5m，⊥AC2+DC2=AD2，⊥⊥ACD=90°．这块草坪的面积=S Rt△ABC+S Rt△ACD=12AB•BC+12AC•DC=12（3×4+5×12）=36m2．故需要的费用为36×100=3600元．答：铺满这块空地共需花费3600元．考点：勾股定理．20．9【解析】先根据勾股定理的逆定理判断出⊥ABD是直角三角形，再在Rt⊥ACD中根据勾股定理求出BD的长即可．解：在⊥ABD中，AB=13，AD=12，BD=5，⊥AD2＋BD2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169，⊥AD2＋BD2＝AB2，⊥⊥ABD是直角三角形，且⊥ADB＝90°，。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷及答案解析
八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷分值：120分时间：90分钟一、选择题.（本大题共12道小题，共36分）1．下列线段能组成直角三角形的一组是（）A ．1，2，2B ．3，4，5C ，2D ．5，6，72．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题中的假命题是（）A ．如果∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果222c b a =-，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．如果2()()c a c a b +-=，则△ABC 是直角三角形D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3(如图).以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米5．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足222()()0a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米．A．1B．2C．3D．47．我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）提示：2≈1.414，3≈1.732A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元8．等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．10B．310C．10或310D．4或3109．如图所示，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，DC＝3，则BF的长是（）A．1B．2C．3D．410．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．13米11．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三、股四、则弦五”的记载。
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理 含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（）A.3 cmB.4 cmC.5 cmD. cm2、如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（）小时，甲、乙两人相距6千米？A. B. C.1.5 D.3、下列说法中，不正确的是（）A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形4、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为( )A.4B.8C.16D.645、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.C.6，8，10D.9，12，156、如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ )A.14B.16C.20D.287、如图，⊙O的半径为5，弦心距OC=3，则弦AB的长是（）A.4B.6C.8D.58、在下列三角形中，外心在它一条边上的三角形是（）A.三角形的边长分别为2cm，2cm，3cmB.三角形的边长都等于4cm C.三角形的边长分别为5cm，12cm，13cm D.三角形的边长分别为4cm，6cm，8cm9、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为（）A.2∶3∶4B.7∶24∶25C.5∶12∶14D.4∶6∶1010、如果将直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A.2倍B.4倍C.3倍D.以上结论都不对11、如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接，给出四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A.x 2﹣6=（10﹣x）2B.x 2﹣6 2=（10﹣x）2C.x 2+6=（10﹣x）2 D.x 2+6 2=（10﹣x）213、如图，已知△ABC中，AB=6，AC=8，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）A.28B.36C.45D.5214、如图，在中，AD⊥BC于 D， AB=3，DB=2，DC=1，则AC等于（）A.6B.C.D.415、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①=AB•AC ④，正确的个数是∠CAD=30°②③S平行四边形ABCD（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点A、B、C为顶点的三角形的面积是________，周长是________．17、已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于________.18、有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是________19、已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于________．20、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=________cm．21、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是________㎝．22、如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，作的平分线，交于点F，连接，若，，且，则________.23、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行________千米．24、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为尺，则可列方程为________.25、如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA ＝6，OC＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为________。
八年级数学(下)第十七章《勾股定理》同步练习(含答案)
八年级数学（下）第十七章《勾股定理》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是 A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C2．Rt △ABC 中，斜边BC =2，则AB 2+AC 2+BC 2的值为 A ．8B ．4C ．6D ．无法计算【答案】A【解析】利用勾股定理，由Rt △ABC 中，BC 为斜边，可得AB 2+AC 2=BC 2，代入数据可得 AB 2+AC 2+BC 2=2BC 2=2×22=8．故选A ．3．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠DBC =90°，AD =4，AB =3，BC =12，则CD 为A ．5B ．13C ．17D ．18【答案】B【解析】∵∠BAD =90°，∴△ADB 是直角三角形，∴BD =22AD AB +=2234+=5，∵∠DBC =90°，∴△DBC 是直角三角形，∴CD =22BD BC +=22512+=13，故选B ．4．如图的三角形纸片中，AB =8，BC =6，AC =5，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长是A ．7B ．8C ．11D ．14【答案】A5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为2和10，则b 的面积为A ．8B ．10+2C ．23D ．12【答案】D【解析】如图，∵a 、b 、c 都为正方形，∴BC =BF ，∠CBF =90°，AC 2=2，DF 2=10，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABC 和△DFB 中， 13BAC FDBBC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFB ，∴AB =DF ，在△ABC 中，BC 2=AC 2+AB 2=AC 2+DF 2=2+10=12，∴b 的面积为12．故选D ．6．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8 m ，树的顶端离树根6 m ，则这棵树在折断之前的高度是A ．18 mB ．10 mC ．14 mD ．24 m【答案】A【解析】∵BC =8 m ，AC =6 m ，∠C =90º，∴AB 22228610BC AC +=+= m ，∴树高10+8=18 m ． 故选A ．7．如图，盒内长、宽、高分别是6 cm、3 cm、2 cm，盒内可放木棒最长的长度是A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【答案】B8．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为A．45B．85C．165D．245【答案】C【解析】S△ABC=12×BC×AE=12×BD×AC，∵AE=4，AC=2243=5，BC=4，即12×4×4=12×5×BD，解得BD=165．故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．已知在△ABC中，AB=9，AC=10，BC=17，那么边AB上的高等于__________．【答案】8【解析】如图，作CD⊥AB交AB的延长线于D点，设CD=x，AD=y，在直角△ADC中，AC2=x2+y2，在直角△BDC中，BC2=x2+（y+AB）2，解方程得y=6，x=8，即CD=8，∵CD即AB边上的高，∴AB边上的高等于8．故答案为：8．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，现分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AB、BC于点D、E，则CE的长为__________．【答案】7 411．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN的长为__________．【答案】23【解析】∵∠BAC=120°，AB=AC，∴△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，如图，连接PN，∴△ABM≌△ACP，∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP，∴∠NCP=60°，∴∠CPD=30°．∵∠MAN=60°，∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN，∵AM=AP，AN=AN，∴△MAN≌△PAN，∴MN=PN，过点P作BC的垂线，垂足为D，∴CD=12PC=1，DN=CN-CD=4-1=3，∴PD3∴PN =22PD DN +=22(3)3+=23，∴MN =PN =23．故答案为：23．12．如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =6，点D 是AC 边的中点，点P 是BC 边上一点，若△BDP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于__________．【答案】32或5在△BDC 中，设BH =x 2222(32)3(35)x x =-，解得：5x =在△BDH 中，229(32)()55DH =-=， 在△PDH 中，设PH =y ，则BP =PD 5y -，由勾股定理得222()(55y y +=，解得：5y = ③当BP 为底时，则BD =PD =32P 点与C 点重合时，PD =3，且点P 是BC 边上一点，不是延上长线上的，所以不存在．故答案为：325 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：2222AB CD AD BC +=+．14．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元？【解析】在Rt ABC △中，224AC AB BC =-=米，故可得地毯长度=AC +BC =7米， ∵楼梯宽2米，∴地毯的面积=14平方米， 故这块地毯需花14×30=420元． 答：地毯的长度需要7米，需要花费420元．15．如图，在一棵树（AD ）的10 m 高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m 的池塘C 处，而另一只则爬到树顶D 后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？16．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【解析】（1）如图，由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320 km，则AC=160 km，因为160<200，所以A城要受台风影响．。