人教版高中数学必修一《二次函数与一元二次方程、不等式》PPT教学课件
高中数学 一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义 新人教A版必修一第一册
1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解
的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－b2a} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
状元随笔 一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x
[教材解难]
教材P50思考
能．可以从2个角度来看
①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
[基础自测]
人教版高中数学必修第一册一元二次不等式
一元二次不等式(1)
教学目的：
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：图象法解一元二次不等式
教学难点：字母系数的讨论；一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系
一、复习
1.分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式cbxax2>0与cbxax2<0的解集
设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)
0 0 0
二次函数
cbxaxy2
（0a）的图象
cbxaxy2
cbxaxy2
cbxaxy2
一元二次方程
的根002acbxax 有两相异实根
)(,2121xxxx 有两相等实根
abxx221 无实根
的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2
R
的解集)0(02acbxax 21xxxx
二、讲解范例：
例3 解不等式01442xx.
例4解不等式0322xx 三、归纳总结解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=cbxax2>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根1x<2x，.002121xxxAxxxA，则若；或，则若
ⅱ.=0时，求根1x＝2x＝0x，.00000xxAxAxxA，则若；，则若的一切实数；，则若
【精品讲义】新课标高一 数学 必修一基本不等式和二次函数与一元二次方程不等式
年级
日期 江老师
基本不等式和二次函数与一元二次方程不等式（第 4 讲）
学习目标
1.掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小
2.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
3.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元
二次不等式的现实意义.
导学一：基本不等式
知识点 基本不等式
a＋b
2 a＋b
2 1．如果a>0，b>0， ab≤ ，当且仅当a＝b 时，等号成立．其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab
叫做正数 a，b 的几何平均数．
＋ a b 2．变形：ab≤ 2，a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2
a＋b≥2 ab，a，b 都是正数，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
一、利用基本不等式比较大小
例 1 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均
增长率为 x(a，b，x 均大于零)，则( )
a＋b
2 a＋b B．x≤ a＋b
2 a＋b
2 A．x＝ C．x> D．x≥ 2 a＋b
2 反思感悟 基本不等式 ≥ ab一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和
为积或者化积为和．
跟踪训练 1 若 0
二、利用基本不等式直接求最值
12 例 2 (1)当 x>0 时，求 ＋4x 的最小值； x
12 (2)当 x<0 时，求 ＋4x 的最大值； x
8
x－1 (3)当 x>1 时，求 2x＋ 的最小值；
a (4)已知 4x＋ (x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，求 a 的值． x
反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，
合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练 2 已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)· (1＋y)的最大值为(
人教A版高中数学必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
一．一元二次不等式的概念
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
二．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
例1 解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0.
练习：解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0.
例2 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
2 / 5
例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
堂练习
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为( )
A.31x 1x B.131xx C．∅ D．R
2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.213xxx或 B.321xx C.213xxx或 D．R
3．已知集合U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，∁UA等于( )
A．{x|13}
4．若0
3 / 5
A.mxmx1 B.mxmxx或1 C.mxmxx1或 D.mxmx1
人教A版必修1第2章一元二次函数、方程和不等式：等式性质与不等式性质(教案)(同步讲义)
1 / 15 人教A版必修1第2章一元二次函数、方程和不等式：等式性质与不等式性质（教案）（同步讲义）
【教材分析】
本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修一第二章第一节的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；
现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容的重要保障；
本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。
在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点。
【教学目标】
课程目标 学科素养
A．通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；
B．能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；
C．培养学生观察、类比、辨析、运用的
综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑
推理能力； 1．数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；
2．逻辑推理：作差法的原理；
3．数学运算：用作差法比较大小；
4．直观想象：在几何图形中发现不等式；
5．数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；
【教学重难点】
1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；
2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；
【教学准备】 2 / 15 多媒体
【教学过程】
第一课时 教学设计
一、 情景引入，温故知新
（一）情境导学
1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m（含1.1
高中数学一元二次函数方程和不等式基本不等式讲义新人教A版必修一第一册
1
式解决简单的最大值或最小值问题
新知初探M3E3困E1
知识点基本不等式
⑴重要不等式：对于任意实数 a、b,都有a2+ b2仝2ab,当且仅当a=^时，等号成立.
⑵ 基本不等式： 剧乞苓^(a>0, b>0),当且仅当a= b时，等号成立.其中竺夢和更
分别叫做正数a, b的算术平均数和几何平均数.
a —p b
状元随笔|基本不等式• a—b(a , b€ R+)的应用:
⑴两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a>0, b>0,且a + b = M M为定
(2)两个正数的积为定值时， 它们的和有最小值，即若a>0, b>0,且ab = P, P为定值,
则a + b>2 P,当且仅当a = b时等号成立.
［基础自测］
1. 已知a, b€ R,且ab>0,则下列结论恒成立的是 ( )
A. a2 + b2>2ab B. a + b》2 ab
112 b a C.一 + > D. -+ >2 a b ab a b
解析：对于A,当a= b时，a2+ b2= 2ab,所以A错误；对于B, C,虽然ab>0,只能说
b a b
明a, b同号，当a, b都小于0时，B, C错误；对于D,因为ab>0,所以->0,匚>0,所以-
a b a
a b a 亦b a 亠、
+2 5^ b 即 a+ b>2 成立.
答案：D
1
2. 若a>1，贝U a+—；的最小值是( )
a- 1
A. 2 B . a 2.2 基本不等式
最新课程标准：掌握基本不等式 亍(a. b>0) •结合具体实例，能用基本不等
2
，则abw 4，当且仅当 a= b时等号成立•即: a + b= M M为定值时, (ab) max— 4 2
C.^ D - 3
解析：a>l，所以a- 1>0,
1 1 / —
所以 a+ a-7=a-1+a-1+3 a-1 • a-1+1=3.
i
当且仅当a- 1= 即a= 2时取等号.
【高中数学】二次函数与一元二次方程+不等式(第2课时)(教学设计+人教A版2019必修第一册
教学单元
第二章
一元二次函数、方程和不等式 教学内容 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第2课时）
教学目标
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式；
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点)；
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)。
核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。
教学重难点
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．
学情分析
学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。
教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
情境导入 汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 突然发现情况不对，同时紧急刹车，但是两车还是相撞了.现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
《二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式
（第一课时）》教学设计
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；
2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．
教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．
GEOGEBRA、PPT课件．
一、情境引入
★资源名称： 【情景演示】二次函数与一元二次方程、不等式
★使用说明：本资源类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，提出对二次函数与一元二次方程、不等式之间联系的思考，引发学生以类比的视角来学习函数、方程、不等式之间的关系．
注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．
◆ 课前准备
◆ 教学过程 ◆ 教学重难点
◆ ◆ 教学目标 问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．
预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x，另一边为y，可以得到.20,12xyyx此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．
2．部分学生用一个未知数x即可表示问题中的不等式20)-12xx（，但学生容易忘记自变量x的取值范围．
追问：不等式20)-12xx（即020122xx，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？
师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022cbxaxcbxax或，并且强调二次项的系数a≠0．
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）
教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析
学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的
1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点
一元二次不等式的解法
教学难点
理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系 2 教学过程
一、情境导入
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．
由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２） 整理得
x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。 ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式
高中数学必修第一册
- 1 - §2．3．2 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）
导学目标：
1．掌握含参数的一元二次不等式的解法，渗透分类谈论的思想．
2．通过一元二次不等式的求解过程，了解分式不等式、高次不等式的解法，渗透类比转化的思想．
3．会利用一元二次不等式求解实际问题，体会数学抽象、数学建模的学科素养．
（预习教材P50~ P54，回答下列问题）
复习：完成下列“三个二次”之间关系的表格
情景：类比一元二次不等式2110xx的解法，
我们如何得到210xxa的解集呢？谈谈你的想法？
【知识点一】含参数的一元二次不等式的解法
形如22120xaxa，除了主元变量x以外，还含有其他的变量（参变量）a的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式．
规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2 - （1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a=0，a<0；
（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(>0)，一根(=0)，无根(<0)；
在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算．
（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,xxxxxx．
自我检测1：如何得到含参数的一元二次不等式22120xaxa的解集？
【知识点二】分式不等式
形如0axbcxd（其中,,,abcd是常数）的不等式，称为分式不等式．
规律方法：分式不等式向整式不等式转化时一定要注意等价转化，即分母为0时的取舍．
自我检测2：求分式不等式30xx的解集．
【知识点三】高次不等式