上海市七宝中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题Word版含答案
上海市七宝中学2018-2019学年下学期期末考试
高二数学试题
一. 填空题
1. 将参数方程122xtyt（tR，t为参数）化为普通方程
2. 已知椭圆22194xy，直线2180xy，则椭圆上点到这条直线的最短距离是
3. 123101011111111111392733CCCC除以5的余数是
4. 如右图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm
5. 甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，
则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是
6. 在侧棱长为23的正三棱锥VABC中，40AVBBVCCVA，若过点A的截面AEF，交
VB
于E，交VC于F，则截面AEF周长的最小值是
7. 长方体1111ABCDABCD内接于球O，且2ABBC，122AA，则A、B两点之间的球面距离为
8. 已知从装有1n个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球，0mn，,mnN，共有
1mnC
种取法，在这1mnC种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和
(1)m
个白球，共有01111mmnnCCCC种取法，即有等
式11mmmnnnCCC成立，试根据上述思想，化简下列式子：
1122mmmkmknknknknCCCCCCC
(1kmn，,,)kmnN
9. 已知平行六面体ABCDABCD中，4AB，3AD，5AA，90BAD，
60BAADAA
，则AC的长为
10. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，
在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大
值为
11. 数列{}na共有13项，10a，134a，且1||1kkaa， 1,2,,12k，满足这种条
件不同的数列个数为
12. 如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB、CD是底
面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知
过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线
的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为
二. 选择题
13. 若x、y满足约束条件2,22xyxy，则2zxy的取值范围是（ ）
A. [2,6] B. [2,5] C. [3,6] D. [3,5]
14. 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：
① 从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买
力的某项指标；
② 从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；
则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（ ）
A. ①用系统抽样，②用随机抽样 B. ①用系统抽样，②用分层抽样
C. ①用分层抽样，②用系统抽样 D. ①用分层抽样，②用随机抽样
15. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相
对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A. 2283CP B. 2686CP C. 2286CP D. 2285CP
16. 如图，E、F分别为棱长为1的正方体的棱11AB、11BC的中点，点G、H分别为面对角线AC和棱
1
AA
上的动点，则下列关于四面体EFGH的体积正确的是（ ）
A. 该四面体体积有最大值，也有最小值
B. 该四面体体积为定值
C. 该四面体体积只有最小值
D. 该四面体体积只有最大值
三. 简答题
17. 有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；
（4）甲不在排头，乙不在排尾.
18. 在二项式3121(2)xx的展开式中.
（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）求该二项展开式中含4x项的系数；
（3）求该二项展开式中系数最大的项.
19. 如图，在直三棱柱111ABCABC中，1CCACBC，90ACB，P是1AA的中点，Q是AB的
中点.
（1）求异面直线PQ与1BC所成角的大小；
（2）若直三棱柱111ABCABC的体积为12，
求四棱锥1CBAPB的体积.
20. 如图，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点.
（1）若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（2）如果60AOQ，23QB，求此圆锥的体积；
（3）若二面角ASBQ大小为6arctan3，求AOQ.
21.（1）集合12{|(,,,)nQxxxxx，0ix或1}，对于任意xQ，定义1()niifxx，
对任意{0,1,2,,}kn，定义{|(),}kAxfxkxQ，记ka为集合kA的元素个数，求
122n
aana
的值；
（2）在等差数列{}na和等比数列{}nb中，112ab，222abb，是否存在正整数b，
使得数列{}nb的所有项都在数列{}na中，若存在，求出所有的b，若不存在，说明理由；
（3）已知当1||2x时，有21124(2)12nxxxx，根据此信息，若对任
意1||2x，都有20123(1)(12)nnxaaxaxaxxx，求10a的值.
上海市七宝中学2018-2019学年高二下学期期末考试
数学试题参考答案
一. 填空题
1. 250xy 2. 1355 3. 3 4. 4 5. 16 6. 6
7. 23 8. mnkC 9. 85 10. 4 11. 495 12. 22
二. 选择题
13. A 14. D 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）77630240P；（2）77210080P；
（3）535614400PP；（4）876876230960PPP；
18.（1）123；（2）841227920C；（3）339324121(2)()112640Cxxx；
19.（1）2；（2）14； 20.（1）略；（2）83；（3）3；
21.（1）kknaC，11222nnaanan；（2）b为正偶数；（3）455；
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2018-2019年上海市七宝中学高二上期末
19.
已知椭圆的两个焦点为
F1
1,
0
,
F2
1,
0
，且椭圆过点
1,
2 2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率为 k k 0 的直线 l1 过 F2 ，与椭圆分别交于 P, Q ；直线 l2 过 F2 ，与直线 l1 垂直，
与椭圆分别交于 M , N ，求四边形 PMQN 面积的函数解析式 f k ．
曲线，则 p 是 q 成立的____________条件．
8.
已知
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b 0
上的一点，
F1, F2
为焦点，若
PF1 PF2
0
，
tan
PF1F2
1 2
，则椭圆的焦距与长轴的比值为____________．
9. 直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 1有且仅有一个公共点，则 k ____________．
求线段 OC 长度的最大值；
（3）如图 3，点 C 为曲线 上的动点，点 A 1, 0 , B 1, 0 ，延长 AC 到 P ，使 CP CB ，求动
点 P 的轨迹长度．
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参考答案
一、填空题
1. 1 16
2. 0,
1
3.
4. 2
2
5. 13 6. x 2 或 5x 12 y 26 0
x 0
10.
若
x,
y
满足约束条件
x
y
3
0
，则
z
x
2
y
的取值范围是____________．
x 2 y 0
11.
上海市2018-2019学年七宝中学高二上期末数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.与圆相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径，分2种情况讨论，，直线过原点，设直线的方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为：，，直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为，故一共有4条符合条件的直线；故选：B．根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，，直线过原点，设直线的方程为，，直线不过原点，设其方程为，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点的情况，属于基础题，2.直线：与直线：的夹角为A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率不存在，倾斜角为，故直线：与直线：的夹角为，故选：B．先求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题．3.下列说法正确的是A. 平面中两个定点A，B，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 定圆C上有一定点A和一动点不与A重合，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹是椭圆C. 斜率为定值的动直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，，则动点P的轨迹是直线D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：设A，B是两个定点，k为非零常数，若，可得P的轨迹为双曲线的一支；若，即为射线；若，则轨迹不存在，故A错误；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点若，则P为AB的中点，，则动点P的轨迹为以AC为直径的圆，故B错误；斜率为定值t的动直线与抛物线相交于A，B两点，设，，，可得P为AB的中点，，即有，则动点P的轨迹是直线，故C正确．故选：C．由双曲线的定义可判断A；由P为AB的中点，，可得P的轨迹为圆，可判断B；由抛物线的方程，可设，，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，即可判断C，进而判断D．本题考查椭圆和双曲线的定义和方程、性质，考查中点坐标公式和直线的斜率公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题．4.点A为椭圆C：的右顶点，P为椭圆C上一点不与A重合，若是坐标原点，则为半焦距的取值范围是A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：设，是坐标原点，，．，，．．，则的取值范围是故选：B．设，由，可得，，，即可求解．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】解：整理抛物线方程得，抛物线方程开口向上，准线方程是故答案为：．先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质属基础题．6.直线的倾斜角范围是______．【答案】【解析】解：直线的倾斜角的范围是，故答案为：．根据直线倾斜角的定义判断即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握．7.直线：，，若，则______．【答案】【解析】解：直线：，，，，解得．故答案为：．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.直线被圆所截得的弦长等于______．【答案】2【解析】解：可变为，故圆心坐标为，半径为3圆心到直线的距离是故弦长的一半是所以弦长为2故答案为：2．先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．9.P是双曲线上的一点，，为焦点，若，则______．【答案】13【解析】解：双曲线，其中，，又由P是双曲线上一点，则有，又由，则舍去或13，故答案为：13．由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得，计算可得分析可得答案．本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值，属于基础题．10.过点且与原点距离为2的直线方程是______．【答案】或【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线时满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，化为，，解得．直线的方程为：，化为．综上可得：直线的方程为：；．故答案为：或．分直线的斜率存在与不存在讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式、点斜式、分类讨论方法，考查了计算能力，属于基础题．11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程的解，q：曲线C是方程的曲线，则p成立是q成立的______条件．【答案】必要不充分【解析】解：若曲线C是方程的曲线，则曲线C上的点的坐标都是方程的解，即充分性成立，若曲线C上的点的坐标都是方程的解，则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立，比如：曲线上的点的坐标都满足方程，而方程对应的曲线为直线，则p成立是q成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线方程和方程曲线的关系是解决本题的关键．12.已知P是椭圆上的一点，，为焦点，若，，则椭圆的焦距与长轴的比值为______．【答案】【解析】解：设，，，则．，可得，，．，则椭圆的焦距与长轴的比值为．故答案为：．可得，，由勾股定理可得，即可．本题考查了椭圆的性质，转化思想，属于基础题．13.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．【答案】或【解析】解：联立，化为．当时，可得，此时直线l的方程为，分别与等轴双曲线的渐近线平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解得此时满足条件．综上可得：，．故答案为：，．联立直线与双曲线方程，化为分类讨论：当时，可得，此时直线l 与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可．本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数经过C点时，函数取得最小值，由解得，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．15.已知曲线的参数方程为为参数，则以下曲线的说法中：关于原点对称；在直线下方；关于y轴对称；是封闭图形，正确的有______．【答案】【解析】解：曲线的参数方程为为参数，，且，在中，曲线不能关于原点对称，故错误；在中，曲线在直线下方，故正确；在中，曲线关于y轴不对称，故错误；在中，曲线不是封闭图形，故错误．故答案为：．由曲线的参数方程推导出，且，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】解：记的内切圆圆心为C，边、、上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则，，，由，即，得，即，记C的横坐标为，则，于是，得，同样内心D的横坐标也为a，则有轴，设直线的倾斜角为，则，，在中，，在中，，由，可得，解得，则直线的斜率为，由对称性可得直线l的斜率为．故答案为：．充分利用平面几何图形的性质解题因从同一点出发的切线长相等，得，，，再结合双曲线的定义得，从而即可求得的内心的横坐标a，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知两点，．求直线AB的方程；若A，B的到直线l的距离都是2，求直线l的方程．【答案】解：两点，直线AB的方程为：，整理，得．两点，，B的到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，即，，B的到直线l的距离都是2，，解得，或，，或，，直线l的方程为或或，整理，得：，或，或．综上，直线l的方程为，或，或，或．【解析】利用两点式方程能求出直线AB的方程．由两点，，B的到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，由A，B的到直线l的距离都是2，能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.双曲线M：过点，且它的渐近线方程是．求双曲线M的方程；设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．【答案】解：双曲线M：过点，且它的渐近线方程是，，，解得，，双曲线M的方程为，椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，则设椭圆的方程为：，，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，联立方程组，消y可得，，则，，，点P在双曲线M渐近线上，，解得，椭圆N的方程为．【解析】根据双曲线的简单性质即可求出，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，根据韦达定理求出点P的坐标，再将点P的坐标代入双曲线M渐近线上，即可求出，问题得以解决．本题考查了双曲线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题19.已知椭圆的两个焦点为，，且椭圆过点求椭圆的方程．已知斜率为的直线过，与椭圆分别交于P，Q；直线过，与直线垂直，与椭圆分别交于M，N，求四边形PMQN面积的函数解析式．【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，解得，设直线的方程为，则直线的方程为设，，联立方程，化简得．则，，，同理，得，，四边形，．【解析】设椭圆的方程为，，由题意可得，解得即可，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，根据弦长公式，分别求出，，即可表示四边形的面积．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．20.设直线l：与抛物线相交于不同的两点A，B，M为线段AB中点，若，且，求线段AB的长；若直线l与圆C：相切于点M，求直线l的方程；若直线l与圆C：相切于点M，写出符合条件的直线l的条数直接写出结论即可【答案】解：当时，直线l的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立得，消去x得，由韦达定理可得，，由于点是线段AB的中点，则，则，所以，，由弦长公式可得；设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去x得，由韦达定理可得，，设点M的坐标为，则，，所以，点M的坐标为，若，则直线l的方程为，则点A、B关于x轴对称，而圆与x轴的交点为和，点M的坐标为，则或，此时，直线l的方程为或，符合题意！若，由可知，，即，则有，所以，．另一方面，点M在圆上，则有，所以，，则，，此时，，不合乎题意！综上所述，直线l的方程为和；当时，1条；当或时，2条；当时，4条．【解析】将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点的纵坐标，从而求出k的值，再利用弦长公式结合韦达定理可求出线段AB的长度；对k是否为零进行分类讨论．当时，得出点A、B关于x轴对称，得知，点M为圆与x轴的交点，求出b的值，可得出直线l的方程；当时，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点M的坐标，然后利用，转化为这两条直线的斜率之积为《以及点M在圆上，求出k和b的值，但同时还需满足结合这两种情况求出直线l的方程．结合图形充分利用对称性可写出相应的结论．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题中的应用，同时也考查了对称性思想的应用，属于难题．21.在平面直坐标系xOy中有曲线：．如图1，点B为曲线上的动点，点，求线段AB的中点的轨迹方程；如图2，点B为曲线上的动点，点，将绕点A顺时针旋转得到，求线段OC长度的最大值．如图3，点C为曲线上的动点，点，，延长AC到P，使，求动点P的轨迹长度．【答案】解：设点B的坐标为，则，设线段AB的中点为点，由于点B在曲线上，则，因为点M为线段AB的中点，则，得，代入式得，化简得，其中；如下图所示，易知点，结合图形可知，点C在右半圆D：上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，连接OD并延长交右半圆D于点，当点C与点重合时，取最大值，且；如下图所示，由于点C是曲线上一点，则，则，由于，所以，，由于，由正弦定理可知，的外接圆的直径为，，设曲线与y轴交于点，则，则的外接圆即为圆D：，弦AB在圆D中所对的圆心角为，所以点P的轨迹是以为半径且圆心角为的扇形，所以，点P的轨迹的长度为．【解析】设点B的坐标为，设线段AB的中点为点，先将点M的坐标代入曲线的方程，得出一个等式，由中点坐标公式得，解得，代入等式可得出点M的轨迹方程，化简，同时标出相应变量的取值范围；作出曲线绕点A顺时针旋转后得到的右半圆D，然后线段OC长度的最大值就转化为点O到右半圆D 上一点距离的最大值，利用圆的性质可得出答案；先求出，由正弦定理知，动点P的轨迹在圆D上，求出弦AB所对的圆心角，可求出动点P轨迹在圆D中所对的圆心角，即可算出相应扇形的弧长．本题考查曲线方程的求法，考查数形结合思想在解题中的应用，属于中等题．。
上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题(解析版)
七宝中学2019学年第二学期高二4月考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 【答案】分层抽样. 【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样 故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 2.若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则()P E F I 的值为_______（用最简分数表示）. 【答案】116【解析】 【分析】直接利用公式()=()()P E F P E P F I 计算即可.【详解】因为事件E 与F 相互独立，所以111()=()()4416P E F P E P F =⨯=I . 故答案为：116【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.12x⎛+ ⎝的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）.【答案】495 【解析】 【分析】由二项式定理可得12x⎛+ ⎝展开式的通项为3122112rr r T C x -+=，再令31202r -=得8r =，再代入通项计算即可.【详解】由已知，12x ⎛+ ⎝展开式的通项为31212211212r r r r r r T C x C x --+==，令31202r -=， 得8r =，所以常数项为812495C =.故答案为：495【点睛】本题考查求二项展开式中的特定项，考查学生的运算能力，是一道容易题.4.计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46 【解析】 【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046nnn n C C C C -+++=+=+=. 故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________. 【答案】133【解析】 【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.从正方体的6个面中取3个，其中有2个面不相邻的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】35【解析】 【分析】利用间接法，先找到所取3个面都相邻的种数，并求出其概率，利用对立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】从正方体的6个面中取3个共有36C 种不同结果，从8个顶点出发，3个面都相邻 共有8种不同结果，而其中有2个面不相邻的对立面是3个面都相邻， 故2个面不相邻的概率为3681231205C -==. 故答案为：35【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，正面情况较多可以考虑其对立事件，是一道容易题.7.直线1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）与曲线2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）的公共点的坐标为________. 【答案】()1,0 【解析】 【分析】直接利用参数方程与普通方程互化的方法分别得到直线与曲线的普通方程，解方程组即可.【详解】由15x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ，得210x y --=①，2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩消去参数θ，得21,(11)y x x =--≤≤②，由①②解得10x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩（舍），所以公共点的坐标为()1,0. 故答案为：()1,0【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，涉及到解方程组，考查学生的计算能力，是一道容易题.8.在5(231)x y -+在展开式中，不含y 的所有项的系数和为________（用数值作答）. 【答案】243 【解析】 【分析】先将问题转化为5(21)x +各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案.【详解】5(231)x y -+=5(213)x y +-，其展开式的通项为515(21)(3)rrr r T C x y -+=+-，不含y 的项的系数和等于5(21)x +各项的系数之和，令1x =，得53243=. 故答案为：243【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，考查学生的数学运算能力，本题可以直接令1,0x y ==得到答案，是一道中档题.9.从集合{}23|1,nM z z i i i i n N ==+++++∈L ________（用最简分数表示）. 【答案】13【解析】 【分析】先化简集合M ，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】由已知，123111n ni z i i i i i+-=+++++=-L ，当4,n k k N =∈时，41411()111n n i i iz i i+--⋅===--；当41,n k k N =+∈时，424211()21111n n i i i z i i i i +--⋅====+---；当42,n k k N =+∈时，434311()1111n n i i i iz i i i i +--⋅+====---；当43,n k k N =+∈时，444111()011n n i i z i i++--===--；所以{}0,1,,1M i i =+，故从M 中任取2个元素相加有246C =种不同结果，{1,1}i +，{,1}i i +共2种不同结果，根据古典概型的概率计算公式可得所求的概率为2163=. 故答案为：13【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到复数的运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10.已知袋中有()*82,n n n N+≥∈个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为________（用最简分数表示）. 【答案】815【解析】 【分析】先求出11828165615n nn C C C n n P +⋅==++，只需求出56n n+的最小值即可，结合对勾函数的性质即可得到答案. 【详解】由已知，11822816161656(8)(7)155615n n n C C n n C n n n n n nP +⋅====++++++，又易知函数56y x x =+在上单调递减，在)+∞上单调递增，因为78<<， 所以56n n +的最小值应在7n =或8n =处取得，又5656781578+=+=， 所以min 56()15n n +=，118281616856301515n n n C C C n nP +⋅==≤=++. 故答案为：815【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到利用对勾函数的性质求函数的最值问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知关于x 的实系数方程2220x x +=-和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面内对应的点共圆．则m 取值的集合是______. 【答案】3112m m m ⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭或【解析】【详解】易知方程2220x x -+=的两根为11x i =+，21x i =-.当2440m ∆=-<，即11m -<<时，方程2210x mx ++=有两个共轭的虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠，此时，12x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为()()2340x x x x y --+=，即()2234340x y x x x x x +-++=.将342x x m +=-，341x x =及12x x 、对应点的坐标()1,1±代入方程，得32m =-. 故m 的取值范围是3112m m m 或⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭.12.假设一个随机数发生器一次只能从1，2，3，…，9这九个数学中等可能地选一个数，则该随机数发生器完成了(1)n n >次选择后，选出的n 个数的乘积能被10整除的概率为________（用含n 的代数式示）.【答案】85419n n nn+-- 【解析】 【分析】由题意n 个数中，至少有一次选择了5，至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，再利用加法公式()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂计算即可.【详解】为使选出的n 个数的乘积能被10整除，其中至少有一次选择了5，并且至少有一次选择了 偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数， 则所求概率是1()P A B -U ，从而1()1()()()P A B P A P B P A B -=--+U I8541()()()999n n n =--+=85419n n nn+--. 故答案为：85419n n nn+-- 【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13.若虚数1z ，2z 满足12=z z ，则“1z 与2z 互为共轭复数”是“12z z R ⋅∈”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用定义法判断即可.【详解】当1z 与2z 互为共轭复数，则12z z =，所以1221||z z z R =⋅∈， 令121,1z z ==-，满足12z z R ⋅∈，但1z 与2z 不互为共轭复数， 所以1z 与2z 互为共轭复数是12z z R ⋅∈的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到共轭复数的相关知识，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.14.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．15.某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 7200种 B. 4800种 C. 2640种 D. 1560种【答案】D 【解析】 【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l 与这三条直线所成角皆为θ，则tan θ=（ ）A.B.C. 1D. 直线l 不存在【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，可得a b c ==，从而tan tan BC BAC AB aθ=∠==，代入a b c ==即可得到答案. 【详解】由题意，可将问题放入长方体中研究，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，易得AB ⊥平面BCF ,所以222cos AB BAC AC a b c∠==++，同理可得 222cos AE EAC AC a b c ∠==++，222cos AD CAD AC a b c∠==++， 所以222a b c =++222a b c ++222a b c =++，即a b c ==，所以22tan tan 2BC c b BAC AB aθ+=∠===.故选：B【点睛】本题考查求空间中直线所成的角，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.从A ，B ，C 等8人中选出5人排成一排. （1）A 必须在内，有多少种排法？ （2）A ，B ，C 三人不全内，有多少种排法？（3）A ，B ，C 都在内，且A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，都多少种排法？ （4）A 不允许站排头和排尾，B 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440 【解析】 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有25C 种不同结果，由于A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A 、B ，有A 、无B ，无A 、有B ，有A 、B 四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有47C 种不同结果，再将这4人与A 进行全排 列有55A 种不同的排法，故由乘法原理可知共有45754200C A =种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有58A 种不同排法，A ，B ，C 三人全在内有2555C A 种不同排 法，由间接法可得A ，B ，C 三人不全在内共有58A -25555520C A =种不同排法； （3）因A ，B ，C 都在内，所以只需从余下5人中选2人有25C 种不同结果，A ，B 必须 相邻，有22A 种不同排法，由于C 与A ，B 都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有22A 种不同排法，再将A 、B 这个整体与C 插入到选出的2人所产生的3各空位中有23A 种不同 排法，由乘法原理可得共有22225223240C A A A =种不同排法； （4）分四类：第一类：所选的5人无A 、B ，共有56720A =种排法；第二类：所选的5人有A 、无B ，共有4146341080C C A =种排法； 第三类：所选的5人无A 、有B ，共有4146441440C C A =种排法； 第四类：所选5人有A 、B ，若A 排中间时，有3464C A 种排法，若A 不排中间时，有31136233C C C A 种排法，共有3411364233()1200C A C C A +=种排法； 综上，共有4440种不同排法.【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.18.某工厂生产A ，B ，C 三种纪念品，每种纪念品均有普通型和精品型两种，某一天产量如下表（单位：个）：现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取100个，其中有A 种纪念品40个.（1）若再用分层抽样的方法在所有B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率（用最简分数表示）；（2）从C 种精品型纪念品中抽取6个，其某种指标的数据分别如下：4，7，x ，y ，8，5.把这6个数据看作一个总体，其均值为7、方差为6，求x y -的值. 【答案】（1）1126；（2）【解析】 【分析】（1）先由抽样比算出n ，进一步得到13个样本中精品型的个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）利用平均数、方差可得18x y +=，22176x y +=，进一步得到2148xy =，代入x y -.【详解】（1）由已知，10040(800200)800200150500350n =+⨯+++++，解得500n =，B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本中，精品型有131503150500⨯=+个， 从13个纪念品中任取2个有213C 中不同结果，无精品型有210C 种不同结果，所以至少有1个精品型纪念品的概率为210213151126C C -=-=1126. （2）由题意，1(4785)76x y +++++=，所以18x y +=， 又2222221[(47)(77)(7)(7)(87)(57)]66x y -+-+-+-+-+-=， 所以22(7)(7)22x y -+-=，即2214()9822176x y x y +=+-+=， 所以2222()()148xy x y x y =+-+=，故x y -=.【点睛】本题考查统计与概率的简单应用，涉及到分层抽样、平均数、方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.19.如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】 （1）以点A坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，r，解得b＝h＋2r或b＝h－r2(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－452，由EG≤52，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋12πr2＝2rh＋32×r2≤2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．20.已知数列{}n a 的首项为1.记()12*12()knn n k n n n f n a C a C a C a C n N=++⋅⋅⋅+⋅⋅+∈+⋅.（1）若{}n a 为常数列，求(3)f 的值：（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式：（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式：若不存在，请说明理由.【答案】（1）(3)7f =（2）31()2n f n -=（3）存在等差数列{}n a 满足题意，21n a n =-【解析】 【分析】(1)根据常数列代入其值得解；(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论. 【详解】解：（1）∵{}n a 为常数列，∴()1n a n N +=∈.∴123333(3)7f C C C =++=（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，()12n n a n N -+=∈.∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=+++L∴1223312()12222n nn n n n f n C C C C +=++++L(12)3n n +=故31()2n f n -=. （3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*n N ∈都成立，设公差为d ，则()12*12()k nn n k n n n f n a C a C a C a C n N=+++++∈L L1111()n n k n n n n k n n f n a C a C a C a C --=+++++L L相加得()()121112()2k n n n n n n n f n a a a C C C C --=++++++L L∴()11()222nn n a a f n a -+=+-()11(1)[2(2)]21n n d n d -=+-++--. ∴1()1(2)[2(2)]2(1)2n n f n d n d n --=-++-=-恒成立， 即1(2)(2)(2)20n d d n --+--=n ∈+N 恒成立，∴2d =故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n ∈+N 都成立，它的通项公式为21n a n =- 【点睛】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.21.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值； （3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM = 【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=u u u r u u u r ；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=o可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP u u u v u u u v 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯u u u v u u u v 为定值23，故可得12·PP PP u u u vu u u v 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=o,22||MF b =,所以21||2MF b =， 由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y , 设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=， 故21cos 22cos 13θθ=-=-， 所以12,PP PP u u u v u u u v的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12PP PP ⋅=u u u r u u ur ()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =u u u r u u u u r.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b -=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.。
2018-2019学年上海市延安中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市延安中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．若,27m N m *∈<，则(27)(28)(34)m m m ---等于（ ）A ．827m P - B ．2734mm P --C ．734m P -D ．834m P -【答案】D【解析】(27)(28)(34)m m m ---、、、中最大的数为()34m -，(27)(28)(34)m m m ---、、、包含()342718-+=个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27)(28)(34)m m m ---的表示.【详解】因为(27)(28)(34)(34)(28)(27)m m m m m m ---=---，所以表示从()34m -连乘到()27m -，一共是8个正整数连乘， 所以834(27)(28)(34)m m m m P ----=.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：()()!!!n m n nP n P n m n m ==--的运用.2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，如果M 、N 分别为1A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的大小为（ ）A ．arccos 2B ．arccos10C ．3arccos5D ．2arccos5【答案】B【解析】作出图形，取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，证明四边形CNME 为平行四边形，计算出AME ∆的三边边长，然后利用余弦定理计算出cos AME ∠，即可得出异面直线AM 与CN 所成角的大小. 【详解】 如下图所示：取CD 的中点E ，连接ME 、AE ，M 、N 分别为1BB 、1A B 的中点，则11//MN A B ，且111122MN A B ==， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B CD ，E 为CD 的中点，11//CE A B ∴且111122CE A B ==，则//MN CE ， 所以，四边形CNME 为平行四边形，//CN ME ∴， 则异面直线AM 与CN 所成的角为AEM ∠或其补角.在AME ∆中，1122AM A B ==ME CN ===，AE ==.由余弦定理得222cos 2AM ME AE AME AM ME +-∠==⋅因此，异面直线AM 与CN 所成角的大小为arccos 10. 故选B. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用定义法或空间向量法计算，考查计算能力，属于中等题.3．若122n nn n n C x C x C x +++L 能被7整除，则,x n 的值可能为 （ ）A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．x="5,n=4"D ．6,5x n ==【答案】C 【解析】【详解】122(1)1n nn n n n C x C x C x x +=+++-所以当5,4x n ==时，1224(15)11857n n n n n C x C x C x +++=+-=⨯能被7整除，选C.4．.从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种. A ．90 B ．72C ．36D ．144【答案】C 【解析】【详解】排列方法为234336C A =,选C.5．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =-r的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56【答案】C 【解析】由0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得出0a b m n ⋅=-≥，计算出基本事件的总数以及事件m n≥所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，0a b m n ∴⋅=-≥，即m n ≥，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”所包含的基本事件有：()1,1、()2,1、()2,2、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()6,1、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共21个，所有的基本事件数为2636=，因此，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”的概率为2173612=. 故选C. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．540的不同正约数共有______个． 【答案】24【解析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数. 【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.7．已知向量()1,2,2a =-，则向量a 的单位向量0a =______． 【答案】122,,333⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】计算出a r ，从而可得出0a a a=r u u r r ，即可求出向量0a u u r 的坐标. 【详解】()1,2,2a =-，2123a ∴=+=，因此，向量a 的单位向量01122,,3333aa a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故答案为：122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量a 同向的单位向量为a a”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.8．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．【答案】53【解析】每名旅客都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数. 【详解】由于每名旅客都有3种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有53种. 故答案为：53. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.9．已知直线l 的一个方向向量()2,3,5d =，平面α的一个法向量()4,,u m n =-，若l α⊥，则m n +=______．【答案】16-【解析】由题意得出//d u ，由此可得出4235m n-==，解出实数m 、n 的值，由此可得出m n +的值. 【详解】l α⊥，//d u ∴，且()2,3,5d =，()4,,u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-.因此，16m n +=-. 故答案为：16-. 【点睛】本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题. 10．不等式46n n C C >的解为n =______． 【答案】6或7或8或9【解析】利用组合数公式得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出正整数n 的取值. 【详解】46n n C C>，由组合数公式得()()!4!4!6!6!n n n n >--！，得()()4!6!6!4!n n -<-，整理得()()4530n n --<，即29100n n --<，解得110n -<<，由题意可知6n ≥且n *∈N ，因此，不等式46n n C C >的解为6n =或7或8或9. 故答案为：6或7或8或9. 【点睛】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.11．二项式15展开式中的常数项是______．【答案】5005【解析】写出二项式15展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，然后代入通项即可求出该二项式展开式中的常数项. 【详解】二项式15展开式的通项为()5155615151kkkk kk C C x--⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令5506k -=，得6k =，因此，该二项式展开式中的常数项为()661515005C ⋅-=. 故答案为：5005. 【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的求解，一般利用二项展开式通项中x 的指数为零来求解，考查运算求解能力，属于中等题.12．计算：01220181232019C C C C ++++=L ______．【答案】2039190【解析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值. 【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+，012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=L L 2039190=.故答案为：2039190. 【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13．已知一个总体为：1、3、4、7、x ，且总体平均数是4，则这个总体的方差是______． 【答案】4【解析】利用总体平均数为4求出实数x 的值，然后利用方差公式可求出总体的方差. 【详解】由于该总体的平均数为4，则134745x++++=，解得5x =.因此，这个总体的方差为()()()()()22222143444745445-+-+-+-+-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，那么顶点1B 到平面1ACD 的距离为______． 【答案】43【解析】作出图形，计算出四面体11AB CD 的体积，并计算出1ACD ∆的面积，然后利用等体积法计算出点1B 到平面1ACD 的距离. 【详解】 如下图所示：三棱锥11B ACD -的体积为11111111111241214121323B ACD ABCD A BCD A A B D V V V ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.在1Rt ADD ∆中，由勾股定理得1AD ==，同理可得1AC CD ==取1AD 的中点E ，连接CE ，则1CE A D ⊥，由勾股定理得CE ==所以，1ACD ∆的面积为111132222ACD S AD CE ∆=⋅==. 设点1B 到平面1ACD 的距离为h ，则11111323323B ACD A C D V S h h -∆=⋅=⨯⨯=，解的43h =. 因此，点1B 到平面1ACD 的距离为43. 故答案为：43. 【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法、空间向量法，考查计算能力，属于中等题.15．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ 。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
一、填空题1.方程的解为_____．【答案】【解析】因为方程，所以，故答案为：．2.设为等差数列，若，则_____．【答案】【解析】，，；故答案为：3.求值：_____．【答案】【解析】由题意．故答案为：．4.函数，的值域是_____．【答案】【解析】当时，，由于反余弦函数是定义域上的减函数，且所以值域为，故答案为：．5.设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．【答案】【解析】时，，化为：．时，，解得．不满足上式．∴数列在时成等比数列．∴时，．∴．故答案为：．6.利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．【答案】.【解析】当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.7.若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．【答案】【解析】根据，即，故，或，∵在区间（且）上至少含有30个零点，∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），∴的最小值为，故答案为：8.设数列的通项公式为，则_____．【答案】【解析】数列的通项公式为，则，则答案．故为：．9.已知数列中，其前项和为，，则_____.【答案】377【解析】，则．故答案为：377．10.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．【答案】【解析】∵∴∵∴①∴②①-②得∴，故答案为：11.中，，则A的取值范围为______．【答案】【解析】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以，即。
所以，因为，所以。
12.关于的方程只有一个实数根，则实数_____．【答案】【解析】设，则∴为偶函数，其图象关于轴对称，又依题意只有一个零点，故此零点只能是，所以，∴，∴，∴，∴，故答案为：13.等差数列前项和为，已知，，则_____．【答案】4028【解析】，①，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案为：4028．14.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前项和为；④若存在正整数，使，，则．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】①③④【解析】对于①，前24项构成的数列是，所以，故①正确；对于②，数列是，可知其为等差数列，不是等比数列，故②不正确；对于③，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故③正确；对于④，由③知，即，解得，且，故④正确；故答案是①③④.二、选择题15.已知、都是公差不为0的等差数列，且，，则的值为（）A. 2B. -1C. 1D. 不存在【答案】C【解析】因为和都是公差不为零的等差数列，所以设故，可得又因为和代入则．故选：C．16.设是公比为的无穷等比数列，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列是（）A. 公比为的等比数列B. 公比为的等比数列C. 公比为或的等比数列D. 公比为或的等比数列【答案】B【解析】根据题意，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则，又由是公比为的无穷等比数列，则，变形可得，则，数列为的奇数项组成的数列，则数列为公比为的等比数列；故选：B．17.函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，∴，，此时，故选A．18.若数列前项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是；（4）若是等比数列，则的充要条件是．其中，正确命题的个数是（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B【解析】（1）错.（2）错.数列的首项可以为负数.（3）错.（4）正确.三、解答题19.已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．（1）求数列的通项公式；（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）设，得，．所以；（2），若存在，满足恒成立即：，恒成立当为奇数时，当为偶数时，，所以，故：.20.已知函数，.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，内角、、所对边的长分别是，若，，，求的面积的值.解：（1）因为，由，，得，，又，所以或，所以函数在上递增区间为：，；（2）因为，∴，∴，∴，，∴，，∵，∴．∴，在三角形中由正弦定理得，∴，.21. 已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．解：（1）f（x）=2sin x，F（x）=f（x）+f（x+）=2sin x+2sin（x+）=2（sin x+cos x），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．22.已知数列满足：，，.（1）求、、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.解：（1），，可得；，；（2）证明：，可得数列为公比为，首项为等比数列，即；（3）由（2）可得，．23.已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，，试计算．解：（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，当时，∴当时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，∴当时，∴当时，∴，∴．。
2018-2019年上海市七宝中学高一下期中数学测试
七宝中学2018-2019学年度第二学期高一年级期中考试一、填空题1.函数()x y 4sin 21-=的最小正周期是________.2.函数x y 2cos =的对称轴方程是________.3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 3=上，则=θ2sin _______.4.若锐角βα、满足()，135cos 53cos -=+=βαα则=βcos ______.5.函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________.6.已知23sin 52x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则=x ______(用反正弦表示).7.方程2cos 3sin =-x x 的解是_______.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，、、c b a 面积为S ，且()，224c b a S -+=则=C cos _______.9.若将函数()()cos 08f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是_______.10.已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意，R x ∈都有不等式()()()21x f x f x f ≤≤恒成立，则12x x -的最小值为_________.11.已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题:①函数()x f 是奇函数；②函数()x f 在区间[]ππ，22-上共有13个零点；③函数()x f 在区间()10，上单调递增；④函数()x f 的图像是轴对称图像。
其中真命题有________(填所有真命题的序号).12.已知k 是正整数，且，20191≤≤k 则满足方程：︒⋯⋅︒⋅︒=︒+⋯+︒+︒k k sin 2sin 1sin sin 2sin 1sin 的k 有_______个.三、选择题13.“22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，”是“()x x =arcsin sin ”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分条件又非必要条件14.将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点4P t π⎛⎫⎪⎝⎭，向左平移()0s s >个单位，得到点，'P 若点'P 位于函数x y 2sin =的图像上,则（）A .s t ，21=的最小值为6πB .s t ，23=的最小值为6πC .s t ，21=的最小值为12πD .s t ，23=的最小值为12π15.若方程0sin cos 212=+--a x x 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-89，B .⎦⎤⎢⎣⎡-892，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡890，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-891，16.如图，在△ABC 中，BC =，a AC =，b AB =，c O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD :OE :OF等于（）A .cb a ::B .C B A cos :cos :cos C .C B A sin :sin :sin D .cb a 1:1:1三、解答题17.已知()7cos 2325θπ-=，且θ是第四象限角。
上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
七宝中学高二期中数学试卷一.填空题1.若直线a 、b 均平行于平面α，那么a 与b 位置关系是________ 【答案】相交、平行、异面 【解析】 【分析】依据题意画出图形，即可判断．【详解】解：由题意可知：直线//a 平面α，直线//b 平面α，则a 与b 的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线．故答案为：相交、平行、异面【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=________【答案】177147- 【解析】 【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和，令1x =则，可得01211a a a a +++⋅⋅⋅+的值，令1x =-则，可得01231011a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值，从而得解；【详解】解：因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =得11012113a a a a +++⋅⋅⋅+=，令1x =-得()110123101111a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-=-则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+[][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1131=⨯-177147=-故答案为：177147-【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.3.某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为______ 【答案】427【解析】 【分析】依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可得；【详解】解：依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式可得11141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：427【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.4.在120°的二面角内有一点P ，P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为________ 221【解析】 【分析】设垂足分别为C ，B ，先计算CB 的长，再利用PCB 外接圆的直径为P 到棱的距离，即可求得结论．【详解】由题意，设垂足分别为C ，B ，则在PCB ∆中，1PC =，3PB =，60CPB ，219213cos 7CB CPB =+-⨯⨯⨯∠= 7CB ∴=设P 到棱的距离为l ，则221sin120CB l ==︒ 故答案为：221【点睛】本题考查点线距离的计算，解题的关键是正确运用余弦定理，正弦定理，属于中档题．5.若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++++=，则n 的值为 ．【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得 1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n ＝3×85+1，再利用二项式定理解方程求得n 的值． 【详解】解：由题意可得3[∁n 1+3∁n 2+32∁n 3+…+3n ﹣2∁n n ﹣1+3n ﹣1 ]＝3×85， ∴1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁nn ﹣1+3n＝3×85+1，即（1+3）n ＝3×85+1＝256，∴n ＝4， 故答案为4．【点睛】本题考查组合数公式，二项式定理，得到即（1+3）n＝3×85+1，是解题的关键，属于基础题．6.7271除以100的余数是________ 【答案】41【解析】 【分析】利用二项式定理化简()727271701=+，求出展开式的后2项，即可得到7271除以100的余数；【详解】解：()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈ 2105041m =+即7271除以100的余数为41． 故答案为：41．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的展开式的后2项，属于基础题． 7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为________ 【答案】2932【解析】 【分析】依题意，本题实际为甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游，首先求出基本事件总数，至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，求出四位同学的出发时间都不相同的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意可知，甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游， 则共有4444256⨯⨯⨯=（种），至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，而四位同学的出发时间都不相同有4424A =（种），故至少有两位同学选择时间相同的概率2429125632P =-= 故答案为：2932【点睛】本题考查古典概型的概率计算，对立事件的概率公式的应用，属于基础题. 8.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a b ⊥，a α⊥，则b ∥α②若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥③若a β⊥，αβ⊥，则a ∥α④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题序号是________ 【答案】④ 【解析】 【分析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b α⊂；②只有a 与α，β的交线垂直，才能够推出a β⊥；③a 可能在平面α内；根据两个平面的法线所成角与两平面所成角相等或互补，可证出④是真命题．由此即可得到本题答案．【详解】解：对于①，根据a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，不一定得出//b α，由此可得①不正确；对于②，若//a α，αβ⊥，则//a β或a β⊂，或a 与β相交，故②是假命题； 对于③，a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，不一定得出//a α，由此可得③不正确； 对于④，由a α⊥且b β⊥，可得直线a 、b 所成角或其补角等于平面α、β所成角， 又因为a b ⊥，可得直线a 、b 所成角等于90︒，由此可得αβ⊥，所以④是真命题 综上所述，可得正确命题的序号为④ 故答案为：④【点睛】本题给出关于空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题．着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质，以及面面平行、面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题． 9.若4183y x x =--y 的取值范围是________【答案】[2,2] 【解析】 【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 【详解】解：因为4183y x x =--所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()2242sin 418342sin 26y t t t t =+--+=+223t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以223y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所以2,22y ⎡∈⎣故答案为：2,22⎡⎣【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.10.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答） 【答案】1000 【解析】 【分析】根据题意，分为1女4男和2女3男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，可分为两类：第一类：先选1女4男，有142630C C =种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种，所以共有3020600⨯=； 第二类：先选2女3男，有232620C C =种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种，所以共有2020400⨯=，根据分类计数原理，共有6004001000+=种不同的选法. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.在5月6日返校体检中，学号为i （1,2,3,4,5i =）的五位同学的体重增加量()f i 是集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有________种 【答案】252 【解析】 【分析】按照五位同学的体重增加量数字的个数分五种情况讨论得解.【详解】当五位同学的体重增加量是1个数字时，有166C =种情况；当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有124660C C =种情况（类似隔板法，把五个同学按照1,2,3,4,5的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有14C 种方法，再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们，有26C 种方法，即此时有124660C C =种方法，下面操作方法都相同.）；当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有2346120C C =种情况； 当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有324660C C =种情况；当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有566C =种情况.所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法. 故答案为：252【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||AB k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________【答案】2k n k n C -⋅【解析】 【分析】 当||AB k =时，共有k nC 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案.【详解】由题意，当||A B k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 二.选择题13.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A. 100 B. 85 C. 65 D. 55【答案】D 【解析】 【分析】可检验与平均数差最大的数，计算2()x x -，看是否满足题意，即可求得答案.详解】方差()22110.2nii x x s n=-==∑，40n =∴()402110.240408i i x x =-=⨯=∑若存在55x =，则()402221()(8255)729408ii x x x x =-=-=>=-∑导致方差必然大于10.2，不符合题意.∴55不可能是该班数学成绩故选：D.【点睛】本题考查平均数、方差的相关运算，解题关键是掌握方差的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 ( ) A. 4条 B. 6条C. 8条D. 10条【答案】B 【解析】试题分析：12条对角线中与之平行的1BC ,与之垂直的11,A D B C ，其余的所成角为60 考点：两直线所成角点评：两直线所成角包括相交角和异面角15.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ） A.1240B.1160C.71440D.1180【答案】B 【解析】 【分析】电子钟一天显示的时间共有1440种,显示的四个数字之和为22的有9种,再结合古典概型概率公式求解即可.【详解】解: 电子钟一天显示的时间共有24601440⨯=种,显示的四个数字之和为22的有08：59，17：59，09：49，18：49，09：58，18：58，19：39，19：48，19：57共9种,即一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为911440160=， 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型概率公式，重点考查了阅读能力，属基础题.16.四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线，即可求得点M 的轨迹.【详解】根据题意，可知PD DC =，则点D 符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点”， 且满足MP MC =，设AB 的中点为E ，根据题目条件可知PAE ∆和CBE ∆全等，所以PE CE =，点E 也符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =”， 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点E ，而到点P 到点C 的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面， 线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线， 所以M 的轨迹为线段DE . 故选：A .【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及平面的基本性质等知识的应用，同时考查了空间想象能力，以及推理能力.三.解答题17.若66nx x ⎛+ ⎪⎝⎭ 展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列． (1)求n 的值．(2)此展开式中是否有常数项？为什么？【答案】（1）7；（2）无常数项【解析】试题分析：（1）根据题设条件可得132=2n n n C C C +，解方程即可求得n 的值；（2）先写出二项展开式的通项，然后令x 的次方为0，求出k 即可判断.试题解析：(1)26616()()n k kn k k k k n n T C x C x x--+=⋅⋅=⋅. 由题意可知132=2n n n C C C +，即29140n n -+=，解得2n =(舍)或7n =.∴7n =(2)由(1)知72617k k k TC x -+=⋅. 当7206k -=时，72k =，由于k N *∉，所以此展开式中无常数项． 18.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45°.【解析】【分析】（1）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG 是平行四边形，//AG EF ，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到//EF 平面PAD ；（2）过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则可得GAH ∠为AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角．【详解】（1）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ，因为EF 分别为AB 、PC 的中点，所以12AE AB =，//GF DC 且12GF DC =， 又在矩形ABCD 中//AB CD 且AB CD =，所以//AE GF 且AE GF =，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以//AG EF 且AG EF =又AG ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ．所以//EF 平面PAD ；（2）解：//AG EF ，AG ∴与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则//GH PAPA ⊥平面ABCD ，GH ∴⊥平面ABCD ，GAH ∴∠为AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角，45PDA ∠=︒，G 为PD 的中点45GAH ∴∠=︒即EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，考查线面角，熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键.19.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a ，3AD a =，且25arcsin ADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =.求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）；（2）点A 到平面PBC 的距离.【答案】（1）5；（22. 【解析】【分析】（1）过A 作AE CD ⊥，连接PE ，根据PA ⊥平面ABCD ，得到PA CD ⊥，由线面垂直判定定理得到CD ⊥平面PAE ，从而PEA ∠二面角P CD A --的平面角，然后根据25arcsin 5ADC ∠=求得AE ，再利用tan AP PEA AE ∠=求解.（2）过A 作⊥AF PB ，根据90ABC ∠=︒，得到AB CB ⊥，易得PA BC ⊥，从而得到BC ⊥平面PAE ，由面面垂直的判定定理可得PAB ⊥平面PBC ，得到AF ⊥平面PBC ，即AF 为点A 到平面PBC 的距离，然后在Rt PAB 中求解.【详解】（1）如图所示：过A 作AE CD ⊥，连接PE ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 所以PA CD ⊥，又PAAE A = 所以CD ⊥平面PAE ， 所以PEA ∠二面角P CD A --的平面角，因为25ADC ∠= 所以65sin 5AE AD ADC =⨯∠=， 所以5tan AP PEA AE ∠== 所以5arctan 6PEA ∠=， 即二面角P CD A --的大小5. （2）如图所示：过A 作⊥AF PB ，因为90ABC ∠=︒， 所以AB CB ⊥因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD所以PA BC ⊥，又PA AB A =所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面PBC ， 所以PAB ⊥平面PBC ，又平面PAB ⋂平面PBC PB =，所以AF ⊥平面PBC ，所以AF 为点A 到平面PBC 的距离，在Rt PAB 中，222PA AB AF a PB a⨯===. 所以点A 到平面PBC 的距离为22a . 【点睛】本题主要考查二面角的求法以及点到直线的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.是否存在等差数列{}n a ，使012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +++++⋅⋅⋅+=⋅对任意n *∈N 都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】存在，44n a n =-.【解析】【分析】假设存在等差数列1(1)n a a n d =+-，满足题意，通过对012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +-+++⋅⋅⋅+=⋅整理，找出10a =，4d =，即可说明存在数列，求出数列{}n a 的通项公式即可．【详解】证明：假设存在等差数列1(1)n a a n d =+-满足要求012123121101()(2)n n n n n n n n n n n n n n a C C C d C C n a C a C C a C C a ++++⋅=++⋯++++⋯+⋅⋅+0111111112()22n n n n n n n a nd C C C a nd -----=+++⋯+=+ 依题意111222n n n a nd n -++=，1(2)02d a n +⋅-=对*n N ∈恒成立， 10a ∴=，4d =，所求的等差数列存在，其通项公式为44n a n =-．【点睛】本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．21.规定(1)(1)!m x x x x m C m -⋅⋅⋅-+=，其中x ∈R ，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m n ≤）的一种推广.（1）求412C -的值；（2）设0x >，当x 为何值时，313()x x C C 取得最小值？ （3）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=.②11m m m n n n C C C -++=.是否都能推广到m x C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.【答案】（1）4121365C -=；（2）当43x =时，313()x x C C 取得最小值（3）性质①不能推广，详见解析；性质②能推广，它的推广形式为11m m m x x x C C C -++=（x ∈R ，m 是正整数），证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得241(12)(13)(14)(15)4!C -----=，运算求得结果．（2）根据13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--，再利用二次函数的性质求得式子的最小值．（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是11m m m x x x C C C -++=，x ∈R ，m 是正整数．根据题中的规定化简运算可以证得． 【详解】（1）由题意可得241(12)(13)(14)(15)13654!C -----==． （2）13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--， 0x，故当134x =，即43x =时，313()x x C C 取得最小值。
上海市2018-2019学年七宝中学高二上期末数学期末试卷
2018-2019学年七宝中学高二上期末数学试卷2019.1一、填空题1.抛物线24y x =的准线方程是______.2.直线的倾斜角范围是______.3.直线1:210l x y --=，20ax y ++=，若12l l ⊥，则a =______.4.直线1:50l x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于______.5.P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若17PF =，则2PF =______. 6.过点()2,3，且与坐标原点距离为2的直线方程是______.7.已知p ：曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解，q ：曲线C 是方程(),0F x y =的曲线，则p 成立是q 成立的______条件。
8、已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 为焦点，若120PF PF ⋅=u u u r u u u r ，121tan 2PF F ∠=，则椭圆的焦距与长轴的比值为______； 9.直线2y kx =-与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k =______. 122r r =，则直线l 的斜率为______.二、选择题13.与圆()2253x y ++=相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是（ ）A.2B.4C.6D.以上说法都不对 14.直线1:2310l x y -+=与直线2:3l x =的夹角为（ ）A.π-B.C.D.以上说法都不对15.下列说法正确的是（ ）A.平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线B 、定图C 上有一定点A 和一动点B （不与A 重合），O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+u u u r u u r u u u r ，则动点P 的轨迹是椭圆；C 、斜率为定值的动直线与抛物线()220y px x =>相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+u u u r u u r u u u r ，则动点P 的轨迹是直线； D 、以上说法都不对；18.双曲线2222:1x y M a b -=过点P ⎛ ⎝⎭，且它的都近线方程是20x y ±= （1）求双曲线M 的方程：（2）设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为3-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程。
上海市2018-2019学年七宝中学高二上期末数学期末试卷
2018-2019学年七宝中学高二上期末数学试卷2019.1一、填空题1.抛物线24y x =的准线方程是______.2.直线的倾斜角范围是______.3.直线1:210l x y --=，20ax y ++=，若12l l ⊥，则a =______.4.直线1:50l x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于______.5.P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若17PF =，则2PF =______.6.过点()2,3，且与坐标原点距离为2的直线方程是______.7.已知p ：曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解，q ：曲线C 是方程(),0F x y =的曲线，则p 成立是q 成立的______条件。
8、已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 为焦点，若120PF PF ⋅=uuu r uuu r ，121tan 2PF F ∠=，则椭圆的焦距与长轴的比值为______；9.直线2y kx =-与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k =______.122r r =，则直线l 的斜率为______.二、选择题13.与圆()2253x y ++=相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是（ ） A.2B.4C.6D.以上说法都不对14.直线1:2310l x y -+=与直线2:3l x =的夹角为（ ）A.π-B.C.D.以上说法都不对15.下列说法正确的是（ ）A.平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线 B 、定图C 上有一定点A 和一动点B （不与A 重合），O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，则动点P 的轨迹是椭圆；C 、斜率为定值的动直线与抛物线()220y px x =>相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，则动点P 的轨迹是直线；D 、以上说法都不对；18.双曲线2222:1x y M a b -=过点P ⎛ ⎝⎭，且它的都近线方程是20x y ±= （1）求双曲线M 的方程：（2）设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为3-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程。