高中数学 一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质讲义 新人教A版必修一第一册
1 2.1 等式性质与不等式性质 最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
知识点一 实数大小比较 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a2．符号表示 a－b>0⇔a>b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔a.
状元随笔 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 }a>bc>0
⇒ac>bc c的符
号 }a>bc<0
⇒ac 5 同向 可加性 a>bc>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2) 同正 2 状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c. (2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． (3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势． [教材解难] 教材P40思考 等式有下面的基本性质： 性质1 如果a＝b，那么b＝a； 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5 如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc. [基础自测] 1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( ) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C 2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A．M>N B．M＝N C．M 解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，所以M>N. 答案：A 3．已知xA．x2ax>a2 C．x2a2>ax 3 解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2. 答案：B 4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________． 解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1， 又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6. 答案：－1≤a－b≤6 题型一 比较大小[教材P38例1] 例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小． 【解析】 因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4) ＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) ＝2>0， 所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)． 状元随笔 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 教材反思 用作差法比较两个实数大小的四步曲 跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)B．f(x)＝g(x) C．f(x)>g(x) D．随x值变化而变化 解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1) ＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以f(x)>g(x)．故选C. 4 答案：C 作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小 题型二 不等式的性质[经典例题] 分析条件→ 利用不等式性质逐一判断 例2 对于实数a、b、c，有下列说法： ①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b； ③若aab>b2； ④若c>a>b>0，则ac－a>bc－b； ⑤若a>b，1a>1b，则a>0，b<0. 其中正确的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错． 对于②，由ac2>bc2，知c≠0， ∴c2>0⇒a>b.②对． 对于③，由a两边同乘以a得a2>ab， 两边同乘以b得ab>b2， ∴a2>ab>b2.③对． 对于④， c>a>b>0⇒c－a>0，c－b>0 a>b⇒－a<－b⇒c－a⇒0 ⇒ 1c－a>1c－b>0a>b>0⇒ac－a>bc－b.④对． 对于⑤， a>b⇒a－b>0 1a>1b⇒b－aab>0⇒ ab<0a>b⇒a>0，b<0.⑤对． 5 故选C. 答案：C 方法归纳 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 跟踪训练2 (1)已知aA.4a<4b B．－4a<－4b C．a＋4D．a－4(2)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是( ) A．若a>b，c≠0，则ac>bc B．若a>b，则ac2>bc2 C．若ac2>bc2，则a>b D．若a>b，则1a<1b 解析：(1)根据不等式的性质，a0⇒4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件． (2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确． 答案：(1)B (2)C 题型三 利用不等式性质求范围[经典例题] 例3 已知－2(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b. 【解析】 (1)|a|∈[0,3]；(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3 ②， 由①②得，－10<2a－3b≤3. 状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向. 6 方法归纳 利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解． 跟踪训练3 已知实数x，y满足：1(1)求xy的取值范围； (2)求x－2y的取值范围． 解析：(1)∵1(2)由(1)知1围是(－5，－2)． 状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解； (2)求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y的取值范围. 课时作业 7 一、选择题 1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( ) A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B 解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a－b22＋34b2≥0，所以A≥B. 答案：B 2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( ) A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－a C．若a>b，cbd D．若a2>b2，则－a<－b 解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立． 答案：B
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)等式性质与不等式性质(解析版)
第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点1不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点2等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点3不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点4比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【答案】B【解析】由已知可得，3024600x y +≥，所以有54100x y +≥.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即355160x+<，故选：D ．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm 得130a b c ++≤，由体积不超过372000cm 得72000abc ≤.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，0a >，0b >，a b ¹，12021010abm a b a b==++，288162a b a bm ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b+==+，则（）A ．x y>B ．x y=C ．x y < D ．x 与y 的大小与m 的取值有关【答案】A【解析】由0,0,0a b m >>>，且a b <，即0b a ->，可得()()0m b a a m a b m b x b b m y --=+-=>++，即x y >，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b+---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >a b =时取等号）=()()3322x y x y x xy y +=+-+，可得分子)33a b =+=，a b+==进一步对其分子利用基本不等式可得a b+≥=，且等号成立当且仅当a b =，1≥，a b =时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3.（23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b>D ．22a b >【答案】D【解析】因为||||a b >，所以22a b >，D 正确；当2,1a b =-=时，满足||||a b >，但是a b <，A,C 不正确；当2,1a b =-=-时，满足||||a b >，但是11a b>，B 不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a b c c >，则a b >C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【答案】B【解析】对于A ：当0c =时，2c =0，若a b >，则220ac bc ==，故A 错误；对于B ：因为22a b c c>，所以20c ≠，即20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ：当1a =，0b =，1=-，2d =-时，满足a b >，c d >，但是ac bd <，故C 错误；对于D ：当0c =时，a c ab c b+=+，故D 错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b<C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】AB【解析】取2,2,1a b c ==-=可得，a b >，但22ac bc =>-=，A 错误；取2,2a b ==-可得，a b >，但111122a b=>-=，B 错误；因为a b >，又0b ≥，所以22a b >，故22a b >，C 正确；由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，D 正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b c +>+B ．22a bc c >C ．ac bc>D ．11a b b a+>+【答案】ABD【解析】对A,0a b >>，0c <，由不等式性质易知a c b c +>+，故A 正确；对B,0a b >>，0c <,则22210,a bc c c >∴>，故B 正确；对C,0a b >>，0c <，由不等式性质易知ac bc <，故C 错误；对D,若0a b >>，则()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab ,故D 正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4.（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【答案】D【解析】由题意可知426a <<，12b <-<，所以528<-<a b ，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（）A ．03a b<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【答案】B【解析】因为3b a b <<-，所以0b <，则有10b<，将不等式3b a b <<-的两边同时乘1b ，可得31a b-<<，所以03a b ≤<.故选：B ．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【答案】D【解析】由12a b -≤-≤，14a b ≤+≤，得()()06a b a b ≤-++≤，即026a ≤≤，()224a b -≤-≤，所以()22210a b a -≤-+≤，即24210a b -≤-≤，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤【答案】D【解析】设)231156(3)(x y x x y n y m +=-++，则25)(113(36)x y m n y m n x +++=-，所以2511363m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，于是1133(56)23)(x y y x x y +++=-又63(23)18x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，所以33(56)2723)(x y x y ++≤-≤，即311327x y ≤+≤.故{}327z z ≤≤．故选：D ．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.a ，b ，c 不同时为0，则2220a b c ++>，∴()222102ab bc ca a b c ++=-++<；（2）()()3322a b a b a ab b -=-++.∵222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==，而a b >，∴等号无法取得，即222213024a b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+，又a b >，∴()()33220a b a b a ab b -=-++>，∴33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）a b c d >>>Q ，即,a b d c >->-，0a d b c ∴->->，则11a db c<--.（2）0,0,0a b c d e >><<< ，0c d ∴->->，0,0,0a c b d b a c d ∴->->-<-<，则()()()()()()()()()()0e b d e a c e b d a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d a c b d -----+-+--===>--------，.e ea cb d∴>--【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b c b c a c a b++<+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()()22a b a ab a a b a ab b a b b a b b a +---==+++，由0b a >>，得0a b -<，而0b >，0b a +>，0a >，则()()0a a b b b a -<+，所以2a ab b a<+．（2）,,a b c 为ABC 的三边长，则有0a b c +>>，0a c b +>>，0b c a +>>，由（1）知：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以2c a b a b b c c a++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a b a b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为()()()2223322a b a b a b a b a b ab a b b a ab ab +-⎛⎫+--+-+== ⎪⎝⎭，又因为0,0a b >>，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．（2）证明：由()()()()()()222222e b d a c eea cb d ac bd ⎡⎤---⎣⎦-=----()()()()()()22e a b c d b a c d a c b d ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦=--，因为0a b >>，0c d <<，所以0a b +>，0c d +<，0b a -<，0c d -<，所以()()0a b c d +-+>，()()0b a c d -+-<．因为0e <，所以()()()()0e a b c d b a c d ⎡⎤⎡⎤+-+-+->⎣⎦⎣⎦又因为()()220a c b d -->，所以()()220eea cb d ->--，即()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【答案】C【解析】设A 、B 货箱分别有x ，y 节，则503525153015351150x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，A ：共50节且352825221530⨯+⨯=，1528352211901150⨯+⨯=>，满足；B ：共50节且3529252115401530⨯+⨯=>，1529352111701150⨯+⨯=>，满足；C ：共50节且3531251915601530⨯+⨯=>，1531351911301150⨯+⨯=<，不满足；D ：共50节且3530252015501530⨯+⨯=>，153035201150⨯+⨯=，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为x 袋，则()420021001600001360012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩，所以8000090000x ＃，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（）A ．18B ．20C ．22D ．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,x y z t ，且,,,N x y z t *∈，于是1,12,123y x z y x t z y x ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又23x t x >≥+，解得3x >，因此min 4x =，此时22x y z t +++≥，所以当4,5,6,7x y z t ====时，min ()22x y z t +++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b c b c a c a b++<+++.【答案】(1)a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>.证明：()()()a a m a b m b a m bb m b b m ++-+-==++()()()ab am ba bm m a b b b m b b m +---=++.0,0,0b a a b b >>∴-<> .0,0m b m >∴+> ，()0()m a b b b m -∴<+，a a m b b m+∴<+.（2）设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由（1）已证不等式可得：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a b a b b c c a+++++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（）A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．无法确定【答案】A【解析】因为()()()222132********M N a a a a a a a ⎛⎫-=++-++=++=++> ⎪⎝⎭，所以M N >.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A ．11a b <B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a cbc +>+【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<【答案】C【解析】对于A 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故A 错误；对于B 选项，1,a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故B 错误；对于C 选项，0a b >≥，所以222a b b >=，故C 正确；对于D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时,1111a b==-，不满足11a b <，故D 错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<【答案】D【解析】因为1,153a b -<<-<<，所以13b -<-<，对于A ，1515330a ab b -<<⎧⇒-<<⎨-<<⎩，1500a ab b -<<⎧⇒=⎨=⎩,151501a ab b -<<⎧⇒-<<⎨<<⎩,综上可得155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当14,2a b ==时，8ab=，故D 错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤【答案】A【解析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．ac bc-<-C ．b c ba c a+>+D ．22222b a a b+>【答案】BC【解析】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以a b -<-，因为0c >，所以ac bc -<-，所以B 正确，对于C ，因为a b >，0a >，0c >，所以()0c a b ->，()0a a c +>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b c ba c a+>+，所以C 正确，对于D ，若1,1a b ==-，则2222112b aa b+=+=，所以D 错误，故选：BC8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c c a b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+【答案】AC【解析】对于A ，由0a b>>，20c>，知110a b <<，得22c ca b<，故A 正确；对于B ，当0c =时，故B 错误；对于C ，当0a b <<时，由()20a ab a a b -=->，得2a ab >，又()20ab b b a b -=->，则2ab b >，故有22a ab b >>，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =-时，22a a b b +>+，D 中不等式不一定成立，故D 错误．故选：AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x +2x .（填“<”，“>”，或“=”）【答案】>【解析】()2232120x x x +-=-+>，故232x x +>.故答案为：>.10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【解析】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．【答案】90【解析】设改造前的窗户面积为x ，窗户增加的面积为y ，0,0x y >>，依题意1801802x x y y+≤+，即1802180180,2180,90x xy x y xy y x +≤+≤≤，所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>--.【答案】（1）M N >；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()221721212()024M a a a a N a a a ++-=++==+--+>，则M N >；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c ->->，则()()0a c b c -->，则10()()a cbc >--，则11()()0()()()()a cbc a c b c a c b c ⋅->⋅->----，则110b c a c >>--，又0c <则c c a c b c>--.命题得证.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）【答案】（1）(),0,0a a mb a m b b m+<>>>+；证明见解析；（2）小东买到的糖的平均价格较高，证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式(),0,0a a m b a m b b m+<>>>+设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由上述不等式可得：,,c c c a a a b b ba b a b c b c a b c a c a b c+++<<<+++++++++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以：2c a b a b b c c a++<+++.（2）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为122p p +（元/千克），对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为c 元，则他买到的糖的总质量为12c c p p +千克，故小华买到的糖的平均价格为12121222p p cc cp p p p =++（元/千克），()()212121212122022p p p p p p p p p p -+-=>++，即小东买到的糖的平均价格较高.。
第二章 一元二次函数、方程和不等式(单元解读课件)
2.利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题 一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中 灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
能说明基本不等式的几何解释;能借助二次函数图象，说明二次函数与一元 二次方程、不等式的联系;能根据二次函数二次项系数和一元二次方程的根 画出二次函数图象，能够借助函数图象，求解一元二次不等式.
能将比较两个代数式大小的问题转化为两个代数式的差与0比大小的问题， 能将解方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0) 的问题转化为研究函数 y ax2 bx c ，当 自变量为何值时，函数值 y=0的问题，能将解不等式 ax2 bx c＞0 的问题 转化为研究函数 y ax2 bx c ，当自变量在什么范围时，函数值 y>0的 问题
人教A版2019必修第一册
第二章 一元二次函数、 方程和不等式单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
1.能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.能够掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现 实意义 4.能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 5.能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的 解集 6.能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数 的重要性.体会数学的整体性. 7.能够在本章的学习中，重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养
6.利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体 可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应 凑出定和或定积；
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
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二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
(2019)新版高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式性质
（2019新版）高中数学人教A 版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式与不等式性质不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 考点一：列不等式例1：完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D.练习：某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y ≥380z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380，z 超过45即z >45. 作业：1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v ≤80. (2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b. 问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据考点二：比较两数(式)的大小例2：比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．x－12＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.解：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝()(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.练习：（1）若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5. （2）比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.作业：2．（1）如果a ＞b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b)＝2b －2a ＝2(b －a)＜0. 答案：c －2b（2）已知a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，其中x ，y 均为正数，则a ，b 的大小关系为 ． 解：a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，则a ﹣b ＝x 3+y 3﹣x 2y ﹣xy 2＝x 2（x ﹣y ）﹣y 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（x 2﹣y 2）＝（x ﹣y ）2（x+y ），x ，y 均为正数，所以（x ﹣y ）2≥0，x+y ＞0，所以（x ﹣y ）2（x+y ）≥0，即a ﹣b ≥0， 所以a ≥b ．故答案为：a ≥b ．例3：已知：﹣1＜b ＜0，a ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解：∵﹣1＜b ＜0，a ＜0，∴ab ＞0，b ＜0＜1．b 2＜1．∴ab ﹣ab 2＝ab （1﹣b ）＞0，ab 2﹣a ＝a （b 2﹣1）＞0．∴ab ＞ab 2＞a ．故选：D ．练习：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为 ．解：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，由不等式的性质可得：x 2＞a 2＞0，ax ＞a 2＞0，x 2＞ax ＞0，所以x 2＞ax ＞a 2＞0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为x 2，故答案为：x 2． 作业：3. 若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b ，a 2，b 2的大小．解：∵－1＜a ＜b ＜0，取11,,23a b =-=-则2211112,3,,.49a b a b =-=-== ∴a 2＞b 2＞1a ＞1b .考点三：不等式的性质 (1)对称性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：a>b ，b>c ⇒a>c ； (3)可加性：a>b ⇒a ＋c>b ＋c. (4)可乘性：⎭⎬⎫a>b c>0⇒ac>bc ；⎭⎬⎫a>b c<0⇒ac<bc ； (5)同向可加性：⎭⎬⎫a>b c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；(6)同向同正可乘性：⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ； (7)正数乘方性：a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2).例4：用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞b，c＜d，那么a﹣c b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac bd；（3）如果a＞b＞0，那么；（4）如果a＞b＞c＞0．那么．解：（1））如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd；（3）如果a＞b＞0，那么＜；（4）如果a＞b＞c＞0．那么＜．故答案为：＞，＜，＜，＜．练习：若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．D．﹣2a＜﹣2b 解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．故选：D．作业：4.已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b ＝0时不成立，故选B.例5：（多选）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，则＞解：若ac2＞bc2，则a＞b，A对，由不等式同向可加性，若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +d ，B 对， 当令a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝bd ，C 错， 令a ＝﹣1，b ＝﹣2，则，D 错．故选：AB ．练习：（多选）若b ＜a ＜0列结论正确的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．（）b ＜（）aD ．+＞2解：A ．∵b ＜a ＜0，∴﹣b ＞﹣a ＞0，∴b 2＞a 2，正确； B ．∵b ＜a ＜0，∴b 2＞ab ，正确； C ．∵，b ＜a ，∴，因此C 不正确；D ．∵b ＜a ＜0，∴，，∴，正确．故选：ABD ． 作业：5. （多选）若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 都成立的是（ ） A ．ab ≤1B ．+C ．a 2+b 2≥2D ．a 3+b 3≥3解：根据a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，取a ＝b ＝1，则BD 不成立，再取31,,22a b ==验证，故AC 正确．故选：AC ．考点四：利用不等式的性质求范围例6：已知2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，求2a+b 的取值范围． 解：∵2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，∴4＜2a ＜6，∴2＜2a+b ＜5． 练习：设-1＜a ＜1，﹣3＜b ＜2，求23ba -的取值范围. 解析： -2＜2a ＜2， 21,33b -<<21,33b -<-<82 3.33ba -<-< 作业：6.已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． 解：∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是8＜2a ＋3b ＜32，a －b 的取值范围是－7＜a －b ＜2考点五：利用不等式的性质证明例7：已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞eb －d.证明： ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c)＞b ＋(－d)＞0， 即a －c ＞b －d ＞0，∴0＜1a －c ＜1b －d ，又∵e ＜0，∴e a －c ＞eb －d .练习：已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp.证明：∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp.∴－ap ＜－bp ，又m ＞n ，即n ＜m. ∴n －ap ＜m －bp. 作业：7．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －a ab＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.。
2.1等式性质与不等式性质(第1课时)课件(人教版)
= 3 2 ( − 1) + ( − 1) = (3 2 + 1)( − 1).
由 ≤ 1，得 − 1 ≤ 0，而3 2 + 1 > 0，
∴(3 2 + 1)( − 1) ≤ 0.
键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技能较多，
常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
【巩固练习2】
（1)已知 ∈ ，比较3 3 与3 2 − + 1的大小.
解(1)：∵3 3 − (3 2 − + 1) = (3 3 − 3 2 ) + ( − 1)
园的面积不小于1102 ，靠墙的一边长为 .试用不等式表示其中的不等关系.
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为 ，而墙长为18，∴0 < ≤ 18，
这时菜园的另一条边长为
30−��
2
= 15 − 2 .
因此菜园的面积 = ∙ (5 − 2)，
依题意有 ≥ 110，即 ∙ (5 − 2) ≥ 110.
想一想
设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高深过1.2 m(含1.2 m)而不超过
1.5 m”、“身高深1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？
【提示】
1. 不等关系与不等式
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
高中数学 一元二次函数方程和不等式基本不等式课件 新人教A版必修一第一册
A.254
B.258
C．5
D．6
【错解】 由 x＋3y＝5xy⇒5xy≥2 3xy， 因为 x>0，y>0，所以 25x2y2≥12xy，即 xy≥1225.
所以 3x＋4y≥2 12xy≥2 12·1225＝254， 当且仅当 3x＝4y 时取等号， 故 3x＋4y 的最小值是254. 错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条 件必须一致．
(2)如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值14S2.
【证明】 因为 x，y 都是正数，所以x＋2 y≥ xy. (1)当积 xy 等于定值 P 时，x＋2 y≥ P，所以 x＋y≥2 P， 当且仅当 x＝y 时，上式等号成立．于是，当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P.
C 错误；对于 D，因为 ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2 即ba＋ab≥2 成立．
答案：D
ab·ab，
2．若 a>1，则 a＋a－1 1的最小值是(
)
A．2
B．a
2a C.a－1
D．3
解析：a>1，所以 a－1>0，
所以 a＋a－1 1＝a－1＋a－1 1＋1≥2 a－1·a－1 1＋1＝3.
状元随笔
基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋)的应用：
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a>0，b>0，
且a
＋b＝M，M
为定值，则
ab≤M4
2
，当且仅当
a＝b
时等号成立．即：
a
＋b＝M，M
为定值时，(ab)max＝M4
2
2.1等式性质与不等式性质(第一课时)课件(人教版)
a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入
m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？
符
号
化
象
数学模型：
过
逻
辑
推
理
程
论证模型：
(定量描述)
+
+
>
(a>b>0，m>0)
？
问
+
求证：
+
>
(a>b>0，m>0)
-
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
论
(+)−(+)
=
(+)
证明：∵ a2+b2-2ab
=(a-b)2 ≥0
∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
方
不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；
法
总 故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小. 这里用了
结 作差比较法，今后会学习别的证明方法.
生活问题：
数
量
化
学
数学问题：
数
学
抽
象
抽
+
核
心
素
养
之
数
学
建
模
为什么糖水中加的糖越多越甜？
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
函数结合
分类讨论
主元思想
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本文没有明显的格式错误和问题段落。
以下是小幅度改写后的文章：本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。
同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利研究基本不等式起到重要的铺垫。
教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。
为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。
在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。
最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。
已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。
首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4.然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3.因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4.基本不等式”是必修1的重要内容。
它是在研究不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时，它也是为了以后研究选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
人教A版必修一课件第二章一元二次函数、方程和不等式(知识整合)
(1)求k的值；
[分析] (1)根据题意，比例系数为 k，设燃料费为 W1＝kv2，将 v＝ 10 时 W1＝96 代入即可算出 k 的值．
(2)算出航行 100 海里的时间为1v00小时，燃料费为 96v，其余航行运 作费用为15 v000元，由此可得航行 100 海里的总费用为 W＝96v＋15 v000， 再运用基本不等式求最值即可．
解得 m∈R，
所以 m<0，符合题意．
综上所述，实数 m 的取值范围是mm<16
.
(3)令 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2 的一切 m 的值不等式恒成立，则只需gg2－<20<，0，
即－2x22－x2－x－x－1<10<，0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3 .
因此，航行 100 海里的总费用为 W＝0.96v2·1v00＋15 v000＝96v＋15 v000(0<v≤15)， 因为 96v＋15 v000≥2 1 440 000＝2 400， 所以当且仅当 96v＝15 v000时，即 v＝ 1590600＝12.5<15 时，航行 100 海里的总费用最小，且这个最值为 2 400 元．
所以实数 x 的取值范围是x1－2
3 1＋ <x< 2
3
.
[归纳提升] 不等式恒成立求参数范围的方法 1．变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变 量看作主元．
2．分离参数法 若f(a)<g(x)恒成立，则f(a)<g(x)min. 若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max. 3．数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．