2021年广东省东莞市中考数学模拟试卷及答案解析
2021年广东省东莞市中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列四个等式，正确的是（）
A．3a3•2a2＝6a6B．3x2•4x2＝12x2
C．2x2•3x2＝6x4D．5y3•3y5＝15y15
2．如图，四个选项中正确的是（）
A．a＜﹣2B．a＞﹣1C．a＞b D．b＞2
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）
A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8
5．正方形面积为36，则对角线的长为（）
A．6B ．C．9D ．
6．下列调查方式，合适的是（）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式
B．要了解东莞电视台“平安东莞”节目的收视率，采用普查方式
C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式
D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式
7．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）
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2021年广东省东莞市中考数学一模测试卷
2021年广东省东莞市中考数学一模测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是( )A ．a +和()a --互为相反数B ．a +和a -一定不相等C ．a -一定是负数D ．()a -+和()a +-一定相等2．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）:247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是( )A ．253，253B ．255，253C ．253，247D ．255，2473．（3分）在平面直角坐标系中，点(3,2)A --关于y 轴的对称点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（3分）一个多边形每个外角都等于36︒，则这个多边形是几边形( )A ．7B ．8C ．9D ．105．（3分）要使2a -有意义，则a 的值是( )A ．0aB ．0a >C ．0a <D ．0a =6．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 7．（3分）抛物线2(1)3y x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是( )A ．2(1)3y x =--+B ．2(1)3y x =++C ．2(1)3y x =--D ．2(1)3y x =---8．（3分）若关于x 的不等式组27412x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为3x <，则k 的取值范围为( )A ．1k >B ．1k <C ．1kD ．1k9．（3分）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是( )A ．2B ．94C ．3D ．9510．（3分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①240b ac ->；②0abc <；③40a b +=；④420a b c -+>．其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）化简：2991(1)(1)(1)a a a a a a a ++++++⋯++= ．12．（4分）单项式133n x y +与2112m x y +是同类项，则m n -= ． 13．（43|2|0a b ++-=，则2020()a b +的值为 ．14．（4分）已知2a b +=，1ab =，求2a ab b -+的值为 ．15．（4分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则BE 的值为 ．16．（4分）如图，AB ，AC ，BC 是O 的三条弦，OD AB ⊥，OE BC ⊥，OF AC ⊥，且OD OE OF ==，则弧AC =弧 =弧 ，ABC ∠= ︒，ABC ∆是 三角形．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4BC =，10AC =，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为 ．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18．（6分）先化简，再求值：2(2)4()()5x y x y x y xy --+-+，其中6x =，2y =-．19．（6分）校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重为48kg ，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？20．（6分）如图，已知AB AC =，AD AE =，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：ABD ACE ∆≅∆；（2）判断BOC ∆的形状，并说明理由．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21．（8分）阅读理解，并回答问题：若1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a +=-，12c x x a=．这就是我们众所周知的韦达定理． （1）已知m ，n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；（2）若1x ，2x ，3x ，是关于x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<；①122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．22．（8分）如图，在O 中，点C 为AB 的中点，120ACB ∠=︒，OC 的延长线与AD 交于点D ，且D B ∠=∠．（1）求证：AD 与O 相切；（2）若4CE =，求弦AB 的长．23．（8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A ，B 两种健身器材若干件，经了解，B 种健身器材的单价是A 种健身器材的1.5倍，用7200元购买A 种健身器材比用5400元购买B 种健身器材多10件．（1）A ，B 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A ，B 两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）24．（10分）在如图平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4,2)，OA 、OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线．将OAB ∆绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE ∆，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．（1）求k 的值和点G 的坐标；（2）连接FG ，则图中是否存在与BFG ∆相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；（3）在线段OA 上存在这样的点P ，使得PFG ∆是等腰三角形．请直接写出点P 的坐标．25．（10分）如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(,0)m ，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交直线BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；（3）点P 在线段AB 上运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与BOD ∆相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021年广东省东莞市中考数学一模测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是( )A ．a +和()a --互为相反数B ．a +和a -一定不相等C ．a -一定是负数D ．()a -+和()a +-一定相等【分析】根据相反数的定义去判断各选项．【解答】解：A 、a +和()a --互为相反数；错误，二者相等； B 、a +和a -一定不相等；错误，当0a =时二者相等；C 、a -一定是负数；错误，当0a =时不符合；D 、()a -+和()a +-一定相等；正确．故选：D ．【点评】本题考查了相反数的定义及性质，在判定时需注意0的界限．2．（3分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）:247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是( )A ．253，253B ．255，253C ．253，247D ．255，247【分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可．【解答】解：(247253247255263)5253x =++++÷=，这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；故选：A ．【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确计算的前提．3．（3分）在平面直角坐标系中，点(3,2)A --关于y 轴的对称点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．【解答】解：点(3,2)A --关于y 轴的对称点是(3,2)-，(3,2)A ∴--关于y 轴的对称点在第四象限．故选：D ．【点评】此题主要考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．4．（3分）一个多边形每个外角都等于36︒，则这个多边形是几边形( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】多边形的外角和是360︒，又有多边形的每个外角都等于36︒，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数．【解答】解：这个多边形的边数是：3601036︒=︒．故答案是D ． 【点评】本题考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系．5．（3分）要使2a -有意义，则a 的值是( )A ．0aB ．0a >C ．0a <D ．0a =【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，20a -，解得0a =．故选：D ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．6．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：连接AQ ，点Q 是边BC 上的定点，AQ ∴的大小不变， E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．（3分）抛物线2(1)3y x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是( )A ．2(1)3y x =--+B ．2(1)3y x =++C ．2(1)3y x =--D ．2(1)3y x =---【分析】抛物线2(1)3y x =-+的顶点坐标为(1,3)，关于x 轴对称的抛物线顶点坐标为(1,3)-，且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．【解答】解：2(1)3y x =-+的顶点坐标为(1,3)，∴关于x 轴对称的抛物线顶点坐标为(1,3)-，且开口向下，∴所求抛物线解析式为：2(1)3y x =---．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．8．（3分）若关于x 的不等式组27412x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为3x <，则k 的取值范围为( ) A ．1k >B ．1k <C ．1kD ．1k【分析】不等式整理后，由已知解集确定出k 的范围即可．【解答】解：不等式整理得：32x x k <⎧⎨<+⎩， 由不等式组的解集为3x <，得到k 的范围是1k ，故选：C ．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（3分）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是( )A ．2B ．94C ．3D ．95【分析】设EF FD x ==，在Rt AEF ∆中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图：四边形ABCD 是正方形，6AB BC CD AD ∴====，3AE EB ==，EF FD =，设EF DF x ==．则6AF x =-， 在Rt AEF ∆中，222AE AF EF +=，2223(6)x x ∴+-=，154x ∴=， 159644AF ∴=-=，故选：B ．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题．10．（3分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①240b ac ->；②0abc <；③40a b +=；④420a b c -+>．其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先由抛物线与x 轴交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为2x =，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出0a <，进而判断出0b >，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出0c >，判断出结论③，最后用2x =-时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为2x =，22b a∴-=， 40a b ∴+=，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<，40a b +=，0b ∴>，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>，0abc ∴<，故②③正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）化简：2991(1)(1)(1)a a a a a a a ++++++⋯++= 100(1)a + ． 【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式298(1)[1(1)(1)(1)]a a a a a a a a =+++++++⋯++2297(1)[1(1)(1)(1)]a a a a a a a a =+++++++⋯++ 3296(1)[1(1)(1)(1)]a a a a a a a a =+++++++⋯++ =⋯100(1)a =+．故答案为：100(1)a +．【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 12．（4分）单项式133n x y +与2112m x y +是同类项，则m n -= 1 ．【分析】根据同类项的概念列式求出m 、n ，计算即可． 【解答】解：由题意得，12n +=，13m +=， 解得，1n =，2m =， 则1m n -=， 故答案为：1．【点评】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．13．（4|2|0b -=，则2020()a b +的值为 1 ．【分析】首先根据非负数的性质可求出a 、b 的值，进而可求出a 、b 的和．【解答】解：|2|0b -=，30a ∴+=，20b -=， 3a ∴=-，2b =；因此321a b +=-+=-．则20202020()(1)1a b +=-=． 故答案为：1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．（4分）已知2a b +=，1ab =，求2a ab b -+的值为 0 ． 【分析】整体代入即可求出结果． 【解答】解：2a b +=，1ab =， 22220a ab b a b ab ∴-+=+-=-=，故答案为：0．【点评】考查代数式求值，整体代入是求值常用的方法．15．（4分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则BE 的值为 27 ．【分析】利用基本作法得到得MN 垂直平分CD ，即CE DE =，AE CD ⊥，再利用菱形的性质得到4AD CD AB ===，//CD AB ，则利用勾股定理先计算出AE ，然后计算出BE ． 【解答】解：由作法得MN 垂直平分CD ，即CE DE =，AE CD ⊥， 四边形ABCD 为菱形，4AD CD AB ∴===，//CD AB ，2DE ∴=，AE AB ⊥，在Rt ADE ∆中，224223AE -=， 在Rt ABE ∆中，224(23)27BE += 故答案为7【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．16．（4分）如图，AB ，AC ，BC 是O 的三条弦，OD AB ⊥，OE BC ⊥，OF AC ⊥，且OD OE OF ==，则弧AC =弧 AB =弧 ，ABC ∠= ︒，ABC ∆是 三角形．【分析】由垂径定理得BE EC =，BD AD =；若连接OB 、OC 、OA ，则可证得OCE OBE OBD ∆≅∆≅∆，再得ABC ∆是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．【解答】解：连接OB ，OC ，OAOD AB ⊥，OE BC ⊥，由垂径定理知，BE EC =，BD AD =，OB OC =，OCE OBE OBD ∴∆≅∆≅∆， BE EC BD AD ∴===， 同理，AD AF CF CE ===，AB BC AC ∴==，即ABC ∆是等边三角形， 60ABC ∴∠=︒，弧AC =弧AB =弧BC ．【点评】本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4BC =，10AC =，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为 2262 ．【分析】连接CE ，取BC 的中点F ，作直径为BC 的F ，连接EF ，AF ，证明90CEB ∠=︒，说明E 点始终在F 上，再由在整个变化过程中，AE AF EF -，当A 、E 、F 三点共线时，AE 最最小值，求出此时的值便可．【解答】解：连接CE ，取BC 的中点F ，作直径为BC 的F ，连接EF ，AF ， 4BC =， 2CF ∴=，90ACB ∠=︒，10AC =，22104226AF AC CF ∴=+==， CD 是O 的直径， 90CED CEB ∴∠=∠=︒，E ∴点在F 上，在D 的运动过程中，AE AF EF -，且A 、E 、F 三点共线时等号成立，∴当A 、E 、F 三点共线时，AE 取最小值为2262AF EF -=-．故答案为：2262．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定AE 取最小值的位置．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18．（6分）先化简，再求值：2(2)4()()5x y x y x y xy --+-+，其中6x =，2y =-． 【分析】先按照完全平方公式、平方差公式及合并同类项的方法将原式化简，再将6x =，2y =-代入求值即可．【解答】解：原式2222444()5x xy y x y xy =-+--+222244445x xy y x y xy =-+-++ 25y xy =+．∴当6x =，2y =-时，原式25(2)6(2)=-+⨯- 2012=-8=．【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题的关键．19．（6分）校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重为48kg ，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？ 【分析】根据样本估计总体思想求解可得．【解答】解：这个不能作为七年级学生平均体重的估计， 因为调查的样本，即30名男生的体重相对于女生的体重要高， 用30名男生的体重来估计全体七年级学生的体重不具有代表性， 所以这个不能作为七年级学生平均体重的估计．【点评】本题考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．20．（6分）如图，已知AB AC =，AD AE =，BD 和CE 相交于点O ． （1）求证：ABD ACE ∆≅∆；（2）判断BOC ∆的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证ABD ACE ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质可得ABD ACE ∠=∠，由等腰三角形的性质可得ABC ACB ∠=∠，可求OBC OCB ∠=∠，可得BO CO =，即可得结论． 【解答】证明：（1）AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆；（2）BOC ∆是等腰三角形， 理由如下： ABD ACE ∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠， AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠，ABC ABD ACB ACE ∴∠-∠=∠-∠， OBC OCB ∴∠=∠， BO CO ∴=，BOC ∴∆是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 21．（8分）阅读理解，并回答问题：若1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a +=-，12cx x a=．这就是我们众所周知的韦达定理．（1）已知m ，n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；（2）若1x ，2x ，3x ，是关于x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<； ①122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．【分析】（1）由根与系数的关系先得出1m n +=，100mn =-，再利用完全平方公式的变形可得答案；（2）①由题意得：2123(2)()()()x x t x x x x x x --=---，将等式两边分别整理，再比较对应项的系数可得答案；②先由①得出的结论求得1324x x x +=-，311324()x x x x x =-+，312tx x x =，然后由22313131()()4x x x x x x -=+-及配方法得出231()x x -的最大值，再开平方，求其算术平方根即可．【解答】解：（1）m ，n 是方程21000x x --=的两个实数根 1m n ∴+=，100mn =-222()2m n m n mn ∴+=+- 212(100)=-⨯- 201=；（2）①由题意得：2123(2)()()()x x t x x x x x x --=---323212312233112344()()x x x t x x x x x x x x x x x x x x x ∴-+-=-+++++- 1234x x x ∴++=，1223314x x x x x x ++=，123x x x t = 122331x x x x x x ∴++的值为4；②1234x x x ++=1324x x x ∴+=- 1223314x x x x x x ++= 311324()x x x x x ∴=-+ 123x x x t =312tx x x ∴=22313131()()4x x x x x x -=+-∴22312132()(4)4[4()]x x x x x x -=---+22238x x =-+22416163()333x =--+∴当243x =时，31x x -的最大值为：16433=． 31x x ∴-的最大值为43． 【点评】本题考查了根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练运用完全平方公式及配方法是解题的关键．22．（8分）如图，在O 中，点C 为AB 的中点，120ACB ∠=︒，OC 的延长线与AD 交于点D ，且D B ∠=∠． （1）求证：AD 与O 相切； （2）若4CE =，求弦AB 的长．【分析】（1）连接OA ，由CA CB =，得CA CB =，根据题意可得出60O ∠=︒，从而得出90OAD ∠=︒，则AD 与O 相切；（2）由题意得OC AB ⊥，Rt BCE ∆中，由三角函数得43BE =AB 的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA ， CA CB =，CA CB ∴=，又120ACB ∠=︒， 30B ∴∠=︒， 260O B ∴∠=∠=︒， 30D B ∠=∠=︒，180()90OAD O D ∴∠=︒-∠+∠=︒，AD ∴与O 相切；（2）60O ∠=︒，OA OC =， OAC ∴∆是等边三角形， 60ACO ∴∠=︒， 120ACB ∠=︒，2ACB ACO ∴∠=∠，AC BC =， OC AB ∴⊥，2AB BE =， 4CE =，30B ∠=︒， 28BC CE ∴==，22228443BE BC CE ∴=-=-=， 283AB BE ∴==，∴弦AB 的长为83．【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．23．（8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A ，B 两种健身器材若干件，经了解，B 种健身器材的单价是A 种健身器材的1.5倍，用7200元购买A 种健身器材比用5400元购买B 种健身器材多10件．（1）A ，B 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A ，B 两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？【分析】（1）设A 种型号健身器材的单价为x 元/套，B 种型号健身器材的单价为1.5x 元/套，根据“B 种健身器材的单价是A 种健身器材的1.5倍，用7200元购买A 种健身器材比用5400元购买B 种健身器材多10件”，即可得出关于x ，y 的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A 种型号健身器材m 套，则购买B 种型号的健身器材(50)m -套，根据总价=单价⨯数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设A 种型号健身器材的单价为x 元/套，B 种型号健身器材的单价为1.5x 元/套，根据题意，可得：72005400101.5x x-=， 解得：360x =，经检验360x =是原方程的根， 1.5360540⨯=（元)，因此，A ，B 两种健身器材的单价分别是360元，540元；（2）设购买A 种型号健身器材m 套，则购买B 种型号的健身器材(50)m -套， 根据题意，可得：360540(50)21000m m +-， 解得：1333m ，因此，A 种型号健身器材至少购买34套．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）24．（10分）在如图平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4,2)，OA 、OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线．将OAB ∆绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE ∆，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点F ，交AB于点G ．（1）求k 的值和点G 的坐标；（2）连接FG ，则图中是否存在与BFG ∆相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；（3）在线段OA 上存在这样的点P ，使得PFG ∆是等腰三角形．请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）证明COF AOB ∆∆∽，则CF OC AB OA=，求得：点F 的坐标为(1,2)，即可求解； （2）COF BFG ∆∆∽；AOB BFG ∆∆∽；ODE BFG ∆∆∽；CBO BFG ∆∆∽．证4:3AO OAB BFG BF ∆∆=∽，24332AB BG ==，即可求解． （3）分GF PF =、PF PG =、GF PG =三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）四边形OABC 为矩形，点B 的坐标为(4,2)，90OCB OAB ABC ∴∠=∠=∠=︒，2OC AB ==，4OA BC ==，ODE ∆是OAB ∆旋转得到的，即：ODE OAB ∆≅∆，COF AOB ∴∠=∠，COF AOB ∴∆∆∽， ∴CF OC AB OA =，∴224CF =，1CF ∴=， ∴点F 的坐标为(1,2)， (0)k y x x =>的图象经过点F ， 21k ∴=，得2k =， 点G 在AB 上， ∴点G 的横坐标为4，对于2y x =，当4x =，得12y =， ∴点G 的坐标为1(4,)2；（2）COF BFG ∆∆∽；AOB BFG ∆∆∽；ODE BFG ∆∆∽；CBO BFG ∆∆∽． 下面对OAB BFG ∆∆∽进行证明：点G 的坐标为1(4,)2，12AG ∴=， 4BC OA ==，1CF =，2AB =，3BF BC CF ∴=-=，32BG AB AG =-=． ∴43AO BF =，24332AB BG ==． ∴AO AB BF BG =， 90OAB FBG ∠=∠=︒，OAB FBG ∴∆∆∽．（3）设点(,0)P m ，而点(1,2)F 、点1(4,)2G ， 则2945944FG =+=，22(1)4PF m =-+，221(4)4PG m =-+， 当GF PF =时，即245(1)44m =-+，解得：m （舍去负值）； 当PF PG =时，同理可得：158m =； 当GF PG =时，同理可得：4m =；综上，点P的坐标为(4-0)或15(8，0)或，0)． 【点评】本题考查的是反函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．25．（10分）如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(,0)m ，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交直线BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；（3）点P 在线段AB 上运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与BOD ∆相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线关系式中的0x =或0y =，分别求出y 、x 的值，进而求出与x 轴，y 轴的交点坐标；（2）用m 表示出点Q ，M 的纵坐标，进而表示QM 的长，使CD QM =，即可求出m 的值；（3）分三种情况进行解答，即①90MBQ ∠=︒，②90MQB ∠=︒，③90QMB ∠=︒分别画出相应图形进行解答．【解答】解：（1）抛物线213222y x x =-++，当0x =时，2y =，因此点(0,2)C ， 当0y =时，即：2132022x x -++=，解得14x =，21x =-，因此点(1,0)A -，(4,0)B ， 故：(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C ；（2）点D 与点C 关于x 轴对称，∴点(0,2)D -，4CD =，设直线BD 的关系式为y kx b =+，把(0,2)D -，(4,0)B 代入得，240b k b =-⎧⎨+=⎩，解得，12k =，2b =-， ∴直线BD 的关系式为122y x =-， 设1(,2)2M m m -，213(,2)22Q m m m -++， 2213112242222QM m m m m m ∴=-++-+=-++， 当QM CD =时，四边形CQMD 是平行四边形；21442m m ∴-++=， 解得10m =（舍去），22m =，答：2m =时，四边形CQMD 是平行四边形；（3）在Rt BOD ∆中，2OD =，4OB =，因此2OB OD =，①若90MBQ ∠=︒时，如图1所示，当QBM BOD ∆∆∽时，2QP PB =，设点P 的横坐标为x ，则213222QP x x =-++，4PB x =-， 于是21322(4)22x x x -++=-， 解得，13x =，24x =（舍去），当3x =时，431PB =-=，22PQ PB ∴==，∴点Q 的坐标为(3,2)；②若90MQB ∠=︒时，如图2所示，此时点P 、Q 与点A 重合，(1,0)Q ∴-；③由于点M 在直线BD 上，因此90QMB ∠≠︒，这种情况不存在QBM BOD ∆∆∽． 综上所述，点P 在线段AB 上运动过程中，存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与BOD ∆相似，点(3,2)Q 或(1,0)-．【点评】考查二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，用点的坐标表示线段的长是解决问题的关键，分类讨论、数形结合能够更好的解决问题．。
2021年广东省东莞市数学中考真题含答案解析
2021年广东省东莞市中考数学试卷一、选择题：本大题10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ） A．2B．﹣2C．D．2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2021年12月4日发布的消息,2021年广东省粮食总产量约为13 573 000吨,将13 573 000用科学记数法表示为（ ） A．1.3573×106B．1.3573×107C．1.3573×108D．1.3573×1093．（3分）（2015•东莞）一组数据2,6,5,2,4,则这组数据的中位数是（ ） A．2B．4C．5D．64．（3分）（2015•东莞）如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是（ ） A．75°B．55°C．40°D．35°5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（ ） A．矩形B．平行四边形C．正五边形D．正三角形6．（3分）（2015•东莞）（﹣4x）2=（ ） A．﹣8x2B．8x2C．﹣16x2D．16x27．（3分）（2015•东莞）在0,2,（﹣3）0,﹣5这四个数中,最大的数是（ ） A．0B．2C．（﹣3）0D．﹣58．（3分）（2015•东莞）若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是（ ） A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜29．（3分）（2015•东莞）如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）,则所得扇形DAB的面积为（ ） A．6B．7C．8D．910．（3分）（2015•东莞）如图,已知正△ABC的边长为2,E、F、G分别是AB、BC、CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是（ ） A．B．C．D．二、填空题：本大题6小题,每小题4分,共24分。
2021年广东省东莞市中考数学一模试卷有答案
2021年广东省东莞市中考数学一模试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 经研究发现，2019新型冠状病毒(2019−nCoV)，它的单细胞的直径范围在60纳米∼140纳米（1纳米＝10−9米）之间，则最大直径140纳米用科学记数法表示为（）A.140×10−9米 B.14×10−8米 C.1.4×10−7米 D.1.4×107米2. −12020的相反数是( )A.2020B.12020C.−2020 D.−120203. 如图所示，立体图形的俯视图是（）A. B. C. D.4. 如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是−3和3，则点B所表示的数是（）A.2B.1C.0D.−15. 不透明袋子中有红球10个，黄球20个，还有一些蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出一个恰好是黄球的概率为13，则蓝球有（）A.30个B.60个C.40个D.20个6. 因式分解x2y−2xy+y的结果为（）7. 下列计算正确的是（）D.−a5÷a3＝−a2A.3a2+2a3＝5a5B.(−4a2)3＝64a6C.3a−1=13a8. 如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（）A.3B.4C.5D.69. 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AD // BC，给出下列条件：①AB // CD；②AB＝CD；③∠DAB＝∠DCB；④AD＝BC；⑤∠OAD＝∠ODA．从中选1个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A.2种B.3种C.4种D.5种10. 如图，在边长为2cm的等边△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N同时从A点出发，分别沿A−B−D、A−D运动，速度都是1cm/s，直到两点都到达点D即停止运动．设点M、N运动的时间为x(s)，△AMN的面积为y(cm2)，则y与x的函数图象大致是（）A. B.C. D.11. 已知正多边形的一个外角为40∘，则这个正多边形的内角和为________．12. 已知a ，b 满足方程组{4a +3b =83a +4b =6，则a −b 的值为________．13. 2020年3月，某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和KN95型防护口罩共10000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知KN95型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为x 元，则可列方程________．14. 已知x 2+x −3＝0，则代数式15−2x 2−2x 的值为________．15. 如图，在直角坐标系xOy 中，边长为1的正方形A 1B 1C 1D 1（称为第1个正方形）的顶点A 1在原点处，点B 1在y 轴上，点D 1在x 轴上，点C 1在第一象限内，现以点C 1为顶点做等边三角形C 1A 2B 2，使得点A 2落在x 轴上，且A 2B 2⊥x 轴；以A 2B 2为边做正方形A 2B 2C 2D 2（称为第2个正方形），且正方形的边A 2D 2落在x 轴上…如此类推，则第2020个正方形的边长为________．16. 如图，含30∘角的直角三角形ABC(∠BAC ＝30∘)斜边AC 在y 轴上，直角顶点B 在x 轴的负半轴上，直角边AB 与反比例函数y =kx (k <0)交于点D ，F ，过点D 作DE // y 轴交BC 于点E ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ．已知CE ＝2，BE ＝6，则FG ＝________．17. 某校九年级（3）班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9．乙：5，9，7，10，9．甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中a＝________，b＝________，c＝________，m＝________．（填数值）（2）年级举行引体向上比赛，根据这5次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是________；如选择乙同学，其理由是________．18. 如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，BE的中点，且S△ABC＝32cm2，则图中阴影部分△DEF的面积为4cm2．19. 计算：(2a−b)2+(a+b)(a−b)+2a⋅3b．20. 先化简，再求值：(3a+2−1)÷a2−2a+1a−4，从−2，−1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．21. 如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB．（1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD // AC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≅△BEF．22. 如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30∘和北偏东45∘方向，（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15∘方向，观测点D的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由．23. 国内猪肉价格不断上涨，已知某超市10月的猪肉价格比年初上涨了80%，李阿姨10月在该超市购买1千克猪肉花了72元钱．(1)该超市年初猪肉的价格为每千克多少元？(2)该超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售，平均一天能销售出100千克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克每下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现每天销售猪肉达到1800元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价每千克应该下降多少元？24. 如图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接并延长CG与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF＝EF；（2）求证：PA是圆O的切线；（3）若FG＝EF＝3，求圆O的半径和BD的长度．25. 如图，抛物线y＝a(x2−2mx−3m2)（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y（1）当a＝1时，求点D的坐标．（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021年广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】科学记数法--表示较小的数【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】140纳米＝140×10−9米＝1.4×10−7米．2.【答案】B【考点】相反数【解析】根据相反数的意义即可求解．【解答】解：互为相反数的两个数相加为0，−12020的相反数是12020.故选B.3.【答案】C【考点】简单组合体的三视图【解析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】从上面看有三列三层，从左到右第一列有3个正方形，第二列顶层是1个正方形，第三列有3个正方形．4.【答案】D【考点】数轴【解析】求出AC、AB的长，再根据A、B的位置，可求得点B所表示的数．AC＝3−(−3)＝6，∵BC＝2AB，∴AB=13AC＝2，又∵点B在点A的右边，且点A所表示的数是−3，∴点B所表示的数为−3+2＝−1，5.【答案】A【考点】概率公式【解析】设蓝球有x个，根据随机摸出一个恰好是黄球的概率为13，利用概率公式可得关于x的方程，解之可得．【解答】设蓝球有x个，根据题意，得：2010+20+x =13，解得x＝30，经检验：x＝30是分式方程的解，∴袋子中蓝球有30个，6.【答案】B【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】原式＝y(x2−2x+1)＝y(x−1)2．7.【答案】D【考点】幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的除法负整数指数幂【解析】分别根据合并同类项法则，积的乘法运算法则，负整数指数幂的定义以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．B．(−4a2)3＝−64a6，故本选项不合题意；C.3a−1=3，故本选项不合题意；aD．−a5÷a3＝−a2，故本选项符合题意．8.【答案】B【考点】勾股定理垂径定理【解析】连接OA，过点O作OH⊥AB于H．求出OH的长即可判断．【解答】连接OA，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝3，∠AHO＝90∘，∵OA＝5，∴OH=√OA2−AH2=√52−32=4，根据垂线段最短可知OC的最小值＝4，9.【答案】B【考点】平行四边形的性质与判定【解析】根据平行四边形的判定定理结合题目所给条件进行分析即可．【解答】已知AD // BC，加上①AB // CD可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；加上②AB＝CD不能判定是平行四边形；加上③∠DAB＝∠DCB可证明AB // CD，可根据两组对边平行的四边形是平行四边形进行判定；加上④AC＝BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；加上⑤∠OAD＝∠ODA不能判定是平行四边形；10.【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【解析】分0≤t≤√3时、√3<t<2、2≤t≤3，三种情况分别求解即可．【解答】AD＝AB sin60∘=√3，①当0≤t≤√3时，过点M作MH⊥AD于点H，y=12AN×MH=12t×AM×sin∠BAD=14t2，为开口向上的抛物线；②当√3<t<2时，同理可得：y=12×√3×t×sin30∘=√34t，为一次函数；③2≤t≤3时，同理可得：y=12×(3−t)×√3=√32(3−t)，为一次函数；二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）11.【答案】1260∘【考点】多边形内角与外角【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360∘，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】正多边形的每个外角相等，且其和为360∘，据此可得360n=40，解得n＝9．(9−2)×180∘＝1260∘，即这个正多边形的内角和为1260∘．12.【答案】2【考点】加减消元法解二元一次方程组二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组【解析】方程组两方程相减即可求出所求．{4a+3b=83a+4b=6，①-②得：a−b＝2，则a−b的值为2．13.【答案】14400 x +30600−144004.5x=10000【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】直接根据题意分别表示出采购的医用防护口罩和KN95型防护口罩的数量＝100000，进而得出等式．【解答】设医用防护口罩单价为x元，则可列方程：14400 x +30600−144004.5x=10000．14.【答案】9【考点】列代数式求值【解析】先求得x2+x＝3，依据等式的性质得到2x2+2x＝6即可得到结论．【解答】∵x2+x−3＝0，∴x2+x＝3，∴2x2+2x＝6，∴原式＝15−6＝9．15.【答案】22019【考点】规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类【解析】通过正方形和等边三角形的性质和直角三角形的性质，依次求得第2个正方形、第3个正方形、第4个正方形的边长，再总结规律求得第2020个正方形的边长．【解答】∵正方形A1B1C1D1（称为第1个正方形）的边长为1，∴C1D1＝1，∵C1A2B2为等边三角形，∵∠B2A2C1＝60∘，∵A2B2⊥x轴，∴∠C1A2D1＝30∘，∴A2B2＝2C1D1＝2＝22−1，同理得A3B3＝4＝23−1，A4B4＝8＝24−1，…由上可知第n个正方形的边长为：2n−1，∴第2020个正方形的边长为：22020−1＝22019．16.【答案】3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征含30度角的直角三角形【解析】根据垂直的定义得到∠FGB＝∠AOB＝∠ABC＝∠DHB＝∠BHE＝90∘，根据直角三角形的性质得到CO=12BC＝4，OB＝4√3，EH=12BE＝3，BH＝3√3，DE＝2BE＝12，求得OH＝OB−BH=√3，DH=√3BH＝9，由于点D，F在反比例函数y=kx(k<0)图象上，得到k＝−9√3，设FG＝a，得到a(√33a−4√3)＝−9√3，解方程即可得到结论．【解答】∵DE // y轴，FG⊥x轴，∴∠FGB＝∠AOB＝∠ABC＝∠DHB＝∠BHE＝90∘，∵∠BAC＝30∘，∴∠ABO＝∠ACB＝60∘，∴∠OBC＝∠BDE＝30∘，∵CE＝2，BE＝6，∴BC＝8，∴CO=12BC＝4，OB＝4√3，EH=12BE＝3，BH＝3√3，DE＝2BE＝12，∴OH＝OB−BH=√3，DH=√3BH＝9，∵点D，F在反比例函数y=kx(k<0)图象上，∴k＝−9√3，设FG＝a，∴BG=√33a，∴OG＝OB−BG＝4√3−√33a，∴a(√33a−4√3)＝−9√3，解得：a＝9（不合题意舍去），a＝3，∴FG＝3，17.【答案】甲的方差较小，比较稳定,乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大【考点】中位数众数方差算术平均数【解析】（1）根据平均数，众数，中位数，方差的定义的计算方法分别计算结果，得出答案，（2）选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多．【解答】甲的成绩中，8出现的次数最多，因此甲的众数是8，即b＝8，[3×(8−8)2+(7−8)2+(9−8)2]＝0.4，即m＝0.4，甲的方差s2=15乙的平均数：(5+9+7+10+9)÷5＝8，即a＝8，将乙的成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c＝9．故答案为8，8，9，0.4；年级举行引体向上比赛，根据这5次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛，如选择甲同学，其理由是甲的方差较小，比较稳定；如选择乙同学，其理由是乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大．故答案为甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖可能性较大．三、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）18.【答案】4【考点】三角形的面积【解析】根据三角形的中线把三角形的面积相等的两部分，进行解答便可得结果．【解答】∵D是BC的中点，S△ABC＝32cm2，∴S△ABD=1S△ABC＝16cm2，2∵E是AD的中点，∴S△EBD=1S△ABD＝8cm2，2∵F是BE的中点，∴S△DEF=1S△EBD＝4cm2，219.【答案】原式＝4a2−4ab+b2+a2−b2+6ab＝5a2+2ab．整式的混合运算【解析】先利用完全平方公式和平方差公式及单项式乘单项式法则计算，再合并同类项即可得．【解答】原式＝4a2−4ab+b2+a2−b2+6ab＝5a2+2ab．20.【答案】原式=3−a−2a+2⋅(a−2)(a+2)(a−1)=−a−1a+2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2=−a−2a−1，当a＝−2，2时，分式无意义，当a＝−1时，原式=−32．【考点】分式的化简求值【解析】直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简，再把符合题意的a的值代入即可．【解答】原式=3−a−2a+2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2=−a−1a+2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2=−a−2a−1，当a＝−2，2时，分式无意义，当a＝−1时，原式=−32．21.【答案】如图，射线BD即为所求．∵BD // AC，∴∠EBD＝∠A，∵BE＝AB，BF＝AC，∴△EBF≅△BAC(SAS)．全等三角形的判定作图—复杂作图【解析】（1）利用尺规作∠CBD＝∠C即可．（2）根据SAS证明三角形全等即可．【解答】如图，射线BD即为所求．∵BD // AC，∴∠EBD＝∠A，∵BE＝AB，BF＝AC，∴△EBF≅△BAC(SAS)．22.【答案】作CE⊥MN于E，如图1所示：则∠ACE＝30∘，∠BCE＝45∘，∠DCE＝15∘，∠ABC＝45∘，∴AE=12AC＝60，CE=√3AE＝60√3，△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE＝60√3，BC=√2CE＝60√6，答：巡逻船B与渔船C间的距离为60√6海里；没有触礁的危险；理由如下：由题意得：AB＝BE+AE＝60√3+60，∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝30∘+15∘＝45∘，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠CAD＝∠BAC，∴△CAD∽△BAC，∴ADAC =ACAB，即AD120=60√3+60，解得：AD＝120(√3−1)，∴BD＝AB−AD＝60√3+60−120(√3−1)＝180−60√3（海里）；作DF⊥BC于F，如图2所示：∵∠ABC＝45∘，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=√22BD＝90√2−30√6≈54（海里），∵54>45，∴没有触礁的危险．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】（1）作CE⊥MN于E，由直角三角形的性质得AE=12AC＝60，CE＝BE=√3AE＝60√3，∠ABC＝45∘，证△BCE是等腰直角三角形，得出BC=√2CE＝60√6即可；（2）作DF⊥BC于F，由∠ABC＝45∘，得出△BDF是等腰直角三角形，则DF=√22BD≈54海里，由54>45，即可得出没有触礁的危险．【解答】作CE⊥MN于E，如图1所示：则∠ACE＝30∘，∠BCE＝45∘，∠DCE＝15∘，∠ABC＝45∘，∴AE=12AC＝60，CE=√3AE＝60√3，△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE＝60√3，BC=√2CE＝60√6，答：巡逻船B与渔船C间的距离为60√6海里；没有触礁的危险；理由如下：由题意得：AB＝BE+AE＝60√3+60，∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝30∘+15∘＝45∘，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠CAD＝∠BAC，∴△CAD∽△BAC，∴ADAC =ACAB，即AD120=60√3+60，解得：AD＝120(√3−1)，∴BD＝AB−AD＝60√3+60−120(√3−1)＝180−60√3（海里）；作DF⊥BC于F，如图2所示：∵∠ABC＝45∘，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=√2BD＝90√2−30√6≈54（海里），2∵54>45，∴没有触礁的危险．23.【答案】解：(1)设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得(1+80%)x=72，解得x=40．答：今年年初猪肉的价格为每千克40元．(2)设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出(100+10y)千克，依题意，得(72−55−y)(100+10y)=1800，整理，得y2−7y+10=0，解得y1=2，y2=5．∵让顾客得到实惠，∴y=5．答：猪肉的售价应该下降5元．【考点】一元二次方程的应用【解析】（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据“年初价格×（1+增长的百分比）＝10月份的单价”列方程求解可得；（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出(100+10y)千克，根据“每千克利润×销售量＝总利润”列方程，解之求得y的值，继而结合题意取舍即可得．【解答】解：(1)设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得(1+80%)x=72，解得x=40．答：今年年初猪肉的价格为每千克40元．(2)设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出(100+10y)千克，依题意，得(72−55−y)(100+10y)=1800，整理，得y2−7y+10=0，解得y1=2，y2=5．∵让顾客得到实惠，∴y=5．答：猪肉的售价应该下降5元．24.【答案】∵EB是切线，AD⊥BC，∴∠EBC＝∠ADC＝90∘，∴AD // EB，∴AGEF =CGCF=GDBF，∵G是AD的中点，∴AG＝GD，∴EF＝FB；证明：连接AO，AB，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90∘．在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF．∴∠FBA＝∠FAB．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90∘．∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90∘，∴PA是⊙O的切线．如图2，连接AB，AO，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BAE＝90∘，∵EF＝FB，∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，∵FA＝FG，FH⊥AG，∴AH＝HG，∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90∘，∴四边形FBDH是矩形，∴FB＝DH＝3，∵AG＝GD，∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH=√AF2−AH2=√32−12=2√2，∴BD＝2√2，设半径为r，在Rt△ADO中，∵AO2＝AD2+OD2，∴r2＝42+(r−2√2)2，∴r＝3√2．【考点】勾股定理垂径定理切线的判定与性质【解析】（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90∘，根据平行线分线段成比例定理得出AGEF=CG CF =GDBF，等量代换即可得到结论；（2）证明∠PAO＝90∘连接AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；（3）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90∘，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得到FH＝2√2；设半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】∵EB是切线，AD⊥BC，∴∠EBC＝∠ADC＝90∘，∴AD // EB，∴AGEF =CGCF=GDBF，∵G是AD的中点，∴AG＝GD，∴EF＝FB；证明：连接AO，AB，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90∘．在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF．∴∠FBA＝∠FAB．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90∘．∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90∘，∴PA是⊙O的切线．如图2，连接AB，AO，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BAE＝90∘，∵EF＝FB，∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，∵FA＝FG，FH⊥AG，∴AH＝HG，∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90∘，∴四边形FBDH是矩形，∴FB＝DH＝3，∵AG＝GD，∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH=√AF2−AH2=√32−12=2√2，∴BD＝2√2，设半径为r，在Rt△ADO中，∵AO2＝AD2+OD2，∴r2＝42+(r−2√2)2，∴r＝3√2．25.【答案】当a＝1时，y＝a(x2−2mx−3m2)＝x2−2mx−3m2，∵与y轴交于点C(0, −3)，∴−3m2＝−3，解得：m＝±1，∵m>0，∴m＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2−2x−3＝(x−1)2−4，∵CD // AB，∴C，D关于直线x＝1对称，∴D点坐标为：(2, −3)；如图，过点A作AN⊥CD交CD的延长线于N，对于y＝a(x2−2mx−3m2)，当y＝0，则0＝a(x2−2mx−3m2)，解得：x1＝−m，x2＝3m，当x＝0，y＝−3am2，可得：A(−m, 0)，B(3m, 0)，C(0, −3am2)，∵点C，点D关于对称轴直线x＝m对称，∴点D(2m, −3am2)∴CD＝2m，∵OM＝2CD＝4m，∴点E横坐标为4m，∴点E坐标(4m, 5am2)，∵A(−m, 0)，B(3m, 0)，C(0, −3am2)，点E坐标(4m, 5am2)，点D(2m, −3am2)，∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，∵tan∠EAB=EMAM =am，tan∠ADC=ANDN=am，∴tan∠EAB＝tan∠ADC∴∠EAB＝∠ADC；存在，理由：当x＝m时，y＝a(m2−2m2−3m2)＝−4am2，∴F(m, −4am2)，∵A(−m, 0)，点E坐标(4m, 5am2)，点D(2m, −3am2)，设P(b, 0)，∴PF2＝(m−b)2+16(am2)2，AD2＝9m2+9(am2)2，AE2＝25m2+25(am2)2，∴(m−b)2+9m2＝25m2，解得：b1＝−3m，b2＝5m∴P(−3m, 0)或(5m, 0)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）根据题意，将a＝1，C(0, −3)代入y＝a(x2−2mx−3m2)，进而求出m的值，即可得出D的坐标；（2）先求出点A，点B，点C，点D，点E坐标，可求AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，由锐角三角函数可求tan∠EAB＝tan∠ADC，可得结论；（3）由题意可得F(m, −4am2)，由两点距离公式可求PF2＝(m−b)2+16(am2)2，AD2＝9m2+9(am2)2，AE2＝25m2+25(am2)2，再由勾股定理可求解．【解答】当a＝1时，y＝a(x2−2mx−3m2)＝x2−2mx−3m2，∵与y轴交于点C(0, −3)，∴−3m2＝−3，解得：m＝±1，∵m>0，∴m＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2−2x−3＝(x−1)2−4，∵CD // AB，∴C，D关于直线x＝1对称，∴D点坐标为：(2, −3)；如图，过点A作AN⊥CD交CD的延长线于N，对于y＝a(x2−2mx−3m2)，当y＝0，则0＝a(x2−2mx−3m2)，解得：x1＝−m，x2＝3m，当x＝0，y＝−3am2，可得：A(−m, 0)，B(3m, 0)，C(0, −3am2)，∵点C，点D关于对称轴直线x＝m对称，∴点D(2m, −3am2)∴CD＝2m，∵OM＝2CD＝4m，∴点E横坐标为4m，∴点E坐标(4m, 5am2)，∵A(−m, 0)，B(3m, 0)，C(0, −3am2)，点E坐标(4m, 5am2)，点D(2m, −3am2)，∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，∵tan∠EAB=EMAM =am，tan∠ADC=ANDN=am，∴tan∠EAB＝tan∠ADC∴∠EAB＝∠ADC；存在，理由：当x＝m时，y＝a(m2−2m2−3m2)＝−4am2，∴F(m, −4am2)，∵A(−m, 0)，点E坐标(4m, 5am2)，点D(2m, −3am2)，设P(b, 0)，∴PF2＝(m−b)2+16(am2)2，AD2＝9m2+9(am2)2，AE2＝25m2+25(am2)2，∴(m−b)2+9m2＝25m2，解得：b1＝−3m，b2＝5m ∴P(−3m, 0)或(5m, 0)．。
2021年广东省中考数学仿真模拟试卷(二)(解析版)
2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（二）一、选择题（共10小题）.1．﹣2021的倒数为（）A．B．C．﹣2021D．20212．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣83．下列计算正确的是（）A．＝±3B．＝2C．D．＝24．在第四象限内的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点P的坐标为（）A．（1，4）B．（4，﹣1）C．（﹣4，1）D．（4，1）5．若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．126．如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝6的解，那么a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣27．在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移两个单位长度后．得到的直线的函数关系式为（）A．y＝﹣2x+5B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+7 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠BAD＝120°，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，则3＜|x1﹣x2|＜4，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（每小题4分，共28分）11．分解因式：a2b﹣ab＝．12．若有意义，那么x满足的条件是．13．已知一组数据从小到大依次为﹣2，0，4，x，6，8，其中位数为5．则众数为．14．计算：（π﹣2020）0﹣（）﹣1＝．15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan C ＝．16．如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，∠AOB＝100°．则阴影部分的面积是．17．如图，已知点D、点E分别是边长为2a的等边三角形ABC的边BC、AB的中点，连接AD，点F为AD上的一个动点，连接EF、BF．若AD＝b，则△BEF的周长的最小值是．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+2y）+3xy，其中x＝1，y＝3．19．解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．20．在△ABC中，BD是边BC上的高．（1）尺规作图：作∠C的角平分线，交BD于E．（2）若DE＝4，BC＝10，求△BCE的面积．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．为了解全县6000名初中七年级学生对“阳光跑操”活动的喜欢程度，某校学生课外小组随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢）、B（比较喜欢）、C（一般）、D（不喜欢）四个等级对活动进行评价．（1）小华在本校调查了30名初中七年级学生对“阳光跑操”活动的喜欢程度．他的抽样是否合理？为什么？（2）该校学生课外小组从全县初中七年级学生中随机抽取了200名初中七年级学生，调查他们对“阳光跑操”活动的喜欢程度．如图所示，是该小组采集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：①图①中“D”所在扇形的圆心角为；②在图②中补画条形统计图中不完整的部分；③全县6000名初中七年级学生对“阳光跑操”活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人？22．为提升青少年的身体素质，在全市中小学推行“阳光体育”活动，某学校为满足学生的需求，准备购买一些键球和跳绳．已知用720元购买键球的个数比购买跳绳的条数多24，键球单价为跳绳单价的．（1）求键球、跳绳的单价分别为多少元？（2）如果计划用不多于2700元购买键球、跳绳共100个，那么最多可以购买多少条跳绳？23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接BD．作∠ACB平分线，交BD于点F，交AB于点E．（1）求证：BE＝BF．（2）若AB＝6，∠A＝30°，求DF的长．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．（1）求反比例函数的解析式和n值；（2）当＝时，求直线AB的解析式；（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1．﹣2021的倒数为（）A．B．C．﹣2021D．2021【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．解：﹣2021的倒数为：﹣．故选：A．2．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000000022＝2.2×10﹣8．故选：D．3．下列计算正确的是（）A．＝±3B．＝2C．D．＝2【分析】根据算术平方根、立方根以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可．解：∵＝3，∴选项A不符合题意；∵＝﹣2，∴选项B不符合题意；∵＝5∴选项C不符合题意；∵＝2，∴选项D符合题意．故选：D．4．在第四象限内的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点P的坐标为（）A．（1，4）B．（4，﹣1）C．（﹣4，1）D．（4，1）【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点P的横坐标和纵坐标，然后写出答案即可．解：∵点P在第四象限且到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，∴点P的横坐标为4，纵坐标为﹣1，∴点P的坐标是（4，﹣1）．故选：B．5．若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数＝360°÷30°，计算即可求解．解：这个正多边形的边数：360°÷30°＝12，故选：D．6．如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝6的解，那么a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】把x＝2代入方2x﹣a＝6得出4﹣a＝6，求出方程的解即可．解：把x＝2代入方程2x﹣a＝6得：4﹣a＝6，解得：a＝﹣2，故选：D．7．在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移两个单位长度后．得到的直线的函数关系式为（）A．y＝﹣2x+5B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+7【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式即可．解：直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝﹣2x+3+2＝﹣2x+5，故选：A．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠BAD＝120°，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．【分析】首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再由Rt△ABO求出BO，即可求出BD 的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，∵∠BAD＝120°，∴∠BAO＝60°，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝1，BO＝＝，∴BD＝2．故选：C．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝120°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．解：∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣45°﹣15°＝120°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝120°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝60°∴旋转角α的度数是60°，故选：C．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，则3＜|x1﹣x2|＜4，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】①抛物线对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，即可求解；②x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，即可求解；③由对称轴，和x＝1时的函数值的符号即可求解；④根据图象即可求解．解：①抛物线对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故结论正确；②由图象可知x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故结论正确；③∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴a＞，故结论正确；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，由图象可知，0＜x1＜1，3＜x2＜4，∴则2＜|x1﹣x2|＜4，故结论错误；故选：A．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11．分解因式：a2b﹣ab＝ab（a﹣1）．【分析】提取公因式ab，即可得出答案．解：原式＝ab（a﹣1）．故答案为：ab（a﹣1）．12．若有意义，那么x满足的条件是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：要使有意义，则1﹣x≥0，解得，x≤1，故答案为：x≤1．13．已知一组数据从小到大依次为﹣2，0，4，x，6，8，其中位数为5．则众数为6．【分析】先根据中位数的概念列方程求出x的值，再由众数的定义即可得出答案．解：∵数据﹣2，0，4，x，6，8的中位数为5，∴＝5，解得x＝6，所以这组数据为﹣2，0，4，6，6，8，所以众数为6，故答案为：6．14．计算：（π﹣2020）0﹣（）﹣1＝﹣1．【分析】首先利用零次幂和负整数指数幂的性质进行计算，再算加减即可．解：原式＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan C ＝．【分析】如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，根据tan C＝，求解即可．解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，tan C＝＝＝，故答案为：．16．如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，∠AOB＝100°．则阴影部分的面积是．【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积得出阴影部分的面积．解：S阴影＝﹣＝π，故答案为π．17．如图，已知点D、点E分别是边长为2a的等边三角形ABC的边BC、AB的中点，连接AD，点F为AD上的一个动点，连接EF、BF．若AD＝b，则△BEF的周长的最小值是a+b．【分析】根据等边三角形的性质AD⊥BC，连接CE交AD于F，则此时EF+CF的值最小，且最小值CE的长度，根据等边三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴点B，C关于AD对称，连接CE交AD于F，则此时EF+CF的值最小，且最小值CE的长度，∵点E边AB的中点，∴CE⊥AB，∴CE＝AD＝b，∵BE＝AB＝a，∴△BEF的周长的最小值是a+b，故答案为：a+b．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+2y）+3xy，其中x＝1，y＝3．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而代入已知数据得出答案．解：原式＝x2﹣y2﹣x2﹣2xy+3xy＝﹣y2+xy，当x＝1，y＝3时，原式＝﹣32+1×3＝﹣9+3＝﹣6．19．解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：由①解得x＜4，由②解得x≥3，所以不等式组的解集为3≤x＜4．解集在数轴上表示如下图：．20．在△ABC中，BD是边BC上的高．（1）尺规作图：作∠C的角平分线，交BD于E．（2）若DE＝4，BC＝10，求△BCE的面积．【分析】（1）利用基本作图作CE平分∠BCD；（2）作EH⊥BC于H，如图，根据角平分线的性质得EH＝ED＝4，然后利用三角形面积公式计算即可．解：（1）如图，CE为所作；（2）作EH⊥BC于H，如图，∵CE平分∠BCD，ED⊥CD，EH⊥BC，∴EH＝ED＝4，∴△BCE的面积＝×4×10＝20．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．为了解全县6000名初中七年级学生对“阳光跑操”活动的喜欢程度，某校学生课外小组随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢）、B（比较喜欢）、C（一般）、D（不喜欢）四个等级对活动进行评价．（1）小华在本校调查了30名初中七年级学生对“阳光跑操”活动的喜欢程度．他的抽样是否合理？为什么？（2）该校学生课外小组从全县初中七年级学生中随机抽取了200名初中七年级学生，调查他们对“阳光跑操”活动的喜欢程度．如图所示，是该小组采集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：①图①中“D”所在扇形的圆心角为54°；②在图②中补画条形统计图中不完整的部分；③全县6000名初中七年级学生对“阳光跑操”活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人？解：（1）不合理，理由：因为调查的30名初中七年级学生全部来自同一所学校，样本不具有代表性；样本容量过小，不具有广泛性；（2）①360°×（1﹣20%﹣40%﹣25%）＝360°×15%＝54°，即图①中“D”所在扇形的圆心角为54°，故答案为：54°；②C等级的学生有200×25%＝50（人），补全的条形统计图如右图所示；③6000×（20%+40%）＝6000×60%＝3600（人），即全县6000名初中七年级学生对“阳光跑操”活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有3600人．22．为提升青少年的身体素质，在全市中小学推行“阳光体育”活动，某学校为满足学生的需求，准备购买一些键球和跳绳．已知用720元购买键球的个数比购买跳绳的条数多24，键球单价为跳绳单价的．（1）求键球、跳绳的单价分别为多少元？（2）如果计划用不多于2700元购买键球、跳绳共100个，那么最多可以购买多少条跳绳？解：（1）设跳绳的单价为x元，则键球的单价为x元，依题意得：﹣＝24，解得：x＝45，经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，∴x＝18（元）．答：键球的单价为18元，跳绳的单价为45元．（2）设可以购买m条跳绳，则购买（100﹣m）条跳绳，依题意得：45m+18（100﹣m）≤2700，解得：m≤．又∵m为正整数，∴m的最大值为33．答：最多可以购买33条跳绳．23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接BD．作∠ACB平分线，交BD于点F，交AB于点E．（1）求证：BE＝BF．（2）若AB＝6，∠A＝30°，求DF的长．【分析】（1）欲证明BE＝BE，只要证明∠4＝∠5即可．（2）因为DF＝BD﹣BF，只要求出BD，BF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵∠ABC＝90°∴∠2+∠5＝90°，∵CE为∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∴BE＝BF．（2）解：在Rt△ABD中，∵∠A＝300，AB＝6，∴DB＝3，在Rt△ACB中，∠A＝300，AB＝6∴BC＝，在Rt△BCE中，∠2＝30°，BC＝，∴BE＝2，∴BF＝2，∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．（1）求反比例函数的解析式和n值；（2）当＝时，求直线AB的解析式；（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵D（4，1）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴4＝k，2n＝k，∴k＝4，n＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝＝，∵D（4，1），E（2，2），EH＝4﹣2＝2，∴BH＝1．∴B（4，3）．设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），得，解得：，因此直线AB的函数解析式为：y＝x+1；（3）存在，如图2，作EF⊥BC于F，PH⊥BC于H，当△BED∽△BPC时，，∴＝，∵BF＝1，∴BH＝，∴CH＝，可得＝x+1，x＝1，点P的坐标为（1，）；如图3，当△BED∽△BCP时，＝，∵EF＝2，BF＝1，由勾股定理，BE＝，∴＝，∴BP＝，∴，BF＝1，BH＝，∴CH＝，可得＝x+1，x＝，点P的坐标为（，），点P的坐标为（1，）；（，）．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）（x﹣3）．把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．a＝﹣1．故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．∵B（3，0），C（0，3），∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，∴BD2＝BC2+CD2．∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．∴S△BCD＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，又∵P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1 （舍去），∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P坐标为（，）．②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．。
广东省东莞市2021年中考数学模拟考试试卷(I)卷
广东省东莞市2021年中考数学模拟考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019七上·椒江期中) 下列说法中：① 若a＜0时，a3＝－a3；② 若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③ 若a、b互为相反数，则；④ 当a≠0时，|a|总是大于0；其中正确的说法个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）(2018·平南模拟) 由5个完全相同的小长方形搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017七上·高阳期末) 如果线段AB=5cm，BC=4cm，且A，B，C在同一条直线上，那么A、C两点的距离是（）A . 1cmB . 9cmC . 1cm或9cmD . 以上答案都不正确4. （2分）已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A . 12cmB . 16cmC . 16cm或20cmD . 20cm5. （2分）某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元,其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商店（）A . 不赔不赚B . 赚了10元C . 赔了10元D . 赚了50元6. （2分）(2020·宜昌模拟) 化简的结果是（）A .B .C .D .7. （2分）有一组数据：2，5，7，2，3，3，6，下列结论错误的是（）A . 平均数为4B . 中位数为3C . 众数为2D . 极差是58. （2分）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是（）A .B .C .D .9. （2分）点A(-3,4)与点B(m,n)关于x轴对称，则点B的坐标为（）A . （-3，-4）B . （-3,4）C . （3，-4）D . （3,4）10. （2分）如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（）A . 150°B . 75°C . 60°D . 15°二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2017·东营模拟) 我国2016年第一季度GDP总值经初步核算大约为159000亿元，数据159000用科学记数法表示为________．12. （1分） (2020九上·番禺期末) 方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为________．13. （1分） (2020七上·闵行期末) 计算： ________.14. （1分）(2017·河西模拟) 一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张．从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是________．15. （1分） (2018九上·抚顺期末) 在一个圆中，如果60°的圆心角所对弧长为6πcm，那么这个圆所对的半径为________cm．16. （1分） (2020九上·渠县月考) 如图所示，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A ． C重合），且PE∥BC交AB于E ，PF∥CD交AD于F ，则阴影部分的面积是________．三、解答题 (共9题；共86分)17. （5分）(2016·济宁) 先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2 ，其中a=﹣1，b= ．18. （10分）已知二元一次方程﹣=4（1）若y的值是非负数，求x的取值范围（2）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程﹣=4 ，求m的值．19. （5分） (2019八上·南通月考) 如图，已在AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：∠B=∠C.20. （10分） (2017九上·平房期末) “双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．（1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？（2）若个体户从淘宝网上购买A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？21. （10分） (2018八下·镇海期末) 为了解初二学生参加户外活动的情况，某县教育局对其中500名初二学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下统计图。