安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编：三角函数
安徽省各地高三数学上学期最新考试试题分类汇编 平面向量 理(含解析)
安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择题1、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）已知平行四边形ABCD ，点123,,M M M ，…，1n M -和123,,N N N ，…，1n N -分别将线段BC 和DC n 等分（(,2)n N n *∈≥，如图，12AM AM ++u u u u r u u u u u r …112n AM AN AN -++++u u u u u u r u u u u r u u u u r …145n AN AC -+=u u u u u u r u u u r，则n =A 、29B 、30C 、31D 、322、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ,满足：n m +=,234=+n m 34=CA 6=CB ,则=•( )A. 36B. 24C. 243D. 312 3、（淮南市2015届高三第一次模拟）已知A,B,C三点共线，a a a n 122}{+=为等差数列，且，则的值为11153a a a -+A. 1B. -1C. 21D. 21-4、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）已知点A （1，－1），B （4,0），C （2,2）平面区域D是由所有满足(1,1)AP AB AC a b λμλμ=+≤≤≤≤u u u r u u u r u u u r的点P （x ，y ）组成的区域，若区域D的面积为8，则4a ＋b 的最小值为A 、5B 、2C 、9D 、5＋25、（合肥八中2015届高三第四次段考）已知向量,OA OB u u u r u u u r 满足||||1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r,向量OCu u u r 满足(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r 若M 为AB 的中点,且||1MC =u u u u r ,则点(,)λμ在 A.以11(,)22-为圆心,半径为1的圆上 B.以11(,)22-为圆心,半径为1的圆上C.以11(,)22--为圆心,半径为1的圆上D.以11(,)22为圆心,半径为1的圆上6、（江淮名校2015届高三第二次联考）若非零向量,a b r r ，满足||||a b b +=r r r，则（ ）A ．|2 a r |>|2 a r + b r |B ．|2 a r |<|2 a r + b r|C ．|2 b r |>|a r + 2b u u r |D ．|2 b r |<|a r + 2b u u r|7、（江淮十校2015届高三11月联考）已知1,3,0,OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r点C 在AOB ∠内，且30,AOC ∠=︒设(,),OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r则mn学科网的值为( )A.2B.52C.3D.4 8、（江淮名校2015届高三第二次联考）平面向量,a b r r 满足|3,a b r r |≤4，则向量,a b r r的最小值为A ．43B ．－43C ．34D ．－34二、填空题1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）若正方体12341234Q Q Q Q P P P P -的棱长为1，集合{}{}{}11Q ,,,Q ,,1,2,3,4i j x x S S i j M ==P ⋅T T∈P ∈u u u u r u u u u r，则对于下列命题：①当Q i j i j S T =P u u u u r u u u u u r时，1x =；②当Q i j i j S T =P u u u u r u u u u u r时，1x =-；③当1x =时，(),i j 有8种不同取值； ④当1x =时，(),i j 有16种不同取值； ⑤{}1,0,1M =-．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）已知8个非零实数123,,a a a ，…，8a ，向量112(,)OA a a =u u u r，234356478(,),(,),(,)OA a a OA a a OA a a ===u u u u r u u u u r u u u u r，对于下列命题：①123,,a a a ，…，8a 为等差数列，则存在,(1,8,,,)i j i j i j i j N *≤≤≠∈，使41k k OA =∑u u u u r与向量(,)i j n a a =r 共线；②若123,,a a a ，…，8a 为公差不为0的等差数列，(,)i j n a a =r (,,,1,8)i j i j N i j *≠∈≤≤，(1,1),{|}q M y y n q ===•r r r ，则集合M 中元素有13个；③若123,,a a a ，…，8a 为等比数列，则对任意,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，都有//i j OA OA u u u r u u u u r ；④若123,,a a a ，…，8a 为等比数列，则存在,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，使0i j OA OA •<u u u r u u u u r ；⑤若i j m OA OA =•u r u u u r u u u u r ,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，则m u r 的值中至少有一个不小于0，上述命题正确的是______（填上所有正确命题的序号）3、（黄山市2015届高三上学期第一次质量检测）已知两点A （1，0），B （l ，1），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC =135o，设λλ(+-=∈R），则λ的值为4、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）已知向量123,,,n a a a a r r r rL L 满足如下条件：1n n a a d--=r r r()2,3,4,n =L ，与的夹角为32π，且14a =r2d =r ，则数列123,,,n a a a a r r r rL L 中最小的项是5、（宣城市2015届高三上学期期末考试）在△ABC 中，BC ＝6，BC 边上的高为2，则AB AC u u u r u u u rg的最小值为＿＿＿＿6、（滁州市高级中学联谊会2015届高三上学期期末联考）已知a r、b r是单位向量，其夹角为120o，若实数x 、y 满足xa yb +=r r 22x y +的取值范围是7、（合肥八中2015届高三第四次段考）已知两个向量,AB AC u u u r u u u r 的夹角为120o,且2AB AC ⋅=-u u u r u u u r ,设两点,B C 的中点为点D ,则||AD 的最小值为8、（江淮十校2015届高三11月联考）对任意两份非零的平面向量α和β，定义,⋅⋅αβαβ=ββe 若平面向量a,b 满足0,≥>a b a 与b 的夹角[0,]4πθ∈，且a b e 和b a e 都在集合{|,n }nm m∈∈Z Z 中，给出下列命题： ①若1,m =则a b e =b a e =1； ②若2m =,则12=a b e . ③若3m =,则a b e 的取值最多为7个； ④若4m =,则a b e 的取值无限多个；其中正确命题序号是_____________(把所有正确命题的序号都填上).9、（皖江名校2015届高三1月联考）在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，P 0是边AB 上的一个定点，01P B AB 4＝，且对于AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ≥u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则下列结论中正确的是＿＿＿＿＿＿（填上所有正确命题的序号）。
2015年高考文科数学试题分类解析之三角函数与解三角形.doc
试题部分1.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 2.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ）(A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 563.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要5.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C. 211 D. 213 6.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A ．B ．2C ．D ．3 7.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．8.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，则BC =_______．9.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 10.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.11【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 12.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω =_____.13.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．14.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.15.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .16【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.17【2015高考上海，文14】已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且AB12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .18.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =，23π∠A =，则∠B = ．19.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2x f x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．20.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.21.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 22.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 22.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．23.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.24.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 25.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 26.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.27.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值.29.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.30.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.31.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x .(Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.32.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值.参考答案1.【答案】D 由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ． 2.【答案】A 11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 3.【答案】B 因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .4【答案】A 22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A .5【答案】D 设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =， 因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 6【答案】B 由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A，所以(22222b b =+-⨯⨯2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 7【答案】π()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 8.由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．9.【答案】4由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4.10.【答案】8由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.11.【答案】π因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22.12.【答案】2πω= 由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .13.由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 14.【答案】－1由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++15.【答案】2由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC16.【答案】.在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即1sin sin 2AB BC BAC ACB =⨯∠==∠，所以tan CD BC DBC =⨯∠==，故应填.17.【答案】8 因为函数x x f sin )(=对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i ，欲使m 取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(m i x i ⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m 按下图取值满足条件，所以m 的最小值为8.18.【答案】4π由正弦定理，得sin sin a bA B ==sin B =所以4B π∠=.19.【答案】（I ）2π；（II ）.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.20.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为0 【解析】 （Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2c o s 2s i n 12c o s c o s s i n 2c o s s i n )(22++=+++=1)42s i n (2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.21.【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 22.【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】解：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=23.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 26【答案】(I) 3A π=；(II)【解析】(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，2sin B=，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =解：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A =由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A = 由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =27.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式 △＝)2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0 所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanBp ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB == 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以ptanA ＋tanB )(2＋1)＝－128【答案】（I ）a=8,sin C =（II. 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=29.【答案】（I ）14（II ）1 解：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a =所以D ABC 的面积为1.30.【答案】(1)25；(2)9【解析】 (1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.31.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，. 【解析】(1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-.(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p -?，从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp 上的值域是.32.【答案】（I ）a =8,sin C =（II 【解析】（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=。
安徽省各地高三数学上学期最新考试试题分类汇编 复数 理(含解析)
安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编复数1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）若复数()()21ai i +-（R a ∈）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）复数2(i z i i+=为虚数单位）的虚部为 A 、2 B 、2- C 、1 D 、1-3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x y i ++的值为（ ）。
A ．4B ． 4-C ． 44i +D ．2i4、（淮南市2015届高三第一次模拟）复数432i z i+=-的虚部为 A. 2i B. 2i - C. 2- D. 25、（黄山市2015届高三上学期第一次质量检测）若复数z 满足方程Z 2 +2 =0，则z=（ ）A ．i 2±B ．2±C ．i 2-D ．2-6、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）设复数z 满足1)2(i z i i =-（＋为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数），则在复平面上复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）复数z 满足i i i z +=⋅+1)((i 是虚数单位)，则复数z 的模为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）38、（宣城市2015届高三上学期期末考试）复数（1－1)(1)i i +＝A 、－2B 、－2iC 、2D 、2i9、（滁州市高级中学联谊会2015届高三上学期期末联考）设i 是虚数单位，复数z 满足()()12z i i i +-=-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -10、（合肥八中2015届高三第四次段考）已知112a i i +++是实数,其中i 为虚数单位,则实数a 等于 A.1 B.12C.15D.15- 11、（江淮名校2015届高三第二次联考）复数21i i -在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、（皖江名校2015届高三1月联考）已知i 为虚数单位，复数z 满足313i z i =-g ，则z 的共轭复数是A 、－3＋iB 、－3－iC 、3－iD 、3＋i13、（宣城八校2015届高三上学期联考）设i 是虚数单位，复数7412ii ++（A ） 3－2i （B ） 3+2i （C ）2—3i （D ） 2+3i14、（皖南八校2015届高三第二次联考）参考答案1、A2、B3、D4、D5、A6、A7、C 8、D 9、A 10、A 11、D 12、C 13、A 14、B。
2015年三年高考数学(理)真题精编——专题04 三角函数与三角形
一、选择题1. 【2013高考北京理第3题】“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的()．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分必要条件;三角函数值.2.【 2013湖南3】在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选D4. 【 2014湖南9】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 定积分5. 【2013山东，理5】将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A ．3π4 B ．π4 C ．0 D ．π4- 【答案】：B【解析】：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ4k ϕ=+，k∈Z .若k ＝0，则π4ϕ=.故选B. 8. 【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.9. 【2013山东，理8】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为()．【答案】：D11. 【2014高考陕西版理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B 【解析】试题分析：由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 考点：三角函数的最小正周期.12. .【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．13. 【2013高考陕西版理第7题】在设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】A考点：正弦定理.14.【2014新课标，理4】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin B =45B =o 或135B =o ，当45B =o 时，由余弦定理得：21245AC =+-o=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =o ，由余弦定理得：212AC =+-o=5，所以AC = B.20. 【2013四川，理5】函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π- （B ）2，6π-（C ）4,6π- （D ）4，3π【答案】A【考点定位】本题考查正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.21. .【2014四川，理3】 为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【考点定位】三角函数图象的变换.22. 【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.24. 【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.25. 【2014课标Ⅰ，理6】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【答案】CP OAM D POAM D26. 【2014课标Ⅰ，理8】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ）（A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C28. 【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质31. 【2014年.浙江卷.理4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位答案：Ｄ解析：sin 3cos334y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将3y x =向左平移4π个单位．考点：三角函数化简,图像平移.32. 【2013年.浙江卷.理4】已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】：B 【解析】：若f (x )是奇函数，则φ＝k π＋π2，k ∈Z ； 若π2ϕ=，则f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＝－A sin ωx ，显然是奇函数． 所以“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的必要不充分条件．33. 【2013年.浙江卷.理6】已知α∈R ，sin α＋2cos αtan 2α＝( )．A ．43B ．34C ．34-D ．43-【答案】：C38. 【2013高考重庆理第9题】4cos 50°－tan 40°＝()．A 2B 23+ C 3 D ．221 【答案】C39. 【2014高考重庆理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤【答案】A 【解析】试题分析：由题设得：()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒= ⇒ ()()1sin 222+sin2B+sin 22BC C π-+=()1sin2B+sin 2sin 222C B C ⇒-+=⇒()()1sin 21cos 2sin 21-cos2B 2B C C -+=()14sin sin sin cos cos sin 2B C B C B C ⇒+=1sin sin sin 8A B C ⇒= (1)由三角形面积公式1sin 2s ab C =及正弦定理得：214sin sin sin 2s R A B C =⨯所以24s R =,又因为12s ≤≤，所以248R ≤≤, 所以()338sin sin sin b c b cbc b c abc R A B C R a a+++=⨯=⨯>恒成立，所以()8bc b c +> 故选A.考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.40. 【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C . 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.42. 【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.45.【2013天津，理6】在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝()．A BC D 【答案】C48.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.12πB.6π C. 3π D. 56π 【答案】 【解析】试题分析：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π.故选B. 49. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D.二、填空题3. 【2014高考北京理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】试题分析：由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ， 所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T .考点：函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性，容易题.4. 【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.5. 【2014高考广东卷.理.12】在ABC ∆中，角A .B .C 所对应的边分别为a .b .c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba. 【答案】2.【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.6. 【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=， 23A BC ππ=--=，又a =sin sin a b A B =sin 36b π=解得1b =，故应填入1． 【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．10. 【2013江苏，理1】(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．【答案】π．【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==..11. 【2014江苏，理5】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π．12. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【考点定位】两角差正切公式13. 【2014江苏，理14】若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .．【解析】由已知sin 2sin A B C +=及正弦定理可得2a c +=，222cos 2a b cC ab+-===≥=，当且 仅当2232a b =即a b =时等号成立. 15. 【2014新课标，理14】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+ =()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+ =()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.17. 【2013课标全国Ⅱ，理15】设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θ＋cos θ＝__________.【答案】：19. 【2013四川，理13】设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________．【考点定位】本题考查同角三角函数间的基本关系，二倍角公式，简单的三角恒等变换，基础题.20. 【2014四川，理13】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈ ，cos 670.39≈ ，sin 370.60≈ ，cos370.80≈ 1.73≈）【答案】60 【解析】试题分析：92AC =，46cos 67AB =，sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈ . 【考点定位】解三角形.21. 【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.有sin cos )a b αααϕ+=+.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.22. 【2014课标Ⅰ，理16】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．【解析】由2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，故(a b)(sinA sinB)(c b)sinC +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=，又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤． 24. 【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .【答案】【考点定位】正余弦定理；数形结合思想25.【2014年.浙江卷.理17】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值53考点：解三角形,求最值.26．【2013年.浙江卷.理16】在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝1，则sin∠BAC3＝__________.【答案】【解析】：如图以C为原点建立平面直角坐标系，27. 【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【解析】试题分析：1cos 2sin 23()1)2242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为 ]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【考点定位】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质30.【2015高考重庆，理13】在 ABC 中，B =120o ，AB ，A 的角平分线AD ,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠=，解得sin ADB ∠= 45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）31. 【2014，安徽理11】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________． 【答案】83π．考点：1．三角函数的平移；2．三角函数恒等变换与图象性质．32. 【2013，安徽理12】设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____．【答案】π32． 【解析】由3sin 5sin A B =，得35b a =．又2b c a +=，所以725c a b a =-=．由余弦定理可得 ()2221cos ,0,22a b c C C ab π+-==-∈，所以2.3C π= 【命题立意】考查正弦定理、余弦定理的应用．35. 【2014天津，理12】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．【答案】14-． 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．36．【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.38. 【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+ |)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.39. 【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.【答案】6100【解析】依题意， 30=∠BAC ， 105=∠ABC ，在ABC ∆中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以 45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ， 在BCD Rt ∆中，因为 30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD ==，所以6100=CD m. 【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理.40. 【2014 上海，理1】 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是.【答案】2π【考点】三角函数的周期.41. 【2013上海,理4】已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)． 【答案】π－arccos 13【解析】3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0⇒c 2＝a 2＋b 2＋23ab ，故cos C ＝13-，C ＝1arccos 3π-. 42. 【2013上海,理11】若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝______.【答案】23【解析】cos(x －y )＝12，sin2x ＋sin2y ＝2sin(x ＋y )cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23. 46.【2014福建,理12】在ABC ∆中，60,4,A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________【答案】【解析】试题分析：由正弦定理可得0sin 1,90B B =∴=.所以ABC ∆的面积等于. 考点：1.正弦定理.2.三角形的面积.47.(2013福建，理13)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ，AB ＝AD ＝3，则BD 的长为________．51.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==，所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理．三、解答题3.【2013高考北京理第15题】(本小题共13分)在△ABC 中，a ＝3，b =，∠B ＝2∠A ，(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【答案】解：(1)因为a ＝3，b =，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A =所以2sin cos sin A A A =.故cos A(2)由(1)知，cos A所以sin A =.4. 【2014高考北京理第15题】（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.【答案】（1）1433；（2）7. 【解析】试题分析：（1）由条件，根据1cos sin 22=+αα求ADC ∠sin ，再由两个角的差的正弦公式求BAD ∠sin ； （2）根据正弦定理求出BD ，再由余弦定理求AC . 试题解析：（1）在ADC ∆中，因为71cos =∠ADC ，所以734sin =∠ADC ，所以B ADC B ADC B ADC BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin 1433237121734=⨯-⨯=.考点：同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.5. 【2015高考北京，理15】已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值． 【答案】（1）2π，（2）1-- 【解析】 (Ⅰ) 211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：1--考点定位： 本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂公式与辅助角公式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等．6. 【2015高考广东，理16】在平面直角坐标系xoy中，已知向量m = ，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】（1）1；（2）512x π=．【考点定位】向量数量积的坐标运算，两角和差公式的逆用，知角求值，知值求角．7. 【2014高考广东卷.理.16】 (本小题满分12分)已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求A 的值； (2)若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】(1)A =【解析】(1)5523sin sin sin sin 121243332f A A A A A πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A =()4f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；【考点定位】本题考查诱导公式.同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.8.【2013高考广东卷.理.16】 (本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭,x∈R.(1)求π6f⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若cosθ＝35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,求π23fθ⎛⎫+⎪⎝⎭.【答案】(1)1 (2)17 25【解析】(1)πππ6612f⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ144⎛⎫-==⎪⎝⎭.(2)πππ223312fθθ⎛⎫⎛⎫+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,所以sinθ＝45-.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2425-,cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝725-.所以π23fθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos2θ－sin2θ＝72417252525⎛⎫---=⎪⎝⎭.【考点定位】本题考查三角函数中的化简求值,属于能力题12.【 2014湖南18】如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos BAD ∠=,sin CBA ∠=,求BC 的长.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)3试题解析: (1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos2AD AC DC CAD AD AC +-∠= ==所以cos CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以sin 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得sin BAD ∠==且sin CAD ∠==再由正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝==再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BCCBA BAC =∠∠3BC ⇒==. 【考点定位】三角形正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式13. 【 2013湖南17】已知函数2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=。
2015年全国高考数学试题分类汇编6解三角形(文)
一、选择题：1.（广东5）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3二、填空题：1.（安徽12）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC ,2.（北京11）在ABC ∆中，3a =，b =23A π∠=，则B ∠= ．3.（福建14）若ABC ∆中，AC ，045A =，075C =，则BC =_______．4.（重庆13）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________.5.（湖北15）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.三、解答题：1.（山东）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知33cos =B ，sin()A B +=，ac =，求A sin 和c 的值.2.（江苏）在ABC ∆中，已知2AB =，3AC =，60A =.（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.3.（陕西）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC ∆的面积.4.（四川）已知A ，B ，C 为ABC ∆的内角，tan B 是关于方程210x p +-+=（p R ∈）两个实根.（1）求C 的大小；（2）若1AB =，AC ，求p 的值5.（天津）ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为2b c -=，1cos 4A =- （1）求a 和sin C 的值；（2）求cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭ 的值.6.（浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan()24A π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值； （2）若4B π=，3a =，求ABC ∆的面积.7.（新课标1）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B =︒，且a =ABC ∆的面积.8.（新课标2）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =.（1）求sin sin B C∠∠ ； （2）若60BAC ∠=，求B ∠.9.（湖南）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =.（1）证明：sin cos B A =；（2）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求A ，B ，C .答案：B ，2，4π4，，1.， 1.c =2.（江苏）（123.（陕西）（1）3p ；（24.（四川）（1）60°；（2）1-5.（天津）（1）8a =，sin C =（26.（浙江）（1）25；（2）9 7.（新课标1）（1）14；（2）1 8.（新课标2）（1）12；（2）309.（湖南）（1）略；（2）30,120,30.A B C ===。
安徽省安庆市2015届高三数学上学期期末试卷(a卷)(含解析)
安徽省安庆市2015届高三上学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知函数f（x）=sin4x﹣cos4x，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．2．（5分）若集合A={x|log x＜2}，B={x|x﹣1|≤2}，则（C R A）∩B=（）A．[﹣1，0]∪[2，3] B．（﹣1，0）∪（2，3）C．[2，3] D．（2，3]3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a3+a6=0，则=（）A．﹣11 B．﹣21 C．11 D．214．（5分）设AB为半圆O的直径，点C是弧AB的一个三等份点，点D是直径AB的一个三等份点，且点C、D均靠近B点，若半圆O的半径为3，则=（）A．0 B．C．3 D．5．（5分）在某次义务教育检测中，某校的甲、乙另个班级各被抽到10名学生，他们问卷成绩的茎叶图如图所示，若甲班学生的平均成绩是84分，乙班学生成绩的中位数是85，那么x+y的值为（）A．4 B．6 C．7 D．86．（5分）某几何体的三视图如图所示，按图中所给的尺寸，该几何体的体积为（）A．+1 B．+πC．+πD．+17．（5分）过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，交y轴于点P，若|OF|=2|OP|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．8．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的S=9，则n=（）A．101 B．100 C．99 D．989．（5分）设x0是函数f（x）=2x﹣|log2x|﹣1的一个零点，若a＞x0，则f（a）满足（）A．f（a）＞0 B．f（a）＜0C．f（a）可以等于0 D．f（a）的符号不能确定10．（5分）如果满足9x﹣a≥0＞8x﹣b的实数x的整数值只有1，2，3，那么满足这个条件的整式a，b的有序实数对（a，b）共有（）A．48对B．63对C．64对D．72对二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．12．（5分）圆柱形容器盛有为8cm的水，现放入三个相同的玻璃小球（小球的半径与圆柱的底面半径相等），若水刚好淹没最上方的小球，如图所示，则小球的半径为．13．（5分）如果正数x，y满足x•y1+lgx=1，则xy的取值范围是．14．（5分）已知x，y满足且z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则．15．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ一伴随函数，下列对于λ一伴随函数的叙述不正确的是①f（x）=0是唯一的一个常值λ一伴随函数；②f（x）=x2是一个λ一伴随函数；③f（x）=2x是一个λ一伴随函数；④一伴随函数至少有一个零点．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）设函数f（x）=cos（2x﹣B），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调区间．17．（12分）如图1所示，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，A∥BC，E、F分别在边AD，BC上，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形ABCD沿EF折成一个如图2所示的几何体．（1）求证：在该几何体中，BC∥平面DAE；（2）若在该几何体中AD=AE，求一面角C﹣BD﹣F的余弦值．18．（12分）一房间有大小相同的3扇窗户，其中一扇是打开的，一只鸟儿飞了进来，它要出去只能从开着的窗户飞走，鸟儿在房间里飞来飞去，试图飞出，假定这只鸟儿（笨鸟）是没有记忆的，且它飞向各扇窗户是随机的．（1）求笨鸟第四次能飞出窗户的概率；（2）该户主声称他养的一只鸟（聪明鸟）具有记忆功能，它飞向任何一扇窗户的尝试都不会多于一次，如户主所说是确实的，现把这只聪明鸟带入房间，求它试飞次数的分布列；（3）求笨鸟试飞次数小于聪明鸟飞次数的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x﹣lnax，g（x）=，其中a≠0，a∈R，e为自然常数．（1）讨论f（x）的单调性和极值；（2）当a=1时，求使不等式f（x）＞mg（x）恒成立的实数m单位取值范围．20．（13分）设点P为圆O：x2+y2=4上的一动点，点Q为点P在x轴上的射影，动点M满足：=．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F（﹣，0）作直线l交圆O于A、B两点，交（1）中的轨迹E于点C、D两点，问：是否存在这样的直线l，使得=成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（13分）数列{a n}定义如下：a1=a，0≤a≤1，a n+1=2（a n﹣a n2）（n∈N+）（1）当a=时，求a4的值；（2）试确定实数a的值，使得a3=a4成立；（3）求证：当0＜a＜1且a≠时，总有a n+1＞a n（n≥2，n∈N+）成立．安徽省安庆市2015届高三上学期期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知函数f（x）=sin4x﹣cos4x，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的运算，将函数进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．解答：解：f（x）=sin4x﹣cos4x=（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，则函数的周期T=，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期的计算，将函数进行化简是解决本题的关键．2．（5分）若集合A={x|log x＜2}，B={x|x﹣1|≤2}，则（C R A）∩B=（）A．[﹣1，0]∪[2，3] B．（﹣1，0）∪（2，3）C．[2，3] D．（2，3]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：log x＜2=log2，即0＜x＜2，即A=（0，2），∴∁R A=（﹣∞，0]∪[2，+∞），由B中不等式变形得：﹣2≤x﹣1≤2，即﹣1≤x≤3，∴B=[﹣1，3]，则（∁R A）∩B=[﹣1，0]∪[2，3]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a3+a6=0，则=（）A．﹣11 B．﹣21 C．11 D．21考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知利用等比数列的通项公式可求q，然后利用等比数列的求和公式化简==1+q2+q4，代入即可求解．解答：解：∵8a3+a6=0，∴q3=﹣8，∴q=﹣2，∴==1+q2+q4=1+4+16=21故选：D．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）设AB为半圆O的直径，点C是弧AB的一个三等份点，点D是直径AB的一个三等份点，且点C、D均靠近B点，若半圆O的半径为3，则=（）A．0 B．C．3 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意画出图形，把转化为的数量积运算求解．解答：解：如图，===2==2×﹣6=3．故选：C．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了平面向量的加减法，是基础题．5．（5分）在某次义务教育检测中，某校的甲、乙另个班级各被抽到10名学生，他们问卷成绩的茎叶图如图所示，若甲班学生的平均成绩是84分，乙班学生成绩的中位数是85，那么x+y的值为（）A．4 B．6 C．7 D．8考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据甲班平均成绩为84，可求出x的值，乙班中位数为85，先把乙班成绩从小到大排列，选取第五个数和第六个数求平均，即可得到y的值．解答：解：∵甲班学生的平均成绩是84分∴（72+74+83+84+80+80+x+91+90+92+93）=84，解得x=1，∵乙班学生成绩的中位数是85，∴把数据从小到大排列，发现y=6，∴x+y=7，故选：C．点评：本题考查了平均值公式，中位数的定义，属于基础题．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，按图中所给的尺寸，该几何体的体积为（）A．+1 B．+πC．+πD．+1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱与半圆锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱与半圆锥的组合体，圆柱的底面半径为1，高为1，故圆柱的体积为：π，半圆锥的底面半径为1，高为=，故半圆锥的体积为：，故组合体的体积为：，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7．（5分）过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，交y轴于点P，若|OF|=2|OP|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，|OF|=2|OP|=c，则|FP|=c，由等面积，即可求出双曲线C的离心率．解答：解：由题意，|OF|=2|OP|=c，则|FP|=c，由等面积可得c×a=，∴e==．故选：D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．8．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的S=9，则n=（）A．101 B．100 C．99 D．98考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=+++…=9，k=100时由题意，应该满足条件100＞n，退出循环，输出S的值为9，则可求n的值为99．解答：解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=1．不满足条件k＞n，S=，k=2；不满足条件k＞n，S=+，k=3；不满足条件k＞n，S=++==，k=4；…观察规律可得：不满足条件k＞n，S=+++…===9，k=100；此时，由题意，应该满足条件100＞n，退出循环，输出S的值为9，则n=99．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列求和的知识应用，属于基础题．9．（5分）设x0是函数f（x）=2x﹣|log2x|﹣1的一个零点，若a＞x0，则f（a）满足（）A．f（a）＞0 B．f（a）＜0C．f（a）可以等于0 D．f（a）的符号不能确定考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：化简f（x）=；从而可判断f（x）在（0，1]上是增函数；且当x＞1时，f（x）＞0恒成立；再由x0是函数f（x）=2x﹣|log2x|﹣1的一个零点知x0∈（0，1]；从而可得f（a）＞0．解答：解：f（x）=；则易知f（x）在（0，1]上是增函数；当1＜x＜2时，f（x）=2x﹣1﹣log2x＞1﹣log2x＞0，当x≥2时，f′（x）=2x ln2﹣在[2，+∞）上是增函数，故f′（x）=2x ln2﹣：≥f′（2）=4ln2﹣＞1；故f（x）=2x﹣1﹣log2x≥f（2）=4﹣1﹣1=2＞0；故当x＞1时，f（x）＞0恒成立；又∵x0是函数f（x）=2x﹣|log2x|﹣1的一个零点，∴x0∈（0，1]；又∵a＞x0，且f（x）在（0，1]上是增函数；∴f（a）＞0；故选：A．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立的判断，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．10．（5分）如果满足9x﹣a≥0＞8x﹣b的实数x的整数值只有1，2，3，那么满足这个条件的整式a，b的有序实数对（a，b）共有（）A．48对B．63对C．64对D．72对考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：先解不等式组得到x的范围，再根据x的整数值得到a，b的范围，根据分步计数原理得到有序实数对．解答：解：解不等式组9x﹣a≥0＞8x﹣b得≤x＜，∵实数x的整数值只有1，2，3，∴0＜≤1，3＜≤4，解得0＜a≤9，24＜b≤32，∴a的整数解有9个，b的整数解有8个，∴a，b的有序实数对（a，b）共有9×8=72对，故选：D点评：本题考查不等式得解法和应用，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．考点：四种命题间的逆否关系．专题：阅读型．分析：先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．解答：解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．12．（5分）圆柱形容器盛有为8cm的水，现放入三个相同的玻璃小球（小球的半径与圆柱的底面半径相等），若水刚好淹没最上方的小球，如图所示，则小球的半径为4．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．解答：解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：4．点评：本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．13．（5分）如果正数x，y满足x•y1+lgx=1，则xy的取值范围是（0，10﹣4]∪[1，+∞）．考点：对数的运算性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先两边取对数，得到lgy=﹣，再令lgx=t，lg（xy）=lgx+lgy=，再构造关于t的方程t2﹣st﹣s=0有实数解，求出lg（xy）的范围，继而求出xy的范围．解答：解∵正数x，y满足x•y1+lgx=1，两边取对数得，lgx+（1+lgx）lgy=0．即lgy=﹣，（x≠，lgx≠﹣1），令lgx=t，则lgy=﹣（t≠﹣1）．，∴lg（xy）=lgx+lgy=t﹣=，设s=，得到关于t的方程t2﹣st﹣s=0有实数解，∴△=s2+4s≥0，解得s≤﹣4或s≥0，∴lg（xy）≤﹣4=lg10﹣4，lg（xy）≥0=lg1，∴0＜xy≤10﹣4，xy≥1，故xy的取值范围是（0，10﹣4]∪[1，+∞）．故答案为：（0，10﹣4]∪[1，+∞）．点评：本题考查了对数的运算性质，以及函数的值域的求法，本题的关键是构造关于t的方程t2﹣st﹣s=0有实数解，属于中档题．14．（5分）已知x，y满足且z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则﹣3．考点：简单线性规划的应用；基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解答：解：由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣2∴=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．15．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ一伴随函数，下列对于λ一伴随函数的叙述不正确的是①②①f（x）=0是唯一的一个常值λ一伴随函数；②f（x）=x2是一个λ一伴随函数；③f（x）=2x是一个λ一伴随函数；④一伴随函数至少有一个零点．考点：函数的连续性．专题：计算题；阅读型；函数的性质及应用．分析：①对于任意λ∈R，f（x）=0时，f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x都成立，从而判断；②假设f（x）=x2是一个λ一伴随函数；从而推出矛盾即可，从而判断；③假设f（x）=2x是一个λ一伴随函数；从而可推出2λ+λ=0；结合方程的根与函数的零点的关系可判断方程有解，从而判断；④若f（x）是一伴随函数；从而可得f（x+）+f（x）=0，再利用函数零点的判定定理判断即可．解答：解：①对于任意λ∈R，f（x）=0时，f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x都成立，故可判断f（x）=0是唯一的一个对任意λ都成立的λ一伴随函数；故①不正确；②若f（x）=x2是一个λ一伴随函数；则存在常数λ（λ∈R），使f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，即（x+λ）2+λx2=0；当x=0时，λ=0；当x≠0，λ=0时，（x+λ）2+λx2=0不成立；故②不正确；③若f（x）=2x是一个λ一伴随函数；则存在常数λ（λ∈R），使f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，即2x+λ+λ2x=0；即2x（2λ+λ）=0，即2λ+λ=0；由方程的根与函数的零点的关系知，存在λ0，使2λ+λ=0成立；故③正确；④若f（x）是一伴随函数；则f（x+）+f（x）=0，若f（x）=0，则f（x+）=0，则x，x+是f（x）的零点；若f（x）≠0，则f（x）•f（x+）＜0，则f（x）在（x，x）上有零点；故④正确；故答案为：①②．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）设函数f（x）=cos（2x﹣B），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调区间．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理及其两角和差的正弦公式可得：，即可得出．（2）f（x）=cos（2x﹣B），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）==cos．利用余弦函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴，B∈（0，π），∴B=．（2）f（x）=cos（2x﹣B），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）==cos．由≤2kπ，解得≤x≤，（k∈Z），∴g（x）的单调增区间为（k∈Z）．点评：本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）如图1所示，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，A∥BC，E、F分别在边AD，BC上，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形ABCD沿EF折成一个如图2所示的几何体．（1）求证：在该几何体中，BC∥平面DAE；（2）若在该几何体中AD=AE，求一面角C﹣BD﹣F的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由题设可证明BF∥平面DAE，CF∥平面DAE，可证平面BCF∥平面DAE，即可证明BC∥平面DAE．（2）取AE中点O，连接DO，则DO⊥平面ABEF，从而建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，得D，F，B点坐标，由∠CFB=∠DEA=60°可得C点坐标，从而可求，，坐标，设平面BDC和平面BDF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），由，得，取=（1，1，﹣），=（0，，﹣2），即由cos=求二面角C﹣BD﹣F的余弦值．解答：解：（1）证明：∵由题设可知BF∥AE，CF∥DE，∴从而BF∥平面DAE，CF∥平面DAE，∵BF和CF在平面BCF内，∴平面BCF∥平面DAE．又∵BC⊂平面BCF，∴BC∥平面DAE…5分（2）由条件可知AE=DE，若AD=AE，则△ADE为等边三角形，取AE中点O，连接DO，则DO⊥AE．∵EF⊥AE，EF⊥DE，∴EF⊥平面ADE，∴EF⊥DO，∴DO⊥平面ABEF，从而可建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．由AD=AE=DE=BF=AB=EF=AB=2，FC=1，易得D（0，0，），F（1，﹣2，0），B（﹣1，﹣2，0），由∠CFB=∠DEA=60°可得C（，﹣2，）所以=（，0，），=（2，0，0），=（1，2，），设平面BDC和平面BDF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），则，，可取=（1，1，﹣），=（0，，﹣2），所以cos===．故二面角C﹣BD﹣F的余弦值是：…12分点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．18．（12分）一房间有大小相同的3扇窗户，其中一扇是打开的，一只鸟儿飞了进来，它要出去只能从开着的窗户飞走，鸟儿在房间里飞来飞去，试图飞出，假定这只鸟儿（笨鸟）是没有记忆的，且它飞向各扇窗户是随机的．（1）求笨鸟第四次能飞出窗户的概率；（2）该户主声称他养的一只鸟（聪明鸟）具有记忆功能，它飞向任何一扇窗户的尝试都不会多于一次，如户主所说是确实的，现把这只聪明鸟带入房间，求它试飞次数的分布列；（3）求笨鸟试飞次数小于聪明鸟飞次数的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）每次能飞出的概率为，利用相互独立事件的概率公式可求笨鸟第四次能飞出窗户的概率；（2）用ξ表示聪明鸟试飞的次数，则ξ=1，2，3，则P（ξ=k）=，可求；（3）用η表示笨鸟试飞的次数，则P（η＜ξ）=P（η=1，ξ=2）+P（η=1，ξ=3）+P（η=2，ξ=3）可求．解答：解：（1）笨鸟第四次能飞出窗户的概率P==．（4分）（2）用ξ表示聪明鸟试飞的次数，则ξ=1，2，3．则P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（=3）==分布列为P（ξ=k）=（ξ=1，2.3）（8分）（3）用η表示笨鸟试飞的次数，则P（η＜ξ）=P（η=1，ξ=2）+P（η=1，ξ=3）+P（η=2，ξ=3）==（12分）点评：本题主要考查了离散型简单随机变量的分布列的求解，属于基础试题．19．（13分）已知函数f（x）=x﹣lnax，g（x）=，其中a≠0，a∈R，e为自然常数．（1）讨论f（x）的单调性和极值；（2）当a=1时，求使不等式f（x）＞mg（x）恒成立的实数m单位取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的定义域，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调性、极值问题；（2）将a=1代入，求出函数f（x）的表达式，函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论m的范围，得到不等式解出即可．解答：解：（1）∵f（x）=x﹣lnax，a≠0，a∈R，∴a＞0时，f（x）的定义域为（0，+∞），a＜0时，f（x）的定义域为（﹣∞，0），又f′（x）=1﹣=，∴a＞0时，x＞0，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，f（x）有极限值f（1）=1﹣lna，a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）单调递增，无极值；（2）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，由（1）得当且仅当x=1时，f（x）min=1，∵g′（x）=，x＞0，∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，当且仅当x=1时，g（x）max=，当m≤0时，由于g（x）=＞0，f（x）min=1，∴f（x）＞mg（x）恒成立；m＞0时，[mg（x）]max=，要使不等式f（x）＞mg（x）恒成立，只需1＞，即m＜e，综上，m的范围是（﹣∞，e）．点评：本题考察了函数的单调性、最值问题，考察了导数的应用，第二问中求出函数的单调区间和最值是解答本题的关键，本题属于中档题．20．（13分）设点P为圆O：x2+y2=4上的一动点，点Q为点P在x轴上的射影，动点M满足：=．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F（﹣，0）作直线l交圆O于A、B两点，交（1）中的轨迹E于点C、D两点，问：是否存在这样的直线l，使得=成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y），根据P在圆上求得M点轨迹方程．（2）设其方程为y=k（x+），代入x2+y2=4，整理得，求出|AF|，|BF|得到，再将y=k（x+）代入x2+4y2=4，整理得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2﹣1）=0，求出|CF|，|DF|，得到，根据条件求出k值．解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为（2）①当直线l垂直于x轴时，由于F（）易知|AF|=|BF|=1，|CF|=|DF|=，所以，不合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+），代入x2+y2=4，整理得，△1=设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以|AF|=|BF|=从而==将y=k（x+）代入x2+4y2=4，整理得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2﹣1）=0△2=设C（x3，y3）D（x4，y4），则所以|CF|==|DF|==从而故⇔⇔⇔综上，存在两条符合条件的直线，其方程为y=点评：本题主要考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题，2015届高考经常涉及．21．（13分）数列{a n}定义如下：a1=a，0≤a≤1，a n+1=2（a n﹣a n2）（n∈N+）（1）当a=时，求a4的值；（2）试确定实数a的值，使得a3=a4成立；（3）求证：当0＜a＜1且a≠时，总有a n+1＞a n（n≥2，n∈N+）成立．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由a=，结合数列递推式依次求出a2，a3，a4的值得答案；（2）由a3=a4，结合递推式求a3，a2，a1得答案；（3）直接利用数学归纳法证明．解答：（1）解：当a=时，，同理可得，；（2）解：若a3=a4，由a4=2a3（1﹣a3）=a3，得a3=0或．①当a3=0时，由a3=2a2（1﹣a2），可得a2=0或a2=1．若a2=0，则由a2=2a1（1﹣a1）=0，得a1=0或a1=1；若a2=1，则由a2=2a1（1﹣a1）=1，得，a1不存在．②当时，由a3=2a2（1﹣a2），得，再由a2=2a1（1﹣a1），得．故当a=0或1或时，a3=a4．（3）证明：∵0＜a1＜1，且，∴．下面证明对一切n≥2，n∈N，．1°n=2时已证明结论的正确性；2°设0（k≥2，k∈N），则=，∵0，∴（0，）．故对一切的n≥2，n∈N，都有．∴．点评：本题考查了数列递推式，考查了归纳法证明数列不等式，其中渗透了分类讨论的数学思想方法，是中档题．。
精品解析：安徽皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学(理)试题解析(原卷版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3)10i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是A.13i -+B.13i -C.13i +D.13i --2．已知集合1{|(),},{2,1,1,2}2x A y y x R B ==∈=--,则下列结论正确的是A.{2,1}A B =--B.()(,0)R A B =-∞C.(0,)A B =+∞D.(){2,1}R A B =--3．设,a b R ∈,则“1ab >”是“||||a b >”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知点113(2,),(,)222A B -,则与向量AB 方向相同的单位向量是A.34(,)55-B.43(,)55-C.34(,)55-D.43(,)55-5.已知()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若25(sin ),(cos )77a f b f ππ==，5(tan )7c f π=, 则A.b a c <<B.c b a <<C.b c a <<D.a b c <<6．函数()cos 22sin f x x x =+的最大值与最小值的和是A.2-B.0C.32- D.12-7．函数1()x x f x xe e +=-的单调递增区间是A.(,)e -∞B.(1,)eC.(,)e +∞D.(1,)e -+∞8．由直线12y =,2y =,曲线1y x =及y 轴所围成的封闭图形的面积是A.2ln 2B.2ln 21-C.1ln 22D.549.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120aBC bCA cAB ++=,则ABC ∆的最小角的正弦值等于A.45 B.34 C.35 D.7410．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ,当0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x +()xf x <,则()f x 在R 上的零点个数为.3 C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是14．已知向量(3,4),a =向量b 满足||3a b -=,则||b 的取值范围是15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,)3π上单调递增,在4(,2)3ππ上单调递减,则ω= 。
安徽省无为县开城中学2015届高三上学期第三次月考数学(理)试题及答案
开城中学2015届高三上学期第三次月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，复数131ii --=( )A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2. 设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3.函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,24.设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 5. 已知cos α＝－45且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17D ．76. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn}的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66 7. 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为 ( )A．4 B．2 C．－2 D．－48.设函数()cos(0)f x xωω=＞，将()y f x=的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A．9 B．6 C．3 D．1 39.函数2sin2xy x=-的图象大致是()10.已知函数()xf x e x=+，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是( ) A．①③B．①④C．②③ D．②④开城中学2015届高三第三次月考数学试卷班级： 姓名：第Ⅰ卷（选择题 共50分）11.已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________12. 设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 13.已知向量a =（2,1），试写出一个与向量a 垂直的单位向量b=__________ 14. 已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为__________15.下面给出一个“直角三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 …满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N ＋)，则a 83等于________．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
2015年高考文科数学试题分类解析之三角函数与解三角形.doc
B ． -C ．D ． -2.【2015 高考重庆，文 6】若 tan a = , tan(a + b ) = ,则 tan b = （）（ 12 个单位 （B ）向右平移 12 个单位（C ）向左平移 π 个单位 （D ）向右平移 个单位3 至 OB ，则点 B 的纵坐标为（B. C. D.试题部分1.【2015 高考福建，文 6】若 sin α = -于（）513，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等A ．12 12 5 55 5 12 121 13 21 1 5 5(A) (B) (C) (D)7 6 7 63.【2015 高考山东，文 4】要得到函数 y = sin 4 x -y = sin 4 x 的图象（ ）π 3 ）的图象，只需要将函数（A ）向左平移 πππ334.【2015 高考陕西，文 6】“ sin α = cos α ”是“ cos 2α = 0 ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要5.【2015 高考上海，文 17】已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ，将 O A 绕坐标原点 O 逆时针旋转 π ）.A.3 3 5 3 11 132 2 2 26.【2015 高考广东，文 5】设 ∆AB C 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若a = 2 ， c = 2 3 ， cos A = 3 ，且b <c ，则 b = （）2A ． 3B ． 2C ． 2 2D ． 37. 【 2015 高 考浙 江， 文 11 】函数 f (x ) = sin 2 x + sin x cos x + 1 的最 小正周 期6x＋Φ)是，最小值是．8.【2015高考福建，文14】若∆ABC中，AC=3，A=450，C=750，则BC=_______．9.【2015高考重庆，文13】设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-1,3sin A=2sin B,则c=________.410.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(π＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.11【2015高考上海，文1】函数f(x)=1-3sin2x的最小正周期为.12.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω=_____.13.【2015高考天津，文14】已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为．14.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.15.【2015高考安徽，文12】在∆ABC中，AB=6，∠A=75 ，∠B=45 ，则AC=.16【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此D C山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度B A CD=_________m.17【2015高考上海，文14】已知函数f(x)=sin x.若存在x1，x2，⋅⋅⋅，xm满足0≤x<x<⋅⋅⋅<x≤6π，且12m（II ）求 f (x )在区间 ⎢0,⎥⎦ 上的最小值．（Ⅱ）求 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值.21.【2015 高考福建，文 21】已知函数 f (x ) = 10 3 sin cos + 10cos 2 ．【 （ 6 个单位长度，再向下平移 a （ a > 0 ）个单（1）求 tan α + ⎪ 的值；（1）求 tan α + ⎪ 的值；| f ( x ) - f ( x ) | + | f ( x ) - f ( x ) | + ⋅⋅⋅ + | f ( x1223m -1) - f ( x ) |= 12 (m ≥ 2, m ∈ N * ) ，则 mm的最小值为.18. 【 2015 高考北京，文 11 】在 ∆AB C 中， a = 3 ， b = 6 ， ∠A = 2π ，则3∠B =．19. 2015 高考北京，文 15】本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = sin x - 2 3 sin 2（I ）求 f (x )的最小正周期；⎡ 2π ⎤ ⎣ 320.【2015 高考安徽，文 16】已知函数 f ( x ) = (sin x + cos x)2 + cos 2 x（Ⅰ）求 f ( x ) 最小正周期；π2x x x2 2 2 （Ⅰ）求函数 f (x )的最小正周期；x 2．（Ⅱ）将函数 f (x )的图象向右平移π位长度后得到函数 g (x )的图象，且函数 g (x )的最大值为 2．（ⅰ）求函数 g (x )的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x ) > 0 ． 022.【2015 高考广东，文 16】（本小题满分 12 分）已知 tan α = 2 ．⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭（2）求 sin 2α的值．sin 2 α + sin α cos α - cos 2α - 122.【2015 高考广东，文 16】（本小题满分 12 分）已知 tan α = 2 ．⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭|．．．．．．．．．．．cos B=3,sin(A+B)=,ac=23求sin A和c的值.（2）求sin2α的值．sin2α+sinαcosα-cos2α-123.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ<π)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数2据，如下表：ωx+ϕx 0π2π3π3π25π62πA s in(ωx+ϕ)5-50（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；（Ⅱ）将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π个单位长度，得到y=g(x)图6象，求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.24.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.（I）证明：sin B=cos A；(II)若sin C-sin A c os B=3，且B为钝角，求A,B,C. 425.【2015高考山东，文17】∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知63926.【2015高考陕西，文17】∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(I)求A；(II)若a=7,b=2求∆ABC的面积.27.【2015高考四川，文19】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关边分别为 a,b ,c △已知 ABC 的面积为 3 15 , b - c = 2,cos A = - ,（II ）求 cos 2 A + ⎪ 的值.对的边分别为 a, b , c .已知 tan( + A) = 2 . 31.【2015 高考重庆，文 18】已知函数 f(x)= sin2x- 3 cos 2 x .到函数 g （x ）的图像.当 x ∈ ⎢ , π ⎥ 时，求 g(x)的值域.边分别为 a,b ,c △已知 ABC 的面积为 3 15 , b - c = 2,cos A = - ,（II ）求 cos 2 A + ⎪ 的值.（1）求的值； （2）若 B =, a = 3 ，求 ∆ABC 的面积.于方程 x 2＋ 3 px －p ＋1＝0(p ∈R)两个实根.(Ⅰ)求 C 的大小(Ⅱ)若 AB ＝1，AC ＝ 6 ，求 p 的值28.【2015 高考天津，文 16】（本小题满分 13 分）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的14（I ）求 a 和 sinC 的值;⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭29.【2015 高考新课标 1，文 17】（本小题满分 12 分）已知 a, b , c 分别是 ∆ABC 内角 A, B, C 的对边， sin 2 B = 2sin A s in C .（I ）若 a = b ，求 cos B;（II ）若 B = 90 ，且 a = 2, 求 ∆ABC 的面积.30.【2015 高考浙江，文 16】（本题满分 14 分）在 ∆ABC 中，内角 A ，B ，C 所π4sin 2 Asin 2 A +cos 2 Aπ412(Ⅰ)求 f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数 f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦32.【2015 高考天津，文 16】（本小题满分 13 分）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的14（I ）求 a 和 sinC 的值;⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭，且 α 为第四象限角，则 cos α = 1 - sin 2α = ，则 =- ，故选 D ． tan(α + β ) - tan α 2 3 = 1 ，故选 A.1 + tan(α + β ) tan α 1 1 7 3.【答案】B 因为 y = sin(4 x - ) = sin 4( x - ) ，所以，只需要将函数 y = sin 4 x 的12 个单位，故选 B .3 + α ，因为 A(4 3,1) ，4 3 = 13 ，即 m 2 = 27 n 2 ， ， tan( + α ) = ， =1 - 3 ⋅ 13 m m n 2 = 49 ，所以n = 或 n = - （舍 ( ) - 2 ⨯ b ⨯ 222= b 2+ 2 31.【答案】D 由 sin α = - 参考答案5 12 13 13tan α =sin α 5cos α 121 1- 2.【答案】A tan β = tan[(α + β ) - α ] = =1 + ⨯2 3π π3 12图象向右平移 π4【答案】 A cos 2α = 0 ⇒ cos 2 α - sin 2 α = 0 ⇒ (cos α - sin α )(cos α + sin α ) = 0 ，所以 sin α = cos α 或 sin α = - cos α ，故答案选 A .5【答案】D 设直线 OA 的倾斜角为 α ， B (m , n)(m > 0, n > 0) ，则直线OB 的倾斜角为π所以 tan α =因为 m 2 + n 2 = (4 3)2 + 12 = 49 ，所以n 2 + 27 13 13169 2 2去）， 所以点 B 的纵坐标为13 .26【答案】B 由余弦定理得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，所以23 ⨯ 3，即 b 2 - 6b + 8 = 0 ，解得：b = 2 或 b = 4 ，因为2b <c ，所以 b = 2 ，故选 B ．7【答 案 】π ,3 - 2 2f(x)=sin2x+sin x cos x+1=sin2x++1=sin2x-cos2x+=2sin(2x-)+，所以T==π；f(x)2-由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cos C=4+9-2⨯2⨯3⨯(-)=16，所以c=4;故10.【答案】8由图像得，当sin(x+Φ)=-1时y当sin(x+Φ)=1时，y11.【答案】π因为2sin2x=1-cos2x，所以f(x)=1-(1-cos2x)=-+cos2x，所以函数f(x)的最小正周期为=π.12.【答案】ω=由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为（（kπ+，），（（kπ+，-2），k，k∈Z+,距离最短的两个交点一定ω4ω4()15ππ在同一个周期内，∴232=（-）2+（-2-2）2，ω=.,且f(ω)=sinω2+cosω2=2⇒sin ω2+⎪=1,所以ω2+π11-cos2x11322222π32π242232 min=2.8.【答案】2由题意得B=1800-A-C=600．由正弦定理得BC=AC sin A，sin BAC BC=sin B sin A，则所以BC=3⨯322=2．29.【答案】4由3sin A=2sin B及正弦定理知：3a=2b,又因为a=2,所以b=2，14填：4.π6min=2，求得k=5，π6max=3⨯1+5=8，故答案为8.3132222π2π21π15π21212π∴ω244213.【答案】π由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图像关于直线x=ω2对称,可得2ω≤πω⎛π⎫⎝4⎭ππ=⇒ω=.42214.【答案】－1由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝===-1理知，BC=⨯sin∠BAC=⨯=3002，，即BC=4由正弦定理，得a b3622sinαcosα-cos2α2tanα-1-4-1sin2α+cos2αtan2α+14+115.【答案】2由正弦定理可知：sin[180AB AC6AC=⇒=⇒AC=2-(75 +45 )]sin45 sin60sin4516.【答案】1006.在∆ABC中，∠CAB=300，∠ACB=750-300=450，根据正弦定AB AB6001sin∠BAC sin∠ACB sin∠ACB222所以CD=BC⨯tan∠DBC=3002⨯3=1006，3故应填1006.17.【答案】8因为函数f(x)=sin x对任意x，x(i,j=1,2,3,⋅⋅⋅,m)，i j|f(x)-f(x)|≤f(x)i j max -f(x)min=2，欲使m取得最小值，尽可能多的让x(i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)取得最高点，考虑i0≤x<x<⋅⋅⋅<x≤6π，12m|f(x)-f(x)|+|f(x)-f(x)|+⋅⋅⋅+|f(x 1223取值满足条件，所以m的最小值为8.m-1)-f(x)|=12(m≥2,m∈N*)按下图m18.【答案】π=，即=，所以sin B=，sin A sin B3sin B224.，∴≤x+≤π.当x+=π，即x=时，f(x)取得最小值.∴f(x)在区间[0,]上的最小值为f()=-3.4)+14)+1当x∈[0,]时，2x+∈[,]由正弦函数y=sin x在[,]上的图象知，当2x+=，即x=时，f(x)取最大值2+1；当2x+=，即x=时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0,]上的最大值为2+1，最小值为0.【解析】（I）因为f(x)=103sin cos+10cos222x s所以∠B=π19.【答案】（I）2π；（II）-3.（Ⅱ）∵0≤x≤2πππ333π2π332π2π3320.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为1+2，最小值为0【解析】（Ⅰ）因为f(x)=s i n x+c o s x+2s i n c o x+c o s2x=1+s i n2x+c o s2x=2s i n2(x+π所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π＝π.2（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，f(x)=2sin(2x+ππππ5π2444π5π44πππ428π5ππ444π221.【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）g(x)=10sin x-8；（ⅱ）详见解析．x x x222=53sin x+5cos x+5= 10sin x + ⎪ + 5 ．6 个单位长度后得到 y = 10sin x + 5 的图象，由 4 知，存在 0 < α < ，使得 sin α = ．5 2 3 53 > 1，54 = tan α + 1 = 2 + 1 = -3解：（1） tan α + ⎪ = 4⎭ 1 - tan α tan π 1 - tan α 1 - 2⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭所以函数 f (x )的最小正周期 T = 2π ．（II ）（i ）将 f (x )的图象向右平移 π再向下平移 a （ a > 0 ）个单位长度后得到 g (x ) = 10sin x + 5 - a 的图象．又已知函数 g (x )的最大值为 2 ，所以10 + 5 - a = 2 ，解得 a = 13 ．所以 g (x ) = 10sin x - 8 ．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x ) > 0 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得10sin x - 8 > 0 ，即 sin x > 0 0 03 π4 < 0 0 45．由正弦函数的性质可知，当 x ∈ (α , π - α )时，均有 sin x > 0 0因为 y = sin x 的周期为 2π ，45．所以当 x ∈ (2k π + α , 2k π + π - α ) （ k ∈ Z ）时，均有 sin x > 0 0 45．因为对任意的整数 k ， (2k π + π - α )- (2k π + α 0) = π - 2α0 >π所 以 对 任 意 的 正 整 数 k ， 都 存 在 正 整 数 x ∈ (2k π + α , 2k π + π - α ksin x > 4．k亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x ) > 0 ．0 022.【答案】（1） -3 ；（2）1．【解析】tan α + tan π ⎛π ⎫⎝4sin 2α（2）sin 2 α + sin α cos α - cos 2α - 1) ，使得2 π3π22π====2sin α cos αsin 2 α + sin α cos α - (2cos 2 α - 1)- 12sin α cos αsin 2 α + sin α cos α - 2cos 2 α 2 tan αtan 2 α + tan α - 2 2 ⨯ 222 + 2 - 2= 123.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 A = 5, ω = 2, ϕ = - π .数据补全如下表： 6ω x + ϕ0 πxA s in(ωx + ϕ)π 120 π 35 7π 125π 6-513 12π且函数表达式为 f ( x ) = 5sin(2 x - π ) ；（Ⅱ）离原点 O 最近的对称中心为 (- π , 0) . 612【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得： A = 5 ， π ω + ϕ = π ， 5π ω + ϕ = 3π ，解3262 得 ω = 2, ϕ = - π . 数据补全如下表：6ω x + ϕ0 π2π 3π22πxA s in(ωx + ϕ)π 120 π 357π 125π 6-513 12π且函数表达式为 f ( x ) = 5sin(2 x - π ) .6（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x ) = 5sin(2 x - π) ，因此 g ( x ) = 5sin[2( x + π ) - π ] = 5sin(2 x + π ) .666 6因为 y = sin x 的对称中心为 (k π, 0) ， k ∈ Z . 令 2 x + π = k π ，解得 x = k π- π ， k ∈ Z .6212即 y = g ( x ) 图象的对称中心为（k π - π ，），k ∈ Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 212(- π, 0) .1224.【答案】（I ）略；(II) A = 30 , B = 120 , C = 30.，得 sin B = . 因此 sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = 6 5 3c sin Ac= 3 = 2 3c ，又 ac = 2 3 ，所以 c = 1 .=, 可得 a =sin C3；(II)25【答案】 2 2,1.3【解析】在 ∆ABC 中，由 cos B =3 6 3 3因为 A + B + C = π ，所以 sin C = sin( A + B) = 69，因为 sin C < sin B ，所以 C < B ， C 为锐角， cos C = 5 39，3 6 2 2 ⨯ + ⨯ = 3 9 3 9 3.由26【答案】(I) A = π3 3 2.【解析】(II)解法一：由余弦定理，得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，代入数值求得 c = 3 ，由面积公式得∆ABC面积为bc sin A=.，从而sin B=，又由a>b知A>B，，由sin C=sin(A+B)=sin(B+)，计算得sin C=，所以∆ABC面积为ab sin C=332.3，故∆ABC面积为bc sin A=sinπ=3)133 22解法二：由正弦定理，得7sinπ3=2sin B217所以cos B=12解：(I)因为m//n，所以a sin B-3b cos A=0由正弦定理，得sin A s in B-3sin B cos A=0，又sin B≠0，从而tan A=3，由于0<A<π所以A=π3(II)解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bc cos A，而a=7,b=2，A=π得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0因为c>0，所以c=3，13322.解法二：由正弦定理，得732 sin B从而sin B=21 7又由a>b知A>B，所以cos B=27 7故sin C=sin(A+B)=sin(B+π3+cos B sin所以∆ABC面积为ab s in C=.从而tan(A＋B)＝tan A+tan B错误!tan450+tan3001+所以p＝－1(tanA＋tanB)＝－(2＋3＋1)＝－1－3;（II）.=sin B cosππ3=32114，1332227.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2＋3px－p＋1＝0的判别式＝3p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0所以p≤－2或p≥2 3由韦达定理，有tanA＋tanB＝－3p，tanAtanB＝1－p 于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0-3p==-31-tan A tan B p所以tanC＝－tan(A＋B)＝3所以C＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝AC sin C6sin6002== AB32解得B＝45°或B＝135°(舍去)于是A＝180°－B－C＝75°则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝=1-tan450tan3001-33=2+3 3313328【答案】（I）a=8,sin C=1515-73816【解析】（I）由面积公式可得bc=24,结合b-c=2,可求得解得b=6,c=4.再由余弦定理试题解析 :（I ）△ABC 中,由 cos A = - , 得 sin A = , 由 bc sin A = 3 15 ,得15 4 sin C ,得 sin C = ππ3 (2cos 2 A -1)- sin A c os A cos 2 A + ⎪ = cos 2 A cos - sin 2 A sin4 （II ）1 由余弦定理可得 cos B = a 2 + c 2 - b 25 ；(2) 9【解析】 (1)由 tan( + A) = 2 ，得 tan A = 3 ，所以 sin 2 A sin 2 A + cos 2 A = 2sin A c os A + cos 2 A 5 .2 tan A + 1 =3 可得， sin A =4 ，由正弦定理知： b = 35 .求得 a=8.最后由正弦定理求 sinC 的值;（II ）直接展开求值.1 14 2bc = 24, 又由 b - c = 2, 解得 b = 6, c = 4. 由 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A , 可得 a=8. 由a csin A =15 8 .（II⎛ π ⎫ ⎝ 6 ⎭ 6 6 =2= 15 - 7 31629.【答案】（I ） 1解：（I ）由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac .又 a = b ，可得 b = 2c , a = 2c ,12ac = 4 .（II ）由(1)知 b 2 = 2ac .因为 B = 90°，由勾股定理得 a 2 + c 2 = b 2 .故 a 2 + c 2 = 2ac ，得 c = a = 2 .所以 D ABC 的面积为 1.30.【答案】(1) 2π142sin A c os A 2 tan A 2 =）,(2)由 tan A = 1 10 10 ,cos A =3 1010 .a = 3, B =π， Ⅱ）[ , ] . （ （ 当 x [ , p ] 时，有 x - ?[ , ] ，从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] ，那么 sin( x - p的值域为 [ 故 g( x) 在区间 [ , p ] 上的值域是 [ , ] .;（II ） . （ ）△I ABC 中,由 cos A = - , 得 sin A = , 由 bc sin A = 3 15 ,得 bc = 24, 又15 4又 sin C = sin( A + B) = sin A c os B + cos A s in B = 2 55，所以 S ∆ABC =1 12 5ab sin C = ⨯ 3 ⨯ 3 5 ⨯ = 9 .2 2 531.【答案】 Ⅰ）f ( x ) 的最小正周期为 p ，最小值为 - 2+ 3 1- 3 2- 32 2 2【解析】1 1 3(1) f ( x ) = sin 2 x - 3 cos 2 x = sin 2 x - (1+cos 2 x )2 2 21 3 3 p 3= sin 2x - cos 2x - = sin(2 x - )-2 2 23 2,因此 f ( x ) 的最小正周期为 p ，最小值为 - 2+ 32.(2)由条件可知： g( x) = sin( x - p 3 )- 3 2.p p p 2p2 3 6 3p 13 23 1- 3 2- 3)- , ] .3 2 2 2p 1- 3 2- 32 2 232.【答案】（I ）a=8, sin C = 15 15 - 7 38 16【解析】1 14 2由 b - c = 2, 解得 b = 6, c = 4. 由 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ,可得 a=8.由得 sin C =15 .8a c= sin A sin C,cos 2 A + ⎪ = cos 2 A cos - sin 2 A sin = 2cos 2 A -1)- sin A cos Aπ ⎫ π π 3 (（II ）⎛ ⎝ 6 ⎭ 6 6 2= 15 - 7 316,。
2015高考题(文理)——三角函数及三角恒等变形
2015高考题（文理）——三角函数及三角恒等变形1.（2015·北京·理科）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：212--. 试题解析：(Ⅰ)211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- ()f x 的最小正周期为221T ππ==； (Ⅱ)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤Q ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 2.（2015·北京·文科）已知函数()2sin 23sin 2x f x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.（2015·广东·文科）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（2015·安徽·文科）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（2015·福建·理科）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-( 试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则f()g()2sin cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +5sin()x j =+（其中12sin ,cos 55j j ==），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价于直线y m =和函数5sin()y x j =+有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2p a b j -和3+=2()2pa b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) 21f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x x x x +=+=+ 5sin()x j =+（其中12sin ,cos 55j j ==） 依题意知，sin()=5m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当||15m<，故m 的取值范围是(5,5)-.2)因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5m a j +，sin()=5m b j +. 当1m<5£时，+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+ 当5<m<1-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+ 所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5m a j +，sin()=5mb j +. 当1m<5£时，+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即 当5<m<1-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即所以cos +)cos()a j b j =-+(cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1()]() 1.555m m m b j a j b j =-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 6.（2015·福建·文科）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．考点：同角三角函数基本关系式．7.（2015·福建·文科）已知函数()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 试题解析：（I ）因为()2103sincos 10cos 222x x xf x =+ 53sin 5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．8.（2015·新课标Ⅰ·理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.9.(2015·新课标Ⅰ·理科) 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 A.（）,kB.（）,kC.（）,kD.（）,k【答案】B10.（2015·陕西·理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11.（2015·陕西·文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.12.（2015·天津·理科）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质. 13.（2015·天津·文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π2试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.14.（2015·湖南·理科）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D试题分析：向右平移ϕ个单位后,得到)22sin()(ϕ-=x x g ,又∵2|)()(|21=-x g x f ,不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.15.（2015·江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式16.（2015·江苏）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源考点：余弦定理，二倍角公式11。
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安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编 三角函数 一、选择题 1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D．
2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）函数()sin()(0,0)fxAxA的部分图像如图所示，则()fx的解析式可以为
A、()3sin(2)4fxx B、()3sin(2)4fxx C、13()3sin()24fxx D、13()3sin()24fxx 3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）下列命题正确的是（ ） A.函数)32sin(xy在区间)6,3(内单调递增 B.函数xxy44sincos的最小正周期为2 C.函数)3cos(xy的图像是关于点)0,6(成中心对称的图形
D.函数)3tan(xy的图像是关于直线6x成轴对称的图形 4、（淮南市2015届高三第一次模拟）将函数y= cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是
A．x B．2x C．3x D．4x 5、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）在ABC中，120A，5AB，7BC，则CBsinsin的值为
tan130acoscos0b
0
21
2cx
abc
cabcbaabcbca （A）53 （B）35 （C）85 （D）58 6、（宣城市2015届高三上学期期末考试）在△ABC中，已知AB＝43，AC＝4，∠B＝30º，则△ABC的面积是 A、43 B、83 D、43或83 D、3 7、（宣城市2015届高三上学期期末考试）若sin()(0,0,||)2yAxA的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2，且图像过点（0,1），则其解析式是 A、2sin()26xy B、2sin()23xy
C、2sin()6yx D、2sin()3yx 8、（滁州市高级中学联谊会2015届高三上学期期末联考）函数sinfxx（0，2）的部分图象如图所示，则1f（ ）
A．32 B．12 C．12 D．32 9、（合肥八中2015届高三第四次段考）函数()cos()(,0)3fxxxR的最小正周期为,为了得到函数()yfx的图象,只需将函数()sin()3gxx的图象 A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度 10、（江淮名校2015届高三第二次联考）已知函数()sin(,0)fxxxR的最小正周期为，为了得到函数()sin()4gxx的图象，只要将()yfx的图象（ ） A．向左平移8个单位长度 B．向右平移8个单位长度 C． 向左平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度 11、（江淮十校2015届高三11月联考）若(,),2且cos2sin()4，则sin2的值为 ( ) A.12 B.12 C.1 D.1
12、（皖江名校2015届高三1月联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是,,abc，若3,sin23sinabcCBba，则tanA＝
A、3 B、1 C、33 D、－3 二、填空题 1、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为,,abc，
若,23BAba，则B_____ 2、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）已知函数f（x）＝｜sinx｜＋｜cosx｜－sin2x－1（xR），则下列命题正确的是＿＿＿＿（写出所有正确命题的序号）。 （1）f（x）是周期函数；
（2）f（x）的图象关于2x对称；
（3）f（x）的最小值为2－2； （4）f（x）的单调递增区间为3[,]()44kkkz （5）若f（x）在（0，n）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1007.5＜n＜1008
三、解答题 1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． 求的大小；
如果，，求的面积．
2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）已知函数1()sin()cos()(01)362fxxx的图像关于直线3x对称
CCabc222bcabc
3
sin32bC （1）求的值； （2）若12(),(,)633f，求cos的值
3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知函数)(xf=sin（2x+6）+ cos 2x． （1）求函数)(xf的单调递增区间。
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=32，a=2，B=3，求△ABC的面积．
4、（淮南市2015届高三第一次模拟）4cos4cos4sin3)(2xxxxf已知函数 （Ⅰ）若1)(f,求)32cos(的值; （Ⅱ）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且满足(2)coscosacBbC， 求()fA的取值范围。
5、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC （I）求角A的大小； （II）若cosB是方程3x2－10x＋3＝0的一个根，求sinC的值。
6、（宣城市2015届高三上学期期末考试）测）已知函数22()23sincos3sincos2fxxxxx。 （1）当[0,]2x时，求f（x）的值域； （2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3ba， sin(2)22cos()sinACACA，求f（B）的值。
7、（滁州市高级中学联谊会2015届高三上学期期末联考）在C中，角，，C所对边的长分别为a，b，c，且sinC2sin．
证明：tan3tan；
若2cb，求角的值． 8、（合肥八中2015届高三第四次段考）已知函数2()sin()2cos1(0)62xfxx,直线3y与函数()yfx的图象的相邻两交点的距离为. (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,若点(,0)2B是函数()yfx图象的一个对称中心,且3b,求ABC面积的最大值.
9、（江淮名校2015届高三第二次联考）利用已学知识证明： （1）sinsin2sincos22。
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足1sin2sin()sin()2AABCCAB，求△ABC的面积。
10、（江淮名校2015届高三第二次联考）合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=503米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑
到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF,如图所示． （1）设∠BOE=，试将△OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使 铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
11、（江淮十校2015届高三11月联考）已知函数1()sin().62fxx (1)若11[0,],(),210xfx求cosx得值； (2)在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,,abc且满足2cos23,bAca求()fB的取值范围. 12、（皖江名校2015届高三1月联考） 已知函数2()cos()cos()2cos(0)662xfxxx的最小正周期为。 （I）求的值； （II）求f（x）的单调递增区间。
参考答案 一、选择题 1、B 2、D 3、C 4、D 5、A 6、C 7、A 8、B 9、C 10、B 11、A 12、C
二、填空题 1、2 2、①③④
三、解答题 1、
2、
3、（1）解：()sin(2)cos26fxxx =sin2coscos2sincos266xxx
=33sin2cos222xx=133(sin2cos2)22xx =3sin(2)3x …………………………3分 令222232kxk 512312kxk，kZ
()fx的单调递增区间为：5[,],1212kkkZ0…………………………6分
（2）由31(),sin(2)232fAA， 又20,3A52,333A 因此5236A，解得：4A …………………………8分 由正弦定理sinsinaBAB，得6b，
又由,43AB可得：62sin4C …………………………10分 故 133sin22ABCSabC …………………………12分 4、
（Ⅱ）由 CBBCBAcossincossincossin2 知 21cos,sin)sin(cossin2BACBBA
)32,0(,3),,0(ABB…………………………………9分
21)62sin()(AAf 1)62sin(21,2626AA