17.3一元二次方程根的判别式1
一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0(a 0)
2
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 因式分解法 公式法
一元二次方程的求根公式：
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
25y 2 4 20y 解：原方程化为:25y2-20y+4=0
这里a=25，b=-20，c=4， △=b2-4ac=400-4×25×4=0， 所以方程有两个相等的实数根．
2x2 3x 1 0
a 解：这里， 2, b 3, c 1 △=b2-4ac=3-4×2×1=-5<0， 所以方程无实数根．
问题一：不解方程，判断一元二次方程的根的情 况
5 x 3x 2 0
2
25y 4 20y
2
2 x 3x 1 0
2
5 x 3x 2 0
2
解： 这里a=5，b=-3，c=-2， △=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围
已知关于x 的一元二次方程
2
1 2 x (m 2) x m 1 0 4
当m取什么值时： 1、方程有两个不相等的实数根 2、方程有两个相等的实数根 3、方程没有实数根
解：
1 2 (m 2) 4( m 1) 4
2
（1）当4m 8 0 ，即 m 2 时，方程有两个不 相等的实数根. （2）当 4m 8 0 ，即 m 2 时，方程有两个相 等的实数根. （3）当 4m 8 0 ，即 m 2 时，方程没有实数 根
4m 8
如果关于x的一元二次方程 (k-2)x2+k=(2k-1)x 有实数根，那么k的取值范围是什么？
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程 是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
2
一元二次方程的根的情况： 1.当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
2
b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 2.当
2 3.当 b 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来：
1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b 2 4ac 0
2
用公式法解下列方程
x 3x 2 0
2Байду номын сангаас
3 y 10 2 y
2
x 2 8x 16 0
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
初中数学沪科八年级下17.3一元二次方程根的判别式
当方程没有实数根时， △ ＜0。
例 不解方程，判别下列方程的根 的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解： （ 3）2 45（ 2） 49＞0 原方程有两个不相等的实数根。
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
b2 4ac
b2 4ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x2 3x k 0， 问 k取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3）2 41 k 9 4k
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
;
（3）b2-4ac＜0时， b2 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况
由b2-4ac来确定。我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
⑴ 方程有两个不相等的实数根
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9
当
k＜
9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ 方程有两个相等的实数根
9 4k 0 解得 k 9
当k9
4
时，原方程有两个相等的实数根
⑶
9
当k
＞449k＜时0，原解方得程k没＞有实94 数根
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为25y2 20 y 4 0 （ 20）2 4 25 4 0
沪科版数学八年级下册17.3 一元二次方程根的判别式教案与反思
17.3 一元二次方程根的判别式玉壶存冰心,朱笔写师魂。
——冰心《冰心》东山学校李媚清【知识与技能】1.了解根的判别式的概念、能用判别式判别根的情况.2.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．【过程与方法】1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力.2.进一步考察学生思维的全面性.【情感态度】1.通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神.2.进一步渗透转化和分类的思想方法.【教学重点】会用判别式判定根的情况.【教学难点】正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根.”一、创设情境，导入新课1.在前面我们学习的用“公式法”解一元二次方程中，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根.那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？2.复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x+2＝0；②x2-2x+1＝0；③x2+3＝0.【教学说明】问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用.问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用.二、合作探究，探索新知1.任何一个一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）用配方法将其变形为(x+ab 2)2=2244a ac b ∵a ≠0,∴4a2＞0【教学说明】做到这一步时，要停下来，考虑被开方数的正负性，引导学生对字母的取值进行讨论.2.请同学们思考，方程一定有实数根吗？方程根的情况与谁有关？有什么关系？学生观察后回答：（1）当b2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac ＜0时，方程没有实数根.3.教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？ 定义：把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）.当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.【教学说明】引导学生讨论方程的根谁来确定，分哪几种情况，然后教师进行总结，得出根的判别式的三种情况，可以适当举出简单的实例让学生做一做，以加深印象.三、示例讲解，掌握新知例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1）5x2-3x-2=0; (2)25y2+4=20y; (3)2x2+3x+1=0.解（1）因为Δ=(-3)2-4×5×(-2)=49＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可变形为25y2-20y+4=0因为Δ=(-20)2-4×25×4=0,所以原方程有两个相等的实数根.（3）因为Δ（3）2-4×2×1=-5＜0，所以原方程没有实数根.【教学说明】这是对根的判别式的直接应用，要强调学生先将方程写成一般形式，然后再写出a ，b ，c 的值，最后再代入根的判别式进行计算，根据结果判断方程根的情况.例2 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x2-4x+m-21=0有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？【分析】由于一元二次方程有个相等的实数根，所以根的判别式的值为0，由此可求出m 的值，进而可求出方程的根.解根据题意，得Δ=(-4)2-4（-21）=0，即16-4m+2=0,解得m=29. 即当m=29时，方程有两个相等的实数根，此时方程为x2-4x+4=0.解方程，得x1x2=2.【教学说】这是对根的判别式的反向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，然后再构建相应的式子求解.四、练习反馈，巩固提高1.对于一元二次方程2x2-3x-1=0,其根的判别式Δ= .2.用公式法解方程4x2=3x+2时，应先将其化为一般形式 ，然后计算出根的判别式Δ= .3.写一个你喜欢的实数m 的值 ，使关于x 的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.4.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：（1）3x2-2x-1=0; （2）2x2-x+1=0;（3）4x-x2-2=x2.5.求证：方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）＝0没有实数根.【答案】1.17 2.4x2-3x-2=041 3.答案不唯一，m ＜41即可 4.（1）解：Δ＞0,方程有两个不等的实数根.（2）Δ＜0,方程无实数根；（3）x2-2x+1=0,Δ=0,方程有两个相等的实数根.5.分析：将Δ算出，论证Δ＜0即可得证.证明：Δ＝（-2m ）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4+4m2+4）＝-4（m2+2）2.∵ 不论m 为任何实数，（m2+2）2＞0．∴ -4（m2+2）2＜0，即Δ＜0．∴ （m2+1）x2-2mx+（m2-4）＝0，没有实根.【教学说明】第1、2、3、4题是对根的判别式的直接应用，主要是要加深学生的印象，第5题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．五、师生互动，课堂小结（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况①定义：把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c ＝0的根的判别式，用“Δ”表示.②一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a ≠0）.当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．反之亦然．（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法.完成同步练习册中本课时的练习.学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.在教学中先让学生明确根的判别式的由来以及它的重要性，然后通过直接的应用加深印象，最后通过反向应用拓展学生的思维.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
17.3(1)一元二次方程根的判别式
初中数学电子教案课前练习一1、用开平方法解下列方程：课前练习二2、求下列方程中的ac b 42 的值：感悟方程根的三种情况，猜想制约因素： 1、回顾师：我们在解一元二次方程时，首先考虑什么方法？（开平方法和因式分解法）若不行，考虑什么法？（公式法或配方法）求根公式是什么？a 、b 、c 是什么？用求根公式时要把方程化成一般式。
2、学生笔做解第1题（题目抄在黑板上），口答答案（电脑显示，说明用开平方法简单）。
提问：一元二次方程的根的情况有几种？学生口答（根的三种情况）。
3、 学生笔做第2题（题目抄在黑板上），个别学生（用配方法解的）板演。
提问：根的情况及什么有关？猜想根的情况及系数之间的关系。
新课探索一（1）在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们曾得到验证方程的根及系数关系，概括（韦达）定理：1、演示电脑，结合学生板演，根据求根公式的推导，得出方程根的三种情况制约因素是ac b 42-的值的符号。
学生概括，教师板书课题和定理内容。
要重视对学生进行辨证唯物主义观点教育。
一元二次方程的系数变化，引起方程根的变化，两者变化是互相制约的；决定根的性质的是ac b 42-的值，当△由大于零变成等于零，由等于零变成小于零，方程的根由两个不相等的实数根变到两个相等的实数根又变到无实数根，这分别是从量变到质变的过程，其中△=0是方程有无实根的转折点。
教学内容教学过程教后记新课探索一（2）我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax的根的判别式，通常用符号“△”（读作/´/）来表示，记作△=ac b 42-。
利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。
新课探索一（3）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当△=ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根；当△=ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根；当△=ac b 42-<0时，方程没有实数根。
沪科版八年级下册数学 17.3一元二次方程的根的判别式 课件(共16张PPT)
议一议
3、证明:不论m为何值, x2 2 m 2 x m 40这个方程
总有两个不相等的实数根。
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4m 121 20
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
通过以上分析：你发现了什么规律？
规律总结
若一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0） （1）若有两个不相等实数根，则△>0； （2）若有两个相等实数根，则△=0； （3）若没有实数根，则△<0。
将胜利进行到底
1、已知关于X的方程x2-3x+k=0,k为何值时，方程 （1）有两个不相等实数根？ （2）有两个相等实数根？ （3）没有实数根？ 2、关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=0有实 数根，求m的取值范围。
理论推导 一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a≠0)的求根公式：
x b b2 4ac 2a
（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
小试牛刀
不解方程，判别下列方程根的情况
1 5 x2 3x 2 0 225y2 4 20 y 32x2 3x 1 0
试判断 ABC的形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a411(2bc) 0 4
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
17.3一元二次方程的根的判别式
小组活动一
用公式法解下列方程： (1)2 x - 3x 0；
2 2 2
复习 导入
（2） 3 x - 2 3 x 1 0；（3） 4 x x 1 0.
小结： (1)b 4ac 9 0, 则方程有两个不相等的 实数根；
2 2
(2)b 4ac 12 - 12 0, 则方程有两个相等的实 数根； (3)b 4ac 1 16 15 0, 则方程没有的实数根 .
小组活动三
1、不解方程，判定下列 方程根的情况： （ 1 ） 2 x 2 5 x 4 0；（2） 7 t 2 5t 2 0； （3）x( x 1) 3；（4） 3 y 2 25 10 3 y； 2、已知关于x的方程x 2 3x k 0问k取何值时，这个方程： （ 1 ）有两个不相等的实数 根？ （2）有两个相等的实数根 ？ （3）没有实数根？
2
ax bx c 0(a 0)没有实数根 .
2
• 反之亦真.即：
(1)若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
2
有两个不相等的实数根 ，则 b 4ac 0； (2)若一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
有两个相等的实数根， 则 b 4ac；
2
(3)若一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
没有实数根 .，则b 4ac 0。
2
• 布置作业：
• • • • • 1、课堂作业： 课本P36习题17.3第1、3、4题； 2、家庭作业： （1）课本P36习题17.3第2、5题； （2）练习册同步。
【例2】若关于x的一元二次方程 (a 2) x 2ax a 1 0没有实根，
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式教学设计 新版沪科版
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.3节介绍了一元二次方程的根的判别式。
本节内容是在学生掌握了二次三项式分解、一元二次方程的解法等知识的基础上进行的。
根的判别式是解决一元二次方程求根问题的关键，对于理解一元二次方程的根与系数的关系，以及解决实际问题具有重要意义。
教材通过引入判别式，引导学生探究一元二次方程的根的性质，从而加深对二次方程的理解。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法，以及二次三项式分解等知识。
但学生对于根的判别式的理解及运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，让学生在理解的基础上，熟练掌握根的判别式的计算及应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元二次方程根的判别式的定义，掌握计算方法，并能运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过探究活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式的定义及计算方法。
2.难点：运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并理解一元二次方程根的判别式的性质。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：笔记本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示一元二次方程的根的判别式，引导学生观察、分析，发现判别式与方程根的情况之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出例题，让学生独立解决，然后集体讨论解题过程，引导学生掌握判别式的计算方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些判断题，让学生判断一元二次方程的根的情况，巩固所学知识。
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
17.3一元二次方程根的判别式(沪科版)
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
归纳与总结：
一元二次方程根的判别式：
一元二次方程
ax 2 bx c 0 (a 0) 根的判别式（ b2 4ac
有实数根
）：
0 方程有两个不相等的实数根； 2 b 4ac 0 方程有两个相等的实数根； 0 方程没有实数根；
4
4m 8 0，即m 2 时，方程有两个不 （1）当 相等的实数根. （2）当4m 8 0 ，即m 2 时，方程有两个相 等的实数根. （3）当4m 8 0 ，即 m 2时，方程没有实数根
例1、如果关于x的一元二次方程 (k-2)x2+k=(2k-1)x 有实数根，那么k的取值范围是什么？
注意：应用判别式求字母的取值范围时，二次项系数中含
有字母参数时，要特别注意一元二次方程的前提条件，即 二次项系数不为0.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程 是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
典例分析
例2.求证：无论a取何实数，关于x的方程 2 ax (1 3a) x 2a 1 0 总有实数根.
练习: 2.证明:m为任何实数时, 方程 2 x ( m 1) x m 4 0都有两
2
(2) x 8x 16 0
2
(3) y 2 y 5 0
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
一元二次方程根的判别式：
b 4ac
2
想一想：
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方根的情况，求字母的取值范围
17.3(1)一元二次方程的根的判别式
张泽学校 八年级数学（上） 设计人：刘文举 修改者：郑春玲 17.3（1）一元二次方程的根的判别式 班级 姓名
【学习目标】 学习内容 学习水平 A B C D
一元二次方程的根的判别式 √
不解方程，利用根的判别式来判断一元二次方程的根的情况 √
重点和难点：一元二次方程的根的判别式及应用。
【学习过程】 一、复习： 1、解关于x的方程)0(02acbxax。
我们知道，利用公式法，可以解任何一个一元二次方程)0(02acbxax。 ①当 时，方程的根是 。 ②当 时，方程的根是 。 ③当 时，方程 实数根. 2、思考：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？
二、新知学习 1、定义：我们把 叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，通常用符号“△”表示，读作[`deltE]，记作△=24bac. 2、一元二次方程20(0)axbxca， 当△=240bac时，方程有两个 的实数根； 张泽学校 八年级数学（上） 设计人：刘文举 修改者：郑春玲 当△=240bac时，方程有两个 的实数根； 当△=240bac时，方程 实数根. 上述判断反过来说，也是正确的。即 当方程有两个不相等的实数根时， ； 当方程有两个相等的实数根时， ； 当方程没有实数根时， .
3、例题精讲 例1、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）22430xx； （2）3542xx； （3）22326xx. 解：（1） （2） （3）
【课堂反馈1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）045642xx （2）005.06.02.02xx
（3）)13(492xx
例2、关于x的方程2(1)0xmxm（其中m是实数）一定有实数根吗?为什么？ 张泽学校 八年级数学（上） 设计人：刘文举 修改者：郑春玲 【变式练习】 关于x的方程01)1-(-2xmmx（其中0m）一定有实数根吗？为什么？