辽宁省高三上学期数学9月月考试卷
辽宁省高三上学期数学9月月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）下列命题中，其中不正确的个数是（）
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行
②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行
③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ
④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β
⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC 的内心
⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
2. （2分） (2019高一下·上饶月考) 若函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）
A . 向左平移个长度单位
B . 向右平移个长度单位
C . 向左平移个长度单位
D . 向右平移个长度单位
4. （2分） (2018高三上·哈尔滨月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共12题；共12分)
5. （1分） (2016高二上·桂林期中) 函数y= 的定义域是________．
6. （1分） (2016高二上·大连开学考) 函数 y=f（x）的反函数为y=log2x，则 f（﹣1）=________．
7. （1分）已知A={x|x2+（P+2）x+4=0}，M={x|x＞0}，若A∩M=∅，则实数P的取值范围________．
8. （1分）(2017·三明模拟) 已知，则值为 ________．
9. （1分） (2017高一下·郴州期中) 若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P（m，n）落在圆x2+y2=16内的概率是________．
10. （1分）(2018·朝阳模拟) 等比数列满足如下条件:① ②数列的前项和 .试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________．
11. （1分） (2016高三上·上海模拟) 行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为________．
12. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是________.
13. （1分） (2016高二上·上海期中) 定义满足不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B 邻域．若a+b﹣t（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为________．
14. （1分）地球的北纬45°圈上有A，B两点，它们分别在东经70°和东经160°的经线上，则A，B两点的球面距离与其在此北纬45°圈上劣弧长的比值为________
15. （1分） (2017高二下·溧水期末) 已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，4]时，f（x）=lnx，若在区间x∈[ ，4]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
16. （1分）(2018·临川模拟) 已知函数，对不等式恒成立，则实数的取值范围是________.
三、解答题 (共5题；共55分)
17. （10分）(2019·汕头模拟) 如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，
是中点，是上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
18. （10分） (2018高一上·佛山月考) 已知函数，
（1）若，求在区间上的最小值；
（2）若在区间上有最大值3，求实数的值．
19. （5分）已知角α的终边经过点P（﹣3cos θ，4cos θ），其中θ∈ （k∈Z），
（1）求角α的正弦函数值及余弦函数值；
（2）求的值．
20. （15分） (2016高二上·绵阳期中) 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
21. （15分）(2018·鸡西模拟) 记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共12题；共12分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、答案：略
18-2、答案：略
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、。
辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2023届辽宁省名校联盟高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}=12<3A x x -，集合{=B x y ，则A B ⋂=（ ）A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(]1,0-D ．[]2,0-【答案】B【分析】由题知()1,2A =-，(][),20,B =-∞-+∞，再根据集合交集运算求解即可.【详解】解：解不等式2+20x x ≥得2x ≤-或0x ≥，解不等式12<3x -得12x -<<， 所以，()1,2A =-，(][),20,B =-∞-+∞，所以[)0,2A B =. 故选：B.2．已知复数20232i 1i z +=+，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】A【分析】根据复数的乘方和除法运算法则化简复数，进而得到其共轭复数，从而确定其在复平面内的点，确定所在象限.【详解】由题意得505432i 2i (2i)(1i)13i 1i 1i (1i)(1i)22z ⨯++---====-+++-， 所以13i 22z =+，z 在复平面中对应的点为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：A.3．已知命题p ：x R ∃∈，23210ax ax ++≤是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(](),03,-∞+∞ B ．()(),03,-∞+∞ C ．()0,3 D ．[)0,3【答案】D【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数a 的取值范围. 【详解】由题意得p ⌝是真命题，即x R ∀∈，23210ax ax ++>， 当=0a 时，10>符合题意；当0a ≠时，有0a >，且2(2)430a a ∆=-⋅<，解得0<<3a . 综上所述，实数a 的取值范围是[)0,3.4．已知奇函数()f x 在R 上可导，()()='g x f x ，若()g x 在()0,1是增函数，在()1,+∞是减函数，则（ ）A ．()g x 在(),1-∞-是增函数，在()1,0-是减函数B ．()g x 在(),1-∞-是减函数，在()1,0-是增函数C ．()g x 在(),1-∞-，()1,0-都是增函数D ．()g x 在(),1-∞-，()1,0-都是减函数 【答案】A【分析】由奇函数的的导函数是偶函数得出()g x 是偶函数，再根据对称性质得单调性． 【详解】因为()f x 是奇函数，所以()f x 在关于原点的对称区间上的单调性相同，即x ∀∈R ，()()f x f x ''-=，所以()()='g x f x 为偶函数，可得()g x 在关于原点对称区间上的单调性相反. 故选：A ．5．在ABC 中，“cos cos 01sin sin A BA B <<”是“ABC 是锐角三角形”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】C【分析】根据充分性和必要性分步证明，利用三角恒等变换公式. 【详解】（充分性）在ABC 中，显然sin 0A >，sin 0B >， 所以cos cos 01sin sin A BA B<<等价于cos cos 0A B >，且cos cos sin sin A B A B <，可得cos 0A >，cos 0B >，()cos 0A B +<，所以A ，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2A B ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，充分性成立；（必要性）由A ，B ，C 都是锐角可得sin 0A >，sin 0B >，cos 0A >，cos 0B >，cos 0C >，所以cos cos 0sin sin A BA B>，()cos cos 0A B C +=-<，即cos cos sin sin 0A B A B -<，所以cos cos sin sin A B A B <， 可得cos cos 1sin sin A BA B<，必要性成立.6．如今我们在测量视力的时候，常用对数视力表（如图），视力值从4.0到5.3，每行相差0.1，这种计算视力的方法称为五分记录法，“对数视力表”和“五分记录法”是由我国著名眼科专家缪天荣（1914—2005）在1959年研制发明的，这种独创的视力表的核心在于：将视力和视角设定为对数关系，因此被认为是一种最符合视力生理的，而又便于统计和计算的视力检测系统，这使中国的眼科研究一下子站到了世界的巅峰，1986年，《对数视力表》在第25届国际眼科大会（罗马）宣读，引起轰动，1990年《标准对数视力表》被制定为国家标准（GB 11533—89），并在全国实施.已知在五分记录法中，规定视力值5lg L α=-，其中α为人眼的视角，单位为分（1度＝60分），视角的大小，决定了人眼能看到的最小物体的长度，这个长度约等于以眼球为圆心（眼球大小忽略不计），视角为圆心角，眼球与物体之间的距离为半径的扇形的弧长.如果某人的一只眼睛的视力值为4.7，那么这只眼睛能看到距离5米外的最小物体的长度约为（参考数据：0.3102≈， 3.14π≈）（ ）A ．1.5毫米B ．2.9毫米C ．4.4毫米D ．5.8毫米【答案】B【分析】由视力值4.7求出视角α，再由α计算出弧长即得．【详解】由题意得4.75lg α=-，解得0.3102α=≈分，则圆心角为2分，半径为5米的扇形的弧长等于250.0029601801080ππ⋅⋅=≈米＝2.9毫米. 故选：B ．7．已知函数22+,1,()=+2+8,<1,m x m x f x x mx x ≥⎧⎨⎩若()f x 在(),-∞+∞单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1B ．(,1-∞-C ．)2,0-D ．2,1--【答案】D【分析】利用分段函数的单调性求参数m 的取值范围.【详解】由()f x 在(),+-∞∞单调递减，可得2<011+1+2+8m m m m -≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得21m -≤≤-.故选:D.8．已知过点(),a b 可以作函数()3f x x x =-的三条切线，如果0a >，则a 和b 应该满足的关系是（ ） A ．30b a << B．3b a a <<- C ．3a b a -<< D ．3a b a a -<<-【答案】D【分析】根据函数过某点的切线方程的求法可求解.【详解】设切点()3,t t t -，由()231f x x '=-可得 切线方程为()()3231()y t t t x t --=--， 将(),a b 代入得()()3231()b t t t a t --=--，整理得3223b t at a =-+-，设32()23g t t at a =-+-，2()66g t t at '=-+， 令()0g t '=，解得=0t 或t a =，因为0a >，所以()g t 在(),0-∞，(),a +∞单调递减，在()0,a 单调递增， 由题意得()b g t =有3个不相等的实数根， 则有()()0g b g a <<，即3a b a a -<<-. 故选:D.二、多选题9．在复数范围内，方程38x =的虚数根是（ ） A． B．1-C．1D．1-【答案】BD【分析】利用一元二次方程在虚数范围内的根的求法.【详解】方程38x =可化为()2(2)240x x x -++=，解得=2x 或1x ==-. 故选:BD.10．已知221x y +=，则下列说法正确的是（ ） A ．0x <且0y < B ．+x y 的最小值是2- C ．22x y --+的最小值是4 D ．44x y +的最小值是12【答案】ACD【分析】对于A ，利用2x y =的值域及单调性即可判断得0x <且0y <，故A 正确；对于B ，利用基本不等式可得22x y ≥+2x y +≤-，故B 错误；对于C ，利用基本不等式中“1”的妙用可得224x y --+≥，故C 正确； 对于D ，由()24422222x y x y x y +=+-⋅⋅结合基本不等式可判断得D 正确.【详解】对于A ，因为20x >，20y >，所以2120y x =->，即0212x <=， 由于2x y =在R 上单调递增，所以0x <，同理可得0y <，故A 正确；对于B ，因为20x >，20y >，所以22x y ≥+1≥12，即()11222x y +-≤，由于2x y =在R 上单调递增，所以()112x y +≤-，即2x y +≤-， 当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立， 故+x y 的最大值是2-，故B 错误；对于C ，因为221x y+=，()()222222x y x y x y----+=++221122422y xx y=+++≥+=， 当且仅当2222y xx y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故C 正确；对于D ，()244222221222xyxy xyxy+=+-⋅⋅=-⋅⋅22122122x y ⎛⎫+= ⎪≥⎝⎭-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故D 正确. 故选：ACD.11．已知函数()4sin cos 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在()0,x π∈上恰有3个零点，则（ ）A ．()f x 在()0,π上恰有2个极大值点和2个极小值点B ．()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是2C ．()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．ω的取值范围是1723,1212⎛⎤⎥⎝⎦【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x ，根据给定条件求出ω的范围并判断D ；再借助正弦函数的性质逐一判断A ，B ，C 作答. 【详解】依题意，1()=4sin sin +cos2=2sin(2+)26f x x x x x x x πωω-ωωωω， 由()0,x ∈π，得<2+<2+666x πππωπω，由正弦函数的图像知3<2+46ππωπ≤π，解得1723<1212ω≤，D 正确； 函数()f x 在()0,π上恰有2个极大值点，可能有1个或2个极小值点，A 不正确； 当(0,)8x π∈时，<2+<+6646x πππωπω，而1725+>+=>464126482πωπππππ⋅，则()f x 在(0,)8π上的最大值是2，B 正确； 当(0,)12x π∈时，<2+<+6666x πππωπω，而2335++=<666126722πωπππππ≤⋅，则()f x 在(0,)12π上是增函数，C 正确.故选：BCD12．下列不等关系中，正确的是（e 是自然对数的底数）（ ）A ．e e ππ<B ．10<C ．20232022log 20222023< D ．3eln 2<【答案】ABD【分析】构造函数ln ()xf x x=，利用该函数单调性可一一判断四个选项的正误. 【详解】设ln ()x f x x=，21ln ()xf x x -'=，()0,e x ∈，()0f x '>，()e,x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减.对于A 项，e e ln ln ee ln ln e eln ln e eππππππππ<⇔<⇔<⇔<， 由()f x 在()e,+∞单调递减，可得()()e f f π<，故A 项正确；10ln ln102ln10<⇔<⇔<121ln10ln 22ln 2ln10ln 4ln 2244⇔<⇔<⇔<⇔<，由()f x 在()e,+∞单调递减，可得()4f f <，故B 项正确；对于C 项，20232022ln 20222022log 20222023ln 20232023<⇔<ln 2022ln 202320222023⇔<， 由()f x 在()e,+∞单调递减，可得()()20222023f f >，故C 项错误； 对于D项，1ln e 3eln 2e e <<⇔<2ln e ln e e e ⇔<⇔<⇔ln ee <， 由()f x 在()e,+∞单调递减，可得(()e f f <，故D 项正确. 故选:ABD.三、填空题13．已知集合8{N |N}1A x x =∈∈+,如果∅B A ，那么满足条件的集合B 的个数是_________. 【答案】14【分析】由已知求出集合A 中元素，然后根据非空真子集的概念得结论． 【详解】因为8N 1x ∈+，所以x 可取0，1，3，7，即{}0,1,3,7A =，由∅BA 可得，B 为A 的非空真子集，所以满足条件的集合B 的个数为42214-=.故答案为：14．14．已知1x 和2x 是方程29330x x +-+=的两根，则121299x x x x +=+_________. 【答案】75【分析】由题知12339x x +=，12333x x ⋅=，进而得121x x =+，再结合()12121229933233x x x x x x +=+-⋅⋅求解即可.【详解】解：方程可化为()239330x x -⋅+=，由韦达定理得12339x x +=，12333x x ⋅=，又()1212122993323381675x x x x x x =-++⋅⋅==-，所以12129975x x x x +=+. 故答案为：7515．定义在()0,6上的函数()f x 满足()()6f x f x =-，当(]0,3x ∈时，()3log f x x =，已知方程()0f x m -=有4个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x -++的取值范围是_________.【答案】[)48,50【分析】根据题意得()f x 的图像关于直线=3x 对称，进而作出函数()y f x =在()0,6上的图像，数形结合可得121x x =，326x x =-，412661x x x ==--，()21,3x ∈，进而得()2222123422*********x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据换元法结合对勾函数与二次函数性质求解即可.【详解】由()()6f x f x =-，可得()f x 的图像关于直线=3x 对称， 作出()y f x =在()0,6上的图像，由题意得()y f x =在()0,6上的图像与直线=y m 有4个不同的交点， 如图，易得146x x +=，236x x +=， 又3132log log x x =且12x x ≠，所以3132log log 0x x +=，可得121=x x ， 所以121x x =，326x x =-，412661x x x ==--，()21,3x ∈，所以()()222222123422221166x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222222222212112127021266x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设221102,3x t x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以，()g t 在()2,3单调递减，在103,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()()()32g g t g ≤<，可得()g t 的取值范围是[)48,50. 故答案为：[)48,50四、双空题16．在ABC 中，=2AB ，=8BC ，D 是BC 中点，E 在边AC 上，满足2CE EA =，线段AD 和BE 交于F ，则BF FE=_________，AF BF ⋅=_________.【答案】 3 3【分析】解法一：设BF BE λ=，AF AD μ=，进而根据F ，A ，D 三点共线和,,B F E 三点共线可得34λ=，12μ=，再根据向量运算求解即可；解法二：取CE 中点G ，AB 中点H ，连接DG ，FH ，进而根据中位线定理可得12EF GD =，12GD EB =，即14EF EB =，再根据向量数量积运算求解即可.【详解】解：：方法一：因为D 是BC 中点，E 在边AC 上，满足2CE EA =，所以，设212122333333BF BE BA BC BA BC BA BD λλλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，因为F ，A ，D 三点共线，所以22133λλ+=，解得34λ=，所以3BF FE=，所以1124BF BA BC =+， 设11132222AF AD AB AC AB AE μμμμμ==+=+， 因为,,B F E 三点共线，所以13122μμ+=，解得12μ=，所以1111()2224AF AD AB BD BA BC ==+=-+，因为=2AB ，=8BC ，所以2211111132424164AF BF BA BC BA BC BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：取CE 中点G ，AB 中点H ，连接DG ，FH ， 因为D 是BC 中点，所以BE DG ∥， 因为E 是AG 中点，所以F 为AD 中点， 所以12EF GD =，12GD EB =，即14EF EB =，所以3BF FE=.因为F ，H 分别是AD ，AB 的中点，=2AB ，=8BC ， 所以2FH =，所以221()()34AF BF AH HF BH HF HF AB ⋅=+⋅+=-=. 故答案为：3；3五、解答题17．已知函数333()log log (9)f x x x =⋅.(1)求函数()f x 的值域； (2)求不等式()4f x <-的解集.【答案】(1)9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)()10,9,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由对数运算法则化简函数式后，把3log x 作为一个整体，结合二次函数性质可得值域；（2）把3log x 作为一个整体，解一元二次不等式，然后再解对数不等式可得． 【详解】(1)()()()23333()1log 2log log log 2f x x x x x =-+=--+ 23199log 244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭，31log 2x =-，即x =所以()f x 的值域为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)根据题意得()233log log 24x x --+<-， 整理得()233log log 60x x +->， 即()()33log 3log 20x x +->， 解得3log 3x <-或3log 2x >， 所以1027x <<或9x >， 故不等式的解集为()10,9,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.18．已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,2cos b x x =.(1)如果cos 0x ≠，_________，求tan2x 的值；（在①a b ∥和②1a b ⋅=两个条件中选择一个条件填入横线，并对其求解，如果多选则按第一个解答计分）(2)设函数()22f x a b b =+-，求()f x 图像的对称中心坐标，并说明将()f x 的图像经过怎样的平移，可以得到一个奇函数的图像？（写出一种方法即可）【答案】(1)选①tan 2x tan 2x =(2)对称中心是,4()122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；将()f x 的图像向右平移12π个单位长度，再向下平移4个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像【分析】(1)利用同角三角函数关系求解；(2)将函数化简后可求解对称中心，并平移得到一个奇函数.【详解】(1)选择①：因为a b ∥22cos cos x x x ⋅=，又cos 0x ≠，所以cos x x =，得tan x =所以2222tan 6tan 21tan 1x x x ===--⎝⎭选择②：23sin cos 2cos 1x x a b x ⋅+⋅==，2cos 2x x =-，则tan 2x =. (2)()22222(3sin cos)(3cos )5cos xx x x f x a b b =++-=+-223sin cos 5cos 2cos 24x x x x x x =++++2sin 246x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令26x k ππ+=，解得122k x ππ=-+，所以函数图像的对称中心是,4()122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 取=0k ，()f x 的图像关于,412π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，而奇函数的图像关于()0,0对称，所以只需将()f x 的图像向右平移12π个单位长度，再向下平移4个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像.（答案不唯一）19．已知函数π()cos()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如下图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角C 满足()12f C =-，求ba的取值范围. 【答案】(1)3()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数图像与y 轴的交点确定ϕ的值，根据函数图像与x 轴的交点和函数的周期确定ω的值，从而确定函数解析式；（2）根据题中的条件结合（1）中的结论求解角C 的大小，利用正弦定理结合两角差的正弦公式将两边的比转化为关于角A 的表达式，根据角A 的范围确定两边之比的取值范围.【详解】(1)由图像可得(0)cos f ϕ== 因为π2ϕ<且()f x 在=0x 附近单调递减，所以π6ϕ=.又44ππcos π0996f ω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4πππ2π962k ω-+=-+，k ∈Z .解得39(22k k ω=-∈Z )， 又4π0π92T ω⎛⎫--<= ⎪⎝⎭，得904ω<<，所以32ω=，（直接写4πππ962ω-+=-不扣分） 所以3π()cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)由3π1()cos 262f C C ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3π2π263C +=，解得3C π=.由正弦定理可得2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A A b B a A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====. 由锐角三角形可得π0<<22ππ0<<32A A -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则b a 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 20．如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积； (2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值. 【答案】【分析】（1）连接BD ，进而在ABD △和CBD 中，结合正弦定理与已知条件可得==30?ABD CBD ∠∠，进而在ABD △中，结合余弦定理BD =（2）连接AC ，在ABC △中结合余弦定理易得AC AD m =，CD n =，根据余弦定理与基本不等式得73mn ≤，进而得ADCS 面积的最大值，再根据=ABCD ABCADCS SS-求解即可.【详解】(1)解：如图，连接BD ，在ABD △中， 由正弦定理得=sin sin AD BDABD A∠，所以sin =sin AD A BD ABD ∠，同理可得，在CBD 中，有sin =sin CD C BD CBD ∠， 因为sin sin AD A CD C =， 所以sin =sin BD ABD BD CBD ∠∠， 即sin =sin ABD CBD ∠∠，又ABD ∠，CBD ∠都是锐角，=60?B ∠ 所以==30?ABD CBD ∠∠.（也可由点D 向BA ，BC 作垂线，证明BD 是角平分线）在ABD △中，由余弦定理得222=+2cos AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅⋅∠，即21=4+BD -，解得BD = 所以凹四边形ABCD 的面积11=+=sin +sin 22ABD BCDS SSAB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅⋅∠⋅⋅⋅∠(2)解：如图，连接AC ，在ABC △中，由余弦定理得222=+2cos =7AC AB BC AB BC ABC -⋅⋅⋅∠，故AC =在ADC △中，设AD m =，CD n =，因为=120?ADC ∠所以，由余弦定理得222=+2cos AC m n mn ADC -∠， 所以22+=72m n mn mn -≥，即73mn ≤，当且仅当m n =时等号成立， 此时显然点D 在ABC △的内部，所以117=sin ?223ADCS mn ADC ∠≤（不写取等条件扣1分）又1=sin 2ABCSAB BC ABC ⋅⋅⋅∠所以凹四边形ABCD 的面积的最小值min S21．已知函数()21()1x f x x e -=+，2()g x ax =，()()()h x f x g x =-.(1)当=2a 时，（i ）证明：0x ∀>，()0h x ≥；（ii ）是否存在点()00,A x y ，使得()f x 和()g x 在A 处的切线相同？如果存在，直接写出点A 坐标和切线方程；如果不存在，请说明理由. (2)讨论函数()h x 在()0,+∞的零点的个数.【答案】(1)（i ）证明见解析；（ii ）存在，()1,2A ；切线方程为42y x =- (2)答案见解析【分析】(1)(i)利用导函数讨论单调性并求出最小值即可;(ii)利用某点处切线方程求法即可；(2)根据a 的不同取值利用导数和极值讨论零点个数.【详解】(1)（i ）证明：当=2a 时，()212()1e 2x h x x x -=+-，由0x >可知，要证()2121e 20x x x -+-≥，只需证1211e 20x x -⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，设121()1e 2x p x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()3112332e 12()1e x x x x p x xx x --+-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭， 设()32q x x x =+-，因为()q x 在区间()0,+∞内单调递增且()10q =，所以()0,1x ∈，()0p x '<；()1,x ∈+∞，()0p x '>，所以()p x 在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增， 所以当=1x 时，()min 0p x =，可得0x ∀>，()0p x ≥， 所以0x ∀>，()0h x ≥.（其他方法酌情给分） （ii ）解：存在()1,2A ；切线方程为42y x =-.（证明如下：由（i ）中取等条件可知，当0x >时，存在唯一=1x ，使得()()112f g ==，又恰好()()114f g ''==，进而得出公切线方程42y x =-，而当0x <时，()0f x '≥，()0g x '<，又()()00f g ≠，故无其他结果.）(2)令()0h x =，即()2121e 0x x ax -+-=，等价于1211e 0x a x -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，设121()1e x r x a x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由（1）得，当=2a 时，()h x 在()0,+∞有1个零点； 当2a <时，min ()(1)20r x r a ==->，故没有零点； 当2a >时，min ()(1)20r x r a ==-<，221(ln 1)10(ln 1)(ln 1)ar a a a a a ⎡⎤+=+-=>⎢⎥++⎣⎦， 111(1(1e 0)e er a a a a --=+->+-=>，所以()r x 在⎫⎪⎭，()1,ln 1a +各有1个零点. 综上所述，当=2a 时，()h x 在区间()0,+∞内有1个零点；当2a <时，()h x 在区间()0,+∞内没有零点；当2a >时，()h x 在区间()0,+∞内有2个零点.22．已知函数()3()sin cos cos f x x x x =-.(1)当()0,x π∈时，求()f x 的单调区间； (2)求()f x 的最值；(3)证明：()44449sin sin 2sin 4...sin 216nnx x x x n N +⎛⎫⋅⋅⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭.【答案】(1)单调递增区间是0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭(2)max ()f x =min ()f x =(3)证明见解析【分析】(1)利用导函数讨论单调性；(2)结合(1)确定最值;(3)由(2) ()f x 明.【详解】(1)()221()sin cos 1cos sin 2sin 2f x x x x x x =-=，2()cos 2sin sin 2sin cos f x x x x x x '=+ sin (sin cos 2cos sin 2)sin sin3x x x x x x x =+=.()=0f x '在()0,π的根13x π=，223x π=， 当20,,33x πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间是0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (2)因为21()sin 2()sin ()2f x x x πππ+=++21sin 2sin ()2x x f x ==，所以()f x 是周期为π的函数，结合（1）的结论，得()0=0f ，()0f π=，3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以max ()f x =min ()f x =(3)证明：由（2）得()f x ≤故()344444sin sin 2sin 4...sin 2n x x x x ⋅⋅⋅⋅ 3333sin sin 2sin 4...sin 2n x x x x =⋅⋅⋅⋅()()()22212sin sin sin 2sin 2sin 4...sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()12sin 2()2(2)...22sin 2n n x f x f x f x x -=⋅⋅⋅⋅⋅()12()2(2)...222n nn n f x f x f x -≤⋅⋅⋅≤⋅=⎝⎭⎝⎭，所以4344449sin sin 2sin 4...sin 216n nnx x x x ⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅≤= ⎪⎝⎭⎝⎭.。
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2011秋?乐陵市校级期末）已知a，b∈R+，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是（）C解答：解：依题意A=，G=，∴AG﹣ab=?﹣ab=（﹣）=?≥0，∴AG≥ab．故选C2. 已知，则函数有（）A．最小值6 B．最大值6 C．最小值 D．最大值参考答案：A 3. 设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）参考答案：4. 设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B略5. ，复数= ( )A. B. C.D.参考答案：A因为，可知选A6. 椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．± B．± C．± D．±参考答案：A略7. 设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C（）A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】本题考查空间想象力，因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．【解答】解：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．故选：D8. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8参考答案：C【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：∵一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p===0.75，故选：C．9. 已知3sin2α=cosα，则sinα可以是（）A．﹣B．C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式化简3sin2α=cosα，消去cosα求出sinα的值．【解答】解：3sin2α=cosα，∴6sinαcosα=cosα，若cosα≠0，则6sinα=1，解得sinα=．故选：B．10. 对于一组数据（，2，3，，），如果将它们改变为（，2，，）其中，则下面结论正确的是（）Ａ．平均数与方差均不变Ｂ．平均数变了，而方差保持不变Ｃ．平均数不变，而方差变了Ｄ．平均数与方差均发生了变化参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．参考答案：（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）12. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差，，则p=________．参考答案：0.7【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．13. 设f(x)=，则 ___.参考答案：14. 点G是△ABC 的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为．参考答案：【考点】向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算．【分析】欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．【解答】解：∵点G 是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．15. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．参考答案：2316. 设表示等差数列的前项和，且，，若，则=参考答案：15略17. 函数的零点个数为。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（ ）A. B.C. D.2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D.5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（ ）A.B.56.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（）A.B.，所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（ ）A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点，则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）斜率为.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.（1）用向量表示向量，并求；（2）求18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一､单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一：如图建系设圆柱底面半径为，则，所以，则所以.解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，则，.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A 错误；对于B ，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示.因为底面边长为，所以则的最小值为，故B 正确；对于C ，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，故C 错误；对于D ，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.，则，所以球的表面积，故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得，所以，所以点到原点的距离当时等号成立，此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为.四､解答题15.【答案】（1）或.（2）或.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为则直线的方程为，它在轴，轴上的截距分别是，由已知，得，解得或.故直线的方程为或.（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知，得，所以.所以直线的方程为或.16.解法一：以为坐标原点，所在直线为z 轴，线段的延长线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得，因为，所以即即所以，所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二：66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点，连接，因为为BM 的中点，所以，所以平面，过作，交BC 于以为坐标原点，的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点，设则设点的坐标为.因为，所以.因为为的中点，故，又为的中点，故，所以又平面BCD 的一个法向量为，故，所以又平面BCD ，所以平面BC D.17.【答案】（1）2【详解】（1），BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，因为是正方形，所以，则.18.【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）证明：在中，因为，所以，因此故，所以，即又平面，所以.又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以.又，因此，.因为，所以四边形是直角梯形.因为，所以，因此，故，所以.因此.设是面的一个法向量，则，解得.取，得.又，设表示向量与平面的法向量所成的角，则，又因为，所以，因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】（1（2）解法一：连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，由于三角形是等边三角形，所以，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为所以又因为为中点，所以所以设面的一个法向量为则令，则所以所以点到平面的距离为（2）因为在棱上（包括端点）设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为，所以设平面的法向量为，令所以，设锐二面角为，则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二：（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形，所以，又以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，故，则设平面的法向量为，则，故可设，又，所以点到平面的距离为.（2）设，则，设平面的法向量为，则令，所以，所以，设锐二面角为，ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试卷(含答案)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣，则A B ⋂=（ ） A.{}1,2 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ） A.1y x=- B.2ln y x = C.32y x= D.e x y x =3.已知等差数列{}n a 满足376432,6a a a a +=-=，则1a =（ ）A.2B.4C.6D.8 4.已知点A 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，若A 到抛物线焦点的距离为5，且A 到x 轴的距离为4，则p =（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8 5.已知函数()23f x -的定义域为[]2,3.记()f x 的定义域为集合(),21x A f -的定义域为集合B .则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数()f x 的定义域为R .设函数()()e x g x f x -=+，函数()()5e x h x f x =-.若()g x 是偶函数，()h x 是奇函数，则()f x 的最小值为（ ）A.eB.C.D.2e7.从51x ⎫⎪⎭的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ） A.25 B.35 C.13 D.238.已知圆221:220C xy x y +--=，设其与x 轴､y 轴正半轴分别交于M ，N 两点.已知另一圆2C 的半径为1C 相外切，则22C M C N ⋅的最大值为（ ）A.20B. C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，,m n 是非零实数，则下列说法正确的是（ ）A.1m n +=B.X 服从两点分布C.()20242025EX << D.()D X mn =10.已知函数()()214log 21f x ax ax =-+，下列说法正确的是（ ）A.()f x 的定义域为R ，当且仅当01a <<B.()f x 的值域为R ，当且仅当1a …C.()f x 的最大值为2，当且仅当1516a =D.()f x 有极值，当且仅当1a <11.设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.()00f = B.()g x 的图象关于直线2x =对称 C.()f x 的一个周期是4 D.20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点()0,0作曲线(0x y a a =>且1)a ≠的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…若存在实数123,,x x x 且123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()()()112233x f x x f x x f x ++的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到n 个图形.记第n 个图形中实心三角形的个数为n a ，第n 个图形中实心区域的面积为n b .（1）写出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设121121nn n n n c a b a b a b a b --=++++，证明43n n n a c a <…. 16.（本小题满分15分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，111A B C 和ABC 都为等腰直角三角形，111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠======为线段AC 的中点，H 为线段BC 上的点.（1）若点H 为线段BC 的中点，求证：1A B ∥平面1C GH ；（2）若平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2:5，求二面角11C GH B --的正弦值.17.（本小题满分15分）已知双曲线()2222:10,0x y M a b a b -=>>与双曲线2222:12x y N m m-=的离心率相同，且M 经过点()2,2,N 的焦距为（1）分别求M 和N 的方程；（2）已知直线l 与M 的左､右两支相交于点,A B ，与N 的左､右两支相交于点C ，D ，AB CD=，判断直线l 与圆222:O xy a +=的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.01α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 单位：只（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率P ；（ii ）以（i ）中确定的概率P 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .求()EX 及()P X k =取最大值时的k 值.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）参考数据：19.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①3sin33sin 4sin θθθ=-；②3cos34cos 3cos θθθ=-. 根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明； （2）已知函数()323f x x ax a =-+有三个零点123,,x x x 且123x x x <<.（i ）求a 的取值范围； （ii ）若1231x x x =-，证明：222113x x x x -=-.贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【解析】1.由题，{1A xx =<-∣或{}3},1,2,3,4x B >=，则{}4A B ⋂=，故选D.2.对于A 选项，1y x=-的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，该函数在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，该函数在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，32y x==[)0,∞+，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e xy x =的定义域为().1e x y x =+'R ，当(),1x ∞∈--时，0y '<；当()1,x ∞∈-+时，0y '>，x e y x ∴=在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C. 3.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-=，故选B.4.设点()00,A x y ，则200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C.5.()23f x -的定义域为[]2,3.当23x 剟时，()1233,x f x -∴剟的定义域为[]1,3， 即[]1,3A =.令1213x-剟，解得()12,21xx f ∴-剟的定义域为[]1,2，即[]1,2B =.,B A ⊆∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B.6.由题，()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x x x xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+厖3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x ∴= C.7.设51x ⎫⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C ,0,1,2kkk k kk T xk x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3,4,5，所以二项展开式共6项.当0,2,4k =时的项为无理项；当1,3,5k =时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 2C 5+=，故选A. 8.由题，221:(1)(1)2C x y -+-=，即圆心为()11,1C()()2,0,0,2MN ，MN 为1C 的直径.1C 与2C相外切，12C C ∴==由中线关系，有()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…，当且仅当22C M C N =时，等号成立，所以22C M C N ⋅的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<<，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()()1DY n n mn =-=，()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==，正确，故选ACD.10.令()2221,Δ44gx ax ax a a =-+=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为()2g x ⇔在定义域内的最小值为()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为()1gx +为奇函数，所以()10g =，又由()()11g x f x --=，可得()()()101,01g f f -==-，故A 错误；对于B 选项，由()()3f x g x '=+'可得()()3,f x g x C C =++为常数，又由()()11g x f x --=，可得()()11g x f x --=，则()()131g x g x C --+-=，令1x =-，得()()221g g C --=，所以1C =-，所以()()()13,g x g x g x -=+的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()()()311gx g x g x +=-=-+，所以()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-，又()()310g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.设切点坐标为(),,ln ,tx t a y a a ='∴切线方程为ln x y a a x =⋅.将(),t t a 代入得ln t t a a t a ⋅=，可得1log e,ln a t a==∴切点纵坐标为elog e t a a a==.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144⋅⋅=种不同的方案.14.设()()()123f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <…，又1232,ln x x x t +=-=，()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+.令()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…在(]2,3上单调递增，则()3max ()33e 6t ϕϕ==-，()()()112233x f x x f x x f x ∴++的最大值为33e 6-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分） （1）解：数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；数列{}n b 是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n n n n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <…，所以43n n n a c a <….16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1AC ，设11AC C G O ⋂=，连接1,HO AG ，三棱台111A B C ABC -，则11AC ∥AC ，又122CG AC ==， ∴四边形11AC CG 为平行四边形，则1CO OA =.点H 是BC 的中点，1BA ∴∥OH .又OH ⊂平面11,C HG A B ⊄平面1C HG ，1A B ∴∥平面1C HG .（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2:5，所以11127C GHC AB V V B C ABC -=-， 即()111111121373GHC ABC ABCAB C AB C S CC S S SSCC ⋅⋅=⋅⋅++⋅，化简得12GHC ABC S S =，此时点H 与点B 重合.1190C CA BCC ∠∠==，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，又ABC 为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知1AG ∥1CC ，则1AG⊥平面ABC ，建立如图2所示的坐标系,G xyz - 则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0HA G C -，()()110,2,2,1,1,2C B --设平面1C HG 的法向量()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-=，则220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩令1y =，解得()0,1,1n =， 设平面1BGH 的法向量()()1,,,1,1,2m a b c GB ==-， 则20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩令2b =，解得()0,2,1m =.设二面角11C GH B --的平面角为θ，2cos cos ,0m n m n m nθ⋅=<>===+，所以sin 10θ==，所以二面角11C GHB --的正弦值为10.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线N 的焦距为m ==解得21m =，即双曲线22:12y N x -=.因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同，不妨设双曲线M 的方程为222yx λ-=，因为双曲线M 经过点()2,2，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为22124x y -=.（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+，联立22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()2222220,k x ktx t λ----= 此时()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩可得22k <，当2λ=时，由韦达定理得212122224,22kt t x x x x k k--+==--； 当1λ=时，由韦达定理得234342222,22kt t x x x x k k--+==--， 则2AB CD ====， 化简可得222t k +=， 由（1）可知圆22:2O x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[20,40）内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[40,60）内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[60,80）内有0.025********⨯⨯=（只）；在[]80,100内有0.00752020030⨯⨯=（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件,,A B C 发生的概率分别为()()(),,P A P B P C ，则()()160200.8,0.520040P A P B ====，()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.（ii ）由题意，知随机变量()100,0.9XB ~， 所以()1000.990EX np ==⨯=. 又()()C 0.90.10,1,2,,kk n k n P X k k n -==⨯⨯=，设0k k =时，()P X k =最大， 所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩ 解得089.990.9k 剟，因为0k 是整数，所以090k =.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-.（2）（i ）解：()233f x x a =-'， 当0a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递增，至多有一个零点；当0a >时，令()0f x '=，得x =()0f x '<，得x <令()0f x '>，得x <x >所以()f x在(上单调递减，在(),,∞∞-+上单调递增. ()f x有三个零点，则(0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩解得04a <<， 当04a <<时，4a +>且()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>， 所以()f x在)4a +上有唯一一个零点，同理()2220,g a --=-=< 所以()f x在(-上有唯一一个零点. 又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知a 的取值范围为()0,4. （ii ）证明：设()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---， 则()212301f a x x x ==-=.又04a <<，所以1a =. 此时()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>， 方程3310x x -+=的三个根均在()2,2-内，方程3310x x -+=变形为3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin33sin 4sin 2θθθ=-=. 因为3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-. 因为123x x x <<，所以1237ππ5π2sin,2sin ,2sin 181818x x x =-==， 所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7ππ5π7π2cos2cos2sin2sin 991818x x=-=--=-.13。
2024-2025学年辽宁省名校联盟高二(上)第一次月考数学试卷+答案解析
2024-2025学年辽宁省名校联盟高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，则()A. B. C. D.02.若，，则()A.22B.C.D.293.如果且，那么直线不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则()A. B.C. D.5.已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知空间中三点，，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为()A. B. C.3 D.7.点到直线l：为任意实数的距离的取值范围是()A. B. C. D.8.在正三棱锥中，，点D，E分别是棱PC，AB的中点，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()A.直线与直线之间的距离为B.直线在两坐标轴上的截距之和为6C.将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为D.若直线l向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为10.在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有()A.，，B.，，C.，，D.，，11.如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面ABCD，P，Q分别是线段AC和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是()A.当时，B.当时，若，则C.当时，直线PQ与直线所成角的大小为D.当时，三棱锥的体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l过点，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是______.13.在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为______.14.在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱DA，的中点，M，N分别为线段，上的动点不包括端点，且，则线段MN的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
辽宁省阜新市实验中学2020-2021学年高一上学期9月月考数学试题 答案和解析
辽宁省阜新市实验中学【最新】高一上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中正确的是( )A ．联合国所有常任理事国组成一个集合B ．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C ．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D ．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素2．下列各式，①1{0,1,2}∈；②{0,1,2}∅⊆；③{0,}{1}1,2∈；④0N ∈；⑤Q π∈.其中错误的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{3,4,5}A =，{4,7,8}B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{2,5,6}B ．{1,2,5,6}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,6,7,8} 4．不等式1||2|5|x x -+-<的解集是（ ）A ．(1,4)-B ．(0,3)C ．(1,2)-D ．(0,4) 5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是（ ）A ．2R,||0x x x ∀∈+<B ．2R,||0x x x ∀∈+≤C ．2000R,0x x x ∃∈+<D ．2000R,0x x x ∃∈+≥7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂ D ．()()U M P S ⋂⋃ 8．已知{}2|320A x x x =-+=，{|1}B x ax ==，若A B A ⋃=，则a 值为（ ）A ．{1}B ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 9．已知a ，b 都是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．-110．不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 都成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10(,2],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭11．集合{}2|(3)2(1)0(2)A x N x m x m m =∈-+++<>的真子集的个数为15个，则实数m 的范围（ ）A ．∅B ．{6}C ．(5,6]D ．(6,7] 12．已知,,(0,)a b c ∈+∞且a b c ≥≥，12a b c ++=，45ab bc ca ++=，则a 的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20二、填空题 13．方程组2422230x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩的解集是________.14．{|A x y x ==+，{}22|1B y x y =+=，则A B =________. 15．如果不等式20ax bx c ++<的解集是{|}(0)x x m x n m n <><<或，则关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集是________.16．已知1y x m =+，222232m y x mx m =-++-，若对1[0,1]x ∀∈，总2[1,2]x ∃∈，使得()()1122y x y x >，则实数m 的取值范围是________.注：()11y x 表示的是函数1y x m =+中1x 对应的函数值，()22y x 表示的是222232m y x mx m =-++-中2x 对应的函数值.三、解答题17．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+=（2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩18．回答下列两个问题（1）求1(0)y x x x=+>的最小值，并注明取得最小值时x 的值； （2）223(2)2x x y x x -+=>-的最小值，并注明取得最小值时x 的值. 19．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.20．（1）比较3x 与21x x -+的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c >--. 21．已知221:12;:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤> 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．22．设函数()222f x x tx =-+，其中t R ∈． ()1若1t =，求函数()f x 在区间[]0,4上的取值范围；()2若1t =，且对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围． ()3若对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有()()128f x f x -≤，求t 的取值范围．参考答案1．A【解析】年龄较小不确定,所以B 错; {1，2，3}与{2，1，3}是相同的集合; 由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素,因此选A.2．B【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的包含关系，即得解.【详解】由于①1{0,1,2}∈；②{0,1,2}∅⊆；③{1}{0,1,2}⊆；④0N ∈；⑤Q π∉，因此其中错误的有2个.故选：B【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合之间的包含关系，考查了学生的概念理解能力，属于基础题.3．C【分析】由集合的交、补运算即得解.【详解】由题意{}{}1,2,6,7,8,1,2,3,5,6U U C A C B ==因此：()(){}1,2,6U U C A C B ⋂=故选C.【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.4．A【分析】由原不等式可得：（1）1125x x x <⎧⎨-+-<⎩或（2）12125x x x ≤<⎧⎨-+-<⎩或（3）2125x x x ≥⎧⎨-+-<⎩所求不等式即为：（1），（2），（3）解集的并集.【详解】不等式1||2|5|x x -+-<；即（1）1125x x x <⎧⎨-+-<⎩或（2）12125x x x ≤<⎧⎨-+-<⎩或（3）2125x x x ≥⎧⎨-+-<⎩ 解（1）得11x -<<；解（2）得12x ≤<；解（3）得24x ≤<故原不等式解集为：14x -<<.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了学生综合分析，分类讨论的能力，属于中档题. 5．B【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．6．C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得出.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是“2000R,0x x x ∃∈+<”.故选：C.7．C【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． 8．D【分析】解二次方程可求出集合A ，由A B A ⋃=可得：B A ⊆，分0,a B ==∅和0,a B ≠≠∅两种情况，分别求出满足条件的a 的值，可得答案.【详解】{}2|320={1,2}A x x x =-+= A B A B A ⋃=∴⊆当a =0时，B =∅，满足条件；当0a ≠时，B ≠∅，1{}B a= 则：11a=或12a = 则：1a =或12a = 故a 的值为：10,1,2. 故选：D【点睛】本题考查了集合交集运算的性质以及含参的一次方程，一元二次方程的解，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.9．C【分析】由条件利用基本不等式可得：31)0ab -=≥的最小值，可得ab 的最小值.【详解】,a b为正数，且33ab a b =++≥，31)0ab ∴-=≥3≥9ab ∴≥故选：C【点睛】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10．A【分析】 不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 都成立2(3)(2)(2)0m x m x m ⇔-+-+-≥对任意实数x 都成立,对m 分类讨论，即得答案.【详解】 不等式223221x x m x x ++≥++化为 2(3)(2)(2)0m x m x m -+-+-≥ 因为不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 都成立， 因此2(3)(2)(2)0m x m x m -+-+-≥对任意实数x 都成立，当3m =时，化为10x +≤，不满足要求，舍去；当3m ≠时，变形满足： 230(2)4(3)(2)0m m m m ->∆=----≤，,解得2m ≤故选：A【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.11．C【分析】由集合A 有15个真子集，可得集合A 中有4个元素，解出集合A 中的一元二次不等式，可得21x m <<+，分析即可得解.【详解】由2(3)2(1)0x m x m -+++<，可得(1)(2)0x m x ---<，又因为2m >，故：21x m <<+假设集合A 中有n 个元素，因此集合A 有2115n -=个真子集，即4n =，故617m <+≤,所以56m <≤故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的真子集的个数等知识点，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.12．A【解析】∵12a b c ++=，∴12b c a +=-，∵()(),4,0a b c a a b a c ∴--，即()2120a a a bc --+,即()2212122bc a a a a a --=-， ∴()()221212212324ab bc ca bc a a a a a a a a ++=+--+-=-+， 即245324,a a -+解得5a 或3a (舍)，当且仅当552a b c ===，，时取等号．故选A.点睛：由a ≥b≥c ，a +b+c=12可得a ≥4，利用（a -b ）（a -c ）≥0得出2122bc a a -，故而45≥bc+a （12-a ）=2324a a -+，从而解出a 的范围．13．{(1,1,1)}-【分析】联立方程组，运用消项法或代入法解方程组即可.【详解】2 4......(1)2 2......(2)230......(3)x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩(1)-(2): 326y z -=(1)-(3): 54y z --=联立两式得到：1z =-，代入得到：1,1x y ==.故答案为: {(1,1,1)}-.【点睛】本题考查了三元一次不等式的解法，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.14．[1,1]-【分析】分析A ，B 两集合中的元素可知，=A R ，=[1,1]B -，运算即得解.【详解】集合{|A x y x R ==，集合{}22|1=[1,1]B y x y =+=-则[1,1]A B ⋂=-.故答案为：[1,1]-【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题. 15．11(,)m n-- 【分析】根据题意，由根与系数的关系式，即可求出不等式20ax bx c ++<中m ,n 与a ,b ,c 的关系，由此求出不等式20cx bx a -+>的解集.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{|}(0)x x m x n m n <><<或∴0,,b ca m n mn a a <+=-=∴0c <∴关于x 的不等式20cx bx a -+>可化为：20b ax x c c -+<∴1111=()()a c m n m n ⋅=-⋅- 且：11=()=b m n c mn m n +--- 又11m n -<-，∴不等式20cx bx a -+>的解集为：11(,)m n--. 【点睛】本题考查了含参的一元二次不等式的解法以及根与系数关系，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题. 16．22m -<< 【分析】1[0,1]x ∀∈，总2[1,2]x ∃∈，使得()()1122y x y x >，转化为()()1122min min y x y x >，借助一次函数，二次函数的性质求解最大，最小值即得解. 【详解】1[0,1]x ∀∈，总2[1,2]x ∃∈，使得()()1122y x y x >，等价于()()1122min min y x y x >，由于1y x m =+在[0,1]x ∈单调递增，因此()()111min =0y x y m =；222232m y x mx m =-++-的对称轴为：2m x =（1）若122m ≤≤，即24m ≤≤，()2222min =()232my x y m m =+- 222330m m m m m ∴>+-∴+-<，无解.（2）若12m <，即2m <，()2222min =(1)22m y x y m =+-222202222m m m m m ∴>+-∴-<∴-<<.（3）若22m >，即4m >，()2222min=(2)12m y x y =+ 2211022m m m m ∴>+∴-+<，无解.综上：22m -<<. 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.17．（1）-； （2）176{(3,2),(,)}55--. 【分析】（1）把2x 视为整体，转化为2226()17120x x -+=，十字相乘即得解；（2）21x y -=即122x y =-代入2213x y +=，即得解. 【详解】（1）422261712(34)(23)0x x x x -+=--=2340x ∴-=或223=0x -243x ∴=或23=2x12343322x x x x ∴==-==-.解集为{}3322-- （2）21x y -=即122x y =-代入2213x y += 2221()1352510(3)(517)022x x x x x x +-=∴--=∴+-=21121735265x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，. 解集为: 176{(3,2),(,)}55-- 【点睛】本题考查了二次方程和方程组的解法，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.18．（1）当1x=时，min 2y =； （2）当x =min 2y = 【分析】（1）利用均值不等式“积定”和最小的性质，求函数的最小值；（2）转换形式2233322222x x y x x x x x -+==+=-++---，构造“积定”的形式，借助均值不等式求解. 【详解】 （1）12y x x =+≥当且仅当1x x=即1x=时等号成立； （2）22333222222x x y x x x x x -+==+=-++≥---当且仅当：322x x -=-即x =. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，考查了转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 19．（14- （2）m<0 【分析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，22220x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m mm m x x x x ∆=-+== 21280002m m m mx x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.20．(1) （i ）当1x =时， 321x x x =-+； （ii ）当1x >时， 321x x x >-+； （iii ）当1x <时， 321x x x <-+. (2)见证明. 【分析】（1）作差法，分组因式分解，即得解；（2）根据a b c >>，且0a b c ++=，得出0c <，再根据不等式的基本性质证明不等式. 【详解】（1）作差：323222(1)()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x --+=-+-=-+-=+-（i ）当1x =时，32(1)0x x x --+=，故321x x x =-+； （ii ）当1x >时，32(1)0x x x --+>，故321x x x >-+； （iii ）当1x <时，32(1)0x x x --+<，故321x x x <-+.（2）证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以00c c c c ++<∴< 因为0a b a c b c >∴->->取倒数得：11a c b c <-- 由于0c cc a c b c∴--.得证. 【点睛】本题考查了作差法比较大小以及不等式的性质，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 21．9m > 【解析】试题分析：先解不等式，得p ，再因式分解得q ；由逆否命题等价性得q 是p 的必要非充分条件，即p q ,最后结合数轴得不等式，解得实数m 的取值范围试题解析：{}1:12,2,10,|2,103x p x x A x x x -⌝->-=-或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+->-+=-+或或p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，B∴A ，即129,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨+>⎩.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．22．（1）[1,10] ； （2）[1,1]-； （3）[4- . 【解析】 【分析】（1）判断()f x 在[0,4]上的单调性，根据单调性求出()f x 的最值，得出值域；（2）令()()5g x f x =-，根据对称轴与区间[,2]a a +，求出()g x 得最大值，令()max 0g x <，解出a 的取值范围；（3）设函数()f x 在区间[0,4]上最大值为M ，最小值为m ，对任意的12,[0,4]x x ∈，都有12()()8f x f x -≤等价于8M m -≤，结合二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】因为()22222()2f x x tx x t t =-+=-+-，所以()f x 在区间(],t ∞-上单调减，在区间[),t ∞+上单调增，且对任意的x R ∈，都有()()f t x f t x +=-，()1若1t =，则()2(1)1f x x =-+．①当[]0,1x ∈时().f x 单调减，从而最大值()02f =，最小值()11f =．所以()f x 的取值范围为[]1,2；②当[]1,4x ∈时().x f 单调增，从而最大值()410f =，最小值()11f =．所以()f x 的取值范围为[]1,10；所以()f x 在区间[]0,4上的取值范围为[]1,10.()2“对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤”等价于“在区间[],2a a +上，()[]5max f x ≤”．①若1t =，则()2(1)1f x x =-+，所以()f x 在区间(],1∞-上单调减，在区间[)1,∞+上单调增． ②当11a ≤+，即0a ≥时，由()()2[]2(1)15max f x f a a =+=++≤，得31a -≤≤，从而 01a ≤≤．③当11a >+，即0a <时，由()()2[](1)15max f x f a a ==-+≤，得13a -≤≤，从而10a -≤<．综上，a 的取值范围为区间[]1,1.- )()3设函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有()()128f x f x -≤”等价于“8M m -≤”．①当0t ≤时，()4188M f t ==-，()02m f ==．由18821688M m t t -=--=-≤，得1t ≥． 从而 t ∈．②当02t <≤时，()M f 4188t ==-，()2m f t 2t ==-．由()222M m 188t 2tt8t 16(t 4)8-=---=-+=-≤，得4t 4-≤≤+从而 4t 2-≤≤．③当2t 4<≤时，()M f 02==，()2m f t 2t ==-．由()22M m 22tt8-=--=≤，得t -≤≤．从而 2t <≤④当t 4>时，()M f 02==，()m f 4188t ==-．由()M m 2188t 8t 168-=--=-≤，得t 3≤． 从而 t ∈．综上，t 的取值范围为区间4.⎡-⎣【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性与最值，及函数的恒成立问题，解答中长根据对称轴与区间的关系来判断函数的单调性是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，属于中档试题．。