北京市东城区2020高三数学上学期期末考试试题(含解析)
1 东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合|1Axx，{|(2)(1)0}Bxxx，那么ABI（ ） A. |12xx B. |11xx C. |12xx D. |11xx 【答案】D 【解析】 【分析】 求得集合{|12}Bxx，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}Bxxxxx， 所以ABI|11xx. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.复数(1)zii在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限. 【详解】1iz，对应点为(1,1) ，在第三象限. 故答案选B 【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题. 2
3.下列函数中，是偶函数，且在区间0,上单调递增的为（ ） A. 1yx B. ln||yx C. 2xy D. 1||yx 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A中，函数1fxfxx，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于B中，函数ln||fxx满足ln||ln||fxxxfx，所以函数为偶函数， 当0x时，函数lnyx为0,上的单调递增函数，符合题意； 对于C中，函数2xy为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D中，1||yx为偶函数，当0x时，函数1yx为单调递减函数，不符合题意， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4.设,ab为实数，则“0ab”是“ab”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数xfx为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数xfx为单调递增函数， 当0ab时，可得fafb，即ab成立， 3
当ab，即fafb时，可得ab，所以0ab不一定成立， 所以“0ab”是“ab”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题. 5.设，是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m，mn，则//n B. 若，m，n，则mn C. 若//n，mn，则m D. 若//，m，n，则//mn 【答案】B 【解析】 【分析】 根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A中，若m，mn，则//n或n，所以不正确； 对于C中，若//n，mn，则m与可能平行，相交或在平面内，所以不正确； 对于D中，若//，m，n，则m与n平行、相交或异面，所以不正确； 对于B中，若，m，n，，根据线面垂直的性质，可证得mn成立， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 4
【分析】 由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况： （1）当三个数为1,1,4时，共有133C种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A种排法； （3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法， 由分类计数原理可得，共有36110种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ） A 若2，则sinsin2 B. 若2，则coscos2 C. 若2，则sinsin1 D. 若2，则coscos1 【答案】A 【解析】 【分析】 结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A中，因为2，则0,24424 又由sinsin2sincos2sincos2cos222422， 所以sinsin2是正确的； 5
对于B中，例如,66，此时coscos3266， 所以coscos2不一定成立，所以不正确；
对于C中，因为2，例如5,612时，561162sinsin2124， 所以sinsin1不正确； 对于D中，因为2，例如2,36时，13cosc23os1622， 所以coscos1不正确， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点； ②若球心距124OO，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②③ C. ①② D. ①②③ 【答案】C 6
【解析】 【分析】 设圆柱的底面半径为R，根据题意分别求得bR，sinRa，tanROC，结合椭圆的结合性质，即可求解. 【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示， 设圆柱的底面半径为R，根据题意可得椭圆的短轴长为22bR，即bR， 长轴长为22sinRa，即sinRa， 在直角1OOC中，可得1tanOCOC，即1tantanOCROC，
又由22222222211tantansinRROCbRR， 即222OCba，所以222OCab， 又因为椭圆中222cab，所以OCc，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的； 由124OO，可得12OO，又由球的半径为3，即3R， 在直角1OOC中，2222212(3)1OCOOR， 由①可知，即1c，所以22c，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；
由①可得sinRa，tanRc，所以椭圆的离心率为sintancostansinRceRa， 所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确. 故选：C
【点睛】 本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档 7
试题. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.若双曲线221xym与22132xy有相同的焦点，则实数m_________. 【答案】4 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质，得到132m，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，双曲线221xym与22132xy有相同的焦点， 可得132m，解得4m. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 10.已知na是各项均为正的等比数列，nS为其前n项和，若16a，2326aa，则公比q________，4S_________. 【答案】 (1). 12 (2). 454 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式，得到2210qq，求得12q再由等比数列的前n项和公式，求得4S，得到答案. 【详解】由题意，在数列na是各项均为正的等比数列， 因为16a，2326aa，可得221126126aqaqqq， 即2210qq，解得12q或1q（舍去），
北京市联考高三数学上学期期末考试试题(含解析)
表1田径综合赛项目及积分规则
项目
积分规则
米跑
以 秒得 分为标准，每少 秒加 分，每多 秒扣 分
跳高
以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分
掷实心球
以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分
乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205
丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201
丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直线 的斜率与渐近线比较求解
【详解】由题双曲线的渐近线斜率为 ，当直线 的斜率为 时，满足题意，当直线 的斜率 为时，交双曲线为同一支，
故选：A
【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题
8.设 ， 均为单位向量，则“ 与 夹角为 ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由“| | 平方得| |2+| |2+2 • 3，
北京市东城区2020-2021学年高三上学期期末数学试题
北京市东城区2020-2021学年高三上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么AB =（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|11x x -≤<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|11x x -<≤ 2．复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限 3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）A ．1y x =B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =- 4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．137．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③二、填空题 9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________. 10．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.11．在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，4AC =，2BD =，则四边形ABCD 的面积是_______.12．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线3y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．三、双空题13．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.14．将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n k t t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-. 在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与b c 的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）四、解答题15．在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.16．2021年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2021年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）2021年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B M B Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A N A B的值（用含λ的代数式表示）. 18．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.19．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k的取值范围.20．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N . （1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020n b ≤，求n 的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B ={}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)-- ，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．B【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数， 当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．A【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数， 当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．B【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．C【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sincos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 212ππ+=<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan R OC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =， 长轴长为22sin R a α=，即sin R a α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C R OC αα==， 又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =R =在直角1O OC ∆中，22222121OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9．4 【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 10．0 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<求得m的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，<解得33m -<<所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 11．4 【解析】 【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案. 【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅， 可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=，所以AC BD ⊥ 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =，||2BD =，所以面积为14242S =⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．2或10 【分析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题. 13．12 454【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-. 故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．② > 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-， 当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =， 可是111,,,0543a mb mc m m ===>， 又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 15．（1）23C π∠=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C +=，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为sin cos 0c A C =，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=， 又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C =， 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得2sin 1sin 2b C B c ===， 又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16．（1）0.8（2）详见解析（3）事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析 【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G ，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，得到其概率为()P D ，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率， 即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 17．（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B ，利用向量的夹角公式，即可求解. （3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解. 【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC . 因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C .（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B . 所以()12,0,2B C =-，()10,2,2A B =--. 所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=--- 因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18．（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+， 由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ， 则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-， 即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19．（1）2212x y +=（2）,,00,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量 【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k ，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++ ()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-. 依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>，即211271081k F M F N k -⋅=>-. 解得217k >或218k <.综上，直线l的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20．（1）{3,5,6,7,9,10}；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【分析】（1）根据题意直接书写即可；（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）首先证明n a n =时，()()112t j i i j +-++=不成立，次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.【详解】（1）由题意，集合{}1(,)|(,),1,i i j T S i j S i j a a a i j j N *+==+++≤<∈， 可得{3,5,7,9,10}T =.（2）假设存在*,N i j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在,i j N *∈，使得(,)1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的m N *∈都有2,t m b t N *≠∈， 若,i j N *∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==， 由于1j i -+与i j +均大于2且奇偶性不同，所有()()112t j i i j +-++=不成立.其次证明除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2(21)th k =+，其中t N *∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有： (21)(21)+(2+1)=(2-)++(2-1)+2(21)(2)t t t t t h k k k k k =+++++++++此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =+++++(21)(1)(1)(2)(2)t t k k k k k k -+++-++++++++，此时结论成立. 对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ,其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论思的想，计算量比较大，属于难题.。
北京市东城区汇文中学2025届数学高三上期末经典试题含解析
北京市东城区汇文中学2025届数学高三上期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1632．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦3．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ） A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-35．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．6．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1B ．12C ．13D ．147．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．1408．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53410．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-11．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >12．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ） A ．30B ．31C ．32D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届北京市部分区高三上学期期末考试数学试题分类汇编——导数解答题(含解析)
（关华整理2023年西城区）高三期末（20） 已知函数()ln e e xf x a x x =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）当 a = 0时， 求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a > 0时，判断()f x 的零点个数， 并加以证明； （Ⅲ）当 a < 0时，证明：存在实数m ，使()f x ≥ m 恒成立.（关华整理2023年海淀区）高三期末 20. 已知函数()ln(1)f x x x =+.（Ⅰ）判断0是否是()f x 的极小值点，并说明理由； （Ⅱ）证明：2()112f x x x >-+.（关华整理2023年房山区）高三期末20. 已知函数()()()21e 2x f x a x x =-+-（a ∈R ）. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 恰有一个零点，则a 的取值范围为______.（只需写出结论）（关华整理2023年东城区）高三期末 （20）已知函数()e xf x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）证明：当1m ≤时，曲线1:()C y f x =与曲线2:ln C y x x m =++至多存在一个交点.（关华整理2023年大兴区）高三期末（20）已知函数()ln()(1)f x x a a=+（Ⅰ）当函数()y f x =在1x =处的切线斜率为0时，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()y f x =单调性并说明理由；（Ⅲ）证明：对12[0)x x ∀∈+∞，，有212|()()||f x f x x --成立.（关华整理2023年朝阳区）高三期末 （20）已知函数ln ()(0)xf x a ax=>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1()f x x a-≤对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若211212ln ln 0()x x x x x x +=≠，证明：122x x +>．（关华整理2023年昌平区）高三期末 20. 已知函数()()e e1,0xxf x m m x m -=++-≤.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当e 1m -≤<-时，证明：对任意的()()0,,2x f x ∞∈+≥-恒成立.（关华整理2023年通州区）高三期末（20） 已知函数22()(1)x af x x -=+.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 存在极小值时，求证：函数()f x 的极小值一定小于0.（关华整理2023年丰台区）高三期末20. 已知函数()ln sin f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[1,e]上的最小值； （3）证明函数()f x 只有一个零点．答案（关华整理2023年西城区）高三期末20. 【答案】（1）2e 2e 0x y --= （2）1个 （3）证明见解析 【解析】【分析】(1)根据0a =代入()f x 解析式,求出()()1,1f f ',根据点斜式写出切线方程即可; (2)对函数()f x 求导求单调性,观察到()10f =,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数()f x 求导,再通分,令()()1e ,xh x a x x =++再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析()h x 的正负,即()f x '的正负,进而求出()f x 的单调性及最值,若()f x m ≥恒成立,只需()min f x m ≥即可,()f x 有最小值,即存在实数m ,使()f x m ≥恒成立. 【小问1详解】 解:由题知0a =,()e e x f x x ∴=-, ()()1e x f x x '∴=+, ()()10,12e f f '∴==,故()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 1y x =-, 即2e 2e 0x y --=; 【小问2详解】由题()ln e e xf x a x x =+-,()0x >,()()1e x af x x x'∴=++, 0,0x a >>,()0f x '∴>,故()f x 在()0,∞+上单调递增,()10f =,故()f x 有1个零点; 【小问3详解】由题()ln e e xf x a x x =+-,()0x >,()()()1e 1e x xa x x a f x x x x=++'∴=++,()0x > 令()()1e ,xh x a x x =++()()231e ,x h x x x '=++∴0x ,()0h x '∴>,即()h x ()0,∞+上单调递增,()00h a =<,且()()1e ah a a a a =++()1e aa a a =+-()()1e10aaa =+->,故00x ∃>,使得()00h x =, 即()()00001e 0,xh x a x x ++==()h x 在()0,∞+上单调递增, ()()000,,0,x x h x ∴∈<即()0f x '<,()f x 单调递减,()()00,,0,x x h x ∈+∞>即0fx,()f x 单调递增,故()()0min f x f x =, 若()f x m ≥恒成立, 只需()min f x m ≥, 即()0f x m ≥即可,故存在实数m ,使()f x m ≥恒成立.【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有: (1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数; (3)对新的函数进行求导求单调性;(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为0x ,判断0x 左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.（关华整理2023年海淀区）高三期末（20）解：（Ⅰ）将点(2,1)P -，Q 坐标带入椭圆E 的方程，得222411,8 1.a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得228,2a b ==. 所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线l 斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 点重合，B 和N 点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时||||(2(22GM GN ⋅=⨯+=，符合题意. 若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y (12x ≠-且22x ≠-).联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(41)1680k x kx +++=.222(16)32(41)32(41)0k k k ∆=-+=->，214k ∴>，即12k >或12k <-.1221641k x x k -+=+，122841x x k =+. 1112PA y k x -=+，所以直线PA 的方程为111(2)12y y x x -=+++，取0x =得112(1)(0,1)2y M x -++. 同理可得222(1)(0,1)2y N x -++.由||||2GM GN ⋅=得12122(1)2(1)1212222y y x x --+-⋅+-=++， 即12122(1)2(1)11222kx kx x x ++-⋅-=++.所以21212(21)222x xk x x -⋅=++， 即2121212(21)22()4x x k x x x x -=+++.2222841(21)283244141k k kk k +-=-+++， 即22(21)1483k k k -=-+， 因为12k >， 所以得|21|1|23|k k -=-，即1k =.经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+.综上所述，直线l 的方程为0x =或2y x =+.（关华整理2023年房山区）高三期末20. 【答案】（1）2211612x y +=（2）1y x =+（答案不唯一） 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，得到4a =，代入(2,3)P ，可得b ，计算得到椭圆C 的方程. （2）联立直线l 与椭圆C ，利用韦达定理，得到12x x +和12x x ，再分别利用,,P A B ，得到直线PA 和直线PB ，进而得到M y 与N y ，利用线段MN 的垂直平分线经过点P ，必有6M N y y +=，整理可得211212123()2()120x y x y x x y y +-+-++=，此时，利用韦达定理进行换元，得到23k m -=-，然后，对k 进行赋值，即可得到满足题意的直线方程. 【小问1详解】点P 到两个焦点的距离之和为8，故28a =，4a =,椭圆C 的方程为222116x y b+=，代入(2,3)P ，可得249116b +=，解得b =，故椭圆C 的方程为：2211612x y += 【小问2详解】由题意，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程，可得，2211612x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得，222(1612)3216(12)0k x kmx m +++-=， 化简∆得，2216120k m +->，故221612k m +>；122321612km x x k -+=+，212216(12)1612m x x k -=+，又)3(2,P ， 可设直线PA ：1133(2)2y y x x --=⋅--，设直线PB ：2233(2)2y y x x --=⋅--， 故113(2)32M y y x -=⋅-+-，223(2)32N y y x -=⋅-+-， 若线段MN 的垂直平分线经过点P ，必有6M N y y +=，故有121233(2)3(2)3622y y x x --⋅-++⋅-+=--，整理得， 121233022y y x x --+=--，化简得，2121(2)(3)(3)(2)x y y x --=---， 得到，21211221326236x y x y x y y x --+=-++-，211212123()2()120x y x y x x y y +-+-++=，21121212()()3()2()120x kx m x kx m x x y y +++-+-++=， 1212122(3)()2()120kx x m x x kx m kx m +-+-++++=， 1212122(3)()2()4120kx x m x x k x x m +-+-+-+=，12122(32)()4120kx x m k x x m +--+-+=，利用韦达定理，得22232(12)(32)32412016121612k m m k kmm k k ---⋅--+=++，2232(12)(32)32(124)(1612)0k m m k km m k ----⋅+-⋅+=，222223238432966419214464480km k km km k m k k m m --++++--=， 238496192144480k km k m -+++-=， 282430k km k m -+++-=，24832k k m km -+=-， (23)(21)(12)k k m k --=-，当12k ≠时，23k m -=-，此时，直线l 为：32y kx k =+-， 故令1k =，则必有1m =，满足221612k m +>， 此时，满足题意的直线l 为：1y x =+（答案不唯一）（关华整理2023年东城区）高三期末20 解：（Ⅰ）因为()e xf x x =所以()()1e xf x x '=+.所以()00f =，()0 1.f '=所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x = (4)分（Ⅱ）令()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1+x ∈-∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x =-时，()0f x '=，()f x 在1x =-时取得极小值.所以函数()f x 的极小值为1e-，不存在极大值.…………………9分（Ⅲ）令()e ln xg x x x x m =---，其定义域为(0,)+∞.11()(1)e 1(1)(e )10.x xg x x x x x x'=+--=+-+>， 令()1e xh x x =-，()21e +0xh x x'=>， 所以()h x 在()0+∞，上单调递增.011(1)0,()0,(,1)22h h x ><∃∈因为所以，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；当0x x =时，()0h x =，即001e =xx ，()g x 取得极小值()0g x . ()00000e ln x g x x x x m =---，因为001e =xx ，所以00e =1xx ，00ln x x =-， 所以()01g x m =-.因此，当1m <时，()00g x >， 所以()0+x ∀∈∞，，()0g x >，即()0+x ∀∈∞，，()ln f x x x m >++，曲线1C 与曲线2C 无交点； 当1m =时，()00g x =，所以存在且仅存在一个01(,1)2x ∈，使得()00g x =，对()0+x ∀∈∞，且0x x ≠，都有()0g x >，即()ln f x x x m >++.所以当1m =时，曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个交点； 故当1m ≤时，曲线1C 与曲线2C 至多存在一个交点.…………………15分（关华整理2023年大兴区）高三期末（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）()ln()f x x a =+，所以1()f x x a '=+，…………………… 2分 由(1)0f '=11a=+，所以1a =.…………………… 4分（Ⅱ）函数()y f x =在(,)0+∞单调递增. …………………… 1分 因为1a ，所以函数()f x 定义域为[0)+∞，.…………………… 2分1()f x x a '==+，因为21)11x a a a -=+--.…………………… 4分因为1a，所以()0f x '. …………………… 5分因此函数()y f x =在区间()+∞0，上单调递增.（Ⅲ）证明：当12x x =时，显然有21|()()||f x f x -=，不等式成立；……………… 1分当12x x ≠时，不妨设12x x <，…………………… 2分由于函数()f x 在区间()+∞0，上单调递增， 所以2121|()()|()()f x f x f x f x -=-，又|=则21|()()|f x f x --21()()f x f x =---21ln()ln()x a x a =++12ln()ln()x a x a =+-+12lnx ax a+=+.…………………… 4分 因为12x x <，所以210x a x a +>+>， 所以1201x ax a+<<+， 所以12ln0x ax a+<+.…………………… 6分综上，对任意的12,[0)x x ∈+∞，，212|()()||f x f x x --成立.（关华整理2023年朝阳区）高三期末（20））解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．由ln ()x f x ax =得21ln ()xf x ax-'=． 令()0f x '=得e x =．因为0a >，所以当(0,e)x ∈时，()0f x '>；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．（Ⅱ）由0a >，依题意，2ln 0x ax x -+≤在(0,)x ∈+∞上恒成立．设2()ln g x x ax x =-+，则2121()21ax x g x ax x x-++'=-+=．令()0g x '=，得10x =<（舍），20x =>．当2(0,)x x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在2(0,)x 上单调递增； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在2(,)x +∞上单调递减． 故2max 2222()()ln g x g x x ax x ==-+．又由2()0g x '=得22212x ax +=． 所以22222211()ln ln 22x x g x x x x +-=-+=+．依题意需max ()0g x ≤，即221ln 02x x -+≤． 设1()ln 2t h t t -=+，则易知()h t 在(0,)+∞为增函数． 又(1)0h =，所以对任意的(0,1]t ∈，有()0h t ≤；对任意的(1,)t ∈+∞，有()0h t >． 所以201x <≤，即01<，解得1a ≥． 所以a 的取值范围为[1,)+∞． （Ⅲ）由211212ln ln 0()x x x x x x +=≠得1212ln ln 0x x x x +=，且11x ≠,21x ≠． 由（Ⅱ）知，当1a =时，ln 1xx x-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以111ln 1x x x <-，222ln 1x x x <-． 两式相加得122112ln ln 2x x x x x x +<+-，即1220x x +->． 故122x x +>．（关华整理2023年昌平区）高三期末20. 【答案】（1）()e 11y x =-+ （2）答案详见解析 （3）证明详见解析 【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()f x '，对m 分类讨论，由此来求得()f x 的单调区间. （3）结合（2）求得()f x 在区间()0,∞+上的最小值，由此证得结论成立. 【小问1详解】当0m =时，()()e ,e 1xxf x x f x '=-=-，()()01,1e 1f f '==-，所以切线方程为()()1e 1,e 11y x y x -=-=-+. 【小问2详解】依题意，()()e e1,0xxf x m m x m -=++-≤，()()()()()e 1e e e 1e 1e ex x x x x x xm m f x m m m --+'=-+-=-+-=， 当0m =时，()e 10xf x ='-=，解得0x =,则()f x 在区间()()(),0,0,f x f x '-∞<递减；在区间()()()0,,0,f x f x '+∞>递增. 当0m <时，()0f x '=解得()ln x m =-或0x =,当10m -<<时， ()f x 在区间()()()()(),ln ,0,,0,m f x f x '-∞-+∞>递增； 在区间()()()()ln ,0,0,m f x f x '-<递减. 当1m =-时，()()0,f x f x '≥在R 上递增.当1m <-时，()f x 在区间()()()()(),0,ln ,,0,m f x f x '-∞-+∞>递增； 区间()()()()0,ln ,0,m f x f x '-<递减. 【小问3详解】当e 1m -≤<-时，()1e,0ln 1m m <-≤<-≤，由（2）可知，()f x 在()()0,ln m -递减，在()()ln ,m -+∞递增， 所以()()()()()()()ln ln ln ee1ln m m f x f m m m m ---≥-=+⨯+-⨯-()()()11ln m m m m m=-+⨯+-⨯-- ()()()11ln 1112m m m m m =--+-⨯-≥--+-⨯=-，所以对任意的()()0,,2x f x ∞∈+≥-恒成立.【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解，将复杂的问题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据导函数的结构来制定.（关华整理2023年通州区）高三期末（20） 解：（Ⅰ）当0a =，22()(1)xf x x =+，则 (0)0f = ，因为322()(1)x f x x -+'=+,所以(0)2f '=.所以曲线)(x f y =在)0,0(的切线方程为2y x =. ………………………4分（Ⅱ）函数定义域为{}|1x x ≠-. ………………………5分44(222)(1)21)(1)()(1)(1)x a x x a x f x x x -+++---+'==++（， ………………………6分 令()0f x '=，解得：1x a =+. ……………………7分 当11a +=-即2a =-时33222212()0(1)(1)(1)x x f x x x x ---+-'===<+++（）. 所以函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞，无单调递增区间. 当11a +<-即2a <-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)a -∞+和(1,)-+∞，………………………8分 单调递增区间为(1,1)a +-.当11a +>-即2a >-时， ………………………9分 函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)a ++∞，单调递增区间为(1,1)a -+. ………………………10分 综上所述：2a =-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞，无单调递增区间.2a <-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)a -∞+和(1,)-+∞，单调递增区间为(1,1)a +-.2a >-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)a ++∞，单调递增区间为(1,1)a -+. （Ⅲ）函数定义域为{}|1x x ≠-.由题意，函数存在极小值，则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增.………………………12分由（Ⅱ）可知，当2a <-时，函数)(x f y =在1x a =+处取得极小值.………………………14分即222(1)21()(1)0(11)(2)2a a a f x f a a a a +-+=+===<++++极小值. ………………………15分（关华整理2023年丰台区）高三期末20. 【答案】（1）()1cos11sin1cos10x y +--+-= （2）()1sin1f = （3）见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，求出()()1sin1,11cos1f f =+'=，由点斜式方程即可求出答案； （2）令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-，得出()g x 在[1,e]的单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减，再比较()()1,e f f 的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论01x <≤，1x π<≤和x π>时，()f x 的正负，即可得出证明. 【小问1详解】()ln sin f x x x =+的定义域为()0,∞+，故1()cos f x x x'=+，()()1sin1,11cos1f f =+'=， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()()sin11cos11y x -=+-， 化简得：()1cos11sin1cos10x y +--+-= 【小问2详解】 令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-， 当[]1,e x ∈时，()21sin 0g x x x'=--<， 所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>， ()11211e cose<cos 0e e 3e 2g π=++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的α，使()()0g f αα'== 又当()1,x α∈时，()()0g x f x '=>；当(),e x α∈时，()()0g x f x ='<； 所以()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减， 又因为()()()1ln1sin1sin1,e lne sine 1sine 1,f f f =+==+=+> 所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()1sin1f =. 【小问3详解】()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞，若01x <≤，1()cos 0f x x x+'=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()1sin10f =>，111sin 0e ef ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点， 若1x π<≤，则ln 0,sin 0x x >≥，则()0f x >， 若x π>，因为ln ln 1sin x x π>>≥-，所以()0f x >， 综上，函数()f x 在()0,∞+有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.。
2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)_3
2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知ba，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得ba因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sinB，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断.详解】f（x）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{an}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{an}的前n项和Sn＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，Sn取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x+）＝2f（x），得f（x）＝2f（x﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断.【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面向量 (答案详解)
一．选择题（共6小题）1．（2020秋•朝阳区期末）已知向量，，且，则 A ．B ．C ．D ．82．（2020秋•房山区期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则 )A ．B ．C ．1D ．23．（2020秋•东城区期末）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2020秋•海淀区期末）已知向量，满足，，且，则 A ．B ．0C ．1D ．25．（2020秋•通州区期末）在中，，，且的最小值是 )A ．BCD ．6．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，且．若对于任意点，，存在，使成立，则的最大值为 A ．B ．4C ．D ．8二．填空题（共3小题）7．（2020秋•石景山区期末）已知平面向量，，且，则实数 ．8．（2020秋•顺义区期末）已知单位向量，满足，则与夹角的大小为 ；的最小值为 ．9．（2020秋•昌平区期末）已知向量，，且，则实数 ．(1,2)a =- (,4)b x =a b ⊥ ||(b = )ABCD 1AD =12AB =60BAD ∠=︒E CD (AC BE ⋅= 2-1-a b a b ()a a b ⊥- ()a b ||1a = (2,1)b =- ||2a b -= (a b ⋅= )1-ABC ∆2AB =3AC =AB AC ⋅=- ||()AC AB R λλ-∈ (32A B x y m +=||10AB =(cos P θsin )(02)θθπ<…A B 90APB ∠=︒m ()(2,1)a = (4,)b y = //a b y =a b a b ⋅= a b ||()a xb x R -∈ (2,)a m = (1,2)b = a b ⊥ m =参考答案一．选择题（共6小题）1．【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得，即可得，计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则，则，故，则故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．2．【分析】画出图形，可得出，代入进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，，又，，．故选：．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．【分析】根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到与的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．【解答】解：若，则，是两个不共线向量，，即，，80a b x ⋅=-+= 8x =(8,4)b = (1,2)a =- (,4)b x = a b ⊥ 80a b x ⋅=-+= 8x =(8,4)b = ||b == C 1,2AC AB AD BE AD AB =+=- AC BE ⋅ 11,,602AD AB BAD ==∠=︒AC AB AD =+ 12BE BC CE AD AB =+=- ∴2211111()()1122288AC BE AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-++⋅=-++= C a b ()a a b ⊥- 2()||||cos ,a a b a a b a b ⋅-=-<>||(||||cos ,)0a ab a b =-<>= a b ∴0a ≠ ||0a ≠ ∴||||cos ,a b a b =<>，，与的夹角为锐角，而与的夹角为锐角，不妨设，此时，故与不垂直，“与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．4．【分析】通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，满足，，且，，即，则．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量模的运算法则的应用，是基础题．5．【分析】先将平方后，再利用二次函数的性质求解最值即可．【解答】解：因为，，且，所以，当时，取得最小值为，则的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量模的最值的求解，涉及了模的求解方法的应用、二次函数性质的应用、平面向量数量积定义的运用，属于中档题．6．【分析】由题意可得点在单位圆上，圆上的点到直线的最大距离不能超过5，即，由点到直线的距离公式即可求得的最大值．【解答】解：由已知可得点，在单位圆上，因为，所以点在以为直径的圆上，∴cos ,0a b <>> ,0a b <>≠ ∴a b a b (1,0),(2,2)a b == ()10a a b ⋅-=-≠ a ()a b - ∴a b ()a a b ⊥- B a b ||1a = (2,1)b =- ||2a b -= 2224a a b b -⋅+= 1254a b -⋅+= 1a b ⋅= C ||AC AB λ- 2AB =3AC =AB AC ⋅=- 2222||2AC AB AC AC AB ABλλλ-=-⋅+ 294λ=++294(4λ=++λ=2||AC AB λ- 94||AC AB λ- 32A P 22:1O x y +=O x y m +=15d +…m (cos P θsin )(02)θθπ<…22:1O x y +=90APB ∠=︒P AB因为．所以半径为5，所以点到中点的距离为5，所以圆上任意点，总能找到一点，使，且点在直线上，当时，，所以为直线在轴上的截距，最大，即直线的截距最大，直线越往上，因为对于任意点，，存在，使成立，所以圆上的点到直线的最大距离不能超过5，而圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加圆的半径1，即，，所以，所以的最大值为故选：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共3小题）7．【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出的值．【解答】解：，，且，，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．8．【分析】根据条件可求出的值，进而可得出夹角的大小；可求出方即可求出的最小值．【解答】解：，且，与夹角的大小为；，||10AB =P AB C O P C ||5CP =C x y m +=0x =ym =m x y m +=y m x y m +=(cos P θsin )(02)θθπ<…A B 90APB ∠=︒O x y m +=O x y m +=O x y m +=d O 15d +…4d …4m …m C y (2,1)a = (4,)b y = //a b 240y ∴-=2y =cos ,a b <> ,a b ||a xb -= ||a xb - cos ,||||a b a b a b ⋅<>== ,[0,]a b π<>∈ ∴a b 4π ||a xb -==时，．故答案为：．【点评】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．【解答】解：向量，，且，，实数，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．∴x =||a xb - 4πm (2,)a m = (1,2)b = a b ⊥ ∴2120a b m ⋅=⨯+⨯= ∴1m =-1-。
北京市东城区2022届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
东城区高三班级第一学期期末练习数学（理科） 2022.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则A. B. C. D.（2）函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.（4）若满足，则的最小值为A. B. C. D.（5）已知函数，则的A.图像关于原点对称，且在上是增函数B. 图像关于轴对称，且在上是增函数C. 图像关于原点对称，且在上是减函数D. 图像关于轴对称，且在上是减函数（6）设为非零向量，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. B. C. D.（8）现有个小球，甲、乙两位同学轮番且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最终一个球赢.假如甲先抓，那么下列推断正确的是A. 若，则甲有必赢的策略B. 若，则乙有必赢的策略C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略其次部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数为纯虚数，则实数 .（10）在的开放式中，的系数等于 .（11）已知是等差数列，为其前项和，若，则 . （12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为 . （13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是 .（14）如图1，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动，设其中心的轨迹方程为，则的最小正周期为；对的图像与性质有如下描述：①中心对称图形；②轴对称图形；③一条直线；④最大值与最小值的和为2.其中正确结论的序号为 .（注：请写出全部正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
高三数学专题--2020年北京市东城区高三理科数学期末试卷及答案
东城区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则A. B.C.D.（2）函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是A. B.C.D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B.C. D.（4）若满足，则的最小值为A. B.C.D.（5）已知函数，则的A.图像关于原点对称，且在上是增函数B. 图像关于轴对称，且在上是增函数C. 图像关于原点对称，且在上是减函数D. 图像关于轴对称，且在上是减函数（6）设为非零向量，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. B.C. D.（8）现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是A. 若，则甲有必赢的策略B. 若，则乙有必赢的策略C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数为纯虚数，则实数.（10）在的展开式中，的系数等于 .（11）已知是等差数列，为其前项和，若，则.（12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为 .（13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是 .（14）如图1，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动，设其中心的轨迹方程为，则的最小正周期为；对的图像与性质有如下描述：①中心对称图形；②轴对称图形；③一条直线；④最大值与最小值的和为2.其中正确结论的序号为 .（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
北京市各区2020届高三数学上学期期中、期末考试分类解析(18)：空间几何体
十八、空间几何体 第一部分 三视图 1．（2012年东城区高三期末考试理4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的 面积为（ C ）
A.21 B.1 C.23 D.2
2．（2012年东城区高三期末考试文3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）
A.32a B.36a
C. 312a D.318a
3．（2012年丰台区高三期末考试理4）若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ C ）
A.23 B.43 C.2 D.6
a a
a
正 （ 主 ） 视图
俯视图 侧 （ 左 ） 视图
俯视图侧视图正视图
1
2
2
2 4．（2012年丰台区高三期末考试文5）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积是（ C ）
A.13 B.23 C.1 D. 2
5．（2012年昌平区高三期末考试理4）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ D ）
A.12 B.8 C.6 D.4
6．（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文4）在三棱锥DABC中，2ACBCCD，CD平面BCD, 90ACBo. 若其主视图，俯视图如图所
示， 则其左视图的面积为( D )
A. 6 B.2 C. 3 D. 2
俯视图侧视图正视图22
1
主视图 2 2 左视图 2 俯视图
CDBA
俯视图
主视图 7．（2012年西城区高三期末考试理7）某几何体的三 视图如图所示，该几何体的体积是（ D ） A．8 B．83 C．4 D． 43
8．（2012年西城区高三期末考试文5）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 几何体的俯视图不可能．．．是（ D ） A． B．
C． D．
9．（2012年朝阳区高三期末考试理10）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)
A． a b
B． 2a 2b
C． a b
D． log2 a2 log2 b2
5．已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（
）
A．60
B．80
C．
D．
6．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则
AB （ ）
C．1, 2
2．已知向量
a
1,
m，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=
D． 2,
A．−8
B．−6
C．6
D．8
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． f x sin x
B． f x 2 x
C． f x x3 x
D． f x 1 ex ex 2
4．若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ，则下列不等式中成立的是（ ）
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
（1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评
分不小于 9 的概率； （2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机 选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的 值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分
六、填空题
15．在数列an 中，对任意的 n N*
都有 an
0
，且
an
2 1
an1
an
，给出下列四个结论：
①对于任意的 n 3 ，都有 an 2 ；