大连理工高数期末复习(上)
3. y x ln(e
1 1 )( x 0)的渐进线方程为 y x x e
2 2
4.证明 x>0 时 ( x 1) ln x ( x 1)
sin(x t ) 2 ( x t ) 2
( x t ) 4 n 1 1 1 2 3 7 n 1 sin( x t ) dt ( x t ) ( x t ) ( 1 ) 3 3!7 (4n 1)(2n 1)! 1 3 1 7 x 4 n 1 2 n sin( x t ) x x ( 1 ) 0 3 3!7 (4n 1)(2n 1)!
证： f ( x ) f (0) f ' (0) x 其中 (0, x ), x [ 1,1]
1 1 f ' ' (0) x 2 f ' ' ' ( ) x 3 2! 3!
1 1 f ' ' (0) f ' ' ' (1 ) 2 6 将 x=1，x=-1 代入有 1 1 1 f (1) f (0) f ' ' (0) f ' ' ' ( 2 ) 2 6 0 f (1) f (0)
dy | x 0 1 dx
解：两边微分得 x=0 时 y ' y cos x y ，将 x=0 代入等式得 y=1 3. y y ( x )由2 B.曲线切法线问题
xy
x y 决定，则 dy | x 0 (ln 2 1)dx
/2
4.求对数螺线 e 在（，） （e 解：
1. lim
arctan x x arctan x x 1 lim （等价小量与洛必达） 3 3 x 0 ln(1 2 x ) x 0 6 2x sin 6 x xf ( x) 6 f ( x) 0，求 lim 3 x 0 x 0 x x2 sin 6 x xf ( x) 6 cos 6 x f ( x) xy' lim 3 x 0 x 3x 2
, / 2) 处切线的直角坐标方程。
x e cos , ( x, y ) | / 2 (0, e / 2 ), y ' | / 2 1 y e sin
y e / 2 x
5.f(x) 为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足
两式相减： f ' ' ' (1 ) f ' ' ' ( 2 ) 6
1 [1， 2 ]， f ' ' ' ( ) [ f ' ' ' (1 ) f ' ' ' ( 2 )] 3 2
13. e a b e ，求证： ln b ln a 证： Lagrange :
1
5. lim (cos x )
x 0
ln(1 x 2 )
1
解：令 t (cos x )
ln(1 x 2 )
, ln t
1 ln(cos x) ln(1 x 2 )
lim ln t lim
x 0
tan x 1 t e 1 / 2 （变量替换） x 0 2x 2
6.设 f ' ( x ) 连续， f (0) 0, f ' (0) 0 ，求 lim （洛必达与微积分性质） 7.已知 f ( x)
x
x2 x
0
f (t )dt f (t )dt
x 0
2
1
0
ln(cos x) x 2 , x 0 a, x 0
在 x=0 连续，求 a
3. lim(
x 1
6 f ( x) y' y ' ' 72 lim lim 36 2 x 0 x 0 2 x x 0 2 x 2 2 x x 1 ) x 1
2x
（洛必达）
（重要极限）
3
ax bx x 4.已知 a、b 为正常数， 求 lim ( ) x 0 2
二、题型与解法 A.导数微分的计算
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. y y ( x )由
x arctan t 决定，求 dy 2 t dx 2 y ty e 5
2 3
2. y y ( x )由 ln( x y ) x y sin x 决定，求
e x0 1 0, x 0 0 ，故为极小值点。 e x0 x 0 0, x 0 0
x3 7. y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 ( x 1) 2
解：定义域 x ( ,1) (1, )
y ' 0 驻点x 0及x 3 y ' ' 0 拐点x 0；x 1：铅垂； y x 2：斜
x 2 ( 2 n 1) d x 1 6 2 2 n x sin( x t ) dt x x ( 1 ) sin x 2 dx 0 3! (2n 1)!
或： x t u
2
d 0 d x sin u 2 ( du ) sin u 2 du sin x 2 x 0 dx dx
2）令 h( x ) F.中值定理问题
1 1 , x (0,1), h' ( x) 0, 单调下降，得证。 ln(1 x) x
12.设函数 f ( x )在[ 1， 1] 具有三阶连续导数，且 f (1) 0, f (1) 1 ，
f ' (0) 0 ，求证：在（-1，1）上存在一点 ，使f ' ' ' ( ) 3
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求 f (6), f ' (6)或f (1), f ' (1) ，等式取 x->0 的极限有：f(1)=0
f (1 sin x) 3 f (1 sin x) sin x sin x t f (1 t ) f (1) f (1 t ) f (1) lim[ 3 ] t 0 t t 4 f ' (1) 8 f ' (1) 2 y 2( x 6) lim
解：令 t (
3
ax bx x 3 ) , ln t [ln(a x b x ) ln 2] 2 x
x
3 3 (a x ln a b x ln b) ln(ab) x x 0 x 0 a b （变量替换） 2 3/ 2 t (ab) lim ln t lim
(n)
10.求 f ( x ) x ln(1 x )在x 0处的n阶导数f 解： x ln(1 x ) x ( x
2 2
( 0)Βιβλιοθήκη x2 x3 x n2 (1) n 1 o( x n 2 ) 2 3 n2 x3 x4 x5 xn (1) n 1 o( x n ) 2 3 n2
2
2
2
f (b) f (a ) f ' ( ) ba
2
4 (b a ) e2
令 f ( x ) ln x,
ln 2 b ln 2 a 2 ln ba
令 (t )
ln t 1 ln t ln 2 , ' (t ) 0 ( ) (e 2 ) 2 2 t t e 4 (b a ) e2
三、补充习题（作业） （必看） 1. lim
x 0
ex 1 x 3 （洛必达） 1 x cos x
1 1 ) sin x x
2 2
2. lim ctgx (
x 0 x
（洛必达或 Taylor）
3. lim
x e t dt
0
x 0
1 e x
1
（洛必达与微积分性质）
=
f
E.不等式的证明 11.
(n)
(0) (1) n 1
n! n2
设
x (0,1)
，
1 1 1 1 求证（1 x) ln 2 (1 x) x 2， 1 ln 2 ln(1 x) x 2
证：1）令 g ( x ) (1 x ) ln (1 x ) x , g (0) 0
2.已知 lim
解：
lim
x 0
36 sin 6 x 2 y ' xy ' ' 216 cos 6 x 3 y ' ' xy ' ' ' lim x 0 x 0 6x 6 216 3 y ' ' (0) 0 y ' ' (0) 72 6 lim lim
8.求函数 y ( x 1)e
/ 2 arctan x
的单调性与极值、渐进线。
解
：
y'
x 2 x / 2 arctan x e 驻点x 0与x 1 1 x2
，
渐：y e ( x 2)与y x 2
D.幂级数展开问题 9.
d x sin( x t ) 2 dt sin x 2 0 dx ( x t ) 2( 2 n 1) 1 ( x t ) 6 (1) n 3! (2n 1)!
2 2
g ' ( x), g ' ' ( x), g ' ' ' ( x)
高等数学上册复习要点及解题技巧
高等数学上册复习要点及解题技巧第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。
●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。
高数(经管类上册)期末复习资料含模拟题讲解
2考试内容：（1）函数的极限 （2）函数的连续性（3）函数的可微性（可导）模拟试题：.101)32(lim 1)32(1lim 1=+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→nn n n 解：原式）（⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫>∞-==<=∞→考的可能性不大不存在，.1,,1,,1,1,0lim q q q q q q n n)98(lim ,1980)98(lim 2=-∴<-=-∞→∞→n n n n ，）（()()61-1-3-1-26)132(lim 423231-=⨯⨯=-=---→式，直接代入法，解：原）（x x x 326762)1526(lim5323==+---++∞→解：原式除），（最高次幂的系数相）（x x x x x x用无穷小替换&洛比达法则求函数极限⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→+→→→)0(~)1(lim )0(1~sin lim 100x e x x x x xx x 函数的极限，重要极限无穷大量数列极限、无穷小量、⎩⎨⎧质闭区间上连续函数的连续函数的定义性⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧最大小值函数的单调性用洛比达法则求函数限则公式&隐函数求导、微分）P -P (法&基本求导8079.0sin lim )(01,1sin ),(0sin 1sin 0sin lim3=∴∞→=≤∞→=⋅==∞→∞→nnn nn n n n n n n nn n 且，）（方法二： 解：原式616cos lim 6sin lim 3cos 1lim sin lim 002030===-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x:方法一： 解：原式解：原式2111cos lim )00(sin lim00=+=+=-=-→-→x e e x e e x x x x x x解：原式313113cos 311lim )00(3sin )1ln(lim 00=⨯=+=+=→→x x x x x x方法1：解：原式[]e x e x xx xx =+⇒=-+=→--⨯-→102)2(1)1(lim )(1lim方法2： 解：原式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞→∞⋅∞∞∞→∞⋅∞：取对数法、、、通分、或、0001320001⎪⎩⎪⎨⎧→-→)0(21~cos 1)0(~arcsin ~tan ~sin 12x x x x x x x x o )()(lim )()(lim 200|00x g x f x g x f x x x x o''−−→←→∞∞→xxx x 30sin sin lim1-→，例61cos 6cos lim sin 6sin lim 1cos 1sin 6sin lim cos sin 6sin lim sin 3cos 1lim 1cos 1sin 3cos 1lim cos sin 3cos 1lim0000202020===→=⋅=-=→⋅-=⋅-=→→→→→→→x x x x )x(x x x x x x x )x(x x x x xx x x x x x x xe e xx x sin lim,20-→-例xx x 3sin )1ln(lim,30+→例xx x 20)1(lim ,4-→例2)1(2111lim 2)1ln(lim 2)1ln(20)1ln(0002lim lim --⨯-⋅-⋅-⨯→-→======→→e e eeeex xx xx x x x xx x()1111111)1ln(-=--='-⋅-='-⊗x x x x x解：原式01lim 11lim 1ln lim 0200=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∞=+++→→→xxx x x x x x 解：原式1lim 011lim ln lim ln 1=====+∞→+∞→⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+∞→e eeex x x x x x x x函数的连续性：?0,10,)()1(=⎩⎨⎧≥+<=a R x a x e x f x 上连续，则在，设解：由题意)(x f 在x =0处连续，即当1)0()(lim 0+==→a f x f x又由1lim )(lim )(lim 0====--→→→e e x f x f x x x x0,11=∴+=a a零点定理：证明：求微分（求导dx ）解：求高阶导数)0(ln lim 50∞⋅+→x x x ，例)(lim 601∞+∞→xx x ，例[]个根。
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第一章复习提要 第一节 映射与函数1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例2、注意无界函数的概念3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数） 第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。
（重要）2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。
（重要）3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。
第四节 无穷大和无穷小1、无穷小和函数极限的关系：⇔=∞→→A x f x x x )(lim 0α+=A x f )(，其中α是无穷小。
2、无穷大和无穷小是倒数关系3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。
5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。
以乘法为例比如x x g x x f 1)(,)(==。
0)(lim 0=→x f x ，∞=→)(lim 0x g x 。
但是1)()(lim 0=⨯→x g x f x2、会求有理分式函数)()(x q x p 的极限（P47 例3-例7）（重要） 0x x →时:若分母0)(0≠x q ，则极限为函数值若分子和分母同时为零，则为型极限，约去公因子 若只是分母为零，则极限为无穷大。
（p75页9（1））∞→x 时，用抓大头法，分子、分母同时约去x 的最高次幂。
第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要） 1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B ）卷第三题（1） 2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）3 注意下面几个极限：01sin lim 0=→x x x ；0sin lim=∞→x x x ；1sin lim 0=→xxx 第七节 无穷小的比较（重要）1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）2、常见的等价无穷小：x x x x ~arcsin ,tan ,sin ；2~cos 12x x -x e x ~1-；nx x n~)1(1+ 3、若)(x ϕ为无穷小，则)(~)(sin x x ϕϕ，nx x n )(~))(1(1ϕϕ+，)(~))(1ln(x x ϕϕ+，)(~1)(x e x ϕϕ-。
《高数期末复习》PPT课件
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求 法 ，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟 悉 1 、e x、sin x、cos x的 麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出 收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其 中为 平 面 x
y
z
3
1在 第 一 卦 限 部 分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、 掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。
高等数学上册复习资料
高等数学上册复习资料高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为关键。
在高等数学上册中，我们学习了微积分的基本概念和方法，包括极限、导数、积分等。
这些知识点是我们进一步学习和应用数学的基础，因此复习高等数学上册的内容非常重要。
一、极限与连续极限是微积分的核心概念之一。
在复习极限的时候，我们需要掌握极限的定义和性质，包括极限的存在性、唯一性和四则运算法则等。
此外，我们还需要熟悉常见函数的极限计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
连续是极限的重要应用之一。
在复习连续性的时候，我们需要了解函数连续的定义和判定方法，包括间断点的分类和判定条件。
同时，我们还需要熟悉连续函数的性质和运算法则，比如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
二、导数与微分导数是微积分的另一个核心概念。
在复习导数的时候，我们需要掌握导数的定义和性质，包括导数的几何意义、导数的四则运算法则和导数的链式法则等。
此外，我们还需要熟悉常见函数的导数计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
微分是导数的应用之一。
在复习微分的时候，我们需要了解微分的定义和性质，包括微分的几何意义、微分的近似计算和微分的运算法则等。
同时，我们还需要熟悉微分中的常用公式和技巧，比如微分中值定理、泰勒展开等。
三、积分与不定积分积分是微积分的重要组成部分。
在复习积分的时候，我们需要掌握积分的定义和性质，包括定积分和不定积分的概念、积分的线性性质和积分的换元法则等。
此外，我们还需要熟悉常见函数的积分计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
不定积分是积分的一种特殊形式。
在复习不定积分的时候，我们需要了解不定积分的定义和性质，包括不定积分的线性性质、不定积分的基本公式和不定积分的换元法则等。
同时，我们还需要熟悉不定积分中的常用技巧，比如分部积分法、换元积分法等。
四、常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用领域。
在复习常微分方程的时候，我们需要了解常微分方程的基本概念和分类，包括一阶常微分方程和高阶常微分方程的定义和性质。
大一上册高数期末考知识点
大一上册高数期末考知识点大一上册的高等数学课程可谓是大学生涯中的一道坎。
高数的学习对于理工科和经济管理类专业的学生来说尤为重要，它不仅是一门基础课程，更是后续学习其他专业课程的基础。
为了帮助同学们复习期末考试，接下来将介绍一些大一上册高等数学期末考试的关键知识点。
一、极限和连续1.极限与函数- 函数极限定义及性质- 连续函数定义及性质- 无穷大与无穷小2.函数的连续性- 连续函数的运算法则- 间断点与可去间断点- 无界函数与无界间断点二、导数与微分1.导数的概念- 导数及其几何意义- 导数与函数图像的关系2.常见函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数的导数- 三角函数的导数- 基本初等函数的导数3.导数的四则运算与链式法则- 导数的四则运算法则- 复合函数的导数（链式法则）4.高阶导数与隐函数求导- 高阶导数的概念与性质- 隐函数的求导5.微分的概念- 微分与导数的关系- 微分的应用：局部线性化和近似计算三、定积分1.定积分的概念和性质- 定积分的定义及计算- 定积分的性质和几何意义2.定积分的计算- 定积分的基本性质- 常用的定积分计算方法3.定积分的应用- 利用定积分计算面积、弧长和体积- 牛顿-莱布尼茨公式与积分中值定理四、级数1.数项级数- 数项级数的概念与收敛性- 收敛级数的性质2.常见级数- 几何级数与调和级数- 收敛级数的运算与性质3.幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛域- 幂级数的运算与性质五、微分方程1.微分方程的概念与基本性质- 微分方程的基本形式与分类- 微分方程的解与初值问题2.常微分方程- 一阶常微分方程的解法及应用- 高阶常微分方程的解法及应用3.可分离变量的微分方程4.线性微分方程5.二阶齐次线性微分方程六、空间解析几何1.三维空间中的点、直线与平面2.曲线与曲面3.空间直角坐标系与方向角4.向量的内积、外积与混合积5.直线与平面的位置关系以上只是大一上学期高等数学涉及的一些重点知识点，同学们在复习备考时需结合自己的实际情况进行重点复习。
高数期末考试复习题讲解
高数期末考试复习题讲解# 开篇尊敬的同学们，随着期末考试的临近，我们有必要对本学期所学的高等数学知识进行系统的复习。
以下是针对期末考试的复习题讲解，希望能帮助大家巩固知识点，提高解题能力。
# 一、极限与连续性复习要点：1. 极限的定义与性质2. 无穷小的比较3. 连续性的定义与性质例题讲解：考虑函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，求 \( \lim_{x \to 1} f(x) \)。
解答：首先，我们观察到 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处未定义，但可以化简为 \( f(x) = x + 1 \)。
因此，\( \lim_{x \to 1} f(x) =\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \)。
# 二、导数与微分复习要点：1. 导数的定义与几何意义2. 基本导数公式3. 高阶导数4. 微分的概念与应用例题讲解：给定函数 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，求 \( g'(x) \) 以及\( g''(x) \)。
解答：根据导数的定义，我们有：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]进一步求二阶导数：\[ g''(x) = -\sin(x) + e^x \]# 三、积分学复习要点：1. 不定积分与定积分的定义2. 积分的基本公式3. 换元积分法与分部积分法4. 定积分的应用例题讲解：求定积分 \( \int_0^1 (2x + 1)^2 dx \)。
解答：首先，我们对被积函数进行展开：\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]然后，分别对每项进行积分：\[ \int_0^1 (4x^2 + 4x + 1) dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_0^1 = \frac{4}{3} + 2 + 1 = \frac{13}{3} \]# 四、级数复习要点：1. 级数的概念与分类2. 收敛性判断3. 幂级数与泰勒级数例题讲解：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。