考研讲义数三经济部分
第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三） 《考试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、.极限及级数在经济学中的应用 (一)复利： 设某银行年利率为r，初始存款为0A元， （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为t01tAAr; （2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为0(1)rntAAtn;
（3）由于lim[(1)]nrrtrtrenn，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款余额为0rttAAe， 称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值： 上述结论中，称tA是0A的将来值，而0A是tA的现值。现值与将来值的关系为：
0(1)ttAAr 0(1)ttAAr 或 0(1)ttAAr 0(1)ttAAr
例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ 例2（08）设银行存款的年利率为0.05r，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，
并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？
、 二. 经济学中的常用函数 需求函数：()QQP, 通常()QQP是P的减函数； 供给函数：()QQP, 通常()QQP是P的增函数； 成本函数：01()()CQCCQ, 其中0(0)CC为固定成本, 1()CQ为可变成本； 收益函数：RPQ; 利润函数：()()()LQRQCQ.
例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p和2p, 销售量分别为1q和2q, 需求函数分别为112402qp, 22100.05qp, 总成本函数为123540()Cqq, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最
大的总利润为多少？ 例 2（99） 设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两种要素的投入量, Q为产出量；若生产函数为122Qxx, 其中,为正常数, 且1, 假设两种要素的价格分别为1p和2p试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？ 解 需要在产出量12212xx的条件下, 求总费用1122pxpx的最小值, 为此作拉格朗日函数
12112212(,,)(122)Fxxpxpxxx.
11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)FpxxxFpxxxFxx
由(1)和(2), 得
1221
21
6(),()ppxxpp；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当
2112
12
(),6()ppxxpp时, 投入总费用最小. 三. 利用导数求解经济应用问题 （一）、边际量： 当某经济量()yyx的自变量x增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、 边际收益、边际利润等, 由于(1)()()yxyxyx, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯 上将()yx视为()yyx的边际量.
1、 定义 ： 设yfx或,yfxt，则称dydx或yx为y关于x的边际函数。 2、经济学含义：dydx表示自变量x增加一个单位时经济量yx的改变量。 (二）、弹性函数：
1、定义：设某经济量()yyx，称dyEyxdyydxExydxx为 ()yyx的弹性函数。 2、经济学含义：当自变量x增加1%时, 经济量()yyx增加（0时）或减小（
0
时）%。 3、需求弹性：由于一般情况下需求函数()QQP是P的减函数, 因此定义需求对价格的
弹性 =pEQPdQEEPQdP（恒正，表示价格增加1%时需求减小%pE）
例1 设某产品的成本函数为21()40032Cxxx, 而需求函数为100Px, 其中x为产量(假定等于需求量), P为价格, 试求 (1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ； 例2设某商品的需求函数为pPfQ2112)( （1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P取什么值时，总收益最大？最大总收益是多
例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q为需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求弹性（正数）
，
（1）证明定价模型=11MCP (2)若成本函
2()1600,40,1CQQQP需求函数试由（）中的定价模型确定此商品的价格。 例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性dE(dE> 0)； (II) 推导)1(dEQdPdR(其中R为收益)，并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降
低价格反而使收益增加.
例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别
为202x(万元/件)与6y(万元/件). (I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元). (II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.
(III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。 例6（09） 设某产品的需求量函数为()QQP, 其对价格P的弹性0.2P, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加 元.
例 7 已知某商品的需求量x对价格p的弹性33p, 而市场对该产品的最大需求量为1 (万件), 求需求量函数. 例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为x时的边际成本为232040MCxx, 边际收益为1032MRx. 试求
(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.
例9 设产品的需求函数为()QQp，收益函数RpQ，其中p为产品价格，Q为需求量（产品的产量），()Qp是单调减少函数。如果当价格为0p对应产量为0Q时，边际收
益00dRaQQdQ，收益对价格的边际效应 00dRcppdp。需求对价格的弹性为1Ebp，求,00pQ。 四、差分方程及其在经济学中的应用 （一）、差分与差分方程的概念及性质 定义：若记()yyt为ty，则称差1ttyy为函数ty的一阶差分，记为1tttyyy；
含有1,ttyy 或ty的 等式叫一阶差分方程。 定理：线性差分方程的性质： 1、若YYt为线性齐次差分方程10ttypty的解，则通解ycYt； 2、若y为线性非齐次差分方程1ttyptyft的一个特解，ycYt为对应
的 线性齐次差分方程10ttypty的通解，则ycYy为1ttyptyft的通解。 3、若1y为11ttyptyft的特解，2y为12ttyptyft的特解， 则 12yy为112ttyptyftft的特解。 4、若12,yy均为1ttyptyft的解，则 12yy为10ttypty的解；121()2yy仍为 1ttyptyft的解。
（二）一阶线性常系数差分方程的解法 1、一阶线性常系数齐次差分方程 10ttyay的解法： 特征方程：0ra, 特征值:ra, 通解:ttyCa. 2、 一阶线性常系数非齐次差分方程1()ttyayft的解法: 方程的通解为*tttyCay，其中*ty为原非齐次方程的特解。当()()tmftPtd时， 设特解形式为*()kttmytQtd, 其中0,1,dakda.，*ty可用待定系数法求之： （三）、典型例题 例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以
tW表示第t年的工资总额(单位：百万元), 则tW满足的差分方程是 .
例2 (98)差分方程121050ttyyt的通解为 。
例3 差分方程123tttyy的通解为 .
例4 （97）差分方程 122tttyyt 的通解为 。
1997考研数三真题及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上•） 设 y = f (In x)ef(X),其中 f 可微，则 dy =1 J -2 1 1若 f(X)= ---- + " -x L f (x)dx ,则 L f (x)dx =差分方程y t 屮-y t =t2t 的通解为若二次型f （x i ,x 2,x 3） =2x 2+x 2 +X 3 + 2x^2 +tX 2x 3是正定的,则t 的取值范围是设随机变量X 和丫相互独立且都服从正态分布 N （0,32）,而X 1^|,X 9和Y ,,川,Y ）分别是来自总体 X 和丫的简单随机样本，则统计量II = X 1十川坯^服从>/丫2+出+丫92分布（2分）,参数为二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）若 f （―X ）= f （X ）（虫 <x 吒址），在（二,0）内 f'（X ）>0 ,且 f "（x ） <0 ,则在（0,垃）内有+«2 +«3, 2^-302+22^3 ,牡烛2 -5^3(1) （A ）低阶无穷小 (B) (D)高阶无穷小同阶但不等价的无穷小(1) (A) f(X)>0, f "(X)cO (B) f'(X)>0,「'(x) >0 (C) f(X)cO , f "(X)cO(D) f'(x)<0,「'(x)》0设向量组务，, a 3线性无关，则下列向量组中,线性无关的是(A) (B) + 勺，口2 +〜，《1 +輕 +^3(C)+2«2, 2^2 +3S , 3% +%(D)(4)设A,B 为同阶可逆矩阵，则()设函数f(x)在[0^)上连续、单调不减且f (0) > 0 ,试证函数(5)设两个随机变量X 与丫相互独立且同分布:1P {x =-1} = P {Y = _1}=—, P {x =1}2(A) AB = BA(B )存在可逆矩阵P ,使P 'AP = B(C)存在可逆矩阵C ,使C TAC = B (D)存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ = B1=P {丫 = 1}=—,则下列各式中成立的是21(A) P {X = 丫}=2 1 (C) P {X + 丫=0}= - 4 (B ) (D) P {X =丫}=1 1p{XY = 1} = -4三、(本题满分6分) 在经济学中，称函数 1Q(x) =A[6K 」+(1-GL 」r 为固定替代弹性生产函数，而称函数 为Cobb-Douglas 生产函数(简称C — D 生产函数). 试证明：但X T 0时，固定替代弹性生产函数变为 C — D 生产函数，即有lim Q(x)=Q 四、(本题满分5分) 设U =f(x,y,z)有连续偏导数, y = y(x)和Z = z(x)分别由方程e xy — y = 0和Xdu e -xz =0所确定，求——dx 五、(本题满分6分) 商家销售某种商品的价格满足关系 p= 7-0.2x (万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数 C=3x+1(万元). (1) 若每销售一吨商品，政府要征税 (2) t 为何值时，政府税收总额最大.t (万元),求该商家获最大利润时的销售量;六、(本题满分6分)F(x)」抄0,在［0,邑)上连续且单调不减(其中n >0).七、(本题满分6分)从点R(1,0)作X轴的垂线，交抛物线y =x2于点Q i(1,1)；再从Q i作这条抛物线的切线与X轴交于F2,然后又从F2作X轴的垂线，交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列的点R,Q i；R,Q2；|i|；P n,Q n；H|.(1)求op n ；⑵求级数QiP +Q2F2 +|||+QnPn+||| 的和.其中n(n >1)为自然数，而M4M2表示点M1与M2之间的距离.八、(本题满分6分)设函数f (t )在［0, 上连续，且满足方程J J f (g j x2 +y2)dxdy,2x2 4y2 纟t2求f (t).九、(本题满分6分)设A为n阶非奇异矩阵,ot为n维列向量，b为常数.记分块矩阵01「A a]A HA b]，其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.(1)计算并化简PQ ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是B A" H b.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3 ;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是S =(—1,—1,1)T,® =(1,—2,—1)T.（1）求A的属于特征值3的特征向量;⑵求矩阵A.卜一、（本题满分7分）1 1假设随机变量X的绝对值不大于1 ；P{X =_1} = —, P{X =1}=—;在事件8 4{ -1 cX €1}出现的条件下，X在（—1,1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X的分布函数F（x） = P{X <x}.十二、（本题满分6分）5分钟、25分钟和55分钟游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第从底层起行.假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在［0,60］上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望十三、（本题满分6分）两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f（t）、数学期望和方差.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)1 (1)【答案】e f(x)[—r(ln x )+f '(x )f (In x)]dxx【解析】题目考察复合函数的微分法 ，利用链式法则计算如下:由 y = f (In x)e f (x)可知1dy = f '(ln x )e f (x)dx + f (ln x )e f(x) f '(x )dx x1 =e f"X)[— f '( ln X )+ f '(X ) f (ln X Jdx.x(2)【答案】4 一兀1■L f(x)dx 是个常数，只要定出这个数问题就解决了-^+A J 1-X 2,两边从0到1作定积分得1+x 2解得A =4 一兀【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分J0「dx 表示单位圆 在第一象限部分的面积，可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用 . (3)【答案】％ =C +壮-2)2七【解析】对应的齐次差分方程是 y t 十-y t =0,显然有不恒等于零的特解 y t =1. 因方程的右端函数f (t) =t2t ,可设非齐次差分方程的特解有形式/=(At tB)/代入方程得(At + 2A + B)2^t2t , t = 0,1,2，川.由于2^0,于是 At+2A + B=t, t =0,1,2,HI.可确定A = 1,B = -2 ,即非齐次差分方程有一个特解是 y = (t - 2)2t. 从而，差分方程的通解是 y t= C + (t - 2)2t.(4)【答案】一42 <t < 42【分析】本题中1【解析】令0 f (x)dx = A ,则f (x)= 1rJ^1rJ^A +2 1X dx = arctan x cA 兀-4 +兀一化简有命~ 即启;2：爲)=令兴~他■【解析】二次型f (x-i , x 2, x 3)对应的矩阵为t_2因为f 正定二 A 的顺序主子式全大于零故 f 正定二 1 -1tS-0,即一J 2c t2⑸【答案】t 分布,参数为9X 的简单随机样本，故xj H ,X 9独立,且都服从正态分布N(0,32).类似有Y ,,lil,Y 9相互独立，且都服从正态分布 N(0,32).又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布，即X' = X 1 +Ili + X 9~N (巴 b 2).其中 P=E(X) = E(X 1 +H|+X 9), b 2= D(X) =D(X1+||i + X 9).由期望的性质，卩=E(X)=E(X 1+川 + X 9) = EX 1+EX 2 +111 + EX 9=0；由独立随机变量方差的性质，CT 2=D(X) -DCX r +IH+ X 9) =DX 1 +H) + DX 9=81,故 X'~ N(0,92).因 Y,lli,Y 9 ~ N(0,32),故 Y^ ~ N(0,1),(i =12川,9),所以,39Y WiziX'-0X * _ 0 由t 分布的定义，现已有X'~N(0,92)，将其标准化得 一 ~ N(0,1),故 占 ~t(9).9咫也1 =2,亠=iA<72.【解析】由X 1,|||,X 9是来自总体【相关知识点】1.数学期望的性质： E(aX +b Y+c)=aE(X)+bE( Y)+c ,其中a,b,c 为常数.2.方差的性质：X 与丫相互独立时，D(aX+bY + c) =a 2D(X)+b 2D(Y),其中a,b,c 为常3.分布的定义：若 乙，H|,Z n 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0,1),则nZi 2"2(1),2： S n).2Z —u4.若 Z ~ N(u,b 2),则 --------- N(0,1).c2X5. t 分布的定义：若 X ~ N (0,1), Y ~ /2(n), X ,Y 独立，则T = ——~ t(n).(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (B)故应选(B).阶可导，则F(t) = P (t) f 〔P (t)]—a'(t)卄 fa (t)】.2.无穷小的比较:设在同一个极限过程中，a(x), P(x)为无穷小且存在极限(1)若丨K0,称a (X), p(x)在该极限过程中为同阶无穷小;二、选择题 合题目要求 (1)【答案】 【分析】 只要求出极限lim 丄凶 就能判断出正确的选项.Tg(x)【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系1_cosx2sint 2dt —5 T x .X(sin x)sin( 1 -cosx)2=lim ------------------ ^j 0x 4(1 + x)21 lim x(1 - cosx) = lim 4x T 1 + x ^50 x 4=lim 1 5-x j0x 【相关知识点】 1.对积分上限的函数的求导公式：若P (t)F(t)= Gf(x)dxmt),P(t)均一⑵ 若I =1,称a(X), P(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为a(X川P(x)；化简有命~ 即启;2：爲)=令兴~他■⑶ 若丨=0,称在该极限过程中a(x)是P (X)的高阶无穷小，记为a (x)=0(P(x)).整理得(K +k3 私1 +(2k i + 2k2 肛2 +(3k2 +氷3 }a3= 0.若lim：(x) 不存在(不为乂),称a(X), P(x)不可比较.P(x)⑵【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题方法1：由f(—x) = f(X)(亠，垃)知，f(x)的图形关于y轴对称.由在(―吟0)内,f'(x):>0且f"(x)<0知，f(x)的图形在(-2,0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0^)内，f(x)的图形单调下降，且是凸的，所以应选(C).方法2：由f(_x) = f(x)可知一f '(_x) = f '(X), f "(-X)= f "(X).当x€(0,+^)时，_x€(=,0),此时由题设知f'(-x)>0, f"(-x) <0,则f'(x)c0, f ”(x) <0,x J0,邑),故应选(C).方法3:排除法.取f(X)= -X2,易验证f (X)符合原题条件，计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4:由题设可知f(x)是一个二阶可导的偶函数，则f '(X)为奇函数，f "(X)为偶函数，又在(虫,0)内f(X)>0, f "(X)<0,则在(0,母)内f'(x)<0, f"(x)<0,故应选(C).(3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与(际內』3)=(%,口2,口32技巧相结合.【解析】对于(A), (% +ot2 )—©2十叫)中©3 —% ) = 0,即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知％ +02,02 +^3,^3 -%线性相关，排除(A)；对于(B), (% +(/2 )中©2 +5 )-(% +2^2 +口3 )=0,即存在一组不全为零的数-1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知ct j + Ot2^2+a. Ct1 +2% +^3线性相关，排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零，就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数k i,k2,k3,使得ki(% +2^2 )栋2(202 +3^3 )栋3(% +3^)=0,k + kg = 0已知些，02, 03线性无关，上式成立，当且仅当＜2k 1 +2k 2 = 03k 2 +3k 3 ：= 0=12 H 0 ,故①有唯一零解，即k i = k 2故(A)不成立；应取(D).方法2：因A,B 是同阶(设为n )可逆阵，故有r (A )=r (B ) = n,而r(A)=r(B 戸 A, B 等价u 存在可逆阵P,Q 使得PAQ = B.1 1(这里只需取P=A ,Q = B,既有PAQ=A BA=B 成立),故应选(D).因①的系数行列式 8+2^2 , 2^2 +烫3 , 33 +%线性无关.应选(C).或者也可以将 s +2口2, 25+3^3, 3^3+%用a 1,02,5线性表出,且写成矩阵形式，有「1 0 丘丄 + 2(X 2, 2^2 +303,3^3 十口丄］=!a 1^2a J 22 1［ 0 =虬,3 记口2,口3IC,C =12H 0,则C 可逆,故两向量组是等价向量组，由％,02,03线性无关知％+2^2, 2^2 +3^3,3^3 +% 线性无关. ⑷【答案】(D)【解析】方法1:用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律 ,不一定相似，也不一定合同.例如，若A = K^^卜彳；1］，由于特征值不同，故不相似，又对应二次型的正、负惯性指数不同，故也不合同，(B)、(C)不成立;若A =【0 0門012］则［黑 0H 。
考研数学：数学一和数学三的差别在哪里？
众所周知，考研数学分数学一、二、三，究竟这三科数学之间有哪些差别?以下是考研小编为大家整理的关于“考研数学：数一和数三的差别在哪里?”文章，一起了解一下吧~考研数学差别一：考察范围和难易程度一、考试科目：考研数学一和考研数学三的考试科目均有：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
各科目所占比例为：高等数学56%、线性代数22%、概率论与数理统计22%。
两者是一样的的。
二、考察范围：在高等数学中，数一、数三的主要区别在于：空间解析几何、多元函数积分学(二重积分以外)，仅数学一考查;微积分的物理应用，仅数学一、考查;微积分的经济学应用，仅数学三考查。
在线性代数中，数一、数三的考试内容和要求几乎一样，唯一的区别是数学一多了向量空间的内容，这部分考点在考试中涉及得很少，对考生的复习没有实质性影响。
在概率论与数理统计中，数学一的考试范围比数学三略大，主要增加了参数估计部分的考点，包括估计量的评选标准、区间估计以及后续的假设检验。
三、难易程度：数一的考察范围比较大，要求程度也比数三高，数一的难度整体上比数三稍难。
考研数学差别二：考试科目及分数占比考研数学一的考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
各科目所占比例为：高等数学56%、线性代数22%、概率论与数理统计22%。
考研数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计。
各科目所占比例为：高等数学56%、线性代数22%、概率论与数理统计22%。
从上述对比中不难看出，数一和数三不论考试科目还是分值比例都是相同的。
具体来说，在高等数学中，数一、数三的主要区别在于：空间解析几何、多元函数积分学(二重积分以外)，仅数学一考查;无穷级数，数学一和数学三都会考查;数学一考查微积分的物理应用;数学三考查微积分的经济学应用。
在线性代数中，数一和数三的考试内容和要求几乎一样，唯一的区别是数学一多了向量空间的内容，这部分考点在考试中涉及得很少，对考生的复习没有实质性影响。
考研数学三不考的部分[最全]
![考研数学三不考的部分[最全]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/61403fb0551810a6f52486ad.webp)
高等数学不用看的部分：第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记；第107页由参数方程所确定的函数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5,6还有120页的近似公式即可，不用看例题；第140页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节；第213页第四节；第218页第五节；第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第三节；第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例如第301页的例2例3例4；第八章；第90页第六节；第101页第七节；第157页第三节；165页第四节；第十一章；第261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节线性代数不用看的部分：第102页第五节概率论与数理统计要考的部分：第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第7章第一节点估计和第二节最大似然估计注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容，在上面的内容中我并没有标出。
上述内容是根据文都发放的教材编的。
《高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天）标记及内容要求：★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。
要大量做题。
☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、性质和方法，能使用其结论做题。
要大量做题。
●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。
要能看懂，了解其思路和结论▲─超出大纲要求。
第一章?函数与极限?第一节?映射与函数?（☆集合、影射，★其余）第二节?数列的极限?（☆）第三节?函数的极限?（☆）第四节?无穷小与无穷大?（★）第五节?极限运算法则?（★）第六节?极限存在准则?（★）?第七节?无穷小的比较?（★）第八节?函数的连续性与间断点?（★）第九节?连续函数的运算与初等函数的连续性?（★）第十节?闭区间上连续函数的性质?（★）总习题第二章?导数与微分第一节?导数概念（★）第二节?函数的求导法则（★）第三节?高阶导数（★）第四节?隐函数及由参数方程所确定的函数的导数?相关变化率（★）第五节?函数的微分（★）总习题二第三章?微分中值定理与导数的应用第一节?微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西）第二节?洛必达法则（★）第三节?泰勒公式（☆）第四节?函数的单调性与曲线的凹凸性（★）第五节?函数的极值与最大值最小值（★）第六节?函数图形的描绘（★）第七节?曲率(●)第八节?方程的近似解(●)总习题三（★注意渐近线）第四章?不定积分第一节?不定积分的概念与性质（★）第二节?换元积分法（★）第三节?分部积分法（★）第四节?有理函数的积分（★）第五节?积分表的使用（★）总习题四第五章?定积分第一节?定积分的概念与性质（☆）第二节?微积分基本公式（★）第三节?定积分的换元法和分部积分法（★）第四节?反常积分（☆概念，★计算）第五节?反常积分的审敛法?г函数(●)总习题五第六章?定积分的应用第一节?定积分的元素法（★）第二节?定积分在几何学上的应用（★平面面积，★旋转体，★简单经济应用）第三节?定积分在物理学上的应用?（★求函数平均值）总习题六、第七章?微分方程第一节?微分方程的基本概念（☆）第二节?可分离变量的微分方程（☆）（★掌握求解方法）第三节?齐次方程（☆）（★掌握求解方法）第四节?一阶线性微分方程（☆）（★掌握求解方法）第五节?可降阶的高阶微分方程（☆）第六节?高阶线性微分方程（☆）第七节?常系数齐次线性微分方程?（★二阶的）第八节?常系数非齐次线性微分方程（★二阶的）第九节?欧拉方程(●)第十节?常系数线性微分方程组解法举例(●)总习题七附录I?二阶和三阶行列式简介附录II?几种常用的曲线附录、积分表? 第八章?空间解析几何与向量代数?（▲）第一节?向量及其线性运算第二节?数量积?向量积?混合积第三节?曲面及其方程第四节?空间曲线及其方程第五节?平面及其方程第六节?空间直线及其方程总习题八第九章?多元函数微分法及其应用第一节?多元函数的基本概念（☆）第二节?偏导数（☆概念。
考研扫盲：数一数二数三有何区别？
考研扫盲：数一数二数三有何区别？摘要：考研初试时，不同专业对数学的要求不同，具体表现为数学一、数学二和数学三。
这三者之间有什么区别呢？各自难度如何？快来跟帮仔一起看看吧~硕士研究生入学统考数学试卷一共分为3种：针对工科类的为数学一、数学二；针对经济学和管理学类的为数学三，难度要求依次从高到低。
从卷种上来看分为数学一、数学二、数学三。
从考试内容上来看，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
从试卷结构上来看，设有三种题型：选择题(8道共32分)、填空题(6道共24分)、解答题(9道共94分)。
其中数一与数三在题目类型的分布上是一致的，1-4、9-12、15-19属于高等数学的题目，5-6、13、20-21属于线性代数的题目，7-8、14、22-23属于概率论与数理统计的题目;而数学二不同，1-6、9-13、15-21均是高等数学的题目，7-8、14、22-23为线性代数的题目。
►区别数一的适用范围和考试内容：1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、网络工程、电子信息工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。
2.授工学学位的管理科学与工程一级学科。
考研数学一是考研数学中难度最大，范围最广的。
数学一的考试科目包括高等数学、线性代数、概率统计三科。
其中高等数学占比百分之五十六；线性代数占比百分之二十二；概率统计占比百分之二十二。
数二的适用范围：工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。
考研数学二是考研数学中考试范围最小，但是高等数学占比最高的。
考研数学二的考试科目包括高等数学和线性代数其中高等数学占比百分之七十八；线性代数占比百分之二十二。
[2022考研数学三大纲]考研数学三大纲
![[2022考研数学三大纲]考研数学三大纲](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/1ddb7700df80d4d8d15abe23482fb4daa58d1ddf.webp)
[2022考研数学三大纲]考研数学三大纲考研数学三大纲篇1:考研数学全年备考详细复习计划介绍学习阶梯划分一阶基础全面复习（3月～6月）二阶强化熟悉题型（7月～10月）三阶模考查缺补漏（11月～12月15日）四阶点睛保持状态（12月16日～考试前）参考书目必备参考资料：数学考试大纲《高等数学》同济版：讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多，2022考研数学全年备考详细复习计划。
《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的学生。
《线性代数》清华版：适合基础比较的学生《概率论与数理统计初步》浙大版：基本的题型课后习题都有覆盖。
复习计划1、一阶基础，全面复习（3月～6月）学习目标：根据去年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统复习，打好基础，特别是对大纲中要求的三基——基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握。
完成从大学学习到考研备战的基础准备。
复习建议：这一阶段主要的焦点要集中精力把教材好好地梳理，要至始至终不留死角和空白，按大纲要求结合教材对应章节全面复习，另外按章节顺序完成教材及相应的配套练习题，通过练习检验你是否真正地把教材的内容掌握了。
由于教材的编写是环环相扣，易难递进的，所以建议每天学习新内容前要复习前面的内容，按照规律来复习，经过必要的重复会起到事半功倍的效果。
也就是重视基础，长期积累；基础阶段重视纵向学习，夯实知识点。
2、二阶强化熟悉题型（7月～10月）本阶段是考研复习的重点，对成败起决定性作用。
大体可以分两轮学习。
第一轮暑期强化：7～8月学习目标：熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧复习建议：参加考研教育网实验班学习，根据老师辅导讲义认真研读，做到举一反三，考研数学《2022考研数学全年备考详细复习计划》。
第二轮秋季强化：9～10月学习目标：通过真题讲解和训练，进一步提高解题能力和技巧，达到实际考试的要求复习建议：根据老师课堂所讲真题课后进行专项复习，对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习，达到全面掌握，不留空白和软肋，让训练达到或稍微超过真题难度。
考研常识：数一、数二、数三的区别
考研常识：数一、数二、数三的区别数学一，是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。
数学二，是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。
高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。
▶数学一包含线代，高数，概率。
适用的学科为：1、工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业.2、工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。
3.管理学门类中的管理科学与工程一级学科按此划分，绝大多数院校的计算机专业都会选择考数学一，这也是从事计算机所必须的最低数学功底。
▶数学二包含线代，高数。
适用的学科为：1、工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。
2、工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较低的二级学科、专业。
▶数学三常被称为经济数学，包含线代，概率，高数。
适用学科为：1、经济学门类的应用经济学一级学科中统计学、数量经济学二级学科、专业；2、管理学门类的工商管理一级学科中企业管理、技术经济及管理二级学科、专业；3、管理学门类的农林经济管理一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。
其中:数学一是对数学要求较高的理工类的;哲学类,经济学类,管理学类,教育学类,文学类；数学二，是对于数学要求要低一些的农、林、地、矿、油等等专业的；数学三，是针对管理、经济等等方向的。
2008数学三答案解析
类似， z 对 y 在 P(x0 , y0 ) 点处的偏导数定义为：
∂z ∂y
P
= lim ∆y →0
f (x0 , y0 + ∆y) − ∆y
f (x0 , y0 ) = lim y→ y0
f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) y − y0
—2—
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∆x→0
f
(∆x, 0) −
∆x
f
( 0, 0)
= lim e ∆x −1 = ∆x→0 ∆x
lim
∆x→0
∆x ∆x
不存在，
f
′
y
(
0,
0
)
=
lim
∆y →0
f
(0, ∆y) −
∆y
f
( 0, 0)
= lim e(∆y)2 −1 = ∆y→0 ∆y
( ∆y )2
lim ∆x→0 ∆y
= 0 存在，
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（D） E − A 可逆， E + A 不可逆 [ ]
【分析】从 A3 = O 入手.
( ) 【详解】 A3 = O ⇒ A3 + E = E ⇒ ( A + E ) A2 − A + E = E ，所以 A + E 可逆，
( ) A3 = O ⇒ A3 − E = −E ⇒ ( E − A) A2 + A + E = E ，所以 E − A 可逆，
【详解】因为
A
=
⎡1 ⎢⎣2
2⎤ 1⎥⎦
为实对称矩阵，
A
的特征值为
−1,
考研数学必备公式(数三)
（７）ｙ＝ｔａｎｘ， ｙ′＝ｃｏ１ｓ２ｘ
（８）ｙ＝ｃｏｔｘ， ｙ′＝－ｓｉｎ１２ｘ
（９）ｙ＝ｓｅｃｘ， ｙ′＝ｓｅｃｘｔａｎｘ
（１０）ｙ＝ｃｓｃｘ， ｙ′＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘ
（１１）ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ， ｙ′＝ １
槡１－ｘ２
（１２）ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ， ｙ′＝－ １
槡１－ｘ２
（１３）ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ， ｙ′＝１＋１ｘ２
ｆ（ξ）＝０．
２．微分中值定理
Ｔｈ１ （费尔马）若函数 ｆ（ｘ）满足： （１）函数 ｆ（ｘ）在 ｘ０的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有 ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０）或 ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）； （２）ｆ（ｘ）在 ｘ０处可导． 则 ｆ′（ｘ０）＝０． Ｔｈ２ （洛尔）设函数 ｆ（ｘ）满足： （１）在［ａ，ｂ］上连续；（２）在（ａ，ｂ）内可导；
ｓｉｎｘ
ａｒｃｓｉｎｘ
ｔａｎｘ
１－ｃｏｓｘ～１２ｘ２
～ｘ，
ａｒｃｔａｎｘ
１
（１＋ｘ）ｎ
－１～１ｎｘ
ｌｎ（１＋ｘ）
ｅｘ－１
２．重要定理
Ｔｈ１ ｘｌ→ｉｍｘ０ｆ（ｘ）＝Ａｆ－（ｘ０）＝ｆ＋（ｘ０）＝Ａ．
Ｔｈ２ ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａｆ（ｘ）＝Ａ＋α（ｘ），其中ｌｉｍα（ｘ）＝０
（２）ｙ＝ｘα（α为实数），ｙ′＝αｘα－１
（槡ｘ）′＝２１槡ｘ
特例
( )
１ ｘ
′＝－ｘ１２
（３）ｙ＝ａｘ，ｙ′＝ａｘｌｎａ，特例（ｅｘ）′＝ｅｘ
（４）ｙ＝ｌｏｇｘ ａ（ａ＞０，ａ≠１）， ｙ′＝ｘｌ１ｎａ，（ｌｎｘ）′＝１ｘ
（５）ｙ＝ｓｉｎｘ， ｙ′＝ｃｏｓｘ
（６）ｙ＝ｃｏｓｘ， ｙ′＝－ｓｉｎｘ
ｘ→ｘ０
2024数学三题型分布
2024数学三题型分布
数学三是考研数学中的一种，主要针对经济学、管理学等对数学要求较高的专业。
以下是2024年考研数学三的题型分布：
一、填空题
填空题共有10个小题，每小题4分，共计40分。
这些题目主要是对基础知识和基本技能的考查，例如函数的极限、连续性、导数等。
二、选择题
选择题共有8个小题，每小题5分，共计40分。
这些题目涉及到概念和性质的理解与应用，需要考生从四个选项中选择正确的答案。
三、计算题
计算题共有9个小题，每小题8分，共计72分。
这些题目主要是对各种数学方法和计算技巧的考查，例如一元函数微积分、多元函数微积分、线性代数等。
四、证明题
证明题共有1个小题，共计10分。
这道题目主要是对数学定理和性质的证明能力进行考查，例如函数的单调性、连续性等。
五、应用题
应用题共有2个小题，每小题9分，共计18分。
这些题目主要是对数学方法和实际应用的考查，例如最优化问题、概率统计问题等。
六、几何题
几何题共有1个小题，共计10分。
这道题目主要是对空间几何和解析几何的考查，例如空间直线与平面的关系、曲线与曲面的关系
等。
七、代数题
代数题共有1个小题，共计10分。
这道题目主要是对代数方法的考查，例如方程组求解、矩阵运算等。
八、概率题
概率题共有1个小题，共计10分。
这道题目主要是对概率论与数理统计的考查，例如随机事件及其概率、随机变量及其分布等。
九、解析几何题。
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