图与网络分析 (Graph Theory and Network Analysis)
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
电路的图
电路的图以图论(Graph Theory)为依托，但两者有区别：支路branch结点node(1)电路图中的支路是实体，结点是支路的连接点，结点是由支路形成的，没有了支路遍没有了结点。
(2)图论中支路的端点必须是结点，但结点则允许是孤立结点，表示一个与外界不发生联系的事物。
经常：将元件串联组合看作一条支路。
不常：将元件并联组合看作一条支路。
有向图：电路图中支路常取其关联电压、电流参考方向。
支路可以赋予一个方向，即电压、电流的关联参考方向，赋予支路方向的图称为“有向图”，否则称为“无向图”。
n个结点的电路，独立的KCL方程为n-1个。
相应的(n-1)个结点称为独立结点。
将对应于一组独立的KVL方程的回路称为独立回路，回路和独立回路的概念与支路的方向无关，可以用无向图的概念描述。
路径：结点之间的一系列支路构成图的一条路径。
连通图：图中任意两结点之间至少存在一条路径。
回路：若一条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点不再重复，则此闭合路径就构成图的一个回路。
用树(tree)寻找图的独立回路组，即独立KVL方程。
连通图的树(tree)：包含图的全部结点，且不包含任何回路的连通子图。
树支和连支：树中包含的支路称为该数的树支，而其它支路则称为对应于该树的连支。
全部树支=树支+连支结论具有n个结点的连通图，任何一个树的树支数为(n-1)。
图的任一个树，加入连支后，就会形成一个回路，且此回路除了所加连支外均由树支组成，这种回路称为单连支回路或基本回路。
每个基本回路仅含一个连支，且这一连支不出现在其它基本回路中。
由连支形成的全部基本回路构成基本回路组，基本回路组的个数等于连支数。
每个连支只在一个回路中出现，这些KVL方程必构成独立方程组。
根据基本回路所列出的KVL方程组是独立的。
具有b条支路和n个结点的电路，连支数l=b-n+1，即图的独立回路数。
选择不同的树，遍得到不同的基本回路组。
如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图，否则称为非平面图。
控制算法理论及网络图计算机算法显示研究
信息技术2021NO.35SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION科技资讯
SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION科技资讯控制算法理论及网络图计算机算法显示研究王翰钊李秀丽(河南测绘职业学院河南郑州450000)
摘要：伴随着计算机科学技术的快速稳定优质发展，其应用覆盖范围的持续拓展和使用频率的逐渐提升，深刻影响改变了我国各界民众的生产生活实践过程。在社会建设发展事业持续推进背景下，各界民众针对计算机网络图提出的要求，正在呈现出日趋严苛的变化趋势，需要借助对合适的技术措施进行运用，改善提升其运行使用效率和精确程度。控制算法理论在基本性能层面具备特殊性，其中包含网络图像显示组成部分和符号控制组成部分，推进开展针对控制算法理论的系统深入分析工作环节，有助于改善提升控制算法理论和网络图计算机算法显示过程的效率与精确度。该文主要围绕控制算法理论及网络图计算机算法显示，展开简要的阐释分析。关键词：控制算法理论网络图计算机算法显示研究分析中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)12(b)-0001-03
ResearchonControlAlgorithmTheoryandComputerAlgorithmDisplayofNetworkDiagram
WANGHanzhaoLIXiuli(HenanCollegeofSurveyingandMapping,Zhengzhou,HenanProvince,450000China)Abstract:Withtherapid,stableandhigh-qualitydevelopmentofcomputerscienceandtechnology,thecontinu‐ousexpansionofitsapplicationcoverageandthegradualincreaseinfrequencyofusehaveprofoundlyaffectedtheproductionandlifepracticesofpeoplefromallwalksoflifeinourcountry.Underthebackgroundofthecontinu‐ousadvancementofsocialconstructionanddevelopment,therequirementsofpeoplefromallwalksoflifeforcomputernetworkdiagramsareshowinganincreasinglystringenttrend.Itisnecessarytouseappropriatetechnicalmeasurestoimprovetheiroperationalefficiencyandaccuracy.TheControlAlgorithmtheoryhasparticularityinthebasicperformancelevel,includingthenetworkimagedisplaycomponentandsymbolcontrolcomponent.Promot‐ingthesystematicandin-depthanalysisoftheControlAlgorithmtheorywillhelptoimprovetheefficiencyandaccuracyoftheControlAlgorithmtheoryandthealgorithmdisplayprocessofthenetworkgraphcomputer.ThispapermainlyfocusesontheControlAlgorithmtheoryandthecomputeralgorithmdisplayofnetworkdiagram,andcarriesoutabriefexplanationandanalysis.KeyWords:Controlalgorithmtheory;Networkdiagram;Computeralgorithms;Display;Researchanalysis
运筹学教案
第 1 次课 2 学时绪 论运筹学（operations research ）是用数学方法研究各类系统最优化问题的学科。
运筹学通过建立系统的数学模型并求解，为决策者制定最优决策提供科学依据。
一、运筹学简史二、运筹学的主要分支1. 线性规划（Linear Programming ）2. 目标规划（Goal Programming ）3. 整数规划（Integer Programming ）4. 非线性规划（Nonlinear Programming ）5. 动态规划（Dynamic Programming ）6. 图论与网络分析（Graph Theory and Network Analysis ）7. 排队论（Queuing Theory ）8. 存贮论（Inventory Theory ）9. 对策论（Game Theory ） 10. 决策论（Decision Theory ） 三、运筹学的工作步骤 1. 提出和形成问题 2. 收集资料，确定参数 3. 建立模型4. 模型求解和检验5. 解的控制第一章 线性规划与单纯形法 §1.1 线性规划的基本概念§1.1.1线性规划的数学模型 特点：（1）每个行动方案可用一组变量（x 1，…，x n ）的值表示，这些变量一般取非负值； （2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示； （3）有一个需要优化的目标，它也是变量的线性函数。
具备以上三个特点的数学模型称为线性规划（Linear Programming ，简记为LP ），一般形式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++=0,,),(),(),( max(min)21221122222121112121112211n mn mn m m n n n n n n x x x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 采用求和符号Σ，可以简写为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥==≥≤=∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj jij nj jj ,,2,1 0,,2,1 ),( max(min)11§1.1.2图解法 1. 唯一最优 例4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=0,124 202582 52 max 212212121x x x x x x x x x z图1-12. 无穷多最优3. 无界解（无最优解）第 2 次课 2 学时§1.2 线性规划的标准形式和解的性质§1.2.1 LP 的标准形式⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj jij nj jj ,,2,1 0 ,,2,1 max 11变换一般LP 为标准形式的方法：（1）如果原问题目标函数求极小值：∑==nj j jx cz 1min令z 1=－z ，转化为求∑=-=nj j jx cz 11)( max 。
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(适合建模)(共22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
运筹学完整版
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空 袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受 德国潜艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的 爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤 力等。
绪论
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为：x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x1 +4 x3 +2 x4 ＝200 ≤180
要求：生产A种药物至少160 单位；B种药物恰好200单位， C种药物不超过180单位，且 使原料总成本最小。
在生产管理方面的应用，最早是1939年前苏联的康特洛为奇提 出了生产组织与计划中的线性规划问题，并给出解乘数法的求解方 法，出版了第一部关于线性规划的著作《生产组织与计划中的数学 方法》。 但当时并没有引起重视，直到1960年康特洛为奇再次出版了 《最佳资源利用的经济计算》，才受到国内外的一致重视，为此康 特洛为奇获得了诺贝尔经济学奖。 线性规划提出后很快受到经济学家的重视，如：二次世界大战 中从事运输模型研究的美国经济学家库普曼斯（T.C.Koopmans）， 他很快看到了线性规划在经济中应用的意义，并呼吁年轻的经济学 家要关注线性规划。其中阿罗、萨谬尔逊、西蒙、多夫曼和胡尔威 茨等都获得了诺贝尔奖。
运筹学的主要内容
5、图与网络(Graph Theory and Network)：中国邮递员问 题、哥尼斯堡城问题、最短路、最大流问题。 6、存储论（Inventory Theory)：主要解决生产中的库存问 题，订货周期和订货量等问题。 7、排队论(Queue Theory)：主要研究排队系统中的系统排 队和系统拥挤现象，从而评估系统的服务质量。 8、对策论(Game Theory)：主要研究具有斗争性质的优化问 题。
Matlab中的复杂网络与图论分析方法
Matlab中的复杂网络与图论分析方法在当今数字时代，数据网络正在成为各行各业的核心，这就给研究网络结构和分析网络行为提供了前所未有的机会。
而复杂网络和图论分析方法则成为了研究数据网络的一种重要手段。
本文将介绍在Matlab中应用的复杂网络和图论分析方法，探讨其原理和应用。
一、复杂网络：拓扑结构的研究复杂网络是指由大量节点和链接组成的网络，其中节点代表实体，链接代表实体之间的关系。
通过研究复杂网络的拓扑结构，我们可以揭示数据网络中的规律和性质，了解网络中节点的连接模式和信息传播机制。
1.1 网络拓扑结构的描述在复杂网络研究中，一种常用的描述方法是邻接矩阵和度矩阵。
邻接矩阵是一个由0和1组成的矩阵，其中的元素表示节点之间的连接关系，1表示连接，0表示未连接。
度矩阵是一个对角矩阵，用于描述每个节点的度数，即与该节点相连的链接数。
1.2 网络节点的度分布节点的度数是指与该节点相连的链接数，而节点的度分布则是指不同度数的节点在网络中的分布情况。
在复杂网络中，节点的度分布往往符合幂律分布，即少数节点的度数非常大，而大部分节点的度数相对较小。
通过分析节点的度分布，可以了解网络中的核心节点和边缘节点，以及网络的鲁棒性和可靠性。
1.3 网络中的社区结构社区结构是指网络中节点的聚集现象，即节点之间的连接更密集，而与其他社区的联系较弱。
通过识别和研究网络中的社区结构，可以帮助我们揭示网络中的隐含规律、发现重要节点和子网络，并理解网络的分层结构和功能。
二、图论分析：探索网络行为的机制图论是研究网络结构和图形模型的数学理论，主要关注网络中节点和链接之间的关系。
通过图论分析，我们可以量化和描述网络中的节点和链接的特性，揭示网络的演化机制和行为规律。
2.1 网络中的中心性度量中心性是衡量网络中节点重要性的指标，可以帮助我们识别重要节点和影响网络动态行为的因素。
在复杂网络中，常用的中心性度量包括度中心性、接近中心性和介数中心性等。
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
运筹学完整版
绪论
国际上运筹学的思想可追溯到1914年，当时的 兰彻斯特提出了军事运筹学的作战模型。1917年， 丹麦工程师埃尔朗在研究自动电话系统中通话线路 与用户呼叫的数量关系问题时，提出了埃尔朗公式， 研究了随机服务系统中的系统排队与系统拥挤问题。 存储论的最优批量公式是( Operations Research )
第一章
运
决
筹
胜
帷 幄之
绪论
千
里
中
之
外
Introduction
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在经济管理中的应用
绪论
绪论
绪论
20世纪50年代中期，钱学森、许国志等教授在国内全面介 绍和推广运筹学知识，1956年，中国科学院成立第一个运筹学研 究室，1957年运筹学运用到建筑和纺织业中，1958年提出了图上 作业法，山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”， 1970年，在华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹方 法和优选法。
1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国 运筹学会”。
绪论
运筹学的发展趋势
成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
x1 0xn 0
n
简写为： max(min)Z cj xj j1
n
aij xj ( ) bi (i 1 2m)
2011运筹学-1
• 二、应用及发展 在运筹学诞生初期，主要被应用于 军事领域中的短期性或战术性问题研究：
1、船只在受到敌机轰炸时的躲避问题；提出 了大船应急转向，小船应慢转向的躲避方法， 使船只中弹数由47%降到32%；
2、深水炸弹的爆炸深度问题；改进后的爆炸 深度更加合理，更好的发挥了炸弹的威力，使 被摧毁的德国潜艇数量增加到了400%。
• 倒水1分钟
(10 min)
管理运筹学
• 《史记· 高祖本纪》：“夫运筹帷幄
之中，决胜千里之外，吾不如子房。”
• 该学科最早应用于“军事领域”，故 引入我国，取名为符合该特征，
概
况
• 48学时 专业必修 考试（考查） • 主要内容 九章 （非线性、多目标、排队论） • 选用教材 《管理运筹学》---韩伯棠. 高教 • 推荐教材 《运筹学》 ---清华大学出版社 《管理运筹学》---韩大卫 .大连理工出版社 《运筹学》---左晓德.暨南大学出版社 《运筹学》---谷源盛.重庆大学出版社 《运筹学应用范例及解法》 ---译著.清华大学出版社
该定义反映出：
• 应用手段：分析、试验、量化的方法。 • 针对对象：管理系统中的人力、物力、财力的 等资源。 • 最终目的：为决策者提供有依据的最优方案， 以实现最有效的管理。 • 本课程主要讲述运筹学在管理领域中应用，故 称为管理运筹学——Operation’s Research On Management
目
• • • • • • • • • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
绪论 线性规划及其图解法 单纯形法 线性规划问题的计算机求解 运输问题 整数规划 动态规划 图与网络模型 存贮论
第一章