17.2一元二次方程的解法(1)直接开平方法
一元二次方程的解法1直接开方
九年数学系列
课题：降次法解一元二次方程直接开平方法 课型：新授课 三、 例题精析：
例1、用直接开平方法解下列方程：
(1) 9x'—16 = 0 (2) 3(“x—1)' = 12
(3) 'x 一8 = 0 (4) x -4x+4=5
结论：用直接开平方法解一元二次方程的步骤有：先将方程整理成
x — p(p±0)或(mx+ n) — p(p^0)的形式，再用开平方法将方
程降次为两个一兀一次方程即
一兀二次方程 一► (mx+ n) -p(p30)开平方法 一兀一次方程
-------- ►
降次 mx+门=如、
四、 巩固练习：
1、用直接开平方法解下列方程：
(1) 9x'-5=3 (2) (x+6)'-9=0
执笔： 审核：九年数学组 第周第节
一、学习目标：1、掌握直接开平方法，会用直接开平方法解 (x-a)2 =b(b£O)的方程.
2、体验类比、转化、降次的数学思想.
二、 重点： 解形如(x-a)' =b(b色0)的方程.
三、 难点： 解形如(x-a)' =b(b启0)的方程.
教 学 过 程
一、 学前准备：
1、 什么是平方根？ 一个非负数的平方根有几个？
2、 什么是一元二次方程？ 你能想出方程x'-36=0的根吗？
3、 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm'，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方 体的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
思考：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程(2x-1)'=5及方程x'+6x + 9 = 2 ？
二、 新课探究：
1、 对干方程x' -4，两边直接 _________________ 得X-±2，这种方法叫做直接开平方法.
2、 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是 .
3、 具备怎样特点的一元二次方程可用直接开平方法求解：形如： x'-a(a^0);或化
成;(mx + n) - p(p启0)的形式.即等号左边是元全平方式，右边是一个非负数 . 师生讲学稿
一元二次方程的解法及步骤
一元二次方程的解法及步骤
1、直接开平方法：
例．解方程3x+1^2;=7 3x+1^2=7 ∴3x+1^2=7
∴3x+1=±√7注意不要丢解符号 ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3
2、配方法：
例．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x+ 4/62=2 +4/6 2
配方：x-4/62= 2 +4/6 2
直接开平方得：x-4/6=± √[2 +4/6 2 ]
∴x= 4/6± √[2 +4/6 2 ]
3．公式法：
例.用公式法解方程 2x2-8x=-5
将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5 b2-4ac=-82-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[-b±√b2-4ac]/2a
4．因式分解法：
例．用因式分解法解下列方程：
1 x+3x-6=-8
化简整理得
x2-3x-10=0 方程左边为二次三项式,右边为零
x-5x+2=0 方程左边分解因式
∴x-5=0或x+2=0 转化成两个一元一次方程
∴x1=5,x2=-2是原方程的解. 其实一元二次方程没有什么难点的，对于应用题也一样，关键是你能列出方程式，会用方法解出方程就可以。对于解一元二次方程，主要的方法有①直接开方法，（例如x2=25，可以直接解出x=±5）②求根公式法（x2+2x+1=0 △=b2-4ac 判断△的范围，＞0，＝0，＜0
去解出根）③因式分解法（这个方法对于很多同学来说都是一个难点，要掌握这个方法必须通过大量的题去掌握，例如x2-5x+6=0 可以化为（x-2）（x-3）=0 解得x1=2，x2=3）④配方法（例如x2-6x-6=0 可以化为（x-3）2=15，再用直接开方法解出x1，和x2）
初三一元二次方程的解法
初三一元二次方程的解法
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一元二次方程的解法
一、结构特殊的直接开平方法
利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的理论依据是平方根的定义．形如2(0)xaa≥或2()(0)axbcc≥的方程可以直接运用“直接开平方法”求解．
例1．解方程2256x．
解：∵2256x，∴25616x．∴121616xx，．
例2．解方程2536x（）．
解：∵2536x（），∴56x．∴12111xx，．
有的方程可以通过整理，变形化为形如2(0)xaa≥或2()(0)axbcc≥的形式后，再采用直接开平方法来解．
例3．解方程290x．
解：∵290x，∴29x．∴1233xx，．
例4．解方程21120x（）．
解：∵21120x（），∴2112x（）．∴123x．
∴12231231xx，．
通过以上例子，我们可以归纳出运用“直接开平方法”解一元二次方程的一般步骤：
1．将方程化为2(0)xaa≥或2()(0)axbcc≥的形式；
2．两边开平方，得xa或bcxa．
这里要特别注意00ac≥或≥的条件．若00ac或，则方程无实数根，只有当00ac≥或≥时，方程才有实数根，而运用“直接开平方法”解应用题的关键是将方程化为2(0)xaa≥或2()(0)axbcc≥的形式．
练习：用直接开平方法一元二次方程： 初三一元二次方程的解法
2 / 9 1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．
二、法力无边的配方法
把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告我们根据完全平方公式2222aabbab（）可以将一元二次方程化为形如2()(0)axbcc≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法 —— “配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222aabbab（）．
一元二次方程的解法因式分解法、直接开平方法
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（1）
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、提问：
(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？
(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25
（二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1= ，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
解得 tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题
1、展示课本P．8例3。 按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
121 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(解析版)
1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法
【基础知识】
一、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
2．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()aabbab．
二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
121 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(原卷版)
1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法
【基础知识】
一、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
2．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()aabbab．
二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版
1
一元二次方程的复习
知识精要
1 .一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程。
2 . 一元二次方程的一般形式
a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数 项。
3 .一元二次方程的解法
解法1:直接开平方法
解法2:因式分解法：
一般步骤：
(1) 将方程右边化为0
(2) 将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程
(3) 令每一个因式分别为 0,得到两个一元一次方程
(4) 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
解法3:配方法：
一般步骤：
(1) 先把二次项系数化为 1:方程两边同除以二次项的系数
(2) 移项：把常数项移到方程右边
(3) 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为 x m 2 n当的形式
(4) 当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。
解法4:公式法：
一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定 a、b, c的值.(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)
c b b2 4ac ,,
(3)在b2-4ac>0的前提下，把 a、b、c的直代入求根公式，求出 x= ------------------ 的值，取后与出
2a
方程的根. 2
4、一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实 3
数*H X1= b 也 4ac , X2= b 心 4ac ；当△ =0时，方程有两个相等实数根 X1=X2=—上；当
2a 2a 2a
△ <0时，方程没有实数根.
5、二次三项式的因式分解：
(1)形如ax2+bx+c (a, b,c都不为0)的多项式称为二次三项式。
(2)当^ = b2-4ac>0,先用公式法求出方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 xi, X2再写出分解式
一元二次方程专题复习资料
第 1 页 共 5 页 一元二次方程专题复习
知识盘点
1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a、b、c、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：
①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；
③配方，即方程两边都加上 的平方；
④化原方程为2()xmn的形式，
如果n是非负数，即0n，就可以用 法求出方程的解。
如果n＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)axbxca，当24bac_______ 0时，x = ________
（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
①将方程的右边化为 ；
②将方程的左边化成两个 的乘积；
③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；
④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .
（1）acb42>0一元二次方程002acbxax有两个 的实数根,
即2,1xx
（2）acb42=0一元二次方程有两个 的实数根，即21xx,
（3）acb42<0一元二次方程002acbxax 实数根。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
[知识要点表解]
一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
方法 适合方程类型 注意事项
直接开平方法 （x+a）2=b b≥0时有解，b<0时无解。
配方法 X2+px+q=0 二次项系数若不为1，必须先系数化为1，再进行配方。
公式法 Ax2+bx+c=0(a≠0) b2-4ac≥0时，方程有解；
b2-4ac<0时，方程无解。先化为一般形式再用公式
因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
[方法主线导析]
学法建议
本节篇幅大，本节内容是本章的重要内容，也是中学的主要内容，在初中代数中占有重要地位。公式法是本节重点。
难点是配方法，学好本节的关键是掌握一元二次方程各种解法适合的类型。公式法是通法，一定要熟练掌握。
释疑解难
1、“配方法”中，为什么方程的两边要加上一次项系数的一半的平方？
答：目的是使方程左边变成一个完全平方式.x2±mx可以写成x2±2x•2m.对照完全平方公式，a2+2ab+b2=(a±b)2可知，x2相当于a2，2x•2m相当于2ab,b相当于2m,b2相当于（2m）2.既然a2+2ab再配上b2可以配成完平方式，x2±mx再配上（2m）2就可以配成完全平方式，这就是方程的两边要加上一次项系数的一半的平方的原因。值得一提一是，方程两边都加一次项系数的绝对值的一半的平方更好，这样写成完全平方就不会在符号上出现错误。
如课本由x2-27x=-23配方得：
x2-27x+（-47）2=-23+（47）2 .
例6 用配方法证明：无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5的值恒大于零。
[分析]本题不是用配方法解一元二次方程，所用的配方法与已学的配方法大同小异。“大同”指思路一致，好都构造一个完全平方式。“小异”指具体实施方法有区别，前者在等号两边同加一个相同的数，后者在等号一边加上一个数又减去这个数。具体办法如下：
一般的一元二次方程的解法(直接开平方法,因式分解法)知识讲解
一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
2.因式分解法解一元二次方程
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、用直接开平方法解一元二次方程
【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标． 举一反三：
类型二、因式分解法解一元二次方程
【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．