离散数学图的连通性
离散数学 图
10.7 树及其应用 教学内容：树，树叶，分支点，生成树，
最小生成树，Kruskal算法， Prim算法，根树，有序树， 二叉树，树的遍历， 最优二叉树， Haffman算法
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10.9 最短路径 教学内容：最短路径，Dijks位于普雷格尔（Pregel）河的两岸，河中有
一个岛，于是城市被这条河、它的分支和岛分成了
四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。该城的居
民喜欢在周日绕城散步。于是就产生了这样一个问
题：能不能设计一条散步的路线，使得一个人从家
里（或从四部分陆地任一块）出发，经过每座桥恰
好一次再回到家里？这就是有名的哥尼斯堡七桥问
题。
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哥尼斯堡七桥问题看起来并不复杂，因
此立刻吸引许多人的注意，但是实际上很难
解决。
瑞士数学家欧拉注意到了这个问题，并
在1736年写的有关“哥尼斯堡七桥问题”
的论文中解决了这个问题。这篇论文被公认
为是图论历史上的第一篇论文，欧拉也因此
被誉为图论之父。
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简单（回）路，基本（回）路， 连通图，连通分支，点（边）割集， 割（边），强（单向，弱）连通图， 强（单向，弱）分图
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10.4 欧拉图与哈密顿图 教学内容：欧拉（回）路，欧拉图，
哈密顿（回）路，哈密顿图
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10.6 平面图 教学内容：平面图，面，边界，欧拉公式
1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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第三阶段是1936年以后。由于生产管 理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等 方面的大量问题的出现，大大促进了图论的 发展。特别是计算机的大量应用，使大规模 问题的求解成为可能。
离散数学图的基本概论
简单通路： = v0 e1 v1 e2… ek vk为通路且边e1 e2… ek 互不相同，又称之为迹，可简用v0 v1 … vk 来表示。 简单回路 (v0 = vk)又称为闭迹。
初级通路或基本通路： = v0 e1 v1 e2… ek vk为通路 且顶点v0 v1… vk 互不相同。 基本回路： v0 = vk。 初级通路一定是简单通路，但简单通路
不一定是一条初级通路。
例8.6 就下面两图列举长度为5的通路，简 单通路，回路，简单回路，再列举长 度为3的基本通路和回路。
e3 v5
e7 v4
v1
e2
e1 v2
e6 e4
e5 v3
e1 v5 e8 e4
v4
v1
e3
e2 v2
e6 e5
e7 v3
(1)
(2)
解：试对照定义，自己做一做！如：
(1)中 v1e1v2e2v5e3v1e1v2e4v3 为v1到v3的通路；
021?01ijn11iiij??????mmjm从而?12im1jijvdm?????mmvvddmm??????i?????1i?niinmijij11从而有从而有1?im1jijvdm??????由mij的定义知?11jmvdm????????i???1i??n1inm1jij1通路数与回路数的矩阵算法
平行边：无向图中，关联一对结点的无向边 多于一条，平行边的条数为重数； 有向图中，关联一对顶点的无向边 多于一条，且始、终点相同。
多重图：包含平行边的图。
简单图：既不包含平行边又不包含环的图。
二、度
度：(1) 在无向图G = < V, E >中，与顶点v(vV) 关联的边的数目(每个环计算两次)，记 作：d(v)。
离散数学第七章图论习题课
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
离散数学7[1].1-3
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离散数学
31
定理
定理 一个连通无向图G =〈V,E〉的某一点v是 图G的割点，当且仅当存在两个节点u和w， 使得节点u和w的每一条路都通过v。
离散数学
32
三、有向图的连通性
三、有向图的连通性 定义 设G＝<V，E>是一个有向图，对vi，vjV，从vi到vj如
存在一条路，则称结点vi到vj是可达的。 在有向图中，如从vi到vj可达，但从vj到vi则不一定是可达的。
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无 向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称为邻接点， 否则称为不邻接的；
离散数学
2
续：
续： 4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图； 9) 含有n个结点、m条边的图称为(n，m)图；
证明 若G不连通，则k(G)=λ(G)=0，故上式成立。 若G连通， ①证明λ(G)≤δ(G)。若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)，若
G是非平凡图，则因每一结点的所有关连边必含一 个边割集，故λ(G)≤δ(G)。
离散数学
30
续：
②再证k(G)≤λ(G) .设λ(G)=1，即G有一割边，显然此时k(G)=1，上式成立。 .设λ(G)≥2，则必可删去某λ(G)条边，使G不连通，而删除λ(G)-
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义 在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为奇 数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数，则 称此结点为偶度数结点。
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
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[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
离散数学(第21讲)
例10-3.1
v1 v3 v1 v3 v1 v3
v2 G1
v4
v2 G2
v4
v2 G3
v4
G1是弱连通图。 G2是单向连通图（当然它也是弱连通图）； G3是强连通图（当然它也是单向连通图和弱连 通图）；
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定理10.7
2018/11/12 计算机学院 5
弱分图、单向分图、强分图
定义10.17 在有向图G＝<V,E>中，设G′是G的 子图，如果 此条件表明了G′ 的极大性 1）G′是强连通的（单向连通的、弱连通的）； 2 ）对任意 G〞G ，若 G′G〞 ，则 G〞不是强连 通的（单向连通的、弱连通的）。 那么称G′为G的强分图（单向分图、弱分图）。
一个有向图G是强连通图当且仅当G中有一条 包含每一个结点的有向闭道路。 证明：“” G是强连通图，则任意两个结 点之间都是相互可达的，设G＝<V，E>，V＝ {v1,v２,v３,…,vｎ}，则v1到v2可达，v2到v3可达， v3到v4可达，……，vｎ-１到vｎ可达，vn到v1可达， 由此可得到一条闭道路(v1，v２，v３，……，vｎ， v1)，它包含每个结点。 “ ” G中有一条包含每一个结点的有向闭 道路，则G中任何两个结点沿着这条道路是相互 可达的，故G为强连通图。 ■
点u到结点v是可达的，记为u→v。对任意结点
u，规定u→u。 有向图结点之间的可达关系具
有自反性和传递性，但一般说来，
可达关系没有对称性。例如右图中
v1
v3
v3到v2可达，但v2到v3不可达。因
此，可达关系不是等价关系。
2018/11/12 计算机学院
离散数学复习题及答案
离散数学复习题及答案1. 命题逻辑中，若命题P和Q都是真命题，那么命题“P或Q”的真值是什么？答案：真2. 在集合论中，空集的表示符号是什么？答案：∅3. 什么是二元关系？答案：二元关系是指从集合A到集合B的笛卡尔积A×B的一个子集。
4. 什么是图的邻接矩阵？答案：图的邻接矩阵是一个方阵，其行和列分别代表图中的顶点，矩阵中的元素表示顶点之间的边的存在与否。
5. 什么是有向图？答案：有向图是一种图，其中的边有方向，即从一个顶点指向另一个顶点。
6. 什么是无环图？答案：无环图是一种不包含任何环的图。
7. 什么是完全图？答案：完全图是一种图，其中每一对不同的顶点之间都恰好有一条边相连。
8. 什么是二分图？答案：二分图是一种图，其顶点可以被分成两个不相交的集合，使得每条边的两个端点分别属于这两个集合。
9. 什么是图的连通性？答案：图的连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
10. 什么是图的强连通性？答案：图的强连通性是指图中每个顶点都可以通过有向路径到达其他任何顶点。
11. 什么是图的欧拉路径？答案：图的欧拉路径是一条经过图中每条边恰好一次的路径。
12. 什么是图的哈密顿路径？答案：图的哈密顿路径是一条经过图中每个顶点恰好一次的路径。
13. 什么是归纳推理？答案：归纳推理是一种从特殊到一般的推理方法，即从个别事实或实例中推导出一般性结论。
14. 什么是演绎推理？答案：演绎推理是一种从一般到特殊的推理方法，即从一般性前提出发，通过逻辑推导出特殊性结论。
15. 什么是归纳证明？答案：归纳证明是一种数学证明方法，通常用于证明与自然数有关的命题，其基本思想是证明对于所有自然数都成立的命题。
16. 什么是递归？答案：递归是一种在函数定义中调用自身的方法，用于解决可以分解为相似子问题的问题。
17. 什么是分治算法？答案：分治算法是一种算法设计范式，它将一个复杂的问题分解成若干个相同或相似的子问题，递归地解决子问题，然后将子问题的解合并以解决原问题。
离散数学第14章课件PPT-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂主编(高等教学)
行业材料
21
短程线与距离
(3) 短程线与距离 ① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路 ② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 ③ d(u,v)的性质： d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
易知，强连通单向连通弱连通
判别法 定理14.8 D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次 的回路 定理14.9 D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一 次的通路
行业材料
27
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相 邻，则称G为完全二部图，记为 Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|.
vV
vV1
vV2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
行业材料
10
握手定理应用
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余 顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？
解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
i 1
i 1
i 1
本定理的证明类似于定理14.1
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。