人教版高中数学必修二2.1.3《空间中直线与平面之间的位置关系》ppt课件
高中数学必修2《第2章：点线面的位置关系(2.1空间点、直线、平面之间的位置关系)》教师版
2．1空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
平面
[提出问题]
宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？
问题1：生活中的平面有大小之分吗？
提示：有．
问题2：几何中的“平面”是怎样的？
提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分．
[导入新知]
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
[化解疑难]
几何里的平面有以下几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的；
平面的基本性质
[提出问题]
问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上．
问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？
提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上．
问题3：两张纸面相交有几条直线？
提示：一条．
[导入新知]
平面的基本性质
公理 内容 图形 符号
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
[化解疑难]
从集合角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
最新人教版高中数学必修2第二章《空间中直线与平面之间的位置关系》教材梳理
疱丁巧解牛
知识·巧学
1.直线和平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线和平面平行.
(1)当直线与平面有无数个公共点时，我们称直线在平面内，记作lα，如图2-1-20①.
(2)当直线与平面只有一个公共点时，我们称直线与平面相交，记作l∩α=A，如图2-1-20②.
(3)当直线与平面没有公共点时，我们称直线与平面平行，记作l∥α，如图2-1-20③.
图2-1-20
画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形的一条线段平行.
方法点拨 直线与平面间的位置关系通过直线与平面交点的个数的多少来确定，当直线与平面无公共点时，直线与平面平行；当直线与平面有且仅有一个公共点时，直线与平面相交；当直线与平面有无数公共点时，直线在平面内.
2.直线与平面的距离
直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离都相等，这点到平面的距离称为直线与平面的距离.
3.直线与平面所成的角
直线与平面斜交时，直线上的所有点在平面上的射影的集合组成了一条直线，这条直线与原直线所成的角我们称为直线与平面所成的角.
4.射影
直线与平面斜交时，斜线与平面的交点称为斜足，过斜线上不与斜足重合的点向平面引垂线，垂线与平面的交点称为垂足.垂足与斜足之间的连线称为斜线在平面内的射影.
问题·探究
问题1 空间直线与平面位置关系划分的依据是什么？
探究:否定了其中一种还有两种情况.在推证线面关系时，不能忽视直线在平面外这一条件.
问题2 能不能说直线在平面外，就是直线与平面平行？
探究:不能.因为直线与平面位置关系有三种：直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内，直线在平面外包括两种情况：一是直线与平面平行,二是直线与平面相交.
典题·热题
例1 如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交.
最新人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系第三节第4课时平面与平面垂直的性质
- 1 - 2.3.4 平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言
性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？
提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( × )
提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．
(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √ ) - 2 - 提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √ )
提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．
(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( × )
提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．
2．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．相交
C．异面且垂直 D．异面且不垂直
【解析】
选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.
高中数学【人教版】必修2第二章-几何定理、公理
必修2
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
【P41】公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示：,,,,.AlBlABl且
【P42】公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
【P42】公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示：,,.PPlPl且且
【P45】公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。【平行线的传递性】
【P46】定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.2直线、平面平行的判定及其性质
【P55】定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示：,,////.aaa且
【P57】定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：,,,//,////.ababPab
【P59】定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
【P60】定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
【P65】定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
【P69】定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
【P70】定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
【P71】定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
高中数学 必修二 2.1.3-2.1.4 空间中直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系导学案 新人教A版必修2
1 §2.1.3 空间中直线与平面的位置关系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
知识点一：空间中直线与平面的位置关系
[提出问题]
观察在你手中的笔和书本，我们可以把笔和书本分别想象为直线和平面
问题1：同学们，保持书本所在的平面不动，变换笔所在的直线位置，看看它们都有怎样的位置关系？
[导入新知]
直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面内 直线a在平面外
直线a与平面相交 直线a与平面平行
公共点
公共点
公共点
公共点
符号表示 a Aa //a
图形表示
思考：直线a与平面平行，直线b，则直线a与b
的位置关系？
知识点二：两个平面的位置关系
[提出问题]
观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面．
问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？
问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？
[导入新知]
1．直线和平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点的个数
两平面平行 两平面相交
3突破常考题型
题型一：空间中直线与平面的位置关系 [例1]下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线l上有无数个点不在平面内，则//l；
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
[活学活用]
已知下列命题：
①若直线l平行于平面内的无数条直线，则//l；
②若直线l在平面外，则//l；
③若直线bba,//，则//a；
④若直线bba,//，那么直线a平行于平面内的无数条直线．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(完整版)高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
(完满版)高中数学必修2《点、直线、平面之间的地址关系》知识点
第二章 点、直线、平面之间的地址关系
空间点、直线、平面之间的地址关系
一、平面
1、平面及其表示
2、平面的基本性质
① 公义 1： A l
B l
l A
B
② 公义 2：不共线的三点确定一个平面
③ 公义 3：
P l 则P l P (完满版)高中数学必修2《点、直线、平面之间的地址关系》知识点
二、点与面、直线地址关系
1、A 1、点与平面有 2 种地址关系
2、B
1、A l 2、点与直线有 2 种地址关系
2、 B l
三、空间中直线与直线之间的地址关系
1、异面直线
2、直线与直线的地址关系
订交 共面
平行
异面
3、公义 4 和定理
公义 4：
l1 Pl3
l1 Pl 2
l 2 Pl3
定理：空间中若是两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 (完满版)高中数学必修2《点、直线、平面之间的地址关系》知识点
4、求异面直线所成角的步骤：
① 作：作平行线获取订交直线；
② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；
③ 构造三角形求出该角。
提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是 00 ,900 。
四、空间中直线与平面之间的地址关系
地址关系 直线 a在平面内 直线 a与平面 订交 直线 a与平面 平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示 a a I A a P
图形表示
五、空间中平面与平面之间的地址关系
地址关系 两个平面平行 两个平面订交
公共点 没有公共点 有一条公共直线
符号表示 P I a
图形表示 (完满版)高中数学必修2《点、直线、平面之间的地址关系》知识点
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1 / 5 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
【知识梳理】
1．直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号暗示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形暗示
2．两个平面的位置关系
位置关系 图示 暗示法 公共点个数
两平面平行
α∥β 没有公共点
两平面相交
α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)
【常考题型】
题型一、直线与平面的位置关系
【例1】 下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平2 / 5 行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．
对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．
[答案] B
【类题通法】
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
【对点训练】
1．下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．
人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教案(1)-新版
2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）
一、教学目标
（一）核心素养
增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.
（二）学习目标
1.正确理解异面直线的定义；
2.会判断空间两条直线的位置关系；
3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；
4.会求异面直线所成角的大小.
（三）学习重点
1．异面直线的判定．
2．求异面直线所成角的大小．
（四）学习难点
1．异面直线的判定．
2．求异面直线所成角的大小．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）
2．预习自测
问题1：下列说法正确的个数是( )
(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.
(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.
(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.
(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;
(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;
(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确; 由异面直线所成角定义知(4)正确.
【答案】A
问题2：如图所示,已知正方体1111DCBAABCD中，FE,分别是1,AAAD的中点.
(1)直线1AB和1CC所成的角为
;
(2)直线1AB和EF所成的角为
.
解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,
∠AB1B=45°.
(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°．
【答案】(1)45(2)60
(二)课堂设计
1．知识回顾
复习1：平面的特点是______、_______、_______.
《直线、平面之间的位置关系》示范课教学设计【高中数学教案】
《直线、平面之间的位置关系》教学设计
用符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系；理解直线与平面垂直的含义、了解点面距、线面距、面面距的定义
教学重点：直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义．
教学难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系．
PPT课件．
【新知探究】
问题1：空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系有哪些位置关系？.
师生活动：结合图11－1－17，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系.
预设的答案：
直线与平面的位置关系：一般地，如果l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则：l与l有且仅有一种情况成立.
（1）当l时，要么l，要么l与只有一个公共点；
（2）当l时，称直线l与平面平行，记作：//l.
平面与平面的位置关系：如果与是空间中的两个平面，则 与◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点
◆ ◆ 教学目标 有且仅有一种情况成立．
（1）当时，与的公共点组成一条直线；
（2）当时，称平面与平面平行，记作：//.
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
A是直线l上的点，A1不是直线l上的点 A∈l，A1∉l
A是平面α内的点，A1不是平面α内的点
A∈α，A1∉α
直线l在平面α内(或平面α过直线l) l⊂α
直线l在平面α外 直线l与平面α相交
l∩α＝A l
⊄α
直线l与平面α平行
l∥α
平面α与平面β相交于l
α∩β＝l
平面α与平面β平行
α∥β
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
问题2：观察图中的长方体
(1) A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直并说明理由；
(2) 判断A1A与AC是否垂直； (3) 若直线在平面ABCD内，且过点A，判断A1A与l是否垂直.
高中数学人教A版必修二教师用书19-20 第8章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系,理解两异面直线的定义,会用平面衬托来画异面直线．( 重点、难点)
2．了解直线与平面的三种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示．( 重点、易错点)
3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示．( 难点) 1.通过空间中两条直线的位置关系的学习,培养直观想象的核心素养．
2．借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习,提升逻辑推理的核心素养.
1．异面直线
( 1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线．
( 2)异面直线的画法:
① ②
2．空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内,有且只有一个公共点
平行 同一平面内,没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内,没有公共点
思考:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?
[提示] 不一定．可能平行、相交或异面．
3．直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形表示
思考:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗?
[提示] 不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行．
4．两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点( 在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
1．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
D [由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]
2．直线a在平面γ外,则( )
A．a∥γ