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函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
最新人教版高中数学选修函数的极值与导数 (2)ppt课件
利用导数讨论函数单调的步骤: (1)求 的定义域 y = f( x) D
(2)求导数 (3)解不等式组
f ( x ).
f' (x ) 0 得f(x)的单调递增区间; xD f' (x ) 0 得f(x)的单调递减区间. xD
解不等式组
注、单调区间不 以“并集”出现。
观察高台跳水运动图象
即:极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值
导数的应用二、求函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b 的左侧附近f’(x)>0， 在b 右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0， 在a 右侧附近f’(x)>0，那么f(a)是函数f(x)的一个极小值.
e
f
o g
h
i
j
x
函数极值的定义—— 1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近 其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个 极小值.点a叫做极小值点． 2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其它各点的函数 值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做极大值点．
(1) 求导函数f ′(x)； (2) 求解方程f ′ (x)=0； (3) 检查f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与 极小值.
1.3.3函数的最大（小）值与导数
导数的应用之三、求函数最值.
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们 通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2.1函数的极值【课件】
5．若函数 y＝13x3＋x2＋ax 在 R 上无极值点，则实数 a 的取值范 围是________． [1，＋∞) 解析：y′＝x2＋2x＋a， 由题意 Δ＝4－4a≤0， ∴a≥1.经验证，当 a＝1 时，符合．故 a≥1.
函数极值的概念与求法
【例 1】求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝ln x－12x2.
2．函数 f(x)＝－x3＋3x＋1 有( ) A．极小值－1，极大值 1 B．极小值－2，极大值 3 C．极小值－2，极大值 1 D．极小值－1，极大值 3 D 解析：f′(x)＝－3x2＋3，由 f′(x)＝0 可得 x1＝1，x2＝－1， 极大值 f(1)＝3，极小值 f(－1)＝－1.
3．函数 y＝2x3－x2 的极大值为( )
f(x)
极大值
由表可知，x＝1 为函数 f(x)＝ln x－21x2 的极大值点，函数在该点 的极大值为 f(1)＝－12. 函数 f(x)＝ln x－21x2 不存在极小值．
1．讨论函数的性质时，要把握定义域优先的原则，如本例(2)中 若忽略了定义域，则极值容易求错． 2．利用导数求函数的极值时，常列表判断导数值为 0 的点 x0 的 左、右两侧的导数值是否异号．若异号，则 f(x0)是极值；否则， f(x0)不是极值．利用表格可使极值两边的增减性一目了然．
(2)证明：设 F(x)＝f(x)－g(x)＝21x2＋ln x－32x3， 则 F′(x)＝x＋1x－2x2＝－2x3＋x x2＋1 ＝－x－12xx2＋x＋1， 当 x>1 时，F′(x)<0， 故 F(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．
又 F(1)＝－61<0， ∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0 恒成立， 即 f(x)<g(x)恒成立． 因此，当 a＝1 时，在区间[1，＋∞)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x) 图象的下方．
人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值【课件】
是增函数，所以0不是函数 = 3 的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，
而非充分条件.
合作探究
一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：
解方程 ′ = 0，当 ′ 0 = 0 时：
（1）如果在0 附近的左侧 ′ > 0 ，右侧 ′ < 0，那么(0 )是极大值；
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
新知讲解
函数的极值
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，
（2）如果在0 附近的左侧 ′ < 0 ，右侧 ′ > 0，那么(0 )是极小值.
课堂练习
1判断正误.
(1) 函数的极大值一定比极小值大．( × )
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( × )
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)
5.3.2 函数的极值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数
的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
新知讲解
函数的极值
观察图5.3-9，
当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，
而非充分条件.
合作探究
一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：
解方程 ′ = 0，当 ′ 0 = 0 时：
（1）如果在0 附近的左侧 ′ > 0 ，右侧 ′ < 0，那么(0 )是极大值；
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
新知讲解
函数的极值
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，
（2）如果在0 附近的左侧 ′ < 0 ，右侧 ′ > 0，那么(0 )是极小值.
课堂练习
1判断正误.
(1) 函数的极大值一定比极小值大．( × )
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( × )
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)
5.3.2 函数的极值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数
的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
新知讲解
函数的极值
观察图5.3-9，
当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b
人教版 高中物理必修一 专题：动力学中的临界、极值问题课件(11张ppt)
• ③数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学 表达式求解得出临界条件．
练习：如图所示，质量为M的木板，上表面水 平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦 因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，则 力F的大小至少为（ ）
A．μmg B．μ（M+m）g C．μ（m+2M）g D．2μ（M+m）g
放着一个质量为M=16kg的三角形物块，一水平轻绳一端系着
M跨过定滑轮，另一端挂着一个质量为m的物块．斜面与M间
的摩擦因数为μ=0.8，若最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，为
使系统保持静止，m最大不能超过多少？
牛顿运动定律应用中的临界问题
• 2、如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1=4kg，
m2=1kg，AB间的动摩擦因数为μ1=0.5，A与地面间的 动摩擦因数μ2=0.5．在水平力F的推动下要使A、B一
的压力．（3）当汽车以a=10m/s2向右匀减速行驶
时，细线对小球的拉力．
临界或极值问题的方法
• ①弄清了受力如何变化及运动的细节，临界点的隐含 条件自然就暴露出来了．这种方法是最基础也是最有 效的方法．
• ②假设法：有些物理过程中没有出现临界问题的线索， 但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临 界问题，解答这类问题，一般用假设法．
专题：
动力学中的临界值和极值问题
一、临界或极值问题的关键词
• （1）“刚好”、“恰好”、“正好”、“取值范围”等， 表明题述的过程存在临界点 • （2）“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等， 表明过程存在极值
二、产生临界值和极值的条件
• （1）两物体脱离的临界条件： 相互作用的弹力为零，加速度相等。
练习：如图所示，质量为M的木板，上表面水 平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦 因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，则 力F的大小至少为（ ）
A．μmg B．μ（M+m）g C．μ（m+2M）g D．2μ（M+m）g
放着一个质量为M=16kg的三角形物块，一水平轻绳一端系着
M跨过定滑轮，另一端挂着一个质量为m的物块．斜面与M间
的摩擦因数为μ=0.8，若最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，为
使系统保持静止，m最大不能超过多少？
牛顿运动定律应用中的临界问题
• 2、如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1=4kg，
m2=1kg，AB间的动摩擦因数为μ1=0.5，A与地面间的 动摩擦因数μ2=0.5．在水平力F的推动下要使A、B一
的压力．（3）当汽车以a=10m/s2向右匀减速行驶
时，细线对小球的拉力．
临界或极值问题的方法
• ①弄清了受力如何变化及运动的细节，临界点的隐含 条件自然就暴露出来了．这种方法是最基础也是最有 效的方法．
• ②假设法：有些物理过程中没有出现临界问题的线索， 但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临 界问题，解答这类问题，一般用假设法．
专题：
动力学中的临界值和极值问题
一、临界或极值问题的关键词
• （1）“刚好”、“恰好”、“正好”、“取值范围”等， 表明题述的过程存在临界点 • （2）“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等， 表明过程存在极值
二、产生临界值和极值的条件
• （1）两物体脱离的临界条件： 相互作用的弹力为零，加速度相等。
最大值与最小值ppt 人教课标版
意味着
f (x 0) 0
反之不一定成立！！！
3 如y=x
新课讲授
一.最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f ( x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
f (x 0) 0
反之不一定成立！！！
3 如y=x
新课讲授
一.最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f ( x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄