线面垂直的判定教学设计
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教学设计方案
课题名称：《直线与平面垂直的判定》
姓名： 刘静 工作单位： 河北卢龙县中学
学科年级： 高三 教材版本： 人教A版
一、教学内容分析：
本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章2.3.1节。本
节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用
本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂
直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和绵绵垂直的纽带。
学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要
的。
二、教学目标
（1）知识与技能目标：
1.描述直线与平面垂直的定义；
2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题.
（2）过程与方法目标：
1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力；
2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直
转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
（3）情感态度与价值观目标：
1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美；
2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣
重点：直线与平面垂直的判定定理。
难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、学习者特征分析
2
本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明 ，并
且学习空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的
学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容
易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面
内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。
四、教学过程
1．复习回顾，引入新课
问题：同学们，我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系，有哪些位置关系？
【师生活动】学生集体可能回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交
【追问】有些位置关系是比较特殊的，一种是线面平行，还有一种呢？
【师生活动】教师引导学生回答线面垂直这种位置关系是一种特殊的线面位置关系并揭示课题
2．逐步探索，得出定义
问题：在日常生活中你见到的线面垂直的现象有哪些？
【师生活动】学生列举生活中的线面垂直现象，然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象，例如篮
球架和地面垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化，让学生对下列问题进行
思考。
思考：
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是
多少？
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动, 而旗杆AB
与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线11CB的位置关系如何?依据是什么？
3. 创设情境，猜想定理
【师生活动】教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困
难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。
【实验】过△ABC的顶点A翻折三角形纸片得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，
1）折痕AD是否与桌面垂直
2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直
通过观察,我们容易发现,当且仅当ＡＤ ⊥ＢＣ，ＡＤ所在的直线与桌面所在的平面垂直,而翻折之后
垂直关系不变，即ＡＤ ⊥ＣＤ，ＡＤ ⊥ＢＤ．
3
【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考：
一、
折痕与桌面一定垂直吗？
二、
为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？
对于思考2教师引导学生根据定义进行回答。
问题：如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那
么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
问题：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，你认为直线还
垂直于平面吗？
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：
B
D
C
B1
A
4
符号语言：alnlmlBnmnm,,,
【教师归纳】“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学
思想.
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动 预设学生活动 设计意图
同学们，我们已经学习了空间中直线与
平面的位置关系，有哪些位置关系
学生集体可能回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交 第（1）与（2）两问是
为了让学生发现旗杆
AB所在直线始终与地
面上任意一条过点B的
直线垂直，第（3）问
是为了进一步让学生
发现旗杆AB所在直线
始终与地面上任意一
条不过点B的直线也垂
直，那么学生就可以得
到直线AB与地面内任
意一条直线垂直。在这
里，主要引导学生通过
观察直立于地面的旗
杆与它在地面的影子
的位置关系来分析、归
纳直线与平面垂直这
一概念．
有些位置关系是比较特殊的，一种是线面平行，还有一种呢？ 教师引导学生回答线面垂直这
种位置关系是一种特殊的线面位置
关系并揭示课题
在日常生活中你见到的线面垂直的现
象有哪些？
学生列举生活中的线面垂直现
象，然后教师也展示生活中的一些
线面垂直现象，例如篮球架和地面
垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆
与地面垂直的现象进行抽象化，让
学生对下列问题进行思考。
教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。 教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考： 从另一个角度理解定
义：如果想说明一条直
线与平面不垂直，只需
要在平面内找到一条
直线与它不垂直就够
5
p
A
B
O
α
了,实际上就是举反
例.
如果我们把折痕抽象为直线，把BD、
CD抽象为直线，把桌面抽象为平
面(如图3)，那么你认为保证直线
与平面垂直的条件是什么？
教师引导学生根据试验给出直线与
平面垂直的判定方法。引导学生从
文字语言、符号语言、图形语言三
个方面表述直线和平面垂直的判定
定理．
让学生明白要判定一
条已知直线和一个平
面是否垂直，取决于在
这个平面内能否找出
两条相交直线和已知
直线垂直，至于这两条
相交直线是否和已知
直线有公共点，这是无
关紧要的。
六、教学评价设计
1、主要探究直线与平面垂直的意义与判定定理；
2、活用直线与平面垂直的意义与判定定理，重在检测本节课的知识与技能目标，检测运用知识解决
问题的能力；
3、通过学生探索，培养学生观察——分析——归纳和综合运用知识的能力。
七、教学课件
1．复习回顾，引入新课
问题：同学们，我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系，有哪些位置关系？
2．逐步探索，得出定义
3. 创设情境，猜想定理
归纳：文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
4.运用定理，证明问题
例1：如图:有一旗杆高12m，从它的顶端连接一条长13m的绳子，拉紧绳子，把它的下端放在地
面A、B两点，而这两点和旗杆脚的距离都是5m，求证旗杆和地面垂直。
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5、小结：
注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线
是否垂直。
《空间中直线、平面垂直的性质》教案
课题：空间中直线、平面垂直的性质（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本节课为人教版A版必修2第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》第3课时，主要内容为直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理，是一节性质的新授课。
新课标教材对“立体几何初步”的内容设计，“垂直”在描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要的作用，集中体现为：空间中垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。
教材将本节内容置于“平行关系”的判定与性质以及“垂直关系”的判定之后，目的是使学生在明确“什么是图形位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想，学生经历直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，获得“垂直关系”的性质。
本节中，几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养，增进学生对空间几何本质的理解，体会蕴含在其中的数学思想方法。
基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：类比直线、平面“平行关系”的性质，探究直线与平面垂直的性质定理。
2．学生学情诊断经过前面的学习，学生已具备一定的空间想象力与思维能力，能准确使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系，已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及“垂直关系”的判定方法。
然而，在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系尚不明确；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来。
基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：直线与平面垂直性质定理的探究和论证。
3．教学目标设置（1）通过生活实例和类比推理，学生能从定义出发探究性质，观察、论证得到线面垂直性质定理，能独立探究发现面面垂直的性质定理；（2）通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，图形、符号语言的表达与交流，发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力，培养学生的数学核心素养；（3）通过将现实空间问题抽象为数学图形，自主探究的实践与展示，帮助学生认识现实空间，激发学生的创新精神和应用意识。
2.3 线面垂直、面面垂直的判定
课题一：直线与平面垂直的判定一、教学目标1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；2.掌握判定直线和平面垂直的方法；3.培养几何直观能力，在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学过程（一）创设情景，揭示课题1、提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”。
2、指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、长方体模型（1）感知直线与平面的垂直关系。
（2）能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、提出问题，思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）活动：准备一块三角形的纸片，做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB DC 图2.3-2 （3）归纳结论：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化例1、如图，已知//,a b a α⊥，求证：b α⊥ （分析：线面垂直→线线垂直→线面垂直）例2、在正方体''''ABCD A B C D -中，求直线'A B 和平面''''A B C D 所成的角.例3、 已知AB 为平面α的一条斜线，B 为斜足，AO ⊥平面α，垂足为O ，直线BC 在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB 和平面α所成的角.例4、 平行四边形ABCD 所在平面α外有一点P ，且P A =PB =PC =PD ，求证：点P 与平行四边形对角线交点O 的连线PO 垂直于AB 、AD例5、如图，已知AP O ⊥ 所在平面，AB 为O 的直径，C 是圆周上的任意，过点A 作AE PC ⊥于点E. 求证：AE ⊥平面PBC.（四）归纳小结，课后思考小结：① 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计 (1)
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。
高中数学_直线与平面垂直教学设计学情分析教材分析课后反思
直线与平面垂直一、教学目标1. 知识与技能目标：掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直的判定定理。
2. 过程与方法目标：在教学过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。
（1） 空间想象能力：认识空间图形的位置关系，遵循从较简单的位置关系认识较复杂的位置关系的原则，从空间的线线垂直过渡到线面垂直，逐步培养和发展学生的几何直观和空间想象能力。
（2） 转化的思想方法：在三维与二维空间的转化以及线面关系与线线的转化过程中，体现出转化的思想方法。
（3） 逻辑思维能力：通过对判定定理和其推论的证明以及应用，加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养。
3. 情感、态度与价值观目标：体验线面垂直的判定定理的发现过程和线面垂直的概念在实际问题中的应用，培养创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣。
并注意在小组合作学习中培养学生的协作精神。
二、教学重点与难点教学重点：直线与平面垂直的概念，直线平面垂直的判定定理及应用。
教学难点：直线平面垂直的判定定理证明思路的理解。
直线与直线垂直的证明思路的理解。
三、教学方法“问题探究式”教学法，通过学生发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与到教学和学习活动中来，并且始终处于积极地动手操作、问题探究和辨析思考的学习气氛之中，形成以学生为中心的探究性学习活动。
四、教学过程复习回顾：新课认知：1.直线与直线垂直思考：（1）正方体1111D C B A ABCD -中棱AB 与BC 是什么关系？棱AB 与1AA 呢？（2）正方体1111D C B A ABCD -中与棱1BB 垂直的棱有哪些？直线与直线垂直的定义：2.直线与平面垂直的定义（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、电视塔与地面的位置有什么关系？（2）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？定义：图示：用符号语言表示为：思想：3.直线与平面垂直的性质定理：图示：用符号语言表示为：思想：4. 直线与平面垂直的判定定理如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD与桌面垂直吗？②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？AA定理：图示：用符号语言表示为：思想：例.如图，已知l∥m，l⊥α，求证：m⊥α。
线面垂直的判定学案
§2.3.1直线与平面垂直的判定（学案）探索新知实例1、实例2新知归纳直线与平面垂直的定义：线、面垂直的定义的性质：简记：线面垂直，则线线垂直。
思考：如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，能保证l⊥α吗？探究活动请同学们拿出一块三角形的纸片，做试验。
应用新知例一下列命题中，正确的序号是________.⊥若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；⊥若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；⊥若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；⊥若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⊥过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条；⊥如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直；⊥如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.例二已知ba//，α⊥a，求证：α⊥b例三 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，请举出与平面ABCD 垂直的直线。
并说明这些直线有怎样的位置关系？例四 如图，在三棱锥V -ABC 中，VA =VC ， AB =BC ，求证：VB ⊥AC.例五 已知P A ⊥平面ABC ，BC 为三角形ABC 外接圆的直径，问：图中有几个直角三角形，并说明理由。
思考练习 在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中：（1）求证：A 1C ⊥平面DBC ； （2）在四面体中能否存在四个直角三角形?课堂小结11。
线面垂直的判定定理
五、【课后作业】
1如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的中点， 为 的中点。
（1）证明： 面 ；
（2）求 与底面 所成的角的正切值。
2在正方体 — 中，
证明：（1） 面 ；
（2） ；
（3）
备注
【问题】5当线面相交时线面所成角是多少？
【探究】如图所示，直四棱柱 — （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？
二、【典例分析】
【例题1】如图，在正方体 — 中，
证明：（1） 面 ；
（2） ；
（3）
【例题2】如图，在正方体 — 中，
求直线 和平面 所成的角.
三、【巩固练习】
§2.3.1直线与平面垂直的判定
一、教学目标
（一）知识与技能目标理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。
（二）过程与方法目标通过直观感知、操作，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。
（三）情感与态度目标通过该内容的学习，培养学生的空间想象能力及合情推理能力，并从中体会“转化”的数学思想
1.已知平面 及平面 外的一条直线 ，有如下五个命题：
①若 垂直于 内的两条直线，则 ；②若 垂直于 内的所有直线，则 ；
③若 垂直于 内的两条相交直线，则 ；④若 垂直于 内的无数条直线，则 ；
⑤若 垂直于 内的任意一条直线，则 ；
其中正确命题的序号为。
2.如图，在三棱锥 中， , ，
求证： 。
线面垂直判定定理：
【问题】1如果折痕 所在直线与桌面所在平面 角内无数直线垂直，则 垂直桌面所在平面 吗？
【问题】2如果折痕 所在直线与桌面所在平面 角内一条直线垂直，则 垂直桌面所在平面 吗？
线面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质教学设计课标要求：以立体几何的概念、公理、定理为起点，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。
学情分析：在学习本节课的内容之前，方才学习了直线与平面垂直的概念和判定定理，在学完判定定理以后紧接着的例1当中咱们利用判定定理证明了线线平行的性质定理，即若是两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为假设 a节的作用和地位：本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。
空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种超级重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。
空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着重要的地位和作用。
2.本节要紧内容：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。
教学目标：1.知识与技术：把握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化和反证法的应用。
2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。
3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，提高空间想象的能力和逻辑推理能力。
教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。
教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明教学理念：高中学生思维活跃，参与意识、自主探讨能力较强，整节课要紧以学生自主探讨为主，教师只起一个组织，引导的作用。
从而增强空间想象能力，养成质疑思辩、创新的精神。
教学方式：探讨讨论法教学用具：长方体模型，量角器，直角三角板，多媒体教学设计：一．创设情境，揭露课题问题：（实物式引入）：（1）两根旗杆垂直于地面，给咱们以旗杆平行的形象（2）让学生双手各持一支笔直立与桌面，通过操作确认两支笔平行。
数学来源于生活，把这些问题抽象归纳取得一个新的问题：若a⊥α，b⊥α，那a和 b 会有如何的位置关系呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论如何，让咱们一路来观看、探讨。
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
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一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形;（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
直线与平面垂直教案
直线与平面垂直的判定（一）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（一）一、教学目标1.知识与技能：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.过程与方法：通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，从问题解决过程中认识事物发展，变化规律，多角度分析，思考问题，培养学生的创新精神。
二、教学重点、难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、课前准备1.教师准备：教学课件2.学生自备：三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板四、教学过程设计1.直线与平面垂直定义的建构（1）创设情境①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
（2）观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ ②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
用符号语言表示为：（3）辨析（完成下列练习）：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
②若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 。
在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。