第六章 数字滤波器的基本结构
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《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y(n) ;
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知： y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ，
数字信号处理教程课后习题及答案
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
┇
8
y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
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y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
第六章 无限冲击响应数字滤波器设计
k =0
分子分母同除Ω , 得 Ha (s) = ：
N c
1 s − sk ) ∏(Ωc Ωc k =0
N −1
因为
令λ = ΩΩc 称为归一化频率；p = jλ 称为归一化复变量
归一化巴特沃斯的传输函数为
Ha ( p) = 1
s = jΩ Ωc Ωc
∏( p − p )
k =0 k
N −1
Ha ( p) =
sk = (−1)
( jΩc ) = Ωce
1 2k −1 jπ [ + ] 2 2N
, k =1 ⋯,2N ,2
jΩ
例如，N=3时， 例如， 时
s0 =Ωce
s3 =Ωce
j 2π 3
s0
s5
s1 = −Ωc s2 =Ωce
− j 2π 3
s1
s2
s4
s3
− j 1π 3
s4 = Ωc
s5 =Ωce
Ha ( jΩ)
2
由于一般滤波器的单位冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位冲响应为实数，其传递函数是对称 的，有：
* Ha ( jΩ) = Ha (s)Ha (−s) s= jΩ = Ha ( jΩ)Ha ( jΩ) 2
确定 Ha ( jΩ) 极、零点，并将左半S平面极点分配给 Ha (s) ， 零点，并将左半 平面极点分配给 此系统是因果稳定的。 得到滤波器的传递函数 Ha (s) ，此系统是因果稳定的。
Ha ( jΩ)
1
1 2
Ωc
巴特沃斯幅度特性和N的关系 巴特沃斯幅度特性和 的关系
Ω
3、巴特沃斯滤波器的极、零点分布 、巴特沃斯滤波器的极、 由于 H (s)H (−s) = a a 在
分子分母同除Ω , 得 Ha (s) = ：
N c
1 s − sk ) ∏(Ωc Ωc k =0
N −1
因为
令λ = ΩΩc 称为归一化频率；p = jλ 称为归一化复变量
归一化巴特沃斯的传输函数为
Ha ( p) = 1
s = jΩ Ωc Ωc
∏( p − p )
k =0 k
N −1
Ha ( p) =
sk = (−1)
( jΩc ) = Ωce
1 2k −1 jπ [ + ] 2 2N
, k =1 ⋯,2N ,2
jΩ
例如，N=3时， 例如， 时
s0 =Ωce
s3 =Ωce
j 2π 3
s0
s5
s1 = −Ωc s2 =Ωce
− j 2π 3
s1
s2
s4
s3
− j 1π 3
s4 = Ωc
s5 =Ωce
Ha ( jΩ)
2
由于一般滤波器的单位冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位冲响应为实数，其传递函数是对称 的，有：
* Ha ( jΩ) = Ha (s)Ha (−s) s= jΩ = Ha ( jΩ)Ha ( jΩ) 2
确定 Ha ( jΩ) 极、零点，并将左半S平面极点分配给 Ha (s) ， 零点，并将左半 平面极点分配给 此系统是因果稳定的。 得到滤波器的传递函数 Ha (s) ，此系统是因果稳定的。
Ha ( jΩ)
1
1 2
Ωc
巴特沃斯幅度特性和N的关系 巴特沃斯幅度特性和 的关系
Ω
3、巴特沃斯滤波器的极、零点分布 、巴特沃斯滤波器的极、 由于 H (s)H (−s) = a a 在
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第六章 IIR数字滤波器设计2
20
clear; close all; ws=2*pi*[4000,7000]; wp=2*pi*[2000,9000]; Rp=1; As=20; [N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s'); [B,A]=ellip(N,Rp,As,wc,'stop','s'); [H,W]=freqs(B,A,1000); plot(W/2/pi,20*log10(abs(H))) grid
0
13
映射关系 0
0 [ pl , pu ] [ pu , pl ] su , sl su , sl
[ p , p ]
s s
14
带通滤波器的系统函数
H BP ( s ) G ( p) p
2 s 2 0 p BW s
一般取 p 1 2 • 可以证明： pl pu sl su 0 • 如给定边界频率不满足该条件，改变参数，提 高指标 pl pu sl su 减少 pl ，或增加 sl
12
2.低通到带通的频率变换: p j s j
低通原型到带通滤波器的频率变换
2 2 0 p p 在虚轴上 p BW 通带边界频率：上边界频率 下边界频率 pl
2 s 2 0 BW s
pu
带通滤波器的带宽
BW pu pl 带通源自波器的中心频率 0③对Q(p)进行频率变换得到希望设计的滤波器系统 函数Hd(s)。
2
符号规定
希望模拟滤波器的系统函数 H d (s)
归一化低通滤波器原型 频率变换公式
s j
Q( p)
clear; close all; ws=2*pi*[4000,7000]; wp=2*pi*[2000,9000]; Rp=1; As=20; [N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s'); [B,A]=ellip(N,Rp,As,wc,'stop','s'); [H,W]=freqs(B,A,1000); plot(W/2/pi,20*log10(abs(H))) grid
0
13
映射关系 0
0 [ pl , pu ] [ pu , pl ] su , sl su , sl
[ p , p ]
s s
14
带通滤波器的系统函数
H BP ( s ) G ( p) p
2 s 2 0 p BW s
一般取 p 1 2 • 可以证明： pl pu sl su 0 • 如给定边界频率不满足该条件，改变参数，提 高指标 pl pu sl su 减少 pl ，或增加 sl
12
2.低通到带通的频率变换: p j s j
低通原型到带通滤波器的频率变换
2 2 0 p p 在虚轴上 p BW 通带边界频率：上边界频率 下边界频率 pl
2 s 2 0 BW s
pu
带通滤波器的带宽
BW pu pl 带通源自波器的中心频率 0③对Q(p)进行频率变换得到希望设计的滤波器系统 函数Hd(s)。
2
符号规定
希望模拟滤波器的系统函数 H d (s)
归一化低通滤波器原型 频率变换公式
s j
Q( p)
六章节FIR数字滤波器设计
对称中心必须等于滤波器的延时常数 a (N 1) / 2
h(n) a (
N
hd (n)RN 1) / 2
(n)
2、吉布斯（Gibbs）效应
∵频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换 ∴矩形窗截取后滤波器的频率响应为：
N 1
H (e j ) hd (n)e jn
n0
版权所有 违者必究
第六章第1讲
∵该式为有限项， ∴N越大，误差越 小。但对矩形窗截 取还存在“吉布斯 （Gibbs）效应”， 这将使滤波器的特 性很差。
下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程
设理想低通滤波器的频率响应 Hd (e j )为：
Hd
(e j
)
e 0
ja
c
c
其中c为滤波器的截止频率；a 为时延常数
∴单位脉冲响应为：
sin[ c (n a)]
hd
(n)
1
2
c e jae jnd
c
c
(n
a)
na na
为一 “ 以a 为对称中心的、偶对称的、无限长的、
显然：相位特性同样为一
严格的直线，但在零点处 有 的截距。
2
版权所有 违者必究
第六章第1讲
6
FIR数字滤波器的性质
结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，
等于 N 1个抽样间隔。
2
即群延时 () d() N 1
d
2
线性相位FIR滤波器的幅频特性
分四种情况讨论
情形h(1n)：偶h对(N称，1Nn取) 奇数
n0
N 1
N 1
h(n)z (N 1n) z (N 1) h(n)z n
n0
n0
h(n) a (
N
hd (n)RN 1) / 2
(n)
2、吉布斯（Gibbs）效应
∵频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换 ∴矩形窗截取后滤波器的频率响应为：
N 1
H (e j ) hd (n)e jn
n0
版权所有 违者必究
第六章第1讲
∵该式为有限项， ∴N越大，误差越 小。但对矩形窗截 取还存在“吉布斯 （Gibbs）效应”， 这将使滤波器的特 性很差。
下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程
设理想低通滤波器的频率响应 Hd (e j )为：
Hd
(e j
)
e 0
ja
c
c
其中c为滤波器的截止频率；a 为时延常数
∴单位脉冲响应为：
sin[ c (n a)]
hd
(n)
1
2
c e jae jnd
c
c
(n
a)
na na
为一 “ 以a 为对称中心的、偶对称的、无限长的、
显然：相位特性同样为一
严格的直线，但在零点处 有 的截距。
2
版权所有 违者必究
第六章第1讲
6
FIR数字滤波器的性质
结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，
等于 N 1个抽样间隔。
2
即群延时 () d() N 1
d
2
线性相位FIR滤波器的幅频特性
分四种情况讨论
情形h(1n)：偶h对(N称，1Nn取) 奇数
n0
N 1
N 1
h(n)z (N 1n) z (N 1) h(n)z n
n0
n0
数字滤波器结构
第二部分是一 个N节延时链结 构网络。不过 它是对y(n)延时 ，因而是个反 馈网络
➢ 直接I型DF结构的特点
1、两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实 现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。
2、共需(N+M)级延时单元。
3、系数ai、bi不是直接决定单个零极点，因而不能很 好地进行滤波器性能控制。
4、极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应 对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字 长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误 差。
四、数字滤波器的分类
滤波器的种类很多，分类方法也不同。
1、从功能上分；低通、带通、高通、带阻。 2、从实现方法上分：FIR、IIR 3、从设计方法上来分： Butterworth（巴特沃斯）、
Chebyshev(切比雪夫）、 Ellips（椭圆）等。 4、从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器
1、经典滤波器
2、现代滤波器
➢ 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列） 中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出， 那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
➢ 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法， 然后用硬件或软件予以实现。
H ( e j )
2 c c 2
HPAF
………
H ( e j )
3 2 c c 2
BPAF
………
3 2
BPAF
………
3 2
H ( e j )
c1c2 2
H ( e j )
c1c2 2
………
………
3
………
3