合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题
合肥工业大学第一学期
高等数学试卷A试题
标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、极限2sin0lim(13)xxx ．
2、设2arctan()yxx，则y ．
3、设()fx的一个原函数为2xe，则()________xfxdx．
4、曲线xey过原点的切线方程为____________．
5、曲线2re从0至2的一段弧长l____________．
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、当1x时，31x与3(1)x为（）
(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小
2、若()fx的导函数为sin,x则()fx的一个原函数是（ ）
(A) 1sinx (B) 1sinx (C) 1cosx (D) 1cosx
3、设()fx在0x处连续，且0()lim11cosxfxx，则在点0x处（ ）．
(A) (0)f不存在 (B) (0)0f，且(0)f为()fx的极小值
(C) (0)f存在，且(0)0f (D) (0)0f，且(0)f为()fx的极大值
4、下列广义积分发散的是（ ）
(A) 1(1)dxxx (B) 111sindxx (C) 221lndxxx (D) 2xxedx
5、曲线2211xxeye（）
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
三、计算下列各题（每小题6分，共36分）
1、222111lim()2nnnnnn． 2、)cos1)(1(1cossin3lim20xexxxxx．
3、求sin(0)xyxx的导数()yx． 4、已知2ln1,arctan,xtyt求22dd,ddyyxx．
5、2arctanxdxx． ６、设2ln(1)0()101xxfxxx，求
2
0
(1)fxdx
．
四、（本题满分10分）设 22021cos, 0, 1, 0,1cosd, 0,xxxxfxxttxx 讨论fx在0x处的连续性和
可导性．
五、（本题满分10分）设曲线2xey，切线2eyx及y轴围成的平面图形为D，求D绕
y
轴旋转一周所得旋转体体积V.
六、（本题满分8分）证明不等式：0x时，有11lnxx.
七、（本题满分6分）设函数)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(xf（01x），
且0)1()0(ff，
证明：在)1,0(内至少存在一点，使()2015()ff．
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。
合肥工业大学12--13学年第二学期《高等数学》期中试卷
合肥工业大学12--13学年第二学期《高等数学》期中试卷一.填空题(每小题4分, 满分16分)1.微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 ．2.积分 0sin x y dx dy yππ⎰⎰= ． 3.函数2u xy z =在点P (1,-1,2)处的方向导数最大值为___________. 4.求过点0(1,1,0)P - 及直线21:213x y z L -+==-的平面方程___________. 二.选择题(每小题4分, 满分16分)1．设二阶非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=有3个线性无关的特解1y 、2y 、3y ，则方程的通解为（ ）(A) 11223y C y C y y =++ (B) 113223()()y C y y C y y =-+-(C) 1122123(1)y C y C y C C y =+--- (D)1122123(1)y C y C y C C y =++--2. 设函数(,)f x y连续，则二次积分24212(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰（ ）． (A) 241(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ (B) 241(,)y y dy f x y dx ⎰⎰(C)221(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ (D) 221(,)yy dy f x y dx ⎰⎰ 3．设()222222,0,,0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩则(),f x y 在点()0,0处（ ） (A) 极限存在 (B) 连续 (C) 偏导存在 (D) 可微4.设函数ln(32)xy z x y e =-+ 则(1,0)dz = ( ).(A) 3dx dy - (B) 3144dx dy -(C) 34dx dy - (D) 3144dx dy +三. 计算题（共68分）1、 (10分) 求微分方程2x y y y xe '''++=的通解.2、(12分) 设22(,)z f x y xy =+，其中f 有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2． 3、(16分)设函数22(,)44f x y x y x y =---(1)求(,)f x y 的极值；(2)求(,)f x y 在闭圆盘D ：229x y +≤上的最值. 4.（10分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在(1,1,1)处的切线与法平面方程.5. (10分) 设D 为}{22(,)2,0,0,D x y x y x y =+≤≥≥ 计算221.Dx y dxdy +-⎰⎰6. (10分) 计算22(),x y dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是平面上的直线z x =绕z 轴旋转一周所得到的曲面与平面1z =所围成的闭区域.。
合肥工业大学-高等数学-上-1-3初等函数
y arcsin x, x [1,1], y [
, ]； 2 2
y arccos x, x [1,1], y [0, ] ；
y arctan x, x (, ), y (
, )； 2 2
y arc cot x, x (, ), y (0, ) ．
1.3
函数 初等函数
9-1
1.3.1
基本初等函数
㈠ 常数函数
y C, x (, ) ．
㈡ 指数函数
y a x (a 0, a 1), x (, ) ．
9-2
㈢ 对数函数
y loga x (a 0, a 1), x (0, ) ．
值域
[ 1,1] [1,1] (,) (,) (, 1] [1, ) (, 1] [1, )
有界性 有界函数 有界函数 无界函数 无界函数 无界函数 无界函数
周期
2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
y tan x y cot x
等均为初等函数．
9-7
㈡ 双曲函数
双曲函数与反双曲函数
⑴ 双曲正弦
定义域
(,)
值域
(,)
奇偶性 奇函数
e x e x y shx 2 e x e x y chx 2 shx e x e x y thx x x chx e e
⑵ 双曲余弦
(,)
[1, )
偶函数
⑶ 双曲正切
(,) (,) [1,)
(1,1)
(,) [0,) (,)
奇函数 奇函数
⑷ 反双曲正弦 ⑸ 反双曲余弦 ⑹ 反双曲正切
合工大概率论2016-2017第一学期概率论试卷(A)
为来自总体 的一个简单随机样本．⑴求 的矩估计量 ；⑵求 的极大似然估计量 ．
8、设随机变量 ， 的密度函数为 且 与 相互独立．求 的分布函数 ．
9、
为 ，则样本容量 ．（ ，其中 为标准正态分布的上侧 分为点．）
⑴下列结论正确的是（）．
（A）设 为两个随机事件，若 ，则 与 互不相容
（B）设 为两个随机事件， ，若 ，则 与 相互独立
（C）若随机变量 和 同分布，则
（D）设 为随机变量 的分布函数，若 ，则
⑵设样本空间 ，且每个样本点出现的概率相等，令 ，
（A） 与 相互独立（B） 与 的相关系数为
（C） （D）
⑸设 为来自总体 的一个简单随机样本， 为样本均值， 为样本方差，且 ，则在下列估计量中，（ ）不是 的无偏估计．
（A） （B） （C） （D）
三、
设随机变量 的密度函数为 ⑴计算概率 ；⑵对 进行
3次独立重复观测，记 表示3次观测中出现 的观测值小于 的次数，求 的分布律。
，则下列结论正确的是（）．
（A） 两两独立， 两两独立（B） 相互独立， 两两独立
（C） 两两独立， 相互独立（D） 相互独立， 相互独立
⑶设随机变量 相互独立，分布函数均为 ，则 的分布函数为（）．
（A） （ห้องสมุดไป่ตู้） （C） （D）
⑷设随机变量 和 的方差均大于零，则 与 不相关的充分必要条件为（）．
四、设随机变量 ，且 ,
⑴求 和 的联合分布律；⑵求 和 的相关系数 ；⑶记 ，求 和 的联合分布律，并问 和 是否相互独立？
五、设二维随机变量 的密度函数
⑴求常数 ；⑵求 ；⑶求边缘密度 和条件密度函数 ．
高等数学(下)历试题解答
合肥工业大学高等数学<下）试卷参考解答2001-2002学年第二学期一、填空题<每小题3分，满分15分） 1．设12zxez y ，则0,1dz2edx dy .2．空间曲面1532:222zyx 在点(1,1,2)处的法线方程为1122412x y z .二、选择题<每小题3分，满分15分）1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点00(,)x y 处连续，②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续，③),(y x f 在点00(,)x y 处可微，④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p”表示可由性质P推出性质Q ，则有< .A ）.A ②③① .B ③②① .C ③④① .D ③①④2．设函数(,)zf x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在，则),(00y x f x =0，),(00y x f y =0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的<.B ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件4．0)(22yx y 是<.C ）微分方程.A 一阶.B 二阶.C 三阶.D 四阶5．微分方程xe x y y y 2)13(6的特解形式为< .B ）.A xeb ax y 2)(*.B xeb ax x y 2)(*.C xeb ax x y 22)(*.D xxeC eC y 3221*三、<8分）设),(22yxy xf z，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y. 解：1212z xf f xy，2111222122222112[2()][2()]z x x x yf f f f y f x yyyyy21112222232214(2)xx xyf f f f y y y.七、<10分）求微分方程0)(22y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y 的特解.解：令yp ，原方程化为220pxp，即212dpxdx p，积分得：21xCp，21pxC.又(0)1y ，得1C.211yx，12111ln 211x ydx C x x，将(0)0y 代入得10C ，所以特解为11ln 21x yx .八<10分）求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z 在球面2225xyz(0,0,0)x y z 上的最大值.解：令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y zxyz.由2220,0,0, 5.xyzF F F xy z 得222120,120,320, 5.x x y y z z x y z ，解得1,1,3.x y z 由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32. 合肥工业大学试卷高等数学<下）参考解答2002-2003学年第二学期一、填空题<每小题3分，满分15分）1．设函数ln(32)xyz xye ，则(1,0)dz 3144dxdy .5．微分方程0yyx 的通解为12ln yC x C .二、选择题<每小题3分，共15分）1．设,0,0,0,,),(222222,yxy x y xxy y x f 则<.C ）.A ),(lim 0y x f yx 存在.B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f 都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线632,922222zyxzex y 在点(3,0,2)处的切线方程为<.B ）.A 32x yz .B 326y x z .C 32214x y z .D 3(2)0x z y5．设xxxxxe ey e x y xe y 2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该方程的通解为< .D ），其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C.B 11223C y C y y .C xxxxe eeC eC 2221.D xxxxeeC eC 221三、设),)((2xy y xf z，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y.<本题10分）解：122()z xy f yf x，212(2())z x y f yf x yy1111222()[2()]f xy xy f xf 22122[2()]f y yx f xf 221111222224()2()f xy f xy f xyf f .四<10分）、求函数)1(),(y x y x f 在由上半圆周)0(322yyx与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 解：在闭区域D 内，由10x y f y f x 得驻点(0,1)，(0,1)0f .在D 的边界)0(322y yx 上，令22(,,)(1)(3)F x y x y xy，由22120,20,3.xy F y xF x yx y 得2,1,xy(2,1)0f . 在D 的边界x 轴上，3,0，3,0，3,03f，3,03f，比较以上各函数值，知最大值为3,03f，最小值为3,03f.合肥工业大学试卷高等数学<下）参考解答2003-2004学年第二学期一、填空题 <每小题3分，满分15分） 1．微分方程02)(3xdydx x y满足56|1xy 的特解为315yx x .5．曲面22y xz与平面042zyx平行的切平面方程是245xyz.二、选择题<每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的< .D ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件2．微分方程xe xy y y 2323的特解形式为< .D ）.A ()xax b e.B ()xax b xe.C ()xaxb ce .D ()xax b cxe4．．若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ，则),(00y x (.A >.A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。
合肥学院高数(上册)答案解析
第一章 函数与极限习题1.1 A 组1.（1）{,}x x k k Z π≠∈ (2) {1,}x x x R ≠±∈.2. 2x x -；2132x x-+；2()(23)x x x +-.；0；sin 2；0.4.(1) 21,sin ,y u u v v x===； (2) ,sin ,21uy e u v v x ==-=. 5.(1)1arcsin(lg ),10.10x x ≤≤ (2)2,0.1xx x ≠+ 6. 有界，10()3f x <<.7. V =8.3,010;30 2.7(10),10.W W P W W ≤≤⎧=⎨+->⎩B 组1.（1）22.()k x k k Z πππ≤≤+∈. （2）当12a >时，定义域为∅；当12a =时，定义域为1{}2；当12a <时，定义域为[],1a a -. 2. 12ln ,01;()1, 1.x x f x x x -<<⎧=⎨-≥⎩；4.(1) 2arctan ,,,sin ,x y u u v w v e w t t x ==+=== (2)212,arcsin ,,1uy u v v t x t====+. 5.(1) 2;;a na （2）0a =习题1.21.（1）无极限 （2）0; (3)无极限.2. (1)错误；（2）错误.3.略.4.略.5.略.习题1.3 A 组 1.(1) 6；（2）10；（3）4；（4）2.2. X >3.(1)0lim ()lim ()1;lim ()1x x x f x f x f x +-→→→=== (2)0lim ()1,lim ()1x x f x f x +-→→==-；0lim ()x f x →不存在 4.32； 1-；2.B 组1.不存在；不存在.2.0lim ()1x g x +→=-； 0lim )1x g x -→=（；0lim ()x g x →不存在习题1.4 A 组1.(1)34-； (2)2； (3)2x ； (4)0； (5)0； (6)4. 2.(1)∞； (2)13 ；(3)∞ ；(4)∞ ；(5)14-.3.(1)53；(2)1；(3)9；(4) 3e ；(5)2e ；(6)2e .4. 1. B 组1.(1)102()3；(2)0 . 2. 3,4a b ==. 3.2e -. 4. 1;4a b ==-.习题1.5 A 组1.(1)224211x x x +-++ ；(2)222321x x x +-++ ；(3)22431x x -++. 2. 232(2),0x x o x x x -=-→. 3.(1)同阶不等价； (2)等价. 4.(1) 1k =;(2) 2k =;(3) 1k =;(4) 3k =. 5.(1)0; (2)2; (3)12; (4)2; (5)2; (6)1-;(7)221()2b a -;(8)ab;(9)1;(10)0. B 组1.（1）0; (2)12. 2. 2,3n c ==. 3. 1. 4. 12.习题1.6 A 组1.(1)正确; （2）错误; （3）错误; （4）错误;（5）错误 ;（6）错误;2.略.3.(1) 1x =为跳跃间断点;(2)2x =为无穷间断点;1x =为可去间断点,补充定义(1)2f =-; (3) 0x =为振荡间断点；(4) 0x =为可去间断点，补充定义(0)1f =；,(1,2,)x k k π==±±为无穷间断点；,(0,1,2,)2x k k ππ=+=±±为可去间断点，补充定义()02f k ππ+=(0,1,2,)k =±±4. (,3),(3,2),(2,)-∞--+∞；12 ；85- ； ∞. 5. 1a =-32e -.B 组1.1,1x x =-=均为跳跃间断点.2. 2,1a b ==-.3.略.习题1.7 略总复习题一 一、 基础知识1. {11|42x x -≤≤}.2. 220;[()](1)10;1 1.x x g f x x x xx ⎧->⎪=-+-<≤⎨⎪+≤-⎩3.不存在， 反例：当0110sin0,limsin x x x x x→→→时，但不存在4.(1)∞； (2)∞； (3) π; (4)e ; (5)1; (6)2cos2.5. ()f x 在0x =处不连续.6. 略.二、技能拓展1．(1) [1,0]-; (2) [,]()2k k k z πππ-∈;2．4e ; (3) 35; (4)1e -.3. 1,1a b ==-.4. 2A .5.同阶.6.略.7.略.三、探究应用1 .(1) 1;=10.x F(x)x ⎧<<⎪-<< （2）F(x) ,[,1)x n n ∈+.2. (1)213()(2)2n n -⋅-≥;（2）112[1()](2)2n n ---≥;(3) 3.3.略.4.221tan 59.5sec 59.5(0)4000y x x x =->. 5.略.第二章 一元函数微分学习题2.1 A 组 1．（1）错误. （2）错误. （3）错误. 2．（1）a ；（2）x sin -.3．1-； 14-. 4．（1）0；（2）1ln 2x ;（3）2313x -;（4）5ln 5x . 5． 112--；.6．（1）53.90/m s ;49.49/m s ; 49.0049/m s ;（2）49/m s ；（3）gt . 7． (0)1,(0)0,(0)f f f -+'''=-= 不存在. B 组1．略. 2．（1）)(0x f A '-=；（2）)(20x f A '=；（3）()0()A f x αβ'=-.3．0. 4.（1，1）或（1-，1-）. 5．或. 6．略. 7．略. 8．3.9．（1）连续且可导；（2）不连续且不可导；（3）连续但不可导；（4）不连续且不可导；（5）连续但不可导；：（6）连续且可导； 10．略.习题2.2 A 组1. (1)不成立；（2）成立.2.(1)292ln 23xxx e -+;（2）x x 22ln 1+;（3）22cos sin x x x x -; (4)21ln xx- .3.(1)(1)42π+;(2) 325;1715.4.(1)316(45)x +;(2)3sin(43)x -; (3)236x xe --;（4)2sec 2cot 412xx(5) xx x 3sin2e cos sin 3⋅..5.(1)32223)(2a x x a x ++; (2)21(cos36sin 3)2xe x x --+; (3)csc x ;（4）xx x 1cos 1sin 2-.B 组 1．(1)1||12-x x ; (2)211x -+;（3）22121sincot sin csc 332232x x x x - ; （4）221xx +;（5）322)1(arcsin 1x xx x -+-; （6.2.（1）)(22x f x ';（2）)](e e )()(e [e )(x x x x f f x f f '+';（3）[()]()f f x f x ''; （4）)](cos )(sin [2sin 22x f x f x '-'.3. 4aπ. 4．1-. 5. 35x y +=.习题2.3 A 组1.(1) 214x -;(2) 222arctan 1x x x ++;(3)()cos sin x x x xe e e e -;（4）322)(a x x --. 2.(1)2222()4()f x x f x '''+;（2）x x f x x f 2cos )(sin 22sin )(sin 222'+''. 3．略.4.(1)!n ;(2) 12sin[2(1)]2n x n π-+-⋅; (3) 1(2)!(1)nn n x ---;(4) ()11(1)!!1n n n n n x x ++-+-. B 组 122211cos sin x x x x f f f f a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. ()()()()()()222ln ln 2.(1)f x f x f x f x f x x f x ''''''--+; (2) 222111111112sinsin 2cos sin cos sin f f x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.()(1)xn x e +; ()()()1(2)(1)1!n nn n n a c n a bx cx d -⎡⎤---⎢⎥++⎢⎥⎣⎦; (3)18sin 82sin 2222n n x n x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 4．略. 习题2.4A 组1.（1）cos()1cos()x y x y +-+;（2）yx y x x y++--ee ; （3） y x y x -+. 2．（1）xx x x x x cos ))](sin ln(sin sin cos [cot ⋅-;（2）3222424)1()1()1(316-+-++x x x x x x x ;(3)1()(ln )111x x x x x x++++145[]2(2)31x x x +-+-+.3. a y x 22=+; 0x y -=. 4 .(1)(6)2(23)t t t ++ (2)cos sin sin cos t tt t-+5. (1)113(1)1(1)3y x y x -=--=--；; (2) 43120x y a +-=;3460x y a -+=.B 组1．(1)()2324cos sin 1sin 1x y y y ---； (2)()23(3)2y e y y --. 2.(1)42sec csc 3b t t a ；(2) 31cos a t.3．（1）（1，0）；（2）-2，16；（3）-2；8. 4/s . 5. π2516/min m . 6．（1m ;（2）7/8m s -; （3）43s .习题2.5 A 组 1．（1）（2）（3）都正确.2. (1)22dx x ⎛-+ ⎝; (2) 4ln 1x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (3)22(1)xx x e dx +;(4)[sin(3)cos(3)]xe x x dx ----;(6) 2228tan(12)sec (12)x x x dx +⋅+.3．(1) sin t C +; (2) C e x +--221; （3）ln ||x C +; （4）C x+-1;（5）sin ;cos sin x x x -. (6)2tan 2xC +. 4．(1)3.979 ; (2)0.001 .B 组 1．11dx ⎡⎤+⎥⎥⎦；cos()(2)cos()x y e y xy dx e x xy +-.2． 111dx e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3．（1）精确值增加了2105.2cm ，近似值增加了2104.7cm ；（2）精确值减少了243.6cm ，近似值减少了243.6cm ； 4．9%dGG≤.习题2.61. 略.2. 略3. 略4. 略.5.略.6.略.7.略. B 组 略. 习题2.7 A 组1.（1）D ；（2）C ；（3）A 、B ；（4）A ；（5）C ；2..（1）12;（2）0;（3）－12;（4）12e -;（5）23-. 3. 32.4. π1)1(=f .B 组1. （1）1； （2）1； （3）1；（4）0.2.3.2 3.16-.习题2.8 A 组1. 23(1)2(1)(1)(1)2!!nen e e e x x x n ++-+-++-1)1()!1()1(+-++++n x n e n ξξ;（ξ介于1与x 之间）。
安徽大学2021高等数学A卷
安徽大学2021—2022学年第一学期《 高等数学A （一） 》期末考试试卷（A 卷） （闭卷 时间120分钟） 考场登记表序号________ 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．若0x →时，函数()ln(1)f x x x =−+与n x 是同阶无穷小，则n =（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．若函数111()1x x e f x e +=−，则0x =是()f x 的（ ）间断点． （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）第二类无穷型 （D ）第二类振荡型 3．若()f x 在点0x 处取得极小值，则下列命题中正确的是（ ）． （A ）()f x 在00(,)x x δ−内单调减少，在00(,)x x δ+内单调增加 （B ）在00(,)x x δ−内'()0f x <，在00(,)x x δ+内'()0f x > （C ）0'()0f x =且0"()0f x > （D ）对任意0000(,)(,)x x x x x δδ∈−⋃+，恒有0()()f x f x > 4．微分方程1''4cos 22y y x +=的特解形式为（ ）． （A ）cos 2ax x （B ）cos 2a x （C ）cos 2sin 2ax x bx x + （D ）cos 2sin 2a x b x + 5．下列广义积分中，发散的是 ( )． （A ）201dx x +∞⎰ （B）1dx ⎰ （C ）()21ln e dx x x +∞⎰ （D ）0x xe dx +∞−⎰二、填空题（每小题3分，共15分）6．数列极限222lim ________(1)(2)()n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭．7．曲线21arcsin y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为__________．院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------8．曲线y =()0 1，处的曲率为__________． 9．曲线段ln cos y x =（06x π≤≤）的弧长为__________．10．(333cos x x dx −+=⎰___________．三、计算题（每小题10分，共60分）11．求极限10lim(2sin cos )xx x x →+． 12．设()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +−=−所确定，求曲线()y f x =在0x =处的 法线方程.13．设函数()f x 在区间[0,2]上有二阶连续导数，且(0)1(2)3(2)5f f f '===，，， 求10(2)xf x dx ''⎰. 14．设函数=)(x f 2,01,101cos x xe x x x−⎧≥⎪⎨−≤<⎪+⎩，求⎰−41)2(dx x f ． 15．设函数()y y x =是微分方程(2)0xdy x y dx +−=满足条件(1)2y =的解，求曲线 ()y y x =与x 轴所围图形的面积. 16．求函数20()(2)x t f x t e dt −=−⎰在区间[0,)+∞上的最大值和最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）17．设函数)(x f 在[0,1]上连续，且0)(>x f ， 证明：方程011()d d 0()x x f t t t f t +=⎰⎰在(0,1)内有唯一的实根. 18．设()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(1)2f =，(2)2f =. 证明：存在(1,2)ξ∈，使得2()'()f f ξξξ=.。
2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期12月月考数学检测试题
2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期12月月考数学检测试题第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）{}2log 1,{04}A x xB x x =≤=<≤∣∣A B = A. B. C. D.{2}xx ≤∣{4}xx ≤∣{04}xx <≤∣{02}x x <≤∣2. 若（i 为虚数单位）是关于x 的方程的一个根，则（1i +20(,)x ax b a b ++=∈R b =）A. 0B. 2C. 3D. 43. 函数的图象大致是（ ）21sin 2ln 1y x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭A. B.C. D.4.荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ）（参考数据：，）lg101 2.0043≈lg20.3010≈A. 60天B. 65天C. 70天D. 75天5. 已知，向量，若，则的最小值为（0,0a b >>(2,9),(8,)m a b n ab =+-= m n ⊥ 2a b +）A. B. C. D. 789106. 已知数列满足，则数列的前8项和为（）{}n a 1111,2n n n n a a a a a ++=-={}1n n a a +A. B. C. D. 817122578897. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在()π2cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()0,π2上单调递增，则ω的取值范围为（ ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭A. B. C. D. 529,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦1729,66⎛⎤ ⎥⎝⎦1711,63⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 如图，在中，，，若为圆心为的单位圆的ABCV AC =AB =90A ∠=︒PQ A一条动直径，则的最大值是（ ）BP CQ ⋅A. 2B. 4D. 1-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）π()2sin (1)3f xx ωω⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭A. 1ω=B. 函数的图象关于点对称()f x π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C .将向左平移个单位长度，得到函数()y f x =π3π()2cos 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是(2)f x m =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2m 2⎤⎦10. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，ABC V ,,A B C ,,a b c ,,A BC b =是中点，则下面正确的是（）D AC A. B. 周长的最大值为ABC V ABC V C. 中线长度的最大值为 D. 若为锐角，则BD 32A (1,2]c ∈11. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，1111ABCD A B C D -M N CD 11A B 点为上一动点，则（）P MN A. 存在点使得P AP BP ⊥B.的最小值为1PA PD +C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12MND. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙O 1111ABCD A B C D -O 第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在中，，是直线上一点，若，则实数mABC V 34AD DC=P BD 35AP mAB AC =+ 的值为_______.13. 若，且，则_______.sin 2)αβα=-=3,,,422ππαβππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αβ+=14. 已知函数，则的对称中心为_______；若e 1(),()(1)2e 1x xf xg x f x -==-++()g x ，则数列的通项公式为_______.()*12321n n a g g g g n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N {}n a 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在四棱锥中， 平面P ABCD -24//2C A BC PA B AD A D B ====，，AD ⊥分别是棱的中点.PAB PA AB E F ⊥，，、,PBPC （1）证明：平面；//DF ACE （2）求平面与平面的夹角的余弦值.ACE PCD 16. 已知数列的前n 项和为，.{}n a n S ()*22,n na S n =+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）记，数列的前n 项和为，若关于n 的不等式2log nn c a =n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 恒成立，求实数λ的取值范围.()(2)21n n n T n λ+-≤+17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符11122122a a a a号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数1112112212212122a a a a a a a a =-.22sin sin ()()2cos 6x xf x x x π=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭R （1）求的对称轴方程及单调递增区间；()f x （2）在锐角中，已知和ABC V 321(),,cos 233f A AD AB AC B =-=+=sin C .BAD ∠t an 18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有()f x ()1212,x x x x ≠()()12f x f x =，其中为常数，则称函数具有性质.12x x m =m ()f x ()V m （1）函数具有性质，求；1()2=+g x x x ()V m m （2）设函数，()()()()1221ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>（i ）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由；()h x ()V m m （ii ）证明.2122x x <19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点():C y f x =AB s ∆A AB B A 的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角A lB B l θ∆B l 与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定A l 时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当ΔΔK s θ=AB 越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义B A s ∆KC A（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表()''3Δ022Δlim Δ1s y K sy θ→=+'=C A y 'y ''示在点处的一阶､二阶导数）y =f (x )A （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的22(0)x py p =>()3,y 曲率是多少？（2）若函数，不等式对于恒成立，求()11212x g x =-+()e e 2cos 2x xg g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭x ∈R 的取值范围；ω（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线A ()228f x x =-()(),n n B x f x B 与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明x ()()*1,0n x n +∈N 14x =2n n b x =-nT {}n b n .3n T <。