2011年高考江苏卷数学(理)试题(真题)
中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com
2011普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(江苏)
1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{BA 则_______,BA
2、函数)12(log)(5xxf的单调增区间是__________
3、设复数i满足izi23)1(（i是虚数单位），则z的实部是_________
4、根据如图所示的伪代码，当输入ba,分别为2，3时，最后输出的m的值是________
Read a，b
If a>b Then
ma
Else
mb
End If
Print m
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2s
7、已知,2)4tan(x 则xx2tantan的值为__________
8、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2)(的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的
最小值是________
9、函数,,(),sin()(wAwxAxf是常数，)0,0wA的部分图象如图所示，则____)0(f
312
7
10、已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea 若0ba，则k的值为
11、已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1()1(afaf，则a的值为________
12、在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y
轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
13、设7211aaa，其中7531,,,aaaa成公比为q的等比数列，642,,aaa成公差为1的等差数列，则
2
中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com
q的最小值是________
14、设集合},,)2(2|),{(222RyxmyxmyxA,
},,122|),{(RyxmyxmyxB, 若,BA
则实数m的取值范围是______________
二、解答题：
15、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为cba,,
（1）若,cos2)6sin(AA 求A的值；
（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.
16、如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等
腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、
F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
18、如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A
两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
N
M
P
A
x
y
B
C
F
E
A
C
D
B
P
x
x
EF
AB
DC
中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com
19、已知a，b是实数，函数,)(,)(23bxxxgaxxxf )(xf和)(xg是)(),(xgxf的导函数，若
0)()(xgxf在区间I上恒成立，则称)(xf和)(xg
在区间I上单调性一致
（1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间),1[上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设,0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值
20、设M为部分正整数组成的集合，数列}{na的首项11a，前n项和为nS，已知对任意整数k属于M，当n>k
时，)(2knknknSSSS都成立
（1）设M=｛1｝，22a，求5a的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列}{na的通项公式。
高考试题来源：http://www.gaokao.com/zyk/gkst/
数学_2011年江苏高考数学模拟试卷1(含答案)
2011年江苏高考数学模拟试卷1一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知命题p:x 2−2x −15≤0，命题q:x 2−2x −m 2+1≤0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．2. 若正数a 、b 、c 、d 满足ab +bc +cd +ad =1，那么a +b +c +d 的最小值是________．3. 已知函数f(x)=x 3−(k 2−k +1)x 2+5x −2，g(x)=k 2x 2+kx +1，其中k ∈R ． （1）设函数p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在区间(0, 3)上不单调，求k 的取值范围； （2）设函数q(x)={g(x),x ≥0f(x),x <0.是否存在k ，对任意给定的非零实数x 1，存在惟一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使得q′(x 2)=q′(x 1)？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 4. 函数f(x)=2sin 2x−3sinx (2sinx+3)2的值域为________．5. 设x 0是方程8−x =lgx 的解，且x 0∈(k, k +1)(k ∈Z)，则k =________．6. 矩形ABCD 中，AB =6，AD =7．在矩形内任取一点P ，则∠APB >π2的概率为________． 7. 在△ABC 中，C =π2，AC =1，BC =2，则f(λ)=|2λCA →+(1−λ)CB →|的最小值是________．8. 已知1−cos2αsinαcosα=1，tan(β−α)=−13，则tan(β−2α)等于________．9. 如图是由所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列{n 2+4n}(n ∈N ∗, n ≤2009)的项，则所得y 值中的最小值为________．10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1⋅PF 2=4ab ，则双曲线的离心率是________．11. 设函数f(x)=ax +b ，其中a ，b 为实数，f 1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n (x)]，n =1，2，…．若f 5(x)=32x +93，则ab =________．12. 设A 、B 是椭圆x 225+y 216=1上不同的两点，点C(−3, 0)，若A 、B 、C 共线，则ACCB 的取值范围是________．13. 设函数f(x)=x(12)x +1x+1，A 0为坐标原点，A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量a n =∑A k−1A k →nk=1，向量i=(1, 0)，设θn 为向量a n 与向量i 的夹角，则满足∑tan n k=1θk <53的最大整数n 是________．14. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC =3√2，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m →=(2,2cos 2B+C 2−1)，向量n →=(sin A2，−1)．（1）求m →⋅n →取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值．16. 如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：（1）直线EF // 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．17. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m+a；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为an+a．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为ℎ1和ℎ2，则他对这两种交易的综合满意度为√ℎ1ℎ2．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为ℎ甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为ℎ乙（1）求ℎ甲和ℎ乙关于m A 、m B 的表达式；当m A =35m B 时，求证：ℎ甲=ℎ乙；（2）设m A =35m B ，当m A 、m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为ℎ0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 18. 如图，已知椭圆C:x 25+y 23=m 22(m >0)，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆G 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点． （1）是否存在k ，使对任意m >0，总有OA →+OB →=ON →成立？若存在，求出所有k 的值； （2）若OA →⋅OB →=−12(m 3+4m)，求实数k 的取值范围．19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n(n, S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且过点P n(n, S n)的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2k n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设A={x|x=k n, n∈N∗}，B={x|x=2a n, n∈N∗}等差数列{c n}的任一项c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110<c10<115，求{c n}的通项公式．20. 已知函数f1(x)=3|x−p1|，f2(x)=2⋅3|x−p2|（x∈R，p1，p2为常数）．函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)={f1(x)若f1(x)≤f2(x) f2(x)若f1(x)>f2(x)（1）求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a<b，且p1，p2∈(a, b)．若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为b−a2（闭区间[m, n]的长度定义为n−m）2011年江苏高考数学模拟试卷1答案1. m<−4或m>42. 23. 解析：（1）因P(x)=f(x)+g(x)=x3+(k−1)x2+(k+5)x−1，p′(x)=3x2+2(k−1)x+(k+5)，因p(x)在区间(0, 3)上不单调，所以p′(x)=0在(0, 3)上有实数解，且无重根，由p′(x)=0得k(2x+1)=−(3x2−2x+5)，∴ k=−(3x2−2x+5)2x+1=−34[(2x+1)+92x+1−103]，令t=2x+1，有t∈(1, 7)，记ℎ(t)=t+9t，则ℎ(t)在(1, 3]上单调递减，在[3, 7)上单调递增，所以有ℎ(t)∈[6, 10)，于是(2x+1)+92x+1∈[6,10)，得k∈(−5, −2]，而当k=−2时有p′(x)=0在(0, 3)上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈(−5, −2)；（2）当x<0时有q′(x)=f′(x)=3x2−2(k2−k+1)x+5；当x>0时有q′(x)=g′(x)=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，记A=(k, +∞)，B=(5, +∞)（1）当x 1>0时，q′(x)在(0, +∞)上单调递增， 所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，只能x 2<0且A ⊆B ， 因此有k ≥5，（2）当x 1<0时，q′(x)在(−∞, 0)上单调递减， 所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，只能x 2>0且A ⊆B ， 因此k ≤5，综合(1)(II)k =5；当k =5时A =B ，则∀x 1<0，q′(x 1)∈B =A ，即∃x 2>0， 使得q′(x 2)=q′(x 1)成立，因为q′(x)在(0, +∞)上单调递增，所以x 2的值是唯一的； 同理，∀x 1<0，即存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)， 要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，所以k =5满足题意． 4. [−116，5]5. 76. 3π287. √2 8. −1 9. 17 10. √3 11. 6 12. [14, 4]13. 3 14. 18π15. 解：(1)m →⋅n →=2sin A2−(2cos 2B+C 2−1)=2sin A2−cos(B +C)．因为A +B +C =π，所以B +C =π−A ，于是m →⋅n →=2sin A2+cosA =−2sin 2A2+2sin A2+1=−2(sin A2−12)2+32． 因为A2∈(0,π2)，所以当且仅当sin A2=12，即A =π3时，m →⋅n →取得最大值32． 故m →⋅n →取得最大值时的角A =π3；（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得b 2+c 2−a 2=2bccosA 即bc +4=b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b =c =2时取等号． 又S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3．当且仅当a =b =c =2时，△ABC 的面积最大为√3．16. ∵ E ，F 分别是AB ，BD 的中点．∴ EF 是△ABD 的中位线，∴ EF // AD ，∵ EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴ 直线EF // 面ACD ； ∵ AD ⊥BD ，EF // AD ，∴ EF ⊥BD ， ∵ CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴ CF ⊥BD 又EF ∩CF ＝F ，∴ BD ⊥面EFC ，∵ BD ⊂面BCD ，∴ 面EFC ⊥面BCD 17. 解：（1）甲：买进A 的满意度为ℎA1=12m A +12，卖出B 的满意度为ℎB1=m Bm B +5；所以，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为ℎ甲=√ℎA1⋅ℎB1=√12m A +12×m B m B +5=√12m B(mA +12)(mB +5)；乙：卖出A 的满意度为：ℎA2=m Am A +3，买进B 的满意度为：ℎB2=20m B +20； 所以，乙卖出A 与买进B 的综合满意度ℎ乙=√ℎA2⋅ℎB2=√m Am A+3×20mB+20=√20m A(m A +3)(m B +20)；当m A =35m B 时，ℎ甲=√12m B(35mB +12)(m B +5)=√20m B(m B +20)(m B +5)，ℎ乙=√20×35m B(35m B +3)(m B +20)=√20m B(m B +5)(m B +20)，所以ℎ甲=ℎ乙（2）设m B =x （其中x >0），当m A =35m B 时， ℎ甲=ℎ乙=√20x(x+5)(x+20)=√20x+100x+25≤√2√x⋅x+25=√2045=23；当且仅当x =100x，即x =10时，上式“=”成立，即m B =10，m A =35×10=6时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为23（3）不能由（2）知ℎ0=23．因为ℎ甲ℎ乙≤49因此，不能取到m A ，m B 的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立． 18. 解：（1）椭圆C:x 25m 22+y 23m 22=1，c 2=5m 22−3m 22=m 2，c =m ，∴ F(m, 0)，直线AB:y =k(x −m)，{y =k(x −m)x 25+y 23=m 22(m >0)，(10k 2+6)x 2−20k 2mx +10k 2m 2−15m 2=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=20k 2m10k 2+6， x 1x 2=10k 2m 2−15m 210k 2+6；则x m =x 1+x 22=10k 2m10k 2+6，y m =k(x m −m)=−6km10k 2+6，若存在k ，使AB 为ON 的中点，∴ OA →+OB →=2OM →． ∴ OA →+OB →=(2x m ,2y m )=(20k 2m10k 2+6,−12km10k 2+6)， 即N 点坐标为(20k 2m10k 2+6，−12km10k 2+6)．由N 点在椭圆上，则15×(20k 2m10k 2+6)2+13×(−12km10k 2+6)2=m 22即5k 4−2k 2−3=0．∴ k 2=1或k 2=−35（舍）．故存在k =±1使OA →+OB →=ON →． （2）OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2(x 1−m)(x 2−m) =(1+k 2)x 1x 2−k 2m(x 1+x 2)+k 2m 2 =(1+k 2)⋅10k 2m 2−15m 210k 2+6−k 2m ⋅20k 2m 10k 2+6+k 2m 2=(k 2−15)10k 2+6m 2，由m 2⋅(k 2−15)10k +6=−12(m 3+4m)，得m 2⋅k 2−1510k +6=−m 22(m +4m)≤−2m 2，即k 2−15≤−20k 2−12，k 2≤17，∴ −√77≤k ≤√77，且k ≠0．19. 解：（1）∵ 点P n (n, S n )都在函数f(x)=x 2+2x 的图象上， ∴ S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1．当n =1时，a 1=S 1=3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n +1 （2）由f(x)=x 2+2x 求导可得f′(x)=2x +2 ∵ 过点P n (n, S n )的切线的斜率为k n ， ∴ k n =2n +2．∴ b n =2k n a n =4⋅(2n +1)⋅4n ．∴ T n =4×3×41+4×5×42+4×7×43++4×(2n +1)×4n ①由①×4，得4T n =4×3×42+4×5×43+4×7×44++4×(2n +1)×4n+1② ①-②得：−3T n =4[3×4+2×(42+43++4n )−(2n +1)×4n+1]=4[3×4+2×42(1−4n−1)1−4−(2n +1)×4n+1]∴ T n =6n+19⋅4n+2−169．（3）∵ Q ={x|x =2n +2, n ∈N ∗}，R ={x|x =4n +2, n ∈N ∗}，∴ Q ∩R =R ． 又∵ c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数， ∴ c 1=6．∵ {c n }是公差是4的倍数， ∴ c 10=4m +6(m ∈N ∗)． 又∵ 110<c 10<115，∴ {110<4m +6<115m ∈N ∗，解得m =27．所以c 10=114，设等差数列的公差为d ，则d =c 10−c 110−1=114−69=12，∴ c n =6+(n −1)×12=12n −6，所以{c n }的通项公式为c n =12n −6 20. 解：（1）由f(x)的定义可知，f(x)=f 1(x)（对所有实数x ）等价于f 1(x)≤f 2(x)（对所有实数x ）这又等价于3|x−p 1|≤2⋅3|x−p 2|，即3|x−p 1|−|x−p 2|≤3log 32=2对所有实数x 均成立．(∗)由于|x −p 1|−|x −p 2|≤|(x −p 1)−(x −p 2)|=|p 1−p 2|(x ∈R)的最大值为|p 1−p 2|， 故(∗)等价于3|p 1−p 2|≤2，即|p 1−p 2|≤log 32，这就是所求的充分必要条件 （2）分两种情形讨论(I)当|p1−p2|≤log32时，由（1）知f(x)=f1(x)（对所有实数x∈[a, b]）则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知p1=a+b2，再由f1(x)={3p1−x，x<p13x−p1，x≥p1的单调性可知，函数f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度为b−a+b2=b−a2（参见示意图）(II)|p1−p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2−p1>log32，于是当x≤p1时，有f1(x)=3p1−x<3p2−x<f2(x)，从而f(x)=f1(x)；当x≥p2时，有f1(x)=3x−p1=3p2−p1+x−p2=3p2−p1⋅3x−p2>3log32⋅3x−p2=f2(x)从而f(x)=f2(x)；当p1<x<p2时，f1(x)=3x−p1，及f2(x)=2⋅3p2−x，由方程3x−p1= 2⋅3p2−x解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x0=p1+p22+12log32(1)显然p1<x0=p2−12[(p2−p1)−log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知f(x)={f1(x)，p1≤x≤x0f2(x)，x0<x≤p2综上可知，在区间[a, b]上，f(x)={f1(x)，a≤x≤x0f2(x)，x0<x≤b（参见示意图）故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为(x0−p1)+(b−p2)，由于f(a)=f(b)，即3p1−a=2⋅3b−p2，得p1+p2=a+b+log32(2)故由（1）、（2）得(x0−p1)+(b−p2)=b−12[p1+p2−log32]=b−a2综合(I)(II)可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度和为b−a2．。
2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集． （II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． （2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ． （5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1
![2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/526dfd11866fb84ae45c8d1b.webp)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2011年高考数学试卷中的初中数学试题
2011年高考数学试卷中的初中数学试题（安徽理）（同文8）(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80 (6)C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选C.（安徽理）(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数（D ）存在一个能被2整除的数不是偶数（7）D 【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.（北京理）（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A. 【解析】：①正确。
由条件可知，BD=BF ，CF=CE ，可得CA BC AB AE AD ++=+。
②正确。
通过条件可知，AD=AE 。
由切割定理可得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅。
③错误。
连接FD （如下图），若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠。
通过图像可知2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误。
答案选A.（北京理）(7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82【答案】C 【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是∆PAC ，面积为10，选C 。
2011年江苏高考数学模拟试卷
7 8 994464732011年江苏高考数学模拟试卷1．为虚数单位，计算2. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论 . 4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是5．已知，则6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是7．设是边长为1的正三角形, 则=8．已知函数的定义域集合是,函数的定义域集合是，若，那么实数的取值范围9. 方程的实根个数是10．在括号内填一个实数，使得等式成立，这个实数是11、若集合{}|2A x x=≤，{}|B x x a=≥满足{2}A B =，则实数a= ．12、函数)3(sin12π+-=xy的最小正周期是．13、下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .14、某算法的伪代码如右：则输出的结果是 .15、若复数iaiz3)1(+=- (i是虚数单位，a是实数)，且zz=（的共轭复数）为zz，则=a．16、已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则212baa-的值为_____________．17、已知椭圆的中心在原点、焦点在y轴上，若其离心率是12，焦距是8，则该椭圆的方程为．18、已知抛物线y2=4x的准线与双曲线222xy1a-=交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 _____________．19、函数2cosy x x=+在区间[0,]2π上的最大值是．15、（本小题满分14分）s←2i←1While s≤400i←i+2s←s×iEnd WhilePrint i第4题在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()sin ,12A -. （1）求m ·n 取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.16、（本小题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。
数学_2011年江苏省高考数学预测试卷及最后一讲(含答案)
2011年江苏省高考数学预测试卷及最后一讲一、填空题（共13小题，每小题3分，满分39分）1. 设a →=(m +1)i →−3j →，b →=i →+(m −1)j →，其中i →，j →为互相垂直的单位向量，又(a →+b →)⊥(a →−b →)，则实数m =________．2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等差数列，则cosA+cosC 1+cosAcosC=________．3. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为ℎ1，ℎ2，ℎ，则ℎ1:ℎ2:ℎ=________．4. 设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →⋅OB →=________． 5. 如果不等式√4x −x 2>(a −1)x 的解集为A ，且A ⊆{x|0<x <2}，那么实数a 的取值范围是________．6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．7. 不等式√x >ax +32的解集为(4, b)，则a =________，b =________．8. 下表中的对数值有且仅有一个是错误的：lg 15 ＝9. 已知f(n +1)=f(n)−1f(n)+1(n ÎN ∗)，f(1)=2，则f(2007)=________10. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”．{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列“基量”为________组； （1）S 1与S 2； （2）a 2与S 3； （3）a 1与a n ；（4）q 与a n （n 为大于1的整数，S n 为{a n }的前n 项和）11. 若两个长方体的长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm ，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm ．12. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________． 13. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．二、解答题（共12小题，满分0分）14. 已知a →=(sinθ, −2)与b →=(1, cosθ)互相垂直，其中θ∈(0, π2)．（1）求sinθ和cosθ的值； （2）若sin(θ−j)=√1010，0<j <π2，求j 的值．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若AB →⋅BC →=−32，b =√3，求a +c 的值； （2）求2sinA −sinC 的取值范围． 16. 在△ABC 中，C −A =π2，sinB =13． (1)求sinA 的值；(2)设AC =√6，求△ABC 的面积．17.如图1所示，在边长为12的正方形AA′A 1′A 1中，点B ，C 在线段AA′上，且AB =3，BC =4，作BB 1 // AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ，作CC 1 // AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A′A 1′与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC −A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC −A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．18.如图，在四棱锥P −ABCD 中，CD // AB ，AD ⊥AB ，BC ⊥PC ，AD =DC =12AB ．（1）求证：PA ⊥BC（2）试在线段PB 上找一点M ，使CM // 平面PAD ，并说明理由．19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y =x +2相切． （1）求a 与b ；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1与点P ．求PF 1线段垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并说明曲线类型．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)，且a 、b 、c 成等比数列． （1）求ca 的值．（2）若椭圆C 的上顶点、右顶点分别为A 、B ，求证：∠F 1AB =90∘．（3）若P 为椭圆C 上的任意一点，是否存在过点F 2、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足RP →=−2PF 2→？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由．21. 从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n }的一个子数列．设数列{a n }是一个首项为a 1、公差为d(d ≠0)的无穷等差数列． (1)若a 1，a 2，a 5成等比数列，求其公比q ．(2)若a 1=7d ，从数列{a n }中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由．(3)若a 1=1，从数列{a n }中取出第1项、第m(m ≥2)项（设a m =t ）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由． 22. 已知定义在R 上的函数f(x)和数列{a n }满足下列条件：a 1=a ，a 2≠a 1，当n ∈N ∗且n ≥2时，a n =f(a n−1)且f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)． 其中a 、k 均为非零常数．（1）若数列{a n }是等差数列，求k 的值；（2）令b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)，若b 1=1，求数列{b n }的通项公式； （3）试研究数列{a n }为等比数列的条件，并证明你的结论． 23. 已知函数f(x)=|x|x+2．（1）判断函数f(x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程f(x)=kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．24. 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB ）为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O ，B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为ym ．(1)设∠CA 1O =θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长． 25. 由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P(t)（单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图(1)所示的折线ABCDE 表示，销售价格Q(t)（单位：元/千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图(2)所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出P(t)，Q(t)关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（2）图(1)中由四条线段所在直线 围成的平面区域为M ，动点P(x, y)在M 内（包括边界），求z =x −5y 的最大值； （3） 由（2），将动点P(x, y)所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1≤2x −3y ≤3类比为1≤x 2y 3≤3），试列出P(x, y)所满足的条件，并求出相应的最大值．2011年江苏省高考数学预测试卷及最后一讲答案1. −22. 45 3. 12：√33：√33 4. −345. a ∈[2, +∞)6. 47. 18,368. 3a −b +c 9. −1210. （1）（4） 11. 5√512. 3,当n 为偶数时，S n =52n ；当n 为奇数时，S n =52n −1213. m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n 或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β 14. 解：（1）因为a →与b →互相垂直， 所以a →⋅b →=0．所以sinθ−2cosθ=0，即sinθ=2cosθ． 因为sin 2θ+cos 2θ=1，所以(2cosθ)2+cos 2θ=1． 解得cos 2θ=15．则sin 2θ=45．因为θ∈(0, π2)，所以sinθ>0，cosθ>0， 所以sinθ=2√55，cosθ=√55． （2）因为0<j <π2，0<θ<π2，所以−π2<θ−j <π2， 所以cos(θ−j)=√1−sin 2(θ−j)=3√1010， 所以cosj =cos[θ−(θ−j)]=cosθcos(θ−j)+sinθsin(θ−j)=√22．所以j =π4．15. 解：（1）∵ A ，B ，C 成等差数列， ∴ B =π3．∵ AB →⋅BC →=−32，∴ accos(π−B)=−32，∴ 12ac =32，即ac =3．∵ b =√3，b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴ a 2+c 2−ac =3，即(a +c)2−3ac =3． ∴ (a +c)2=12，所以a +c =2√3．（2）2sinA −sinC =2sin(2π3−C)−sinC =2(√32cosC +12sinC)−sinC =√3cosC ． ∵ 0<C <2π3，∴ √3cosC ∈(−√32, √3)． ∴ 2sinA −sinC 的取值范围是(−√32, √3)． 16. 解：(1)由C −A =π2和A +B +C =π， 得2A =π2−B ，0<A <π4，故cos2A =sinB ，即1−2sin 2A =13， ∴ sinA =√33（负值舍去）． (2)由(1)得cosA =√63．由正弦定理，得BCsinA =ACsinB，∴ BC=sinAsinB ⋅AC=√3313×√6=3√2．∵ C−A=π2，∴ C=π2+A，∴ sinC=sin(π2+A)=cosA，∴ S△ABC=12AC⋅BC⋅sinC=12AC⋅BC⋅cosA=12×√6×3√2×√63=3√2．17. （1）证明：在正方形AA′A1′A1中，因为A′C=AA′−AB−BC=5，所以三棱柱ABC−A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2．所以AB⊥BC．因为四边形AA′A1′A1为正方形，BB1 // AA1，所以AB⊥BB1．而BC∩BB1=B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1．（2）解：因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A−BCQP的高．因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，所以梯形BCQP的面积为S BCQP=12(BP+CQ)×BC=20．所以四棱锥A−BCQP的体积V A−BCQP=13S BCQP×AB=20．由（1），知BB1⊥AB，BB1⊥BC，且AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC．所以BB1⊥平面ABC．所以三棱柱ABC−A1B1C1为直棱柱．所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V ABC−A1B1C1=S△ABC×BB1=72．故平面APQ将三棱柱ABC−A1B1C1分成上、下两部分的体积之比为72−2020=13518. 解：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD // AB，AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．所以∠ACD=∠ACE=45∘因为AE=CD=12AB，所以BE=AE=CE所以∠BCE=45∘所以∠ACB =∠ACE +∠BCE =90∘所以AC ⊥BC ，又因为BC ⊥PC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC 所以BC ⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC ，所以PA ⊥BC ． （2）当M 为PB 中点时，CM // 平面PAD ，证明：取AP 中点为F ，连接CM ，FM ，DF ．则FM // AB ，FM =12AB ， 因为CD // AB ，CD =12AB ，所以FM // CD ，FM =CD ．所以四边形CDFM 为平行四边形，所以CM // DF ，因为DF ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，所以，CM // 平面PAD ． 19. 解：（1）e =√33，∴ b 2a2=23，又b =√1+1=√2，∴ a =√3，b =√2．（2）由（1）知F 1，F 2分别为(−1, 0)，(1, 0)，由题意可设P(1, t)，(t ≠0)那么线段PF 1中点为N(0, t2)，设M(x, y)是所求轨迹上的任意点，由MN →=(−x, t2−y)，PF 1→=(−2, −t)则{y =t ˙，消t 得y 2=−4x(x ≠0)其轨迹为抛物线除原点的部分． 20. 解：（1）由题设b 2=ac 及b 2=a 2−c 2，得ca =√5−12． （2）由题设A(0, b)，B(a, 0)，又F 1(−c, 0)， 得AF 1→=(−c,−b)，AB →=(a,−b)， 于是AF 1→⋅AB →=−ac +b 2=0，故∠F 1AB =90∘．（3）由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为y =k(x −c)， 得R(0, −kc)，又F 2(c, 0)，及RP →=−2PF 2→，得点P 的坐标为(2c, kc)， 因为点P 在椭圆上， 所以(2c)2a 2+(kc)2b 2=1，又b 2=ac ，得4(ca )2+k 2⋅ca =1，k 2=5−3√52<0，与k 2≥0矛盾，故不存在满足题意的直线l ．21. 解：(1)由题设，得a 22=a 1a 5， 即(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)， 得d 2=2a 1d ，又d ≠0， 于是d =2a 1， 故其公比q =a2a 1=3．(2)设等比数列为{b m }，其公比q =a 6a 2=32，b m =a 2q m−1=8d ⋅(32)m−1，由题设a n =a 1+(n −1)d =(n +6)d ． 假设数列{b m }为{a n }的无穷等比子数列，则对任意自然数m(m ≥3)，都存在n ∈N ∗，使a n =b m ， 即(n +6)d =8d ⋅(32)m−1，得n =8(32)m−1−6，当m =5时，n =8(32)5−1−6=692∉N ∗，与假设矛盾，故该数列不为{a n }的无穷等比子数列．(3)①设{a n }的无穷等比子数列为{b r }，其公比a m a 1=b2b 1=t(t ≠1)，得b r =t r−1，由题设，在等差数列{a n }中，d =a m −a 1m−1=t−1m−1，a n =1+(n −1)t−1m−1，因为数列{b r }为{a n }的无穷等比子数列，所以对任意自然数r(r ≥3)，都存在n ∈N ∗，使a n =b r ， 即1+(n −1)t−1m−1=t r−1， 得n =t r−1−1t−1(m −1)+1=(t r−2+t r−3+t +1)(m −1)+1，由于上式对任意大于等于3的正整数r 都成立，且n ，m −1均为正整数， 可知t r−2+t r−3+t +1必为正整数， 又d ≠0，故t 是大于1的正整数．②再证明：若t 是大于1的正整数，则数列{a n }存在无穷等比子数列． 即证明无穷等比数列{b r }中的每一项均为数列{a n }中的项． 在等比数列{b r }中，b r =t r−1， 在等差数列{a n }中，d =a m −a 1m−1=t−1m−1，a n =1+(n −1)t−1m−1，若b r 为数列{a n }中的第k 项，则由b r =a k ，得t r−1=1+(k −1)t−1m−1， 整理得k =t r−1−1t−1(m −1)+1=(t r−2+t r−3+t +1)(m −1)+1，由t ，m −1均为正整数，得k 也为正整数，故无穷等比数列{b r }中的每一项均为数列{a n }中的项，得证．综上，当且仅当t 是大于1的正整数时，数列{a n }存在无穷等比子数列． 22. 解：（1）由已知a n =f(a n−1)，f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)(n =2, 3, 4,)，得a n+1−a n =f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)(n =2, 3, 4,)由数列{a n }是等差数列，得a n+1−a n =a n −a n−1(n =2, 3, 4,) 所以，a n −a n−1=k(a n −a n−1)，(n =2, 3, 4,)，得k =1．（2）由b 1=a 2−a 1≠0，可得b 2=a 3−a 2=f(a 2)−f(a 1)=k(a 2−a 1)≠0．且当n >2时，b n =a n+1−a n =f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)=k n−1(a 2−a 1)≠0所以，当n≥2时，b nb n−1=a n+1−a na n−a n−1=f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k(a n−a n−1)a n−a n−1=k，因此，数列{b n}是一个公比为k的等比数列．（3）解：{a n}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1)充分性证明：若f(x)=kx(k≠1)，则由已知a1=a≠0，a n=f(a n−1)(n=2, 3, 4,)得a n=ka n−1(n= 2, 3, 4,)所以，{a n}是等比数列．必要性证明：若{a n}是等比数列，由（2）知，b n=k n−1(a2−a1)(n∈N∗)b1+b2++b n−1=(a2−a1)+(a2−a1)++(a n−a n−1)=a n−a1(n≥2)，a n=a1+(b1+b2++b n−1)．当k=1时，a n=a1+(a2−a1)(n−1)(n≥2)．上式对n=1也成立，所以，数列{a n}的通项公式为：a n=a+(f(a)−a)(n−1)(n∈N∗)．所以，当k=1时，数列{a n}是以a为首项，f(a)−a为公差的等差数列．所以，k≠1．当k≠1时，a n=a1+(a2−a1)1−k n−11−k(n≥2)．上式对n=1也成立，所以，a n=a+(f(a)−a)1−k n−11−k =a+f(a)−a1−k−(f(a)−a)k n−11−k所以，a+f(a)−a1−k=0⇒f(a)=ka．即，等式f(a)=ka对于任意实数a均成立．所以，f(x)=kx(k≠1)．23. 解：（1）函数f (x)在区间(0, +∞)上，证明如下：∵ f(x)=|x|x+2，∴ 当x>0时，f(x)=1−2x+2∵ y=2x+2在(0,+∞)上是减函数∴ f (x)在区间(0, +∞)上是增函数．（2）原方程即：|x|x+2=kx2①①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．②当x<0且x≠−2时方程①有解，则−xx+2=kx2即kx2+2kx+1=0当k=0时，方程kx2+2kx+1=0无解；当k≠0时，△=4k2−4k≥0即k<0或k≥1时，方程kx2+2kx+1=0有解．设方程kx2+2kx+1=0的两个根分别是x1，x2则x1+x2=−2，x1x2=1k．当k>1时，方程kx2+2kx+1=0有两个不等的负根；当k=1时，方程kx2+2kx+1=0有两个相等的负根；当k<0时，方程kx2+2kx+1=0有一个负根③当x>0时，方程①有解，则xx+2=kx2，kx2+2kx−1=0当k =0时，方程kx 2+2kx −1=0无解；当k ≠0时，△=4k 2+4k ≥0即k >0或k ≤−1时，方程kx 2+2kx −1=0有解． 设方程kx 2+2kx −1=0的两个根分别是x 3，x 4 ∴ x 3+x 4=−2，x 3x 4=−1k∴ 当k >0时，方程kx 2+2kx −1=0有一个正根， 当k ≤−1时，方程kx 2+2kx +1=0没有正根．．综上可得，当k ∈(1, +∞)时，方程f (x)=kx 2有四个不同的实数解．． 24. 解：(1)在Rt △COA 1中，CA 1=2cosθ，CO =2tanθ， y =3CA 1+CB =3⋅2cosθ+2−2tanθ=2(3−sinθ)cosθ+2(0<θ<π4);(2)y ′=2−cos 2θ−(3−sinθ)(−sinθ)cos 2θ=23sinθ−1cos 2θ.令y ′=0，则sinθ=13.当sinθ>13时，y ′>0；sinθ<13时，y ′<0. ∵ y =sinθ在[0,π4]上是增函数，∴ 当角θ满足sinθ=13时，y 最小，最小为4√2+2，此时BC =2−√22(m) . 25. 解：（1）P(t)={−t +5&0≤t ≤3t −1&3<t ≤6,−t +11&6<t ≤9,t −7&9<t ≤12Q(t)=−116(t −4)2+6 &(0≤t ≤12)．P(t)⋅Q(t)=(t −1)[−116(t −4)2+6](3<t ≤6)(P(t)⋅Q(t))′=−316[(t −3)2−33]>0在t ∈(3, 6]恒成立，所以函数在(3, 6]上递增 当t =6时，[P(t)⋅Q(t)]max =28.75． ∴ 6月份销售额最大为34500元． （2） {5≤x +y ≤111≤x −y ≤7，z =x −5y ．令x −5y =A(x +y)+B(x −y)，则{A +B =1A −B =−5⇒{A =−2B =3，∴ z =x −5y =−2(x +y)+3(x −y)．由−22≤−2(x +y)≤−10，3≤3(x −y)≤21，∴ −19≤z ≤11，则(z)max =11．（3）类比到乘法有已知{5≤xy ≤111≤x y≤7，求z =x y 5的最大值．由xy 5=(xy)A ⋅(x y )B {A +B =1A −B =−5⇒{A =−2B =3．∴ 1121≤(xy)−2≤125，1≤(xy)3≤343 ∴ 1121≤z ≤34325，则(z)max =34325．。
高考数学(理)真题专题汇编：空间立体几何
高考数学（理）真题专题汇编：空间立体几何一、选择题（本题共9道小题，每小题0分，共0分）1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<2.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积(cm 3)是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 3243.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面4.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线5.【来源】0（08年全国卷2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． C． D．26.【来源】0(08年四川卷文)若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7.【来源】0（08年北京卷）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）8.【来源】2011年高考数学理（安徽）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）48+（B）32817+（C）48817（D）509.【来源】2011年高考数学理（全国新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为二、填空题10.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．12.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .13.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.15.【来源】（07年浙江卷文）已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的取值范围是_________．16.【来源】2011年高考数学理（全国新课标）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。
2011年高考试题数学圆锥曲线(理科)
2011年高考试题数学圆锥曲线（理科）解析数学一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。
4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由222A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,x ∴=y=) 在椭圆上,1=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为A.4B. 3C. 2D. 18.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒= 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45- 【答案】D【解析】：24(1,0)y x F = 得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y xA B y x ⎧=-⎨=-⎩得=，由抛物线的定义得2,5AF BF ==由余弦定理得4cos 5AFB ∠==- 故选D11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，。
数学_2011年江苏省高考数学最新预测试卷(含答案)
2011年江苏省高考数学最新预测试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知复数z 1=m +2i ，z 2=3−4i ，若z1z 2为实数，则实数m 的值为________．2. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．3. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则实数k 的值为________．4. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3, 2)，其一边AB 所在直线的方程为x −y +1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为________．5. 已知函数f(x)={2,x ∈[−1,1]，x,x ∉[−1,1]，若f[f(x)]=2，则x 的取值范围是________．6. 若点P(2, 0)到双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线的距离为√2，则双曲线的离心率为________7. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填________．8. 函数y =f(x)的图象在点M （1, f(1)）处的切线方程是y =3x −2，则f(1)+f′(1)=________．9. 若直线ax +by =1(a, b ∈R)经过点(1, 2)，则1a+1b 的最小值是________．10. 已知在平面直角坐标系xoy 中，O(0, 0)，A(1, −2)，B(1, 1)，C(2, −1)动点M 满足条件{1≤OM →⋅OB →≤2˙，则OM →⋅OC →的最大值为________11. 已知三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ．若角C =π3，且a =2b ，则角B =________．12. 对于数列{a n }，定义数列{△a n }满足：△a n =a n+1−a n ，(n ∈N ∗)，定义数列{△2a n }满足：△2a n =△a n+1−△a n ，(n ∈N ∗)，若数列{△2a n }中各项均为1，且a 101=a 2009=0，则 a 1=a n+1−△a n ，(n ∈N ∗)，若数列{△2a n }中各项均为1，且a 101=a 2009=0，则 a 1=________．13. 若|x −a|+1x ≥12对一切x >0恒成立，则a 的取值范围是________．14. 下列命题中，错误命题的序号有________．（1）“a=−1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件；（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；（3）已知a，b，c为非零向量，则“a⋅b=a⋅c”是“b=c”的充要条件；（4）若p:∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p:∀x∈R，x2+2x+2>0．二、解答题（共12小题，满分90分）15. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1）2sinBcosC−sin(B−C)的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．16. 如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=AD，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF // 平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．17. 水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间（单位：月），以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为v(t)={1240(−t2+15t−51)et+50(0<t≤9) 4(t−9)(3t−41)+50(9<t≤12)．（1）若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i−1<t≤i表示第i月份(i= 1, 2,…12)，问一年内那几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e3=20计算）．18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1, 32)．（1）求椭圆C的方程；（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．19. 设数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足：b n=na n，且数列{b n}的前n项和为(n−1)S n+2n(n∈N∗)．（1）求a1，a2的值；（2）求证：数列{S n+2}是等比数列；（3）抽去数列{a n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n−2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{c n}，若{c n}的前n项和为T n，求证：125<T n+1T n≤113．20. 对任意x∈R，给定区间[k−12, k+12](k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．（1）写出f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=log a√x，(e−12<a<1)，试证明：当x>1时，f(x)>g(x)；当0< x<1时，f(x)<g(x)；（3）求方程f(x)−log a√x=0的实根，(e−12<a<1)．21. （附加题-选做题）（几何证明选讲）如图，圆O与圆O1外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A、B两点，AC为圆O的直径，T 为圆O1上任点，CT=AC．求证：CT为圆O1的切线，切点为T．22. 已知矩阵A=[2003]，点M(−1, −1)，点N(1, 1)．（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；（2）求矩阵A的特征值与特征向量．23. 已知曲线C的参数方程为{x=sinαy=cos2α，α∈[0, 2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．24. 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．25. （附加题-必做题）四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．(I)证明PA // 平面BDE；(II)求二面角B−DE−C的平面角的余弦值；(III)在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由．26. 一袋中有m(m∈N∗)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于23，求m的最小值．2011年江苏省高考数学最新预测试卷答案1. −322. 144. x−y−3=05. {2}∪[−1, 1]6. √27. 38. 49. 3+2√210. 411. π612. 10040013. (−∞, 2]14. （1）、（2）、（3）．15. 解：（1）∵ b2+c2=a2+bc，∴ a2=b2+c2−bc，结合余弦定理知cosA=b 2+c2−a22bc=b2+c2−(b2+c2−bc)2bc=12，又A∈(0, π)，∴ A=π3，∴ 2sinBcosC−sin(B−C)=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin[π−A]=sinA=√32；（2）由a=2，结合正弦定理得：a sinA =bsinB=csinC=√32=4√33，∴ b=4√33sinB，c=4√33sinC，则a+b+c=2+4√33sinB+4√33sinC=2+4√33sinB+4√33sin(2π3−B)=2+2√3sinB+2cosB=2+4sin(B+π6)，可知周长的最大值为6．16. 证明：（1）取PC中点G，连接FG、EG，∵ F、G分别为PD、PC的中点，∴ FG // CD且FG=12CD．∵ AE // CD且AE=12CD，∴ FG // AE且FG=AE，∴ 四边形AEGF为平行四边形，∴ AF // EG，又∵ AF⊄平面PCE，∴ AF // 平面PCE．（2）由PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥CD，∵ CD⊥AD，∴ CD⊥平面PAD，CD⊥AF．又∵ PA⊥AD，PA=AD，故△PAD为等腰直角三角形，再由F为PD的中点，可得AF⊥这样，AF 垂直于平面PCD 内的两条相交直线CD 、PD ，∴ AF ⊥平面PCD ．∵ AF // EG ，∴ EG ⊥平面PCD ，又∵ EG ⊂平面PCE ，∴ 平面PCE ⊥平面PCD ． 17. 解：（1）当0<t ≤9时，v(t)=1240(−t 2+15t −51)e t +50<50， 即t 2−15t +51>0， 解得t >15+√212或t <15−√212，从而0<t <15−√212≈5.2．当9<t ≤12时，v(t)=4(t −9)(3t −41)+50<50， 即(t −9)(3t −41)<0， 解得9<t <413，所以9<t ≤12．综上，0<t <5.2或9<t ≤12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月． （2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6∼9月份． v′(t)=1240(−t 2+13t −36)e t =−1240e t (t −1)(t −9)， 令v′(t)=0，解得t =9或t =4（舍去），又当t ∈(6, 9)时，v′(t)>0；当t ∈(9, 10)时，v′(t)<0．所以，当t =9时，v(t)的最大值v(9)=1240×3×e 9+50=150（亿立方米）， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．18. 解：（1）∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P(1, 32)， ∴ {√a 2−b 2a =121a 2+94b 2=1，即{3a2−4b2=01a2+94b2=1，解得{a 2=4b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）易求得F(1, 0)．设M(x 0, y 0)，则x 024+y 023=1，−2≤x 0≤2圆M 的方程为(x −x 0)2+(y −y 0)2=(1−x 0)2+y 02，令x =0，化简得y 2−2y 0y +2x 0−1=0，△=4y 02−4(2x 0−1)>0①． 将y 02=3(1−x 024)代入①，得3x 02+8x 0−16<0，解出−4<x 0<43．∴ −2≤x 0<43．（3）设D(0, y 1)，E(0, y 2)，其中y 1<y 2．由（2），得DE =y 2−y 1=√4y 02−4(2x 0−1)=√−3x 02−8x 0+16=√−3(x 0+43)2+643，当x 0=−43时，DE 的最大值为8√33．19. 解：（1）由题意得：a 1+2a 2+3a 3+...+na n =(n −1)S n +2n ； 当n =1时，则有：a 1=(1−1)S 1+2，解得：a 1=2；当n =2时，则有：a 1+2a 2=(2−1)S 2+4，即2+2a 2=(2+a 2)+4，解得：a 2=4； ∴ a 1=2，a 2=4（2）由a 1+2a 2+3a 3+...+na n =(n −1)S n +2n①得：a 1+2a 2+3a 3+...+na n +(n +1)a n+1=nS n+1+2(n +1)②②-①得：(n +1)a n+1=nS n+1−(n −1)S n +2，即：(n +1)(S n+1−S n )=nS n+1−(n −1)S n +2即：S n+1=2S n +2； ∴ S n+1+2=2(S n +2)，由S 1+2=a 1+2=4≠0知： 数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）知：S n +2=4⋅2n−1，即S n =4⋅2n−1−2=2n+1−2当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n 对n =1也成立， 即a n =2n (n ∈N ∗)．∴ 数列{c n }为22，23，25，26，28，29，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；∴ 当n =2k −1(k ∈N ∗)时，T n =(c 1+c 3+...+c 2k−1)+(c 2+c 4+...+c 2k−2)=(22+25+...+23k−1)+(23+26+...+23k−3) =4(1−8k )1−8+8(1−8k−1)1−8=57⋅8k −127，T n+1=T n +c n+1=57⋅8k −127+23k =127⋅8k −127，∴ T n+1T n =12⋅8k −125⋅8k −12=125+845(5⋅8k −12)，∵ 5⋅8k−12≥28&∴ 125<T n+1T n ≤3∴ 当n =2k(k ∈N ∗)时，T n =(c 1+c 3+...+c 2k−1)+(c 2+c 4+...+c 2k )=(22+25+...+23k−1)+(23+26+...+23k ) =4(1−8k )1−8+8(1−8k )1−8=127⋅8k −127，T n+1=T n +c n+1=127⋅8k −127+23k+2=407⋅8k −127，∴T n+1T n=40⋅8k −1212⋅8k −12=103+73(8k −1)，∵ 8k −1≥7∴103<T n+1T n≤113∴ 125<T n+1T n≤113．20. 解：（1）当x ∈[k −12, k +12](k ∈Z)时，由定义知：k 为与x 最近的一个整数，故 f(x)=|x −k|，x ∈[k −12, k +12](k ∈Z)．（2）①当x >1时，|x −k|≥0>12log a x ，所以f(x)>g(x)；②当12<x <1时，设H(x)=g(x)−f(x)=12log a x −(1−x)，(12<x <1)．则H′(x)=12⋅1x log a e +1=12xlna +1<11xlne −12+1=−1x +1<0，所以当12<x <1时，H(x)为减函数，H(x)>H(1)=0，故f(x)<g(x)； ③当0<x ≤12时，设G(x)=g(x)−f(x)=12log a x −x ，明显G(x)为减函数，G(x)≥G(12)=H(12)>0，故f(x)<g(x)．另证：g(x)=12log a x >12log a 12=12loga4−12>12logae −12>12log a a =12=f(12)>f(x)．（3）由（2），容易验证x =1为方程|x −k|−12log a x =0的实根，所以，若e −12<a <1，方程f(x)−log a √x =0有且仅有一个实根，实根为1．21.证明：设圆O 的半径为r ，圆O 1的半径为R(R >r)过点O 1作O 1E ⊥AC ，垂足为E ，则O 1E 2=AB 2=(R +r)2−(R −r)2=4Rr连接O 1C ，则O 1C 2=O 1E 2=C 1E 2=4Rr +(2R −r)2=4R 2+r 2 因为CT 2=AC 2=4r 2，O 1T 2=R 2 所以O 1C 2=CT 2+O 1T 2，所以三角形O 1CT 为直角三角形，O 1T ⊥TC 所以CT 为圆O 1的切线，切点为T22. 解：（1）由[3004][−1−1]=[−3−4]，[3004][11]=[34]，所以M′(−3, −4)，N′(3, 4)所以M′N′=√(−3−3)2+(−4−4)2=10 （2）f(λ)=|λ−300λ−4|=(λ−3)(λ−4)=0得矩阵A 特征值为λ1=3，λ2=4，分别将λ1=3，λ2=4代入方程组可解得矩阵A属于特征值λ1=3的特征向量为α→1=[01]，当属于特征值λ2=4的特征向量为α→2=[10]．23. 解：(1)∵ {x =sinαy =cos 2α，α∈[0, 2π)，sin 2α+cos 2α=1， ∴ x 2+y =1，x ∈[−1, 1]．∴ 将曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2+y =1，x ∈[−1, 1]． (2)由ρsin(θ+π4)=−√2，得曲线D 的普通方程为x +y +2=0， 由{x +y +2=0x 2+y =1得x 2−x −3=0，解x =1±√132∉[−1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．24. 解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2，b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]．25. 解：(1)以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD =CD =2，则A(2, 0, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)，B(2, 2, 0)， 所以PA →=(2, 0, −2)，DE →=(0, 1, 1)，DB →=(2, 2, 0)． 设n →=(x, y, z)是平面BDE 的一个法向量， 则由{n →⋅DB →=0˙，得{y +z =02x +2y =0；取=−1，则n1→=(1, −1, 1)， ∵ √33⋅n →=2−2=0，∴ PA →⊥n1→，又PA ⊄平面BDE ， ∴ PA // 平面BDE ．(2)由(1)知n1→=(1, −1, 1)是平面BDE 的一个法向量，又n2→=DA →=(2, 0, 0)是平面DEC 的一个法向量．设二面角B −DE −C 的平面角为θ，由图可知θ=<n1→，n2→>， ∴ cosθ=cos <n1→，n2→>=|n1→|⋅|n2→|˙=√3×2=√33， 故二面角B −DE −C 余弦值为√33． (3)∵ PB →=(2, 2, −2)，DE →=(0, 1, 1)， ∴ PB →⋅DE →=0+2−2=0，∴ PB ⊥DE ．假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设PF →=λPB →(0<λ<1)， 则PF →=(2λ, 2λ, −2λ)，DF →=DP →+PF →=(2λ, 2λ, 2−2λ)， 由PF →⋅DF →=0得4λ2+4λ2−2λ(2−2λ)=0， ∴ λ=13∈(0, 1)，此时PF =13PB ，即在棱PB 上存在点F ，PF =13PB ，使得PB ⊥平面DEF ．26. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵ 试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C 92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C 42+C 32+C 22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A ， ∴ P(A)=1036=518．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P(ξ=0)=C 52C 82=1028=514P(ξ=1)=1528，P(ξ=2)=328∴ ξ的分布列是 ∴ Eξ=0×514+1×1528+2×328=34．（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数C x+52，满足条件的事件是C x 1C 31+C x 1C 21+C 31C 21， 设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B ，则 P(B)=C x 1C 31+C x 1C 21+C 31C 21C x+52<23，∴ x 2−6x +2>0， ∴ x >3+√7或x <3−√7，x 的最小值为6．。
2011年高考试题——数学理(新课标卷)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120（B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数xy -=11的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。