2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第六节 双曲线课件 理.pptx
点的轨迹是双曲线．
()
(2)方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线． (
)
(3)双曲线方程
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是
mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.
()
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( )
(5)若双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)与bx22－ay22＝1(a＞0，b＞0)的
一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 ( )
A.x42－y2＝1
B．x2－y42＝1
C.32x02－35y2＝1
D.35x2－32y02＝1
解析：由焦距为2 5 ，得c＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直
线2x＋y＝0垂直，所以
b a
＝
1 2
.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为x42－y2＝1. 答案：A
第六 节
双曲线
1
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
2
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
3
过基 础知 识
4
1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为 常数且 a>0，c>0.
18
法二：设所求双曲线方程为4－x2 λ＋1－y2 λ＝1(1<λ<4)， 将点P(2,1)的坐标代入可得4－4 λ＋1－1 λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x22－y2＝1. 答案：B
19
2．已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2 5，且双曲线的
20
3．过双曲线C：ax22－by22＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近
线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，
O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为
离心率分别是e1，e2，则e121＋e122＝1(此结论中两条双曲线称为共
轭双曲线)．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
9
2．双曲线x32－y22＝1的焦距为
()
A．5
B. 5
C．2 5
D．1
解析：由双曲线
x2 3
－
y2 2
＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝
5， 所以双曲线x32－y22＝1的焦距为2 5. 答案：C
(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－y32＝1. 答案：A
12
4．(2017·北京高考)若双曲线x2－
y2 m
＝1的离心率为
3 ，则实数m
＝________.
解析：由已知可得a＝1，c＝ 1＋m， 所以e＝ac＝ 1＋m＝ 3，解得m＝2.
)
A.x42－y2＝1
B.x22－y2＝1
C.x32－y32＝1
D．x2－y22＝1
解析：法一：椭圆x42＋y2＝1的焦点坐标是(± 3，0)．
设双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，所以a42－b12＝1，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.
(1)当 2a<|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2|时，P 点不存在．
5
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形
6
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
答案：2
13
5．设P是双曲线
x2 16
－
y2 20
＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右
两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左
支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 实虚轴 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
7
过基础小题
8
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的
14
6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线
x2 a2
－
y2 9
＝1(a＞0)的一条渐近线方程为
y＝35x，则a＝________. 解析：∵双曲线的标准方程为xa22－y92＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.
答案：5
15
课 堂 考点突破
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
范围 x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心： 原点
顶点
性 渐近线 质 离心率
顶点坐标：
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈ (1，＋∞)
练透基点，研通难点，备考不留死角
16
考点一 双曲线的标准方程
[考什么·怎么考]
高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面： 一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双 曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填 空题和解答题中均有体现，难度中等偏上.
17
1．与椭圆x42＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(
10
3．(教材习题改编)以椭圆x42＋y32＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的
双曲线方程为
()
A．x2－y32＝1
B.x32－y2＝1
C．x2－y22＝1
D.x方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
由椭圆
x2 4
＋
y2 3
＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为
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高考数学一轮复习第八章平面解析几何第6讲双曲线课件文
12/13/2021
第二十七页，共四十页。
【解】 (1)证明：设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x－2y＝0 和 x＋2y＝0.
点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是|x1－52y1|和|x1＋52y1|，
它们的乘积是|x1－2y1|·|x1＋2y1|＝|x21－4y12|＝4，
12/13/2021
第十九页，共四十页。
双曲线的几何性质(高频考点) (1)已知双曲线 E：xa22－by22＝1(a>0，b>0)．矩形 ABCD
的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且
2AB＝3BC，则 E 的离心率是_____2_______．
(2)(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy
(2)等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两
条渐近线互相垂直(位置关系)．
12/13/2021
第十页，共四十页。
1．已知双曲线 C：xa22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为____2x_02_－__y52_＝__1_____． [解析] 由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25， 又由一条渐近线方程为 y＝bax＝12x，得12＝ba，解得 a2＝20， b2＝5，故双曲线 C 的方程为2x02－y52＝1.
12/13/2021
第十八页，共四十页。
[解析] 由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－ 2a，要求 AP＋AF2 的最小值，只需求 AP＋AF1 的最小值，当 A，P，F1 三点共 线时，取得最小值，则 AP＋AF1＝PF1＝ 37， 所以(AP＋AF2)min＝AP＋AF1－ 2a＝ 37－2 5.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线课件
(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
第八章 平面解析几何
第六节 双曲线
[考试要求] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何 性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.理解数形结合思想. 4.了解双曲线的简单应用．
01
走进教材·夯实基础
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
(3)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方 的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
()
1234
A [设所求的双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由椭圆x42＋y32 ＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶 点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以 双曲线标准方程为x2－y32＝1.]
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
第八章 平面解析几何
第六节 双曲线
[考试要求] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何 性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.理解数形结合思想. 4.了解双曲线的简单应用．
01
走进教材·夯实基础
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
(3)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方 的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
()
1234
A [设所求的双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由椭圆x42＋y32 ＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶 点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以 双曲线标准方程为x2－y32＝1.]
2019年高考数学总复习核心突破 第8章 平面解析几何 8.5 双曲线的标准方程与性质课件
������−������ ������+������
AC.k>o4pyrighBt.k2<-0104-20C1.k1>-A1 sposDe.-P1<tky<4Ltd.
【答案】A
4
3.已知双曲线的焦点是F1(-7,0)、F2(7,0),双曲线上一点 到两个焦点的距离之差的绝对值为10,求此双曲线的标准 方程.
8.5 双曲线的标准方程与性质
【考纲要求】 理解双E曲va线l的ua定ti义on,了o解n双ly曲. 线的标准方程及其 ted with Aspos几e何.S性lid质e.s for .NET 3.5 Client Profile 5.2
【学习重C点op】yrig双h曲t 线20的0标4准-2方0程11. Aspose Pty Ltd.
为顶点与焦点的双曲线的方程. 【解】设双曲线的方程为������������-������������=1(a>0,b>0),
������������ ������������
则有 a2=25-9=16,b2E=2v5-a1l6u=a9,tion only. 图8-9 ted wi∴th双A曲s线p的os方e程.S为l������������i������d������-���e���������������=s1.for .NET 3.5 Client Profile 5.2
������������ ������
的距离是 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
(2)双曲线������������-������������=1 的焦点坐标是 ( )
������������ ������
A.(5,0)和(-5,0)
B.(0,5)和(0,-5)
AC.k>o4pyrighBt.k2<-0104-20C1.k1>-A1 sposDe.-P1<tky<4Ltd.
【答案】A
4
3.已知双曲线的焦点是F1(-7,0)、F2(7,0),双曲线上一点 到两个焦点的距离之差的绝对值为10,求此双曲线的标准 方程.
8.5 双曲线的标准方程与性质
【考纲要求】 理解双E曲va线l的ua定ti义on,了o解n双ly曲. 线的标准方程及其 ted with Aspos几e何.S性lid质e.s for .NET 3.5 Client Profile 5.2
【学习重C点op】yrig双h曲t 线20的0标4准-2方0程11. Aspose Pty Ltd.
为顶点与焦点的双曲线的方程. 【解】设双曲线的方程为������������-������������=1(a>0,b>0),
������������ ������������
则有 a2=25-9=16,b2E=2v5-a1l6u=a9,tion only. 图8-9 ted wi∴th双A曲s线p的os方e程.S为l������������i������d������-���e���������������=s1.for .NET 3.5 Client Profile 5.2
������������ ������
的距离是 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
(2)双曲线������������-������������=1 的焦点坐标是 ( )
������������ ������
A.(5,0)和(-5,0)
B.(0,5)和(0,-5)
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 双曲线课件 文
【答案】 D
(2)已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动
圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
A．x＝0
B.x22－1y42 ＝1(x≥ 2)
C.x22－1y42 ＝1
D.x22－1y42 ＝1 或 x＝0
【解析】 如图，动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种 情况：①动圆 M 与两圆都相外切；②动圆 M 与两圆都内切； ③动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切；④动圆 M 与圆 C1 内切、 与圆 C2 外切．在①②情况下，显然，动圆圆心 M 的轨迹方程 为 x＝0；在③的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|＝r＋ 2， |MC2|＝r－ 2.
【答案】 44
(1)①抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关 系是求解的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差 的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一 支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝 对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
突破考点 02
求双曲线的标准方程
（重点得分型——师生共研）
标准方 程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
【调研 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线 x2－4y2＝4 有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为 y＝±12x，焦距为 10； (3)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)； (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且 过点(4，－ 10)．
(2)已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动
圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
A．x＝0
B.x22－1y42 ＝1(x≥ 2)
C.x22－1y42 ＝1
D.x22－1y42 ＝1 或 x＝0
【解析】 如图，动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种 情况：①动圆 M 与两圆都相外切；②动圆 M 与两圆都内切； ③动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切；④动圆 M 与圆 C1 内切、 与圆 C2 外切．在①②情况下，显然，动圆圆心 M 的轨迹方程 为 x＝0；在③的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|＝r＋ 2， |MC2|＝r－ 2.
【答案】 44
(1)①抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关 系是求解的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差 的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一 支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝 对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
突破考点 02
求双曲线的标准方程
（重点得分型——师生共研）
标准方 程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
【调研 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线 x2－4y2＝4 有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为 y＝±12x，焦距为 10； (3)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)； (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且 过点(4，－ 10)．
高考数学 第八章 第六节 双曲线课件 文
第六节 双 曲 线
基础知识要打牢
[知识能否忆起]
1．差的绝对值 焦点 焦距 2.x≥a 或 x≤－a y≤－a 或
y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－
a)
(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c a
(1，＋∞)
a2＋b2 A1A2
2a B1B2 2b a b
第一页，共16页。
第四页，共16页。
高频考点要通关 [例 1] 解析：(1)∵xa22－by22＝1 的焦距为 10， ∴c＝5＝ a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2,1)在渐近线上，∴2ab ＝1，即 a＝2b.② 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5.
第五页，共16页。
(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥PF2， 所以(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2， 又 因 为 |PF1| － |PF2| ＝ 2 ， 所 以 (|PF1| － |PF2|)2 ＝ 4 ， 可 得 2|PF1|·|PF2|＝4， 则 (|PF1| ＋ |PF2|)2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 12 ， 所 以 |PF1|＋|PF2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3
[小题能否全取] 1．选 C ∵双曲线方程可化为 x2－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12.
∴c2＝a2＋b2＝32，c＝
6 2.
∴左焦点坐标为－ 26，0. 2．选 C 依题意得 a2＋1＝4，a2＝3，
故
e＝
2a2＝
2 ＝2 33
3.
第二页，共16页。
3．选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1| －|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所
基础知识要打牢
[知识能否忆起]
1．差的绝对值 焦点 焦距 2.x≥a 或 x≤－a y≤－a 或
y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－
a)
(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c a
(1，＋∞)
a2＋b2 A1A2
2a B1B2 2b a b
第一页，共16页。
第四页，共16页。
高频考点要通关 [例 1] 解析：(1)∵xa22－by22＝1 的焦距为 10， ∴c＝5＝ a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2,1)在渐近线上，∴2ab ＝1，即 a＝2b.② 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5.
第五页，共16页。
(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥PF2， 所以(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2， 又 因 为 |PF1| － |PF2| ＝ 2 ， 所 以 (|PF1| － |PF2|)2 ＝ 4 ， 可 得 2|PF1|·|PF2|＝4， 则 (|PF1| ＋ |PF2|)2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 12 ， 所 以 |PF1|＋|PF2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3
[小题能否全取] 1．选 C ∵双曲线方程可化为 x2－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12.
∴c2＝a2＋b2＝32，c＝
6 2.
∴左焦点坐标为－ 26，0. 2．选 C 依题意得 a2＋1＝4，a2＝3，
故
e＝
2a2＝
2 ＝2 33
3.
第二页，共16页。
3．选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1| －|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线课件理
因为 2|AB|＝3|BC|，所以4ab2＝6c， 又 b2＝c2－a2，所以 2e2－3e－2＝0，解得 e＝2 或 e＝ －12(舍去)．
12/11/2021
第十七页，共七十四页。
经典(jīngdiǎn)题型冲关
12/11/2021
第十八页，共七十四页。
题型 1 双曲线的定义及应用
典例1
(2017·湖北武汉调研)若双曲线x42－1y22 ＝1 的
第二十九页，共七十四页。
[条件探究 1] 若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的 圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．
解 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交 点为(3,4)，所以 c＝5，ba＝43.又 c2＝a2＋b2，所以 a＝3，b＝ 4，所以此双曲线的方程为x92－1y62 ＝1.
第8章 平面 解析几何 (píngmiàn)
8．6 双曲线
12/11/2021
第一页，共七十四页。
12/11/2021
第二页，共七十四页。
基础知识过关(guò〃guān)
12/11/2021
第三页，共七十四页。
[知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的 绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距 离叫做双曲线的 焦距．
12/11/2021
第三十一页，共七十四页。
方法技巧
双曲线标准方程的求解方法
1．定义法．
2．待定系数法．
提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键
是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关
12/11/2021
第十七页，共七十四页。
经典(jīngdiǎn)题型冲关
12/11/2021
第十八页，共七十四页。
题型 1 双曲线的定义及应用
典例1
(2017·湖北武汉调研)若双曲线x42－1y22 ＝1 的
第二十九页，共七十四页。
[条件探究 1] 若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的 圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．
解 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交 点为(3,4)，所以 c＝5，ba＝43.又 c2＝a2＋b2，所以 a＝3，b＝ 4，所以此双曲线的方程为x92－1y62 ＝1.
第8章 平面 解析几何 (píngmiàn)
8．6 双曲线
12/11/2021
第一页，共七十四页。
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第二页，共七十四页。
基础知识过关(guò〃guān)
12/11/2021
第三页，共七十四页。
[知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的 绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距 离叫做双曲线的 焦距．
12/11/2021
第三十一页，共七十四页。
方法技巧
双曲线标准方程的求解方法
1．定义法．
2．待定系数法．
提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键
是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第8章 平面解析几何 8-6
2．已知双曲线1x62 －y92＝1 上有一点 P，F1，F2 是双曲线 的焦点，且∠F1PF2＝3π，则△PF1F2 的面积为__9___3___．
解析 由题意，得|F1F2|＝2 16＋9＝10. ||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosπ3＝100， 所以|PF1|·|PF2|＝36. 所以 S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinπ3＝9 3.
(1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条 射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
3．必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴 双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相 互垂直．
()
A. 3
B．3
C. 3m
D．3m
解析 由题意知，双曲线的标准方程为3xm2 －y32＝1，其
中 a2＝3m，b2＝3，故 c＝ a2＋b2＝ 3m＋3，不妨设 F 为
双曲线的右焦点，故 F( 3m＋3，0)．其中一条渐近线的方
程为
y＝
1 m
x，即 x－
my＝0，由点到直线的距离公式可
得
d＝
| 3· m＋1| ＝ 1＋－ m2
解析 设点 A(1,0)，因为△PF1F2 的内切圆与 x 轴切于 点(1,0)，则|PF1|－|PF2|＝|AF1|－|AF2|，所以 2a＝(c＋1)－(c －1)，则 a＝1.因为点 P 与点 F1 关于直线 y＝－bax对称，所 以∠F1PF2＝2π，且||PPFF12||＝ba＝b，结合|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|2 ＋|PF2|2＝4c2＝4＋4b2，可得 b＝2.所以双曲线的方程为 x2 －y42＝1.
2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第6节 双曲线 课件(43张)
A.- =1
C. - =1
B.- =1(x≥4)
D. - =1(x≥3)
解析:由双曲线的定义知,点 M 的轨迹是双曲线的右支,故排除 A,C.又由题意可知
c=5,a=3,所以 b=
- =4,故点
M 的轨迹方程为 -=1(x≥3).
因此 a=1,c=4,b= ,因此所求双曲线的方程为 x - =1(x≥1).
2
2
答案:x -=1(x≥1)
求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
寻找几何关系列出动点满足的关系式,结合是否满足双曲线的定义,得出相应的
方程.求解时要注意判断所求轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
双曲线定义的应用
则|PF2|=
.
解析:由题意知a=5,且P在双曲线下支上,所以|PF2|-|PF1|=2a=10,则|PF2|=20.
答案:20
2
5.(2022·全国甲卷)若双曲线 y 则 m=
2
2
=1(m>0)的渐近线与圆
x
+y
-4y+3=0 相切,
.
2
2
2
2
解析:双曲线的渐近线方程为 x±my=0,圆 x +y -4y+3=0 的方程可化为 x +(y-2) =1,
第6节
双曲线
[课程标准要求]
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.
3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
2019高考数学理一轮通用课件：第51讲双曲线(39张)
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高考总复习 · 数学(理)
第八章 解析几何
解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．
MF －MF F F ，表示的轨迹为两条射线． 1 2 (2)错误．因为 ＝ 8 ＝ 1 2
(3)错误．当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m＜0，n＜0 时则表 示焦点在 y 轴上的双曲线． x2 y2 x2 y2 b (4)正确．因为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝± ax，即a2－b2＝0，所 x2 y2 x2 y2 x2 y2 以当 λ＞0 时，λm2－λn2＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为λm2－λn2＝0，即m2－n2＝0， x y 即m± n＝0，同理当 λ＜0 时，仍成立，故结论正确．
距离的差的绝对值 等于常数(小于 F F )的点的轨 平面内与两个定点 F1，F2 的__________________ 1 2
双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 迹叫做双曲线．这两个定点叫做____________ ____________．
－MF F F ＝2c，其中 a，c 为常数，且 a>0，c>0. MF 1 2 ＝2a 集合 P＝ M ， 1 2
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第八பைடு நூலகம் 解析几何
PQ＝7，F 是双 2．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若 2
曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是( C ) A．28 C．14＋8 2
解析 由双曲线定义知，
－PF ＝4 2，QF －QF ＝4 2， PF2 1 2 1
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第八章 解析几何
解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．
MF －MF F F ，表示的轨迹为两条射线． 1 2 (2)错误．因为 ＝ 8 ＝ 1 2
(3)错误．当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m＜0，n＜0 时则表 示焦点在 y 轴上的双曲线． x2 y2 x2 y2 b (4)正确．因为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝± ax，即a2－b2＝0，所 x2 y2 x2 y2 x2 y2 以当 λ＞0 时，λm2－λn2＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为λm2－λn2＝0，即m2－n2＝0， x y 即m± n＝0，同理当 λ＜0 时，仍成立，故结论正确．
距离的差的绝对值 等于常数(小于 F F )的点的轨 平面内与两个定点 F1，F2 的__________________ 1 2
双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 迹叫做双曲线．这两个定点叫做____________ ____________．
－MF F F ＝2c，其中 a，c 为常数，且 a>0，c>0. MF 1 2 ＝2a 集合 P＝ M ， 1 2
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第八பைடு நூலகம் 解析几何
PQ＝7，F 是双 2．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若 2
曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是( C ) A．28 C．14＋8 2
解析 由双曲线定义知，
－PF ＝4 2，QF －QF ＝4 2， PF2 1 2 1
高考数学一轮总复习 第八章 双曲线
又双曲线的离心率 e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247， 所以 a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为 x42－y32＝1.
(2)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22 －y2＝k，将点(2，－2)代入得 k＝222－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1. [答案] (1)x42－y32＝1 (2)y22－x42＝1
为 y＝±43x，即 4x＋3y＝0 或 4x－3y＝0.
• [答案] 4x＋3y＝0或4x－3y＝0
5．给出下列命题： ①平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的 轨迹是双曲线． ②平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． ③方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．
所以 e＝ac＝ a2a＝ 2. [答案] ④⑤
• [典例透析]
• 考向一 双曲线的定义及应用
• 例1 (1)( ·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线 交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则 △F2PQ的周长为( )
• A．19
B．26
• C．43
D．50
• (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
• 思路点拨 (1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求 解．
• (2) 根据双曲线的定义求轨迹方程．
[解析] (1)如图，由双曲线的定义 可得||PQFF22||－－||PQFF11|＝|＝22aa，， 将两式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a， ∴△F2PQ 的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ| ＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
(2)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22 －y2＝k，将点(2，－2)代入得 k＝222－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1. [答案] (1)x42－y32＝1 (2)y22－x42＝1
为 y＝±43x，即 4x＋3y＝0 或 4x－3y＝0.
• [答案] 4x＋3y＝0或4x－3y＝0
5．给出下列命题： ①平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的 轨迹是双曲线． ②平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． ③方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．
所以 e＝ac＝ a2a＝ 2. [答案] ④⑤
• [典例透析]
• 考向一 双曲线的定义及应用
• 例1 (1)( ·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线 交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则 △F2PQ的周长为( )
• A．19
B．26
• C．43
D．50
• (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
• 思路点拨 (1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求 解．
• (2) 根据双曲线的定义求轨迹方程．
[解析] (1)如图，由双曲线的定义 可得||PQFF22||－－||PQFF11|＝|＝22aa，， 将两式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a， ∴△F2PQ 的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ| ＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.