高中数学第一章计数原理3组合第1课时组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
- 1 - 第1课时 组合与组合数公式
知识点 组合的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
知识点 组合与组合数公式 - 2 -
组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．
组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m>n2时，通常不直接计算Cmn而改为Cn－mn，对于性质2，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n要会正用、逆用、变形用．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23.( )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( )
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( )
(4)C35＝5×4×3＝60.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× - 3 - 2．做一做
(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________．
(2)C1820＝________.
(3)C399＋C299＝________.
答案 (1)20 (2)190 (3)161700
解析 (1)由组合数公式知C36＝6×5×43×2×1＝20.
(2)C1820＝C220＝20×192×1＝190.
(3)C399＋C299＝C3100＝100×99×983×2×1＝161700.
探究1 组合的有关概念
例1 给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
北师大版2019年高中数学选修2-3导学案：第一章_计数原理3组合_含答案
§3 组合
自主整理
1.一般地，从n个不同的元素中，_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求_______________问题叫作组合问题.
2.我们把_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_______________表示.
3.一般地，考虑Cmn与Amn的关系：把“从n个不同的元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”这件事，分两步进行：
第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有_______________种取法.
第二步：_______________一共有Amm种排法.根据____________原理，我们得到“从n个不同元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”一共有____________种排法.
即有Amn=____________.
4.Cmn=____________=____________=____________，规定:C0n=____________.
5.组合数的性质：
性质1：____________________________________________________________.
性质2：____________________________________________________________.
高手笔记
1.使用组合数公式时，要注意Cmn中m为非负整数，n∈N+，m≤n等限制条件.
2.排列与组合的定义中相同的语句是“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素”.定义中不同的语句是:排列的定义中“按着一定的顺序排成一列”；组合的定义中“并成一组”.
3.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.如，从A、B、C三个元素中，任意取出两个元素的所有排列为：AB，BA，AC，CA，BC，CB；所有组合为：AB，AC，BC.在排列的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB不同，而在组合的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB相同.
高二数学北师大版选修2-3同步导学案：1.3.1 组合与组合数公式
2
3§3 组合
第1课时 组合与组合数公式
1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)
2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计
算．(重点)
3．会解决一些简单的组合问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 组合的概念
阅读教材P
12～P
13“练习1”以上部分，完成下列问题．
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n个不同元素
中取出m个元素的一个组合．
【答案】 为一组
下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3
构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．
A．①③B．②④
C．①②D．①②④
【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．
【答案】 C
教材整理2 组合数的概念、公式、性质
阅读教材P
13“练习1”以下至P
16部分，完成下列问题．
组合数
定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫作从n
个不同元素中取出m个元素的组合数2
3
表示法
________
乘积式C＝________＝________mn
组合数
公式阶乘式C＝________mn
性质C＝________，C＝________mnmn＋1
备注①n，m∈N
＋且m≤n；②规定：C＝10n
【答案】 所有组合 C mnAmn
Amm
Cnn－1n－2…n－m＋1
m！n！
m！n－m！n－mn
C＋Cmnm－1n
1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数
是________．
【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故
该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.233×2
2
【答案】 3
2．C＝________，C＝________.261718
【解析】 C＝＝15，266×5
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-3)教师用书：第1章 计数原理-章末分层突破
章末分层突破
[自我校对]
①分类加法计数原理
②分步乘法计数原理
③排列
④排列数公式
⑤组合数公式
⑥组合数
⑦二项展开式的通项
⑧对称性
⑨增减性
两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解.
(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.
(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.
王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.
(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？
【精彩点拨】 解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理.
【规范解答】 (1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种).
(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种).
(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种).
(北师大版)沈阳市高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(包含答案解析)
一、选择题
1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用ija表示三角形数阵的第i行第j个数，则1003a（ ）
A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
2．若21299mmCC且mN；则21mx的展开式4x的系数是（ ）
A．4 B．6 C．6 D．4
3．1180被9除的余数为（ ）
A．1 B．1 C．8 D．8
4．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
5．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．840 B．2226 C．2100 D．2352
6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ）
A．18个 B．15个 C．10个 D．9个
7．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）
A．47 B．37 C．27 D．821
8．5(3)(2)xx的展开式中3x的系数为（ ）
A．10 B．40 C．200 D．240
9．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有( )
A．264种 B．224种 C．250种 D．236种
10．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（ ）
高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修23
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1 高中数学
第一章 计数原理整合学案 北师大版选修2-3
知识建构
综合应用
专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法
“两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.
一、树形图法
【例1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.
解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类：
由此可写出所有的排法为
BADC，BCDA，BDAC， 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2 CADB，CDAB，CDBA，
DABC，DCAB，DCBA.
所以他们四个人共有9种不同的排法.
二、依次排序法
利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.
【例2】用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
（2）求这个数列共有多少项；
（3）若an=341,求n.
解：(1）用1、2、3、4四个数字排成三位数，前11项由小到大的顺序为
111，112，113，114，
121，122，123，124，
131，132，133.
（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每一个位置都有4种排法，根据分步乘法计数原理共有
4×4×4=64项.
（3）比an=341小的数有两类，分别是：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
高 中 数 学 课 本 内 容 及 其 重 难 点
北师大版高中数学必修一
·第一章 会合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）
·1 、会合的基本关系
·2 、会合的含义与表示
·3 、会合的基本运算 （要点）
（ 2 课时）·第二 章函数
·1 、生活中的变量关系 ·2 、对函数的进一步认识
·3 、函数的单一性 （要点）
·4 、二次函数性质的再研究 （要点） ·5 、简单的幂函数
（ 5 课时）
·第三章 指数函数和对数函数
·1 、正整数指数函数
·2 、指数观点的扩大
·3 、指数函数 （要点）
·4 、对数
·5 、对数函数 （要点）
·6 、指数函数、幂函数、对数函数增减性 （要点）
（ 3 课时）·第四章 函数应用 ·1 、函数与方程
·2 、实质问题的函数建模 北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
（2 课时）
北师大版高中数学必修二
·第一章 立体几何初步
·1 、简单几何体
·2 、三视图 （要点）
·3 、直观图（ 1 课时）
·4 、空间图形的基本关系与公义 （要点）
·5 、平行关系 （要点）
·6 、垂直关系 （要点）
·7 、简单几何体的面积和体积 （要点）
·8 、面积公式和体积公式的简单应用（ 要点 、难点 ）
（4 课时）
·第二章 分析几何初步
·1 、直线与直线的方程
·2 、圆与圆的方程
·3 、空间直角坐标系
（4 课时）
北师大版高中数学必修三
·第一章 统计
·1 、统计活动：随机选用数字
·2 、从普查到抽样
·3 、抽样方法
·4 、统计图表
·5 、数据的数字特点 （要点）
·6 、用样本预计整体
·7 、统计活动：成婚年纪的变化 北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
·8 、有关性
·9 、最小二乘法
（3 课时）
·第二章 算法初步
·1 、算法的基本思想
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式检测(含解析)
word
1 / 4 1.2 排列与组合
排列
第1课时 排列与排列数公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x2a2＋y2b2＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线x2a2－y2b2＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是( )
A．①②③④B．②④C．②③D．①④
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．
若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中不管a>b还是a
答案：B
2．计算A67－A56A45＝( )
A．12 B．24 C．30 D．36
解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，所以A67－A56A45＝36A45A45＝36.
答案：D
3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．
起点站 终点站 飞机票 word
2 / 4 某某 —某某
某某 —某某
某某 某某—
某某 某某—某某
某某 某某—
某某 某某—某某
答案：B
4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种 B．360种
C．15种 D．30种
解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
---
- 第一章：计数原理
一、两个计数原理
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1、排列：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
---
- 2、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示.
3、排列数公式：
其中
4、组合：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
5、组合数：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示。
6、组合数公式：
其中
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
7、性质： mnAmnA!!121mnnmnnnnAmn.,,*nmNmn并且mnC!!!!121mnmnmmnnnnCmn.,,*nmNmn并且mnnmnCCmnmnmnCCC11---
- 三、二项式定理
如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：
2、性质：
02413512nnnnnnnCCCCCC奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：---
- 注意事项：
相邻问题，常用“捆绑法”
不相邻问题，常用 “插空法”
巩固训练：
1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：
（1）男甲排在正中间；
（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
（3）三个女生排在一起；
（4）三个女生两两都不相邻；
---
- 2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3
教育资料
教育资料（一） 第1课时 排列与排列数公式
学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．相同排列的两个条件
(1)元素相同．
(2)顺序相同．
思考：如何理解排列的定义？
[提示] 可从两个方面理解：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同．
3．排列数与排列数公式
排列数定
义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示
全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念 把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式 Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式Amn＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)
特殊情况 Ann＝n！，1！＝1,0！＝1
思考：排列与排列数有何区别？
[提示] “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号Amn只表示排列数，而不表示具体的排列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． ( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问教育资料
教育资料（一） 题． ( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．