结晶学第八讲—14种布拉菲格子

第八讲 14种布拉菲格子
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群
点对称操作
1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3) 4 (C4, L4) 6 (C6, L6)
旋转轴， n
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
1 (i, C) 2 (σ, P), m
+, + _, +
3 (S65, Li3)
y
系
y
x
x
没有4次真旋转轴！
432 (43, 3L44L36L2)
z
立
方
晶 系
y
y
x
x
有4次轴！
x
z y
X
y
X
m3 (2/m3, 3L24L33PC) x
m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC)
z
立
方
晶 系
y
y
x
x
有4次轴！
y
432 (43, 3L44L36L2) x
23 (3L24L3)
4
[2,2]
centrosymmetric
8
[4]+ enantiomorphic polar 4
cyclic cyclic 2×cyclic dihedral dihedral 2×dihedral Cyclic
x
3、4、2次轴
23 (3L24L3)
立 方
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
X
z
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
32 (L33L2)
y
x
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立
z
方
X
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
X
y
没有4次轴！ 左右手问题
X
x
43m (3Li44L36P)
立
z
方 晶
种 (L2PC) (3L23PC) (L44P)
(L66P)
(3Li44L36P)
点 群
4/mmm 6/mmm 3(Li3)
(L44L25PC) (L66L27PC)
432
(3L44L36L2)
及
y
其
422
622
3m
m3m
点
x
(L44L2)
(L66L2)
(Li33L23P) (3L44L36L29PC)
推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号
五种循环群 Cn (5 种) Cnh = Cn × {E, σh} (5 种) Cnv = Cn × {E, σv} (4 种, C1v = C1h) Dn = Cn × {E, C2[100] } (4 种) Dnh = Cnh × {E, d} (4 种)
100
101
001
面、方向、轴
110
111
z
011
010 y
111
y
101
x
110
100
x
45o, 54o44’ ,109o28’
35o16’ , 70o32’, 60o
110
111
010
011
111 110
100
一般点及其操作
110
101
111
001
011
010 y
z
111 101
110
y
x
100
L44L2)
4 (Li4)
42m (Li42L22P)
四
方
晶 系
4 (L4)
4/m
(L4PC)
4mm
(L44P)
4/mmm
(L44L25PC)
422 (42, L44L2)
4 42m (Li4)
(Li42L22P)
一般形，可直观地反映(尤其是同一晶系)各点群的差别
110
111
010
011
111 110
立方 4、4、2或2
沿<100>
3或3沿<111>
2或2沿<110>
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4)
6(L6)
3(L3)
23(3L24L3)
1(C) m(P) mm2 4/m
(L22P) (L4PC)
6/m
(L6PC)
3m
(L33P)
m3
(3L24L33PC)
32 2/m mmm 4mm 6mm 32(L33L2) 43m
[ ]+ enantiomorphic polar 1
trivial
[2,1+]
centrosymmetric
2
cyclic
[2,2]+ enantiomorphic polar 2
[]
polar
2
[2,2+]
centrosymmetric
4
[2,2]+
enantiomorphic
4
[2]
polar
S6 (C3i)
D3 C3v D3d C6
C3h
C6h D6 C6v D3h D6h T Td Th O Oh
1
2 m 2/m 222 mm2 mmm 4
4/m 422 4mm 2m or m2 4/mmm
3
32 or 321 or 312 3m or 3m1 or 31m
m or m1 or 1m 6
1 twofold axis of rotation or 1 mirror plane
3
13
2
Monoclinic
Orthorhombic
3 twofold axes of rotation or 1 twofold axis of rotation and two mirror planes.
3
从旋转点群推导32种点群 点群的熊夫利斯符号
11种纯旋转群：
1234 6
C1 C2 C3 C4 C6 循环点群
222 32 422 622
D2 D3 D4 D6 二面体点群
11种中心对称点群：
23 432
TO 立方点群
1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m
trigonal-pyramidal
rhombohedral
trigonal-trapezoidal ditrigonal-pyramidal ditrigonal-scalahedral hexagonal-pyramidal
trigonal-dipyramidal
hexagonal-dipyramidal hexagonal-trapezoidal dihபைடு நூலகம்xagonal-pyramidal ditrigonal-dipyramidal dihexagonal-dipyramidal
对
4 (Li4)
6 (Li6)
称
操
42m 62m
y
作
(Li42L22P) (Li63L23P)
x
按晶系推到点群举例
正
交
y
y
y
晶
系
x
x
x
222
(3L2)
mm2
(L22P)
mmm
(3L23PC)
按晶系推到点群举例
四
方
晶
系
4 (L4)
4/m
(L4PC)
4mm
(L44P)
4/mmm
(L44L25PC)
422 (42,
(C41, C42, C43, C44 )
6 (C6, L6)
(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )
n = 1n (iCn), Sn = σCn !!!
1 (i, C)
2 (σ, P), m (σh, σv, σd)
3 (S65, Li3)
S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E)
非真旋转 Sn (3 种，n =2, 4, 6) Dnd = S2n × {E, C2[100] } (n =2, 3 共2种)
立方点群(无主轴）5 种: T, Th, Td, O, Oh
crystal family crystal system triclinic
monoclinic orthorhombic
59
4
Orthorhombic
Tetragonal
1 fourfold axis of rotation
7
68
2
Tetragonal
Hexagonal
Trigonal Hexagonal
1 threefold axis of rotation 1 sixfold axis of rotation
7 5
S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h
D6h
Th Oh
10种新子群：
1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m
m
4 6 mm2 3m 4mm 42m 6mm 62m
43m
C1h
S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3h
Td
tetragonal
trigonal hexagonal
hexagonal
cubic
point group / crystal class