高中数学_3.1直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思
《直线的倾斜角与斜率》教学设计一．教材分析本节课内容选自新人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修（二）第三章第1小节，教学课共分三个课时，本节课是第一课时。
1.地位及作用：该节是学习了空间几何后学习用代数方法研究解析几何问题的第一堂课，直线的倾斜角与斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任．倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续学习微积分奠定了基础．2.教学目标：基于上述分析，结合数学课程标准的要求，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下的三维目标：知识目标：理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点斜率公式及应用．能力目标：通过坐标法的引入，培养学生观察归纳、对比、转化等辩证思维，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力．情感目标：通过主动探索、合作交流来感受数学学习的乐趣．鼓励学生积极、主动的参与教学过程，激发求知的欲望．3.教学重难点：重点：直线倾斜角和斜率的概念，两点斜率公式及其应用．难点：斜率概念的理解，两点斜率公式的推导．二．学情分析从本节课的内容和要求上来看，本节课作为直线与方程的第一节起始课，需要建立概念模型，高一的学生已经具有较好的抽象思维与直观思维，所以在讲解过程中我以讲解法为主，同时为了提高学生的参与度，让学生亲身体验知识的形成过程，以探究式教学法为辅。
在教学过程中师生互动，小组讨论，借助多媒体，积极开展探究活动．根据学生已有的知识储备和心理特征，确定学法为：引导探究、小组讨论、合作交流。
三． 教学过程1、新课引入：请同学们在同一坐标系中作出以下四条直线的图象 提问：（1）你完成的最快，能不能和同学们分享一下你的作图过程？为什么要这样做那？（2）这四条直线有什么相同点与不同点？引语：我们在生活中也会遇到要表达倾斜程度的情况，比如泰山天梯，用坡度表示，即升高量与前进量的比；汽车4s 店为了表现汽车的爬坡能力，用的是角表现。
我们数学源于生活又作用于生活，所以我们数学中表示倾斜程度也一定是用角与比值去体现的。
此处目的在于引出新课，同时与旧知和现实生活相结合，便于学生理解。
2．新知生成（1）倾斜角的定义： 当直线 与轴相交时，我们取________作为基准，_________与_________之间所成的角α 叫做直线 的倾斜角．问：1、定义中的重点词条？2、直线和x 轴平行或重合时，它的倾斜角为多少度那？直线与x 轴垂直时，它的倾斜角又是多少度那？3、那直线倾斜角的范围是怎样的那？思考：根据你画的图象你能找出直线 的倾斜角吗？ 怎样找到的？试着再找出直线的倾斜角，你有什么发现吗？ (1)1y =(2)13y x =+(3)1y x =+(4)1y x =-+13y x =+1y x =+l l x找学生投影过程讲解，发现需要寻找三角函数值，比较坡度的定义，我们可以用这个角的正切值进行表示，这个值我们就叫做直线的斜率。
此处衔接自然目的在于引出斜率的定义，帮助学生思考，在教学过程过程中注重原因由来，为什么选择正切值而不是正弦余弦？3.斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 问：（1）当直线与x 轴平行或重合时，斜率为多少？（2）当直线与x 轴垂直时，它的斜率又为多少？[思考辨析] 1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )2.倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )3.若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α.( )4.直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( )2、你如何找到斜率的取值范围的？请同学们作出斜率定义式的函数图像，注意端点位置的取舍。
一生黑板作图此处目的在于引导找到合适的方法也就是借助图像进行倾斜角与斜率的灵活转化了，同时思考辨析的第四问也为引出图像做好了铺垫。
[典型例题]例1.求直线的倾斜角与斜率（1） （2） 同学们能不能自己试着出个变式那？你能再增加一下难度吗？ 变式举例：（1） （2）我在此处设计了学生活动，主张让学生自主变化，出现变式，引发学生思考，出现思维的碰撞。
α120,kα︒=求k α=求120135,k α︒︒≤≤求的范围k α≤≤求的范围我们刚刚发现两点可以确定一条直线，一点加斜率也可以确定一条直线，那我们能不能建立起两点坐标与斜率的关系那？思考：观察直线两点与斜率的关系，你能用两点坐标表示斜率吗？教师:设直线上两点为 ，你能证明得到的结论吗？ 4．已知直线上两点表示直线斜率：设直线上两点为 ，则k=___________[典型例题]例2．如图 ，已知 ,求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．变式：已知直线 经过三点，若直线l 的斜率 此处目的在于找到两点表示斜率的方法，同时追加合适的练习，进行合理有效的反馈。
[课堂小结]：学习了本节课你有什么收获？在今后的学习中对你有什么启示吗？此处目的在于引导学生体会由特殊到一般的研究过程，数形结合法，我们为什么要找将直线在坐标系表示？为什么要研究斜率，研究两点坐标表示斜率？就是为了将今后的这种几何图形用代数法进行解决与处理，这也就是我们要研究的解析几何。
用坐标系沟通了代数与几何。
那解析几何研究的初衷，发展的过程又是怎样的那？请同学们课后查阅数学家笛卡尔与费马创立解析几何的故事，学习他们的善于发现，敢于创新的品质，在最后渗透进数学史的知识。
1y x =+111222(,),(,)P x y P x y 111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠(3,5),(,7),(1,)A B x C y -2,k =求的值。
,x y (3,2),(4,1),(0,1)A B C --,,AB BC CA l《直线的倾斜角与斜率》学情分析从本节课的内容和要求上来看，本节课作为直线与方程的第一节起始课，需要建立概念模型，需要学生掌握倾斜角与斜率的概念及其几何意义。
高一的学生在之前已经接触过大量的概念性知识，所以在概念的理解上问题不大从学生的思维发展过程来看，高一的学生已经具有较好的抽象思维与直观思维，所以在讲解过程中我以讲解法为主，同时为了提高学生的参与度，让学生亲身体验知识的形成过程，以探究式教学法为辅。
在教学过程中师生互动，小组讨论，借助多媒体，积极开展探究活动．根据学生已有的知识储备和心理特征，确定学法为：引导探究、小组讨论、合作交流。
《直线的倾斜角与斜率》效果分析课堂效果分析：本节课的教学始终围绕一条主线，也就是课堂开始时学生画的那几条直线展开的，所以在知识的生成上学生可以感受到顺畅连贯，同时符合新课标要求，以学生思维为主体，锻炼学生的思维品质。
题目设计上也注重了以学生为主体，在例题后的变式部分通过学生自主出题练习，在潜移默化中提升了学生能力。
测评效果分析：前三个题目学生完成情况较好，在第四题我们发现多数同学出现了这样那样的问题，本题的目的就是为了发现学生的知识是否还有问题，重在对学生数形结合思想转化为实际能力的应用。
《直线的倾斜角与斜率》教材分析本节课内容选自新人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修（二）第三章第1小节，教学课共分三个课时，本节课是第一课时，我将就它的地位与作用，教学目标，重难点几个方面来加以说明。
1.地位及作用：该节是学习了空间几何后学习用代数方法研究解析几何问题的第一堂课，直线的倾斜角与斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任．倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续学习微积分奠定了基础．2.教学目标：基于上述分析，结合数学课程标准的要求，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下的三维目标：知识目标：理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点斜率公式及应用．能力目标：通过坐标法的引入，培养学生观察归纳、对比、转化等辩证思维，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力．情感目标：通过主动探索、合作交流来感受数学学习的乐趣．鼓励学生积极、主动的参与教学过程，激发求知的欲望．3.教学重难点：重点：直线倾斜角和斜率的概念，两点斜率公式及其应用．难点：斜率概念的理解，两点斜率公式的推导．本节课是解析几何的起始课，起到了很重要的作用，为学生学习解析几何认识直线起到了关键性作用。
评测练习：1．如图，直线l 1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )A．k＜k2＜k 3B．k 3＜k 1＜k 21C．k＜k 2＜k 1 D．k 1＜k 3＜k 232．点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若k AB＝4，则点B的坐标为( ) A．(2,0)或(0，－4) B．(2,0)或(0，－8)C．(2,0) D．(0，－8)3．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是______________________4．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．《直线的倾斜角与斜率》课后反思我在设计本节课时有两条线，一条明线也就是开始画的那四条直线，一条暗线也就是数形结合法，两线始终交织在一起，所以在知识的生成上学生可以感受到顺畅连贯，同时符合新课标要求，以学生思维为主体，锻炼学生的思维品质。
在知识的生成过程中首先利用画的直线引出倾斜程度对直线的影响，再到与生活中的例子相联系引出坡度与倾斜角的概念，同时在为什么选取正切值时给了学生说明，最后回到两点定一条直线与一点加斜率之间的关系，有了这些衔接就显得课堂生成自然流畅。
在测评题目选择上考虑到分层。
前三个题目目的明确，是对课堂的知识应用。
第四题事多课堂知识的延伸，重在对学生数形结合思想转化为实际能力的应用。
纵观整节课，知识层层深入，较好的完成了课程目标，同时学生不仅仅在知识上得到了收获，更在方法上得到了收获。
《直线的倾斜角与斜率》课标分析该节是学习了空间几何后学习用代数方法研究解析几何问题的第一堂课，直线的倾斜角与斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续学习微积分奠定了基础。
课标对这一部分的要求是要理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点斜率公式及应用。
同时通过坐标法的引入，培养学生观察归纳、对比、转化等辩证思维，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。
高中数学3.1.1 直线的倾斜角与斜率优秀教案
直线的倾斜角与斜率杨兵一、教材分析1．教材的地位直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐标法〔解析法〕的方式来研究直线及其几何性质的根底。
本课有着开启全章，承前启后，奠定基调，渗透方法的作用。
2．教学目标知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率计算公式。
过程与方法：引导学生观察、探索、合作探究、发现，培养学生的探索创新能力和合作意识。
情感、态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究的目标。
并体验认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程。
二、教学重点、难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式；难点：对直线倾斜角以及斜率的理解；三、教学过程1．创设情景，形成概念问题1：过一点能确定一条直线吗？问题2：这些直线有怎样的区别？怎样准确的表示它们的区别呢？2.〔1〕直线倾斜角的定义：直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角．(2)直线倾斜角的范围：0︒≤α<180︒【设计意图】让学生了解到除了两点能确定一条直线的位置外，一个点和方向也能确定一条直线的位置。
学生了解倾斜角的概念，并发现倾斜角的取值范围3．发现问题，探索新知通过上面的学习，我们知道倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，那么我们在还学习过什么量可以表达倾斜程度呢？斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)，常用小写字母k表示；α=ktan【设计意图】通过这个问题让学生意识到可以用角的正切值来表示坡度，从而让学生理解：用倾斜角的正切值来表示直线的倾斜程度，也就是斜率。
4.深入探究，加深理解〔1〕发现直线斜率随着倾斜角的变化会怎么样变化。
是不是每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？〔2〕由正切函数的图像，引导学生得到倾斜角与斜率的图像。
进一步探究斜率k和倾斜角α的关系请根据斜率k和倾斜角α的关系完成以下填空：〔3〕应用探究在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1的直线，【设计意图】及时稳固斜率k和倾斜角α的关系式，进一步明确确定一条直线的两个几何要素：点和倾斜角。
直线的倾斜角和斜率公开课教学反思
直线的倾斜角和斜率公开课教学反思直线的倾斜角和斜率公开课教学反思本节课是讲述直线的倾斜角和斜率.教学目的是让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握倾斜角与斜率的对应关系.掌握过两点的直线的斜率公式.本节课我是这样设计的：首先，上课前提前让学生复习正切函数的单调性和特色角正切函数值.其次，在课上，我通过引例让学生观察幻灯片中经过点P的所有直线之间由什么关系。
启发学生发现直线的倾斜程度的不同，从而给出直线的倾斜角的概念（此处为本节课重点要着重强调逆时针旋转、最小正角）。
在幻灯片中给出几条特殊的直线的倾斜角（锐角、钝角、直角、零角），引导学生归纳出直线倾斜角的取值范围。
由日常生活中坡度的概念，引导学生发现坡度（坡面和地面抽象成直线）与倾斜角的正切值相等。
顺势给出直线的斜率的概念K=tanθ(θ≠900)。
给学生指出可利用倾斜角的正切值求直线的斜率（此处为本节课重点）。
由直线斜率的概念，引导学生发现并归纳出直线倾斜角与斜率的关系（此处为本节课难点和重点要着重讲解）。
1、直线都有倾斜角，但不是直线都有斜率。
2、利用正切函数的单调性得到直线倾斜角与斜率的变化规律（此处要细讲，留时间给学生思考）。
做练习题。
由练习题2通过直线倾斜角来计算直线斜率，向学生提出问题---还有其他计算直线斜率的方法吗？提出问题“能否由直线上两个不同点确定直线的斜率吗？与学生一起探究。
引导学生由直线斜率概念K=tanθ出发构造直角三角形并分锐角、钝角、零角、直角四种情况讨论直线斜率的计算公式（训练学生分类讨论和数形结合的数学思想，此处为本节课的难点）。
得出直线斜率公式后，帮助学生分析公式，强调直线斜率公式在应用是要注意x1≠x2,否则公式没有意义。
当x1=x2时，直线斜率不存在，倾斜角为900。
例题讲解。
在讲解例题时，侧重直线的斜率公式的应用和直线倾斜角与斜率之间关系，突出本节课的重点难点。
通过练习题使学生更好的掌握好本节课的重点难点。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
《直线的倾斜角与斜率》教学反思
《直线的倾斜角与斜率》教学反思《直线的倾斜角和斜率》是北师大版数学必修二第二章的第一节内容，下面就我这节课的设想和反思和大家进行汇报和交流。
1.深入挖掘教材，吃透章前引言，指明研究方向。
本节课作为解析几何的开篇课，也是本章的开头课，是学生在初中学习了“一次函数的图像”和“平面几何中的直线”的基础上，开始用新的方法（坐标法）研究“直线的特征”，突出解析几何的本质几何问题代数化，初步体会借助平面直角坐标系用代数的思想研究几何图形的思想。
因而，我在设计的时候引用开普勒发现的行星运行轨迹，以及投掷物的运动轨迹等圆锥曲线为例，指出科学的发展需要解析几何的出现，通过介绍17世纪法国数学家笛卡尔对数学的贡献--创立了解析几何。
引出本章内容，学生对解析几何的研究特点和方法有一个大致的了解，对本章的学习指明了方向。
2、切合教材内容，以学生发展为本，突出数学思想和方法的教学，提升学生数学核心素养。
本节课是一堂典型的概念课，如何由学生的认知基础，设置恰当的问题情境，抽象出数学概念，是发展学生数学抽象素养的契机。
本节课涉及两个概念----倾斜角和斜率，是本节课的两个重点内容，也是难点。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡的作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时要用到这个概念；我在设计时，通过多媒体动态演示倾斜角的形成过程，并引导学生尝试用数学语言抽象概括倾斜角的概念，发展学生的抽象概括能力。
通过提问“直线和X轴的位置关系有几种？”，得出倾斜角的补充定义，规定“与X轴平行的直线倾斜角为0度”，体现了数学分类讨论的思想。
然后通过图形辨析“判断直线的倾斜角是否正确”引导学生运用概念，数形结合，学生直观感知倾斜角，轻而易举得出倾斜角的取值范围以及分类，为后面分类讨论斜率概念做好了铺垫，也培养了学生几何直观数学素养。
得出倾斜角概念后，引导学生感受虽然能用倾斜角去刻画直线的不同倾斜程度，但倾斜角还是一个几何概念，还没有达到我们研究的方向几何问题代数化。
3.1《直线的倾斜角和斜率》教学设计
直线的倾斜角和斜率》教学设计教学目标：1.知识与技能1）结合具体图形探索确定直线的几何要素；2）理解直线和倾斜角的概念；3）掌握计算直线的斜率公式；在概念体系中理清概念的发展线索和相应关系，顺应学生的认知基础和认知特点，突出思维主线，注重揭示思维的合理性和必然性，强调学科思想方法的渗透，让学生体会到用代数方法研究几何问题的基本思路。
3. 情感、态度、价值观认识数学内容之间的内在联系，加强数形结合认识问题的观念，感受坐标系的价值。
教学重点：倾斜角和斜率是倾斜程度在几何和代数两方面的不同表述，通过两点斜率计算公式沟通理解两者间的关系。
教学难点：对斜率和解析几何思想的理解教学课时： 1 课时教学方法：运用类比启发的数学思想、方法进行教学教学工具：交互式电子白板教学过程：引言：初中通过平面几何的学习我们对平面图形有了初步认识，前面一段时间主要学习了立体几何，对空间几何体也有了一定程度的认识，今天开始我们学习解析几何。
解析几何的基本思想是通过建立直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，这节课我们就从代数的角度来研究平面中最基本的图形、提出问题，导入新课问：怎样刻画一条位置确定的直线呢?意图：让学生认识到直线上两点确定了倾斜程度，从而认同刻画一条位置确 定的直线需要一个点和一个方向。
二、抽象概括，探究新知 问：如何刻画直线的方向呢?学生目前对直线倾斜程度的认识都来自对直线图形的直观感受， 我们通常在 形容直线倾斜程度的时候是以什么为参照的呢？这种以水平方向为参照方向的视觉习惯让学生感受到，直线的倾斜程度或者说方向需要一个几何角度来衡量。
对于一条与x轴相交的直线t，把x轴的正方向按逆时针方向绕着交点旋转 到和直线I 重合所成的角，叫做直线I 的倾斜角。
对于一条与x轴重合或平行的 直线I ，它的倾斜角为0：倾斜角的范围为［1,180 ）。
倾斜角是一个“形”，是从一个几何角度刻画在直线方向的图形，怎么把倾 斜角这个“形”的问题转化成“数”的问题呢?问：现实生活中如何刻画事物的倾斜程度呢?当水平长度为1个单位长度时，坡度=铅直高 度（为后面教学做铺垫）问：生活中用“坡度”这个比值来刻画道路的倾斜程度 那么教学上用什么样的数值来刻画直线的倾斜程度呢?三、思考交流，概念教学卩，乡PF r■丄POX坡度=水平高度k-铅直爲度1•交互式电子白板展示，对于过原点的直线 0P （类比坡度）直线的倾斜程度。
高中数学3.1.1直线的倾斜角与斜率1教案新必修2
高中数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案新人教A版必修2一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;2. 斜率计算公式的运用.三、教学目标知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神四、教学重点，难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.难点：斜率公式的应用。
五、教学过程(一)．复习旧知问题1:正切函数的定义及定义域问题2: 正切函数的图象与单调性(二).问题情境问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?(三).形成定义定义1:直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。
2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。
3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。
（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。
（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。
3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。
4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。
高中数学教学课例《直线的倾斜角和斜率》课程思政核心素养教学设计及总结反思
问：坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？游戏成功
过关的秘诀是什么？
问题 1、过平面直角坐标系中过一点 P 能确定几条
教学过程 直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点
呢？
(1)它们都经过点 P。(2)它们的‘倾斜程度’不
同。怎样描述这种‘倾斜程度’的不同
A 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B 直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 π D 直线斜率的范围是 R E 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 F 两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 两点一条直线直线倾斜角直线斜率 问题 5：两点确定一条直线，就是说，任给直线上 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中 x1≠x2），能否用 P1、P2 的坐标来表示直线斜率 k？ 解：设直线 P1P2 倾斜角为 α（α≠90）当直线 P1P2 方向向上时，过点 P1 作 x 轴的平行线，过点 P2 作 x 轴的平行线，两线交于点 Q，则点 Q 为（x2，y1） （1）当为锐角时，α=∠QP1P2，x1<x2，y1<y2 在 Rt△P1P2Q 中， tanα=tan∠QP1P2=∣QP2∣∣P1Q∣=（y2-y1） (x2-x1) （2）当 α 为钝角时，α=1800-θ（设∠QP1P2=θ）， x1<x2，y1<y2， tanα=tan(1800–θ)=-tanθ 在 Rt△P1P2Q 中， tanθ=∣QP2∣∣QP1∣=（y2-y1）(x2-x1)=-
教学目标 斜率
2、过程与方法目标：通过对倾斜角与斜率的探讨，
培养学生转化的思想，提高解决问题的能力
3、情感态度与价值观目标：在探索倾斜角与斜率
人教A版高中数学必修二3.1直线的倾斜角与斜率含教学反思
3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率1．直线的倾斜角的定义是什么？2．直线的倾斜角的范围是什么？3．直线的斜率的计算公式是怎样的？[新知初探]1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线 预习课本P82～85，思考并完成以下问题P1P2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．[小试身手](1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( )(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α( )(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( )A．45° B．135°C．45°或135° D．－45°解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )A.33B. 3C．1 D.2 2解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝33.[典例] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案] D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.直线的斜率[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－2＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：选C 斜率k ＝0－23－0＝－23.2．已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．k AB ＝1－11－－1＝0，k AC ＝－1－11－－1＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在.直线的倾斜角、斜率的应用1．如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．解：由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝74m －8，(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k3313－3－1－33k BC ＝－1＋m 4＋4＝m －18. ∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴k AB ＝k BC . ∴74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0， 解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.∴m 的值是3＋572或3－572.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x 轴．当任意两点的连线垂直于x 轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解：如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．层级一 学业水平达标1．直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C 作出图象，故C 正确．2．给出下列说法：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．75°D ．45° 解析：选B ∵直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)， ∴其斜率k ＝3－0－5－－2＝－1.设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)， 则tan θ＝－1，∴θ＝135°.4．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．(－1,0] B ．[0,1] C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.6.如图，已知直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°7．一束光线射到x 轴上并经x 轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________.解析：作出入射光线和反射光线如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.答案：150°8．已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线PA 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为________．解析：设x 轴上点P (m,0)或y 轴上点P (0，n )．由k PA ＝1，得0＋1m －2＝n ＋10－2＝1，得m ＝3，n ＝－3.故点P 的坐标为(3,0)或(0，－3)．答案：(3,0)或(0，－3)9．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝－m ＋3－4m ＋1，k BC ＝m －1－42－－1.∴－m ＋3－4m ＋1＝3·m －1－42－－1.整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.10．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间．当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PA .∵k PA ＝－1－42－－3＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．层级二 应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0 C. 3D ．2 3解析：选B 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率等于2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D.43解析：选D 由直线的斜率公式，得m ＋23－m ＝2，∴m ＝43.3.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0＜k 3＜k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1＜0，所以k 1＜k 3＜k 2.4．若点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：选D 根据已知的条件，可知点P (x ，y )是点A ，B ，C 围成的△ABC 内一动点，那么所求y －2x －1的几何意义是过动点P (x ，y )与定点M (1,2)的直线的斜率．由已知，得k AM ＝14，k BM＝1，k CM ＝23.利用图象，可得y －2x －1的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.故选D.5．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即2－02－a ＝2－b2－0.∴2(a ＋b )＝ab ，∴a ＋b ab ＝12，∴1a ＋1b ＝12. 答案：126．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．解析：k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线， 即k AB ≠k AC ，∴1－k5≠0.∴k ≠1.答案(－∞，1)∪(1，＋∞)7．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图象上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明：∵A ，B ，C 是三个不同的点， ∴x 1，x 2，x 3互不相等． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，即y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 3x 1－x 3， ∴x 31－x 32x 1－x 2＝x 31－x 33x 1－x 3， 整理，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝x 21＋x 1x 3＋x 23， 即(x 2－x 3)(x 1＋x 2＋x 3)＝0. ∵x 2≠x 3， ∴x 1＋x 2＋x 3＝0.8．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值． 解：如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k .由已知条件，可得A (1,1)，B (－1,5)． 易知k PA ≤k ≤k PB .由斜率公式得k PA ＝43，k PB ＝8，所以43≤k ≤8.故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[新知初探]1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. [点睛](1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. 2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[点睛] l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0.[小试身手](1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0. 答案：0两条直线平行的判定[典例] 判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． [解] (1)k 1＝1－－22－－1＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54.∵k 1≠k 2，∴l 1与l 2不平行．(2)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，且l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.k 1＝k 2⇔l 1∥l 2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．解析：根据AB ∥DC ，AD ∥BC ，利用平行直线的斜率相等求解．设点D (x ，y )，则由AB ∥DC ，AD ∥BC 可得k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即86－－2＝y －6x －8，y x －－2＝8－66－8，解得x ＝0，y＝－2.答案：(0，－2)2．在△ABC 中，A (0,3)，B (2，－1)，E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2.答案：－2两条直线垂直的判定[典例] 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)． [解] (1)k 1＝3－－41－－3＝74，k 2＝1－－33－－4＝47，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直．[活学活用]1．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．解析：由过两点的直线的斜率公式可得k PQ ＝3－a －b 3－b －a ＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案：－12．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,2)，B (－1,1)，C (0,2)，求BC 边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设BC 边上的高所在直线的斜率为k ，则有k ·k BC ＝－1.∵k BC ＝2－10－－1＝1，∴k ＝－1.∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为135°.根据两直线平行或垂直关系求参数[典例] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－a ＋21－－2＝－a 3.(1)若l 1∥l 2，则l 1的斜率k 1＝－a3.∵k 1＝2－a a －4，∴2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2.①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 1k 2＝－1可得2－a a －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.∴当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2.当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况．[活学活用]已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解：∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形： (1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知，A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC ，k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1，n －2m －2·n ＋1m －5＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165，n ＝－85.综上可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165，n ＝－85.层级一 学业水平达标1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行，①②④正确，故选C.2．直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则( ) A ．l 与x 轴垂直 B ．l 与y 轴垂直 C ．l 过原点和第一、三象限 D ．l 的倾斜角为135°解析：选D 直线的斜率k ＝m －nn －m＝－1，∴直线l 的倾斜角为135°. 3．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是( ) A ．4 B ．1 C ．1或3D ．1或4解析：选B 由题意，知4－mm －－2＝1，解得m ＝1.4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：选D ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－20－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直，所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝________；若直线l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53.答案：5 537．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2，若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2. 答案：－2 28．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2＋22)，B (0，2－22)，C (4,2)，则△ABC 是________．(填△ABC 的形状)解析：因为AB 边所在直线的斜率k AB ＝2－22－2＋220－2＝22，CB 边所在直线的斜率k CB ＝2－22－20－4＝22，AC 边所在直线的斜率k AC ＝2－2＋224－2＝－2，k CB ·k AC＝－1，所以CB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解：(1)由k AB ＝m －32m2＝－1，得2m 2＋m －3＝0， 解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1. 10．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.层级二 应试能力达标1．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则有( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α2－α1|＝90°D ．α1＋α2＝180°解析：选C 由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°. 2．已知四点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D 当m ＝0时，直线AB 与直线CD 的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，k AB ＝m ＋1m ，k CD ＝2m ，由m ＋1m ＝2m，解得m ＝1.综上，m 的值为0或1. 3．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是( )A ．1 B.32 C.72D ．1或72解析：选 D 由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，解方程得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12，k 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 3＝－12.又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.4．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为( ) A ．(－19，－62) B ．(19，－62) C ．(－19,62)D ．(19,62)解析：选A 设A (x ，y )，由已知，得AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，且直线AH ，BH 的斜率存在，所以⎩⎪⎨⎪⎧k AH ·k BC ＝－1，k BH ·k AC ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－1，y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62，即A (－19，－62)．5．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)6．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析：由题意得l 1∥l 2，∴k AB ＝k MN . ∵k AB ＝2－4a＝－a 2，k MN ＝－2－10－1＝3， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案：－67．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解：由斜率公式，得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－2＋t －2t －1－2t ＝－t－1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t.∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ， ∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， ∴四边形OPQR 为矩形．8．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m,2)，试求m 的值．解：如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m，∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. ∵l 1与l 2平行，∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。
名师教学设计《直线的倾斜角和斜率》完整教学教案
2.如何探究直线的斜率坐标计算公式。
三、学习者特征分析
学生掌握了平面内两点确定一条直线，以及在平面直角坐标系中点用坐标表示。直线如何表示直线的几何问题如何转化成代数问题从而研究几何性质是学生第一次学习，通过联系实际激发学生的学习兴趣、满足求知欲和好奇心。
学生小组讨论
理解斜率计算的代数式结构与坐标顺序无关，而且培养学生分类讨论的数学思想
六、教学评价设计
1.本节课从实际生活出发，引导学生通过观察抽象出直线的几何要素以及代数表示，让学生理解抽象的定义。
2.在教学过程中，借助多媒体加强动态演示，渗透解析几何从常量到变量转变的观点。通过合作探究让学生成为学习主体，有助于培养学习数学的兴趣，增强克服困难的自信心。
并且当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。
2.直线斜率的定义
直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写的字母k表示，所以
k= （ ≠ ， = 正切值不存在）
3.直线斜率的两点坐标计算公式
两点间斜率的计算公式 （x1≠x2）
（三）巩固新知
例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
2. （x1≠x2）
八、教学反思
1.知识的讲解尽量联系实际，体现数学的应用性；
2.在数学能力方面应多强调；
3.加强学生教学生的合作交流意识；
4.应提高学生的求知欲。
四、教学过程
（一）情景引入：在直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗这就是我们本节课研究的主要内容。