5第五章定积分及其应用
第五章 定积分
【考试要求】
1．理解定积分的概念与几何意义, 掌握定积分的基本性质。 2．理解变限积分函数的概念，掌握变限积分函数求导的方法。 3．掌握牛顿—莱布尼茨(Newton —Leibniz)公式。 4．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
5．理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算方法。
6．会用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。
【考试内容】
一、定积分的相关概念
1．定积分的定义
设函数
()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点
0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，
把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -，
各个小区间的长度依次为1
10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n
n n x x x -?=-．在
每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤）
，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,
,i n =），并作出和1
()n
i i i S f x ξ==?∑．
记
12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间
1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极
限I 为函数
()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作
()b
a
f x dx ?，即
1
()lim ()n
b
i i
a
i f x dx I f x λξ→===?∑?
，
其中
()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，
b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．
说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说
()()()b
b b
a
a
a
f x dx f t dt f u du ==?
??．
2．定积分存在的充分条件（可积的条件）
（1）设
()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．
（2）设
()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．
说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上
一定可积；若
()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数()
f x 在区间[,]a b 上连续是
()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件．
3．定积分的几何意义
在区间[,]a b 上函数
()0f x ≥时，定积分()b
a
f x dx ?在几何上表示由曲线
()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积．
在区间[,]a b 上
()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴
所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b
a
f x dx ?
在几何上表示上述曲边梯形面积的
负值．
在区间[,]a b 上
()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴
的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分
()b
a
f x dx ?
表示x 轴上方图形的面积减去
x 轴下方面积所得之差．
二、定积分的性质
下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的． 性质1．当a
b =时，()0b
a
f x dx =?．
性质2．当a
b >时，()()b a
a
b
f x dx f x dx =-??．
性质3．
[()()]()()b
a
a
a
b
b
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±??
?．
说明：该性质对于有限个函数都是成立的． 性质4．
()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =?
? （k 是常数）
． 性质5．
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??．
说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[,]a b 上()1f x ≡，则 1b b
a
a
dx dx b a ==-??
．
性质7．如果在区间[,]a b 上
()0f x ≥，则
()0b
a
f x dx ≥?
（a b <）
． 推论（1）： 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥，则
()()b
b
a a
f x dx
g x dx ≥?
? （a b <）
． 推论（2）：
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ≤?
? （a b <）．
性质8．（估值不等式）设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，
则
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-? （a b <）
． 性质9．（定积分中值定理）如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少
存在一点ξ，使得下式成立：
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?
（a b ξ≤≤）
． 说明：该公式称为积分中值公式，
1()()b
a f f x dx
b a
ξ=-?称为函数()f x 在区间
[,]a b 上的平均值．
三、积分上限函数及其导数
1．积分上限函数的定义
设函数
()f x 在区间[,]a b 上连续，并且设x 为[,]a b 上的一点，由于()f x 在区间
[,]a x 上仍旧连续，因此定积分()x a
f x dx ?存在．这里，x 既表示定积分的上限，又表示
积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其 他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成
()x
a
f t dt ?
．如果上限x 在区间[,]a b 上
任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在[,]a b 上定义了一 个函数，记作()x Φ：()()x
a x f t dt Φ=? （a x
b ≤≤）
，这个函数即为积分上限 函数（或称变上限定积分）．
2．积分上限函数的导数
定理1：如果函数
()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()()x
a
x f t dt Φ=?在
[,]a b 上可导，并且它的导数
()()()x
a d x f t dt f x dx
'Φ==? （a x b ≤≤）
． 定理2：如果函数
()f x 在区间[,]a b 上连续，则函数()()x
a
x f t dt Φ=?就是()f x 在
[,]a b 上的一个原函数．
说明：对于积分上限函数的复合函数()
()
()x a
x f t dt ?Φ=?
，
求导法则可按下述公式进行： ()
()()[()]()x a
d x f t dt f x x dx ???''Φ==?．
若积分下限为函数()x ?，即()
()
()a
x x f t dt ?Φ=?
，求导法则可按下述公式进行：
()()()()(())[()]()a x x a
d d
x f t dt f t dt f x x dx dx ????''Φ==-=-??．
若积分上限和下限均有函数，即()
()
()
()h x x x f t dt ?Φ=?
，求导法则可按下述公式进行：
()()
0()0
()()()(()())h x h x x x d d x f t dt f t dt f t dt dx dx ??'Φ==+???
()
()00(()())[()]()[()]()h x x d f t dt f t dt f h x h x f x x dx
???''=-=-??．
四、牛顿——莱布尼茨公式
定理3：如果函数()F x 是连续函数
()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
．
这个定理表明，一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一个原函数在区间
[,]a b 上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．通常把上述公式称为
微积分基本公式．
五、定积分的换元法和分部积分法
1．定积分的换元法
设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，函数()x t ?=满足条件：
（1）()
a ?α=，()
b ?β=；
（2）()t ?在[,]αβ（或[,]βα）上具有连续导数，且其值域[,]R a b ?
=，则有
()[()]()b
a
f x dx f t t dt β
α
??'=?
?．
说明：应用换元公式时有两点值得注意：① 用()x t ?=把原来变量x 代换成新变量t 时，积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；② 求出
[()]()f t t ??'的一个原函数()t Φ后，
不必像计算不定积分那样再要把()t Φ变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上下限分别代入()t Φ中然后相减就行了．
例如：计算0
a
?
（0a >）
解：设sin x
a t =，则cos dx a tdt =，当0x =时，0t =，当x a =时，2
t π
=
．
于是
2
2
2
22
00
cos (1cos2)2a
a tdt t dt ππ
==
+?
??
2
2
20
1sin 22
24a a t t π
π??=+=????．
2．定积分的分部积分法
依据不定积分的分部积分法，可得
()()()()()()()()b b
b
a
a a u x v x dx u x v x dx u x v x v x u x dx ????'''==-?????
??
[]()()()()b b
a a
u x v x v x u x dx '=-?，
简记作
[]b
b
b
a a
a
uv dx uv vu dx ''=-?
? 或
[]b
b
b
a a
a
udv uv vdu =-?
? ．
这就是定积分的分部积分公式．
3．定积分的两个简便公式
（1）若
()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，则()0a
a
f x dx -=?；若()f x 在[,]a a -
上连续且为偶函数，则
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=?
?．
（2）设
220
sin cos n
n n I xdx xdx π
π
==??，则
当n 为正偶数时，13312
422
n
n n I n n π--=?????- ； 当n 为大于1的正奇数时，13
422
53
n
n n I n n --=
????- ．
六、无穷限的广义积分
1．函数在无穷区间[,)a +∞上的反常积分
设函数
()f x 在区间[,)a +∞上连续，取t a >，如果极限lim ()t
a
t f x dx →+∞?存在，
则称此极限为函数
()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分，记作()a
f x dx +∞
?
，即
()lim ()t
a
a
t f x dx f x dx +∞
→+∞=?
?，
这时也称反常积分
()a
f x dx +∞
?
收敛；如果上述极限不存在，则函数()f x 在无穷区间
[,)a +∞上的反常积分()a
f x dx +∞?
就没有意义，习惯上称为反常积分()a
f x dx +∞
?
发
散，这时记号
()a
f x dx +∞
?
就不再表示数值了．
2．函数在无穷区间(,]b -∞上的反常积分
设函数
()f x 在区间(,]b -∞上连续，取t b <，如果极限lim ()b
t
t f x dx →-∞?存在，
则称此极限为函数
()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分，记作()b
f x dx -∞?，即
()lim ()b
b
t
t f x dx f x dx -∞
→-∞=?
?，
这时也称反常积分()b
f x dx -∞
?
收敛；
如果上述极限不存在，则称反常积分()b f x dx -∞
?发
散．
3．函数在无穷区间(,)-∞+∞上的反常积分
设函数
()
f x 在区间
(,)
-∞+∞上连续，如果反常积分
()f x dx
-∞
?
和
()f x dx +∞
?
都收敛，
则称上述两反常积分之和为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上的反常积分，记作
()f x dx +∞
-∞
?
，即
00
()()()f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
??
，
这时也称反常积分
()f x dx +∞
-∞
?
收敛；否则就称反常积分()f x dx +∞-∞
?
发散．
4．无穷限广义积分的计算方法
设
()F x 为在[,)a +∞上的一个原函数，若lim ()x F x →+∞
存在，则反常积分
[]()()()()lim ()()a a x f x dx F x F F a F x F a +∞
+∞
→+∞
==+∞-=-?；
[]()()()()()lim ()b
b
x f x dx F x F b F F b F x -∞-∞→-∞
==--∞=-?；
[]()()()()lim ()lim ()x x f x dx F x F F F x F x +∞
+∞
-∞-∞
→+∞
→-∞
==+∞--∞=-?
．
说明：当()F -∞与()F +∞有一个不存在时，反常积分
()f x dx +∞
-∞
?
发散．
七、求平面图形的面积
1．X
-型区域
X -型区域是指：平面图形是由上下两条曲线()
y f x =、
()
y g x =（
()()f x g x ≥）及直线x a =、x b =所围成，面积计算公式为
[()()]b
a
A f x g x dx =-?．
2．Y -型区域
Y -
型区域是指：平面图形是由左右两条曲线
()x y φ=、()
x y ?=（()
()y y φ?≥）及直线y c =、y d =所围成，面积计算公式为
[()()]d
c
A y y dy φ?=-?．
【典型例题】
【例5-1】计算下列定积分．
1．
52
cos sin x xdx π
?
．
解：原式25
62
111cos (cos )cos 0()666xd x x π
π
??=
-=-=--=?????
．
2．
1
ln e
x
dx x
?
． 解：
21
11ln 11
1ln (ln )ln 022
2e
e
e x dx xd x x x ??===-=?????
?．
3．2
26
cos
xdx π
π?
．
解：22
2
2
6
6
6
1cos 211cos ()sin 22226468x xdx dx x π
π
π
π
π
ππππ
+??==-+=-????
?
?．
4．
1
32l
(115)dx x -+?．
解：原式1
123221l 1151(115)(115)5(115)52512
d x x x ---??=+=-+=??+???． 5．
22
tan xdx π
?
．
解：原式[]2
2
4
4
400
(sec 1)sec tan 12
2
2
x dx xdx x π
π
π
π
π
π
=
-=-
=-
=-
?
?．
6
．
π
?
．
解：
3
2
sin cos x x dx π
π
π
==?
?
?
3333222
2
2
2
2
2
sin cos sin cos sin (sin )sin (sin )
x xdx x xdx xd x xd x ππ
π
π
ππ=-=-????552
2
2
02
22224sin sin ()555
55x x π
π
π????=-=--=????????．
7
．
a
?
（0a >）
． 解：设sin x
a t =，则cos dx a tdt =，当0x =时，0t =；当x a =时，2
t π
=
．故
222220
01cos 224a
a
a tdt a π
ππ==??=
?
?．
8
．
4
?
．
t =，则21
2
t x -=，dx tdt =，且当0x =时，1t =； 当4x
=时，3t =．
故
2334
3320
11112112(3)3223t t dt t dt t t -+??==+=+?????
?? 127122
(9)(3)2333
??=
+-+=????． 【例5-2】计算下列定积分． 1．
cos x xdx π
?
．
解：
[][]000
cos (sin )sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x π
π
π
π
π
==-==-?
??．
2．
12
arcsin xdx ?
．
解：
[
]1112
2
20
1arcsin arcsin 26xdx x x π=-=?+?
?
1
1222
001(1)1212122x ππ-=+=+-?．
3．
1
ln e
x xdx ?
．
解：
2
2
2
2
1
1111
1ln ln ()ln 22222e
e
e e e x x x e x x xdx xd x dx dx x ??==-?=-?????
???
22
222111
()242444
e
e x e e e ??+=-=--=????． 4
．
4
?
．
解：令
t =，则 2x t =，2dx tdt =，且当0x =时，0t =；当4x =时，2t =．
故
4
2
2
2
2
000022()22t
t
t t
te dt td e te e dt ??===-??????
2
22
4222t
e e e ??=-=+??． 【例5-3】计算下列广义积分．
1．
x e dx +∞
-?
．
解：
00
lim ()(1)011x
x
x
x e dx e e +∞
+∞
---→+∞??=-=---=+=???
．
2．
2
1
1
1dx x
+∞
+?
． 解：
[]2
11
1arctan lim arctan arctan11244
x dx x x x πππ+∞
+∞
→+∞==-=-=+?
． 3．
211dx x +∞
-∞+?．
解：
[]21arctan lim arctan lim arctan 1x x dx x x x x +∞
+∞
-∞-∞→+∞→-∞
==-+? ()22
π
π
π=
--=．
4．
2
211sin dx x x
π
+∞?
． 解：
2
222111111
sin sin ()cos lim cos 01x dx d x x x x x x π
π
π
+∞
+∞+∞→+∞??=-==-=?????
?． 【例5-4】计算下列积分上限函数的导数．
1
．0d dx ?．
解：0d dx =?．
2
．20x d dx
?．
解：220()2x d x dx '==?
3．1sin ln(1)x d t dt dx
+?．
解：1sin sin 1ln(1)ln(1)cos ln(1sin )x
x d d t dt t dt x x dx dx +=-+=-+??．
4．3
2arctan x x d tdt dx
?． 解：323322
arctan arctan ()arctan ()x x d tdt x x x x dx
''=?-??
2323arctan 2arctan x x x x =-．
【例5-5】求下列极限．
1．20
cos lim
x
x t dt x
→?
．
解：应用洛必达法则，22
0cos cos lim
lim 11
x
x x t dt x x
→→==?． 2．0
2
arctan lim
x
x tdt x
→?．
解：0
2
0arctan arctan 1
lim
lim 22
x
x x tdt x x x →→==?（0x →时，arctan ~x x ）． 3
．2
2
lim
x x x
→?
．
解：2
2
002lim
lim 12x x x x x x x
→→→===?． 4．2
2
2
20
()lim
x
t x
x t e dt te dt
→??
．
解：2
22
2
2
2
2
2
00
20
20
()
2lim
lim
2lim
2lim 2x
x
x
t t x t x x
x x x x x t e dt e dt e
e dt e x
xe
te dt
→→→→?====????
．
【例5-6】设函数
2,0,()1,0,1cos x xe x f x x x
π-?≥?
=?-<
+? 计算 41
(2)f x dx -?． 解：设2x t -=，则dx
dt =，且当1x =时，1t =-；当4x =时，2t =．
于是
2
4
2
21
110
1(2)()1cos t f x dx f t dt dt te dt t ----==++?
???
2
2
2
2
2
1
02
10
111()tan 2222cos 2
t t t dt e d t e t ----????=-
-=-?????????
? 4111
tan 222
e -=-+．
【例5-7】计算定积分
1
21
(sin )x x x dx -+?
．
解：
1
1
1
1
2
2
2
31
1
1
(sin )sin 20x x x dx x x dx x xdx x dx ---+=+=+?
???
1
4011242
x ??==????．
【例5-8】求下列平面图形的面积． 1．计算由两条抛物线2
y x =和2y x =所围成的平面图形的面积．
解：此区域既可看成X
-型区域，又可看作Y -型区域．按X -型区域解法如下：
两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，故
面积
1
3
1
2
32
0021211
)3
3333S x dx x x ??=-=-=-=?????．
2
x =，直线y x =-及1y =所围成的平面图形的面积．
解：按Y
-型区域来做，先求出图形边界曲线的交点(0,0)、(1,1)-及(1,1)，故
面积
1
31
22
0021217
)3
2326S y dy y y ??=+=+=+=?????．
3．计算由曲线2
2y x =和直线4y x =-所围成的平面图形的面积．
解：此区域既可看成X -型区域，又可看作Y -型区域，但按Y -型区域解较为简便．先
求两曲线的交点，由 224
y x
y x ?=?=-? 可解得交点为(2,2)-和(8,4)，故
面积4
2
4
232
21
1(4)41822
6y S y dy y y y --??=+-
=+-=?????．
【历年真题】
一、选择题
1．（2010年，1分）设2
()x t x e dt ?-=?，则()x ?'等于（ ）
（A ）2
x e
- （B ）2
x e
-- （C ）2
2x xe
- （D ）2
2x xe
--
解：2
22
20()()2x t x x x e dt e x xe ?---'??''==?= ???
?，选项（C ）正确． 2．（2010年，1分）曲线2y
x =与直线1y =所围成的图形的面积为（ ）
（A ）23 （B ）34 （C ）4
3
（D ）1
解：曲线2y
x =与曲线1y =的交点坐标为(1,1)-和(1,1)，则所围图形的面积为
1
3
1
2
1
14(1)33x x dx x --??-=-=???
??．选项（C ）正确． 3．（2010年，1分）定积分
2
2
cos x xdx -?
等于（ ）
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1
2
解：因被积函数cos x x 在[2,2]-上为奇函数，故2
2
cos 0x xdx -=?
．选（B ）
． 二、填空题 1．（2010年，2
分）
=?
．
解：由定积分的几何意义，
?
表示曲线y =0x =，1
x =
和x 轴所围成的图形的面积，即14
圆面积，故2
01144ππ=??=?． 2．（2009年，2分）设21
()ln 1x
f t dt x x =+-?
，则()f x = ．
解：等式
21
()ln 1x
f t dt x x =+-?
两边对x 求导可得，
21
()(ln 1)2f x x x x x
'=+-=+
． 3．（2009年，2分）由曲线x y e =，y e =及y 轴围成的图形的面积是 ．
解：曲线x y
e =与直线y e =的交点坐标为(1,)e ，故所围图形的面积为
1
1
00
()1x
x S e e dx ex e ??=-=-=???． 4．（2007年，4
分）积分
1
e
?
的值等于 ．
解：
11
2
2
1
1
1
(1ln )(1ln )2(1ln )2e
e
e
x d x x -??=++=+=-?????
?．
5．（2006年，2分）积分
2
11x
x e dx e --=-? ．
解：
22
21111(1)ln 11ln(1)11x x x x x e dx d e e e e e ------??=--=--=-+??--??．
6．（2006年，2分）30
ln(1)
lim
sin x
x t dt t x x
→+=-?
． 解：当0x →时，
30
ln(1)0x
t dt t +→?
，sin 0x x -→，故原极限为“0
”型的 极限，应用洛必达法则可得，
333
00ln(1)ln(1)
ln(1)lim
lim lim
sin 1cos (1cos )x
x x x t x dt x t x x x x x x →→→+++==---?
302
lim 212
x x x x →==?． 7．（2005年，3分）
3
1
23
1
(sin )x x x e dx -+=?
．
解：[1,1]x ∈-时，2
3sin x
x 为奇函数，在对称积分区间上的定积分为零，故
3
3
31
1
1
232111111(sin )()33
x x
x x x e dx x e dx e e e ---??+===-??????．
三、计算题
1．（2010年，5分）求定积分
1
ln e
x xdx ?
．
解：
2
2
2
1
111
ln ln ()ln (ln )222e
e
e
e x
x x x xdx xd x d x ??==-?????
??
22222
222111111
2222242444
e
e
e
e x e x e x e e e dx dx x ??+=-?=-=-=-+=??????．
2．（2010年，5分）求定积分
1
0x x
dx
e e -+?．
解：1
111
220000()arctan arctan 11()4
x x x x x x x dx e dx d e e e e e e e π-??====-??+++???． 3．（2008年，5分）求定积分
2
sin x xdx π
?
．
解：用分部积分法，
[]2
22200
sin (cos )cos cos x xdx xd x x x xdx π
π
π
π
=-=-+?
??
[]200sin 1x π
=+=．
4．（2008年，7分）求广义积分
2
x xe
dx +∞
-?
．
解：
2
220
11111lim ()()022222x
x x x xe dx e e +∞
+∞
---→+∞??=-=---=+=?????
．
5．（2007年，5
分）求定积分
xdx．
解：用分部积分法，
[
00
arctan(arctan) xdx x x xd x
=-
22
220 00
1111
(1)ln(1)
3132132
x dx d x x
x x
?
=-?=-+=-+
?
++
1
(2ln20)ln2
323
=--=-．
6．（2006年，4分）设函数
1
sin,0
()2
0,
x x
f x
π
?
≤≤
?
=?
??其它
，求
()()
x
F x f t dt
=?
在(,)
-∞+∞内的表达式．
解：当0
x<时，0
()()()0
x
x
F x f t dt f t dt
==-=
??；当0xπ
≤≤时，
00
1111
()()sin cos cos
2222
x
x x
F x f t dt tdt t x
??
===-=-+
??
??
??；当xπ>
时，
000
11
()()()()sin cos
22
x
F x f t dt f t dt f t dt tdt t
π
ππ
π
+∞??==+==-??
??????
11
()1
22
=--=．故
()()
x
F x f t dt
=?在(,)
-∞+∞内的表达式为
0,0
11
()()cos,0
22
1,
x
x
F x f t dt x x
x
π
π
<
?
??
==-+≤≤
?
?
>
??
?．
7．（2006年，4分）求定积分
1
x
x e
e dx
+
?．
解：
1
11
000
x x x
x e x e e e
e dx e e dx e e e
+??
=?==-
??
??．
8．（2005年，5分）求定积分2
2
2
sin
4cos
d
π
π
θ
θ
θ
--
?．
解：222
222002sin sin 122(cos )4cos 4cos 4cos d d d π
ππ
πθθθθθθθθ-==----???
令cos t
θ=，则当0θ=时，1t =；当2
π
θ=
时，0t =．
故原式0
111221
0001111(2)
2
2()4422222dt dt d t dt t t t t t
+=-==+=--+-+?
??? 11100011111
(2)ln 2ln 2(ln3ln 2)22222
d t t t t ????--=+--=-????-? 11
(0ln 2)ln322
--=． 9．（2005年，8分）求由曲线ln y x =与直线0y =，1x e
=，x e =所围平面图形的
面积． 解：因曲线ln y x =与直线1x e =
和x e =的交点分别为1
(,1)e
和(,1)e ，故所围图形的面积
1
1
111
1
ln ln ln ln e
e
e
e
S xdx x dx xdx xdx =+=-+????
[][]1
1
111111ln ln e e
e
e
x x x dx x x x dx x x =-+?+-???
11201(1)2e e e e e
=-+-+--=-．
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a 定积分的应用 求平面图形的面积（曲线围成的面积） 直角坐标系下（含参数与不含参数） 极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式 S=R2θ/2)
第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21
第五章定积分及其应用
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册
42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．
43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法
第五章 不定积分习题答案
第五章 不定积分习题答案 练习5.1 1. 是 2. 不是，2 13 x c +为2 x 的全部原函数 3. 22,xdx x c =+?，曲线为2 x c +，c 为常数 4. 2 1(2)22 x dx x x c += ++?，由已知 ，当2x =时 1.4452 c ++= 得1c =-，所以函数为2 1212 y x x =+- 练习5.2 1．3 4 1(1)4 x x x c -=- +?，c 为任意常数 2. 原式=1 1 3 1 3 7 222 2444()()7 x x dx x dx x dx x c === +?? 3. 4. 2 2 2 222 cos 1sin 1cot ( 1)sin sin sin cot x x xdx dx dx dx x x x x x c -= = = -=--+??? ? 练习5.3 1.3332 1 2 22(3)33ln x x x dx d x c = = +?? 2.23 3 33 1 1 1(1)ln(1)1313 x dx d x x c x x = +=++++? ? 3.cos cos sin x x x x x e e dx e de e c ==+?? 4. 3 2 2 sin 1tan tan (sec 1)tan (tan )tan ln cos cos 2 x xdx x x dx xd x dx x x c x = -= - =++???? 5.令 4 4 2 3 2 2 2 1111[(1)]tan 1 1 1 3 x x dx dx x dx x x x c x x x -+= =-+ = -+++++?? ?
不定积分技巧总结
不定积分技巧总结 作者:蔡浩然 题记题记：：不定积分不定积分，，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，，题型极多题型极多，，几乎是每一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，，结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯，，运气好运气好，，有时可以闯出来有时可以闯出来，，有很多时候是闯不出来候是闯不出来，，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。。为了在求不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有： ? ???????→????????+??? ?????→+→+∫∫∫x c a ac x c a d x c a ac dx x c a c dx c ax arctan 11 111111222即??? ? ????→ +∫x c a ac dx c ax arctan 1 1 2 【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】 另外，[] x x x x dx tan sec ln tan sec 21 sec 3 ++=∫最好也可以记下来最好也可以记下来，，因为经常要用到因为经常要用到，，并且也不难记并且也不难记， ，括号里面是x sec 的原函数和导数之和。 一、一、三角函数篇 三角函数篇原则是：尽量凑微分，避免万能代换。
1.11.1、 、正余弦型1.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型 、分母二次带常数，分子不含一次项型∫ +dx x A 2 sin 1 或 dx x A x ∫ +2 2 sin cos 右式可通过变形，分离常数化为左式。而 ()→++→+→+∫∫∫ A x A x d dx x x A x dx x A 2 2222tan 1tan tan sec sec sin 1()C x A A A A +??? ?????++→ tan 1arctan 11 1.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型 、分母一次带常数，分子常数型∫∫ ??→+dx x A x A dx x A 2 2sin sin sin 1()∫∫+?+?→dx x A x d dx x A A 2 222cos 1cos sin 特别的，当 1 =A 时，原式就可化为 ∫∫+→dx x x d dx x A 2 2cos cos cos 1.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型 、分母一次无常数，分子常数型
第十章 定积分的应用
第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ??
2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ?
微积分李建平第五章+不定积分
第五章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数 在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念． 定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有 F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数． 例如在(1，+∞)内 , ［ln(x）］′ (1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2， 故ln(x ln(x） 的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C 由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个． 关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论． 定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有 F′（x)=f(x)． 这个结论告诉我们连续函数一定有原函数． 我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理： 定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式． 定理需要证明两个结论： (1) F(x)+C是f(x)的原函数； (2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．
不定积分解法总结
不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法 换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2 tan x t =，
定积分的应用
第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。
同济版高等数学教案第五章定积分
第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 曲边梯形设函数y f(x)在区间[a b]上非负、连续由直线x a、x b、y0及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b ]中任意插入若干个分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b 把[a b ]分成n 个小区间 [x 0 x 1] [x 1 x 2] [x 2 x 3] [x n 1 x n ] 它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 [x i 1 x i ]上任取一点 i 以[x i 1 x i ]为底、f ( i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲 边梯形(i 1 2 n ) 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 A f ( 1)x 1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n ∑=?=n i i i x f 1 )(ξ 求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边 梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度 趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度v v (t )是时间间隔[T 1 T 2]上t 的连续函数 且v (t )0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程
不定积分总结
不定积分
一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）
x y o )(x F y = C x F y +=)( 三、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示： 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （ 为非零常数）
第5章定积分95525
第五章定积分 一、基本内容 (一)基本概念 1.定积分的定义: 设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2
b b a f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) . 3. 定积分换元积分公式 设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有 b P a f(x)dx =『 伴(t))?'(t)dt 在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式 设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则 b b a u(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分 -be b 驭a f (x)dx. b lim f f (x)dx . c a ^I f g dx +J %! f (x)dx . 2 .无界函数的广义积分 (1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 U X —j a 十 b b a f(x)dx =绞^+［七f(x)dx . ⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝U X —j b — b b 一名 ［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3) 设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X T b C b ［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dx c Y b =lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx . 二、练习题 5. 1计算下列定积分： 丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX ⑴［f (x)dx=b b (2) J f(x)dx = a 二 -be ⑶ Lcf(x)dx = b - a v(x)du(x). 1
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结 不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积
3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m (b-a )≤∫abf(x)≤dx≤M (b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c (a §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)， 三一文库（https://www.360docs.net/doc/fa15163339.html,）/总结 〔不定积分知识点总结〕 引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！ ▲不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数 的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分 值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续，而在点的邻域内无界，如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛，则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一 第五章定积分综合练习题 一、填空： 1、函数)(x f 在],[b a 上有界是 )(x f 在],[b a 上可积的 条件，而) (x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件； 2、由定积分的几何意义，则 ? -1 21dx x = ； 3、设 ,18)(31 1 =? -dx x f ,4)(3 1 =?-dx x f 则=?3 1 )(dx x f ； 4、正弦曲线 x y sin =在 ],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积 是 ； 5、某汽车开始刹车，其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车，汽车驶过的距离是 ； 6、?=x tdt y 02sin ，则4 π= 'x y = ； 7、估计定积分? +4 /54 /2)sin 1(ππdx x 的值的范围是： ； 8、比较下列两个积分值的大小：? 2 1 ln xdx ?2 1 2)(ln dx x ； 9、)(x f ''在],[b a 上连续，则=''? b a dx x f x )( ； 10、无穷积分? +∞ 1 dx x p 收敛，则p 的取值范围是 . 二、计算下列各导数. 1、 ?+2 211x x dt t dx d 2、?? ???==??t t udu y udu x 00sin cos ，求dx dy . 三、计算下列各定积分. 1、 dx x x )1(2 1 +? 2、dx x ?+3 31211 3、dx x ?--2121211 4、 dx x ? 40 2 tan π 5、dx x x x ?-+++0 122 41133 6、dx x ?π20sin 四、求极限 2 )sin(0 2lim x tdt x x ?→. 五、用换元积分法求下列定积分： 1、?-+1 12 ) 511(1 dx x 2、?2 /6 /2 cos ππ udu 3、?+2 1 ln 1e x x dx 4、 ? -π θθ0 3 )sin 1(d 5、? -2 2 2dx x 6、? +41 1x dx 六、用分部积分法求下列定积分： 1、 ? e xdx x 1 ln 2、? 2 /30 arcsin xdx 3、?-1 dt te t 七、求定积分 ?10 dx e x 八、求定积分 ?2 /0 cos πxdx e x 九、求定积分 ? π 3cos 2sin xdx x . 十、求定积分 ? 4 /0 4tan πxdx . 十一、设 ,0 ,0,1)(2???≥<+=-x e x x x f x 求?-2 )1(dx x f . 十二证明：若函数)(x f 在],[a a -上连续，则?-=--a a dx x f x f 0)]()([. 十三证明：??+=+1 1 12211x x t dt t dt . 十四、判定无穷积分 ? +∞ 1 41 dx x 的收敛性，如果收敛，计算其值.10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积
不定积分知识点总结
第五章定积分综合练习题