2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)

【高考数学】2010年普通高等学校招生全国统一考试真题及解析-文科安徽

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分l50分，考试时间l20分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答．．．题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高如果事件A 与B 互斥，那么棱柱体积V=ShP(A+B)=P(A)+P(B ）棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1)若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 答案：C解析：画数轴易知.(2)已知21i =-，则i(1)=i i (C)i (D)i答案：B 解析：直接计算.(3)设向量(1,0)a=,11(,)22b=,则下列结论中正确的是(A)a b=(B)2a b=(C)//a b (D)a b-与b垂直答案：D 解析：利用公式计算，采用排除法.（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0答案：A 解析：利用点斜式方程.(5)设数列｛na｝的前n项和n s=2n，则8a的值为（A）15 (B) 16 (C) 49 （D）64答案：A 解析：利用8a=S8-S7，即前8项和减去前7项和.（6）设ab c＞0,二次函数f(x)=a x2+bx+c的图像可能是答案：D 解析：利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系，结合ab c＞0产生矛盾，采用排除法易知.（7）设a=2535⎛⎫⎪⎝⎭，b=3525⎛⎫⎪⎝⎭,c=2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a 答案：A 解析：利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.（8）设x,y满足约束条件260,260,0,x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8答案：C 解析：画出可行域易求.（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （C）292（B）360 （D）280答案：B 解析：可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次，应减去.（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A）318（B）418（C）518（D）618答案：C 解析：所有可能有6×6，所得的两条直线相互垂直有5×2.数学(文科)(安徽卷)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置·(11)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是答案：对任何X∈R，都有X2+2X+5≠0解析：依据“存在”的否定为“任何、任意”，易知.(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是答案：（2,0）解析：利用定义易知.(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=答案：12解析：运算时X 顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 . 答案：5.7% 解析：50500099099000=，707001001000=，易知57005.7%100000=. (15)若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2； ④a 3+b 3≥3; 211≥+b a ⑤答案：①,③,⑤ 解析：①,⑤化简后相同，令a=b=1排除②、易知④ ，再利a+b2易知③正确三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内.(16)△ABC 的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=1213. (1)求AB AC ⋅(2)若c-b=1，求a 的值.（本小题满分12分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 解：由cosA=1213 ，得sinA=)21312( 1- =513 .又12 bc sinA=30，∴bc=156.（1）AB AC ⋅ =bc cosA=156·1213 =144.（2）a 2=b 2+c 2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-1213 )=25， ∴a=5（17）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率21=e .(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.（本小题满分12分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力.解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+= 由e=12 ，得c a =12 ，b 2=a 2-c 2 =3c 2. ∴2222143x y c c+= 将A （2,3）代入，有22131c c += ，解得：c=2, 椭圆E 的方程为2211612x y += （Ⅱ）由(Ⅰ)知F 1（-2,0），F 2（2,0），所以直线AF 1的方程为 y=34 (X+2)，即3x-4y+6=0. 直线AF 2的方程为x=2. 由椭圆E 的图形知， ∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数.设P （x ，y ）为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有34625x y x |-+⎥=|-⎥ 若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去. 于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.18、（本小题满分13分）某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表；（Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (文科). 解析版

⎩1 绝密*启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学本试题卷共 4 页，三大题 21 小题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。

*祝考试顺利*注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A （或 B ）后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共 10 小题，每小 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 M={1,2,4,8},N={x|x 是 2 的倍数}，则 M ∩N= ()A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8} 1．【答案】C【解析】因为 N={x|x 是 2 的倍数}={…，0，2，4，6，8，…}，故 M N = {2, 4,8} 所以 C 正确.2.函数 f(x)=3 sin( x - π, x ∈ R 的最小正周期为()) 2 4A.πB.xC.2πD.4π22．【答案】D 【解析】由 T=|2π|=4π，故 D 正确. 1 2⎧log 3 x , x > 0 3.已知函数 f (x ) = ⎨2x , x ≤ 01 ，则 f ( f ( )) = ()9 1A.4B.43．【答案】BC.-4 D-4【解析】根据分段函数可得 f (1) = log 9 1 = -2 ，则 3 9 1f ( f ( )) 9 = f (-2) = 2-2 = 1 ，4所以 B 正确.4.用 a 、b 、c 表示三条不同的直线， y 表示平面，给出下列命题：①若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ；②若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c ； ③若 a ∥ y ， b ∥ y ，则 a ∥ b ；④若 a ⊥ y ， b ⊥ y ，则 a ∥ b . 其中正确的是 ()A. ①②B. ②③C. ①④D.③④2 2 2 14.【答案】C【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中 a 、c 还可以平行或异面；③中 a 、b 还可以相交；④是真命题，故 C 正确.5 . 函数 y = 的定义域为( )log 0.5 (4 x - 3)A.(3 3 ,1)B( 44,∞)C （1，+∞） D. (3 ,1)∪（1，+∞）45.【答案】A【解析】由 log 0.5( 4 x -3)>0 且 4x-3>0 可解得 3< x < 1，故 A 正确.46．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ． 546.【答案】AB. 65 5⨯6 ⨯ 5⨯ 4 ⨯ 3⨯ 2C.2D. 6 ⨯ 5⨯ 4 ⨯ 3⨯ 2【解析】因为每位同学均有 5 种讲座可选择，所以 6 位同学共有5⨯ 5⨯ 5⨯ 5⨯ 5⨯ 5 = 56种，故 A 正确.7.已知等比数列{ a }中，各项都是正数，且 a ， 1a , 2a 成等差数列，则a 9 + a 10= ()m 123 2a + aA.1+B. 1-C. 3 + 2 7.【答案】C 78D 3 - 2 【解析】依题意可得： 2 ⨯ 1 = a + 2a，即 a = a + 2a ，则有 a q 2 = a + 2a q 可得( 2a 3 ) 1 23 1 2 1 1 1q 2 = 1+ 2q ，解得q = 1+ 2 或 q = 1- （舍）a + a a q 8 + a q 9 q 2 + q 32 所以 9 10 = 1 1= = q = 3+ 2 ，故 C 正确 a + a a q 6 + a q 71+ q7 8 1 18.已知 ∆ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC = 0 .若存在实 m 使得 AM + AC = m AM 成立，则 m =A.2B.3C.4D.58.【答案】B2【解析】由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D ，则 AM = AD ①，3因为 AD 为中线则 AB + AC = 2AD = m AM ，即 2 AD = m AM ②，联立①②可得 m=3，故 B 正确.9.若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 - 有公共点，则 b 的取值范围是( )A.[1- 2 9.【答案】D,1+ 2 ] B.[1- 2 ,3]C.[-1,1+ 2 2 ]D.[1- 2 ,3]22 2 4x - x 22 2 2≤ ≤ = • 10 ⎨ ⎩1 4 【解析】曲线方程可化简为(x - 2)2 + ( y - 3)2= 4(1 ≤ y ≤ 3) ，即表示圆心为（2,3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线 y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线 y=x-b 距离等于 2，解得b=1+2 b = 1 + 2 或b=1-2 2 ，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得 b=3,故1 - 2≤ b ≤ 3, 所以 D 正确.10.记实数 x 1 , x 2 , … x n 中的最大数为 max { x 1 , x 2 , … x n }，最小数为 min{ x 1 , x 2 , … x n }.已知 ∆ABC 的 a b c a b c三边边长为a 、b 、c （ a b c ）,定义它的倾斜度为t max{ , , } min{ , , },b c a b c a则“t=1”是“ ∆ABC 为等边三解形”的( ) A, 充分布不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 10.【答案】B 【解析】若△ABC 为等边三角形时，即 a=b=c ，则max ⎧ a , b , c ⎫ = 1 = min ⎧ a b c ⎫ 则 l =1；若△ABC⎨ b c a ⎬ ⎨ , , ⎬为等腰三角形，如 a=2,b=2,c=3 时， ⎩ ⎭ ⎩ b c a ⎭则max ⎧ a , b , c ⎫ = 3 , min ⎧a b c ⎫ = 2 ，此时 l =1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以 B 正确.⎨ b c a ⎪ 2 ⎨ , , ⎬ 3⎩⎭ ⎩b c a ⎭二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分。

2010年全国高考数学宁夏卷文科全解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式：样本数据12, n x x x 的标准差锥体体积公式s ==13V s h 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}【答案】D解析：由已知得{22},{0,1,,16}A x x B =-≤≤= ，所以{0,1,2}A B ⋂=．（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- 【答案】C解析：由已知得(3,18)2(3,18)(8,6)(5,12)b a =-=-=- ，所以cos ,a ba b a b ⋅<>=4(5)3121651365⨯-+⨯==⨯．（3）已知复数z =，则1z = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 【答案】D解析：14z i ====。

（4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A解析：232y x '=-，所以11x k y ='==，所以选A ．（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A （B（C （D 【答案】D解析：易知一条渐近线的斜率为2142k -==-，故c e a ===．（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为【答案】C解析：显然，当0t =时，由已知得d ，故排除A 、D ，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ，即得C ．另解：根据已知条件得2,1,4A πωϕ===-，再结合已知得质点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数为2sin()4d t π=-，画图得C ．(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2 【答案】B解析：根据题意球的半径R 满足22(2)6R a =，所以2=6S a π球．（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56【答案】D 解析：根据题意满足条件的111111(1)()122356223S =+++=-+-+⨯⨯⨯ 115()566+-=． (9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <->或【答案】B解析：当0x ≥时，()2402xf x x =->⇒>，又由于函数是偶函数，所以x R ∈时，()0f x >的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．另解：根据已知条件和指数函数2xy =的图像易知()240xf x =->的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．（10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）（B（C）（D【答案】A解析：由已知得3sin 5α=-，所以34sin()sin cos cos sin 444525210πππααα+=+=-⨯-⨯=-（11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（A ）（-14，16）（B ）（-14，20）（C ）（-12，18）（D ）（-12，20）【答案】B解析：由已知条件得(0,4)AB DC D =⇒- ，由25z x y =-得255zy x =-，所以当直线经过点B （3，4）时，5z -最大，即z 取最小为14-；当直线经过点D （0，4-）时，5z-最小，即z 取最大为20，又由于点(,)x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-．（12）已知函数f(x)=lg 1,01016,02x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（A ）（1，10）（B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24) 【答案】C解析：不妨设a b c <<，取特例，如取1()()()2f a f b f c ===，则易得112210,10,11a b c -===，从而11abc =，选C ．另解：不妨设a b c <<，则由()()1f a f b ab =⇒=，再根据图像易得1012c <<，故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅰ)

2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）cos300°＝（）A．B．﹣C．D．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{1，3，5}，则N∩（∁U M）＝（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）若变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．2D．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6B．﹣3C．0D．36．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知函数f（x）＝|lgx|．若a≠b且，f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|•|PF2|＝（）A．2B．4C．6D．89．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设a＝log32，b＝ln2，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）不等式的解集是．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答）16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅰ）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b＝a cot A+b cot B，求内角C．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE＝2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）求函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）cos300°＝（）A．B．﹣C．D．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选：C．【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{1，3，5}，则N∩（∁U M）＝（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【分析】根据补集意义先求∁U M，再根据交集的意义求N∩（∁U M）．【解答】解：（∁U M）＝{2，3，5}，N＝{1，3，5}，则N∩（∁U M）＝{1，3，5}∩{2，3，5}＝{3，5}．故选：C．【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）若变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣2y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z＝x﹣2y⇒y＝x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max＝1﹣2×（﹣1）＝3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10．【解答】解：a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10，a52＝a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6B．﹣3C．0D．3【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：①m＝1，n＝2；②m＝2，n＝0；系数分别为：①＝﹣12；②＝6；x2的系数是﹣12+6＝﹣6故选：A．【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D＝A1B＝DB＝AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°故选：C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知函数f（x）＝|lgx|．若a≠b且，f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y＝lgx是一个增函数，且f（a）＝f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga＝﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：（方法一）因为f（a）＝f（b），所以|lga|＝|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga＝﹣lgb，lga+lgb＝0∴lg（ab）＝0∴ab＝1，又a＞0，b＞0，且a≠b∴（a+b）2＞4ab＝4∴a+b＞2故选：C．（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）＝f（b），得：，整理得线性规划表达式为：，因此问题转化为求z＝x+y的取值范围问题，则z＝x+y⇒y＝﹣x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），∴a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab＝4，进而解决问题．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P 在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|•|PF2|＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a＝1，b＝1，c＝，由余弦定理得cos∠F1PF2＝∴|PF1|•|PF2|＝4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|＝4；故选：B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1＝＝＝，故选：D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设a＝log32，b＝ln2，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝＝，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP＝x（x＞0），则PA＝PB＝，∠APO＝α，则∠APB＝2α，sinα＝，＝＝×（1﹣2sin2α）＝（x2﹣1）（1﹣）＝＝x2+﹣3≥2﹣3，∴当且仅当x2＝时取“＝”，故的最小值为2﹣3．故选：D．【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．故选：B．【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣1，或x ＞2}．【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．【解答】解：：，数轴标根得：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}【点评】本小题主要考查分式不等式及其解法，属基本题．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝．【分析】由已知求出cosα，进一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝，则tanα＝．∴tan2α＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．（用数字作答）【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．所以不同的选法共有C31C42+C32C41＝18+12＝30种．故答案为：30【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|＝2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|＝2|FD|，得，a2＝3c2，解得e＝＝，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅰ）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22＝2a1（a3+1），结合s3＝12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得或，∴s n＝n（3n﹣1）或s n＝2n（5﹣n）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b＝a cot A+b cot B，求内角C．【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A﹣）＝sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B＝，则C的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sin A+sin B＝sin A•+sin B•＝cos A+cos B，∴sin A﹣cos A＝cos B﹣sin B∴sin（A﹣）＝sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+＝π，∴A+B＝，C＝π﹣（A+B）＝【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是0篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A+B•C，P（A）＝0.5×0.5＝0.25，P（B）＝2×0.5×0.5＝0.5，P（C）＝0.3，P（D）＝P（A+B•C）＝P（A）+P（B•C）＝P（A）+P（B）P（C）＝0.25+0.5×0.3＝0.40．（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，则P（E）＝（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3＝0.1296+0.3456＝0.4752，∴＝1﹣0.4752＝0.5248，即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE＝2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF 中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．SB＝，DE＝EB＝所以SE＝2EB（Ⅱ）由SA＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1．故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF＝．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．连接AG，AG＝，FG＝，cos∠AFG＝，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）求函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，则x＝﹣1或x＝1，经验证x＝﹣1和x＝1为极值点，即f（1）＝﹣2为极小值，f（﹣1）＝2为极大值．又因为f（﹣3）＝﹣18，f（3）＝18，所以函数f（x）的最大值为18，最小值为﹣18．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数的最值，当然如果连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值，属于基础题．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2＝y22，依题意可知等式成立进而推断出k1＝k2原式得证．（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x＝y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x＝my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4＝0，设L与C的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1＝＝＝，BF的斜率k2＝．要使点F在直线BD上需k1＝k2需4（x2﹣1）＝y2（y2﹣y1），需4x2＝y22，上式成立，∴k1＝k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）＝（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2＝4（m2+1）﹣8m2+4＝8﹣4m2＝，∴m2＝，m＝±．y2﹣y1＝＝4＝，∴k1＝，BD：y＝（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x＝y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×＝|（a﹣1）|×，∴4|a+1|＝5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a＝．∴半径r＝，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2＝．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．。

2010年高考江西省数学试卷-文科(含详细答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kk n k n n P k C p p -=-第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】主要考查不等式的性质。

当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 2．若集合{}||1A x x =≤，{}0B x x =≥，则AB =A ．{}11x x -≤≤B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤ D ．∅ 【答案】C【解析】考查集合与简单不等式。

解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A 是由大于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案 3．10(1)x -展开式中3x 项的系数为- 2 -A ．720-B ．720C ．120D ．120- 【答案】D 【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由4．若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B 5．不等式22x x ->-的解集是 A ．(,2)-∞ B ．(,)-∞+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。

2010年高考数学江西(文)(word版含答案)

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分．考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件 A 、 B 互斥，那么球的表面积公式
2 2
C． p n
D． 1 (1 p)n
10．直线 y kx 3 与圆 ( x 2) ( y 3) 4 相交于 M ，N 两点，若 MN ≥2 3 ，则 k 的取值范围是 A．， 0
3 4
B．

3 3 ， 3 3
C． 3，3
18．（本小题满分 12 分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．．．．（1）求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率．
P( A B) P( A) P( B)
如果事件 A 、 B 相互独立，那么
S 4πR2

2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅰ)

2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）cos300°＝（）A．B．﹣C．D．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{1，3，5}，则N∩（∁U M）＝（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）若变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．2D．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6B．﹣3C．0D．36．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知函数f（x）＝|lgx|．若a≠b且，f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|•|PF2|＝（）A．2B．4C．6D．89．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设a＝log32，b＝ln2，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）不等式的解集是．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答）16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅰ）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b＝a cot A+b cot B，求内角C．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE＝2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）求函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）cos300°＝（）A．B．﹣C．D．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选：C．【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{1，3，5}，则N∩（∁U M）＝（）A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}【分析】根据补集意义先求∁U M，再根据交集的意义求N∩（∁U M）．【解答】解：（∁U M）＝{2，3，5}，N＝{1，3，5}，则N∩（∁U M）＝{1，3，5}∩{2，3，5}＝{3，5}．故选：C．【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）若变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣2y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z＝x﹣2y⇒y＝x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max＝1﹣2×（﹣1）＝3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10．【解答】解：a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10，a52＝a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6B．﹣3C．0D．3【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：①m＝1，n＝2；②m＝2，n＝0；系数分别为：①＝﹣12；②＝6；x2的系数是﹣12+6＝﹣6故选：A．【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D＝A1B＝DB＝AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°故选：C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知函数f（x）＝|lgx|．若a≠b且，f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y＝lgx是一个增函数，且f（a）＝f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga＝﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：（方法一）因为f（a）＝f（b），所以|lga|＝|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga＝﹣lgb，lga+lgb＝0∴lg（ab）＝0∴ab＝1，又a＞0，b＞0，且a≠b∴（a+b）2＞4ab＝4∴a+b＞2故选：C．（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）＝f（b），得：，整理得线性规划表达式为：，因此问题转化为求z＝x+y的取值范围问题，则z＝x+y⇒y＝﹣x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），∴a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab＝4，进而解决问题．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P 在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|•|PF2|＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a＝1，b＝1，c＝，由余弦定理得cos∠F1PF2＝∴|PF1|•|PF2|＝4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|＝4；故选：B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1＝＝＝，故选：D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）设a＝log32，b＝ln2，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝＝，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP＝x（x＞0），则PA＝PB＝，∠APO＝α，则∠APB＝2α，sinα＝，＝＝×（1﹣2sin2α）＝（x2﹣1）（1﹣）＝＝x2+﹣3≥2﹣3，∴当且仅当x2＝时取“＝”，故的最小值为2﹣3．故选：D．【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．故选：B．【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣1，或x ＞2}．【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．【解答】解：：，数轴标根得：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}【点评】本小题主要考查分式不等式及其解法，属基本题．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝．【分析】由已知求出cosα，进一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝，则tanα＝．∴tan2α＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．（用数字作答）【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．所以不同的选法共有C31C42+C32C41＝18+12＝30种．故答案为：30【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|＝2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|＝2|FD|，得，a2＝3c2，解得e＝＝，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅰ）记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22＝2a1（a3+1），结合s3＝12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得或，∴s n＝n（3n﹣1）或s n＝2n（5﹣n）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b＝a cot A+b cot B，求内角C．【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A﹣）＝sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B＝，则C的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sin A+sin B＝sin A•+sin B•＝cos A+cos B，∴sin A﹣cos A＝cos B﹣sin B∴sin（A﹣）＝sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+＝π，∴A+B＝，C＝π﹣（A+B）＝【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是0篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A+B•C，P（A）＝0.5×0.5＝0.25，P（B）＝2×0.5×0.5＝0.5，P（C）＝0.3，P（D）＝P（A+B•C）＝P（A）+P（B•C）＝P（A）+P（B）P（C）＝0.25+0.5×0.3＝0.40．（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，则P（E）＝（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3＝0.1296+0.3456＝0.4752，∴＝1﹣0.4752＝0.5248，即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE＝2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF 中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．SB＝，DE＝EB＝所以SE＝2EB（Ⅱ）由SA＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1．故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF＝．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．连接AG，AG＝，FG＝，cos∠AFG＝，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）求函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，则x＝﹣1或x＝1，经验证x＝﹣1和x＝1为极值点，即f（1）＝﹣2为极小值，f（﹣1）＝2为极大值．又因为f（﹣3）＝﹣18，f（3）＝18，所以函数f（x）的最大值为18，最小值为﹣18．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数的最值，当然如果连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值，属于基础题．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2＝y22，依题意可知等式成立进而推断出k1＝k2原式得证．（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x＝y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x＝my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4＝0，设L与C的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1＝＝＝，BF的斜率k2＝．要使点F在直线BD上需k1＝k2需4（x2﹣1）＝y2（y2﹣y1），需4x2＝y22，上式成立，∴k1＝k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）＝（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2＝4（m2+1）﹣8m2+4＝8﹣4m2＝，∴m2＝，m＝±．y2﹣y1＝＝4＝，∴k1＝，BD：y＝（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x＝y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×＝|（a﹣1）|×，∴4|a+1|＝5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a＝．∴半径r＝，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2＝．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷,解析版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（某某卷，解析版）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设}{{}21.4P x x Q x x P Q ==⋂=＜＜，则（A ）{}12x x -＜＜（B ）{}31x x -＜＜（C ）{}14x x ＜＜（D ）{}21x x -＜＜答案D【命题意图】本题考查集合运算，需先求出集合Q 的具体的X 围，然后求交集. 【解析】由题24x <，所以22x -<<，所以{}22Q x x =-<<，所以{}21P Q x x =-<<，故选D.（2）已知函数()()log 1,()1,f x x f a a =+==若则（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3答案B【命题意图】本题主要考查对数的基本运算，直接利用已知条件中的等量关系求解. 【解析】由题()1f a =，得到2log (1)1a +=，解得12x +=，所以1a =，故选B. （3）设i 为虚数单位，则51ii-=+ （A ）23i -- （B ）23i -+（C ）23i -（D ）23i +答案C【命题意图】本题主要考查复数的基本运算，属于容易题. 【解析】由5(5)(1)55123122i i i i i i i ------===-+，故选C.（4）某程度框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（A ）4?k ＞（B ）5?k ＞（C ）6?k ＞（D ）7?k ＞答案A【命题意图】本题考查程序框图的有关知识，同时考查识图、用图能力.【解析】由题开始k=k+1=1+1=2,s=2×1+2=4，不满足条件需继续循环，则k=k+1=2+1=3,s=2×4+3=11，k=k+1=3+1=4,s=2×11+4=26，k=k+1=4+1=5,s=2×26+5=57，此时满足条件，应输出S ，所以判断框内应为4?k >，故选A.（5）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，525280S a a S +==，则（A ）－11 （B ）－8 （C ）5 （D ）11（A ）－11（B ）－8（C ）5（D ）11答案A【命题意图】本题考查等比数列的基本运算.【解析】由题数列{}n a 为等比数列，2580a a +=，即41180a q a q +=，因为10,0a q ≠≠，所以有380,2q q +==-，55522211(2)331111(2)3S q S q ---====-----，故选A.（6）设0,2x π＜＜则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件答案B【命题意图】本题主要考查充要条件的判断. 【解析】因为2sin (sin )sin 1x x x x x =<，0,0sin 12x x π<<∴<<，不一定能推出sin 1x x <成立，但当sin 1x x <成立时，因为0sin 1x <<，所以有sin sin 1x x x ⋅<，即2sin 1x x <，一定成立.故选B.（7）若实数x 、y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x +y 的最大值为（A ）9 （B ）157（C ）1（D ）715答案A【命题意图】本题考查线性规划的有关最值问题，利用已知条件画出可行域求解.【解析】已知约束条件形成的可行域如图所示当目标函数z x y =+过23010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的交点(4,5)点时取得最大值为9，故选A.（8）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（A ）33523cm （B ）33203cm （C ）32243cm（D ）31603cm答案B【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图及利用三视图求解几何体的体积等知识.【解析】由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱和一个正四棱台组合形成的，由图中数据可知四棱柱的体积为144232V =⨯⨯=，底层正四棱台的体积212(4488)3V =⨯⨯⨯⨯2243=，所以该组合体的体积为2243203233+=，故选B.（9）已知x 0是函数1()21xf x x=+-的一个零点，若1020(1,),(,)x x x x ∈∈+∞，则（A ）12()0,()0f x f x ＜＜（B ）12()0,()0f x f x ＜＞（C ）12()0,()0f x f x ＞＜（D ）12()0,()0f x f x ＞＞9．答案B【命题意图】本题主要考查函数的零点问题及函数的单调性的判断. 【解析】由题可知已知函数()f x 是由函数2xy =与11y x=-组合而成的，因为两个函数在(1,)+∞上均为增函数，所以()f x 也是(1,)+∞上的增函数，又因为0()0f x =，1020(1,),(,)x x x x ∈∈+∞，所以有函数的草图可知，12()0,()0f x f x <>，故选B.（10）设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线22x a－22y b ＝１（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1P F 2=60°，OP a ，则该双曲线的渐近线方程为（A ）x =0 （B ±y =0(C) x =0x ±y =010．答案D【命题意图】本题主要考查双曲线定义，余弦定理的应用，属于难题.【解析】由题设1122,,PF r PF r OP x ===，则由双曲线的定义可知122rr a -=①，在12PF F ∆中由余弦定理可得2221212(2)c r r r r =+-，②在1PF O ∆中，222112cos r c x cx POF =+-∠，③ 在2PF O ∆中，222212cos()r c x cx POF π=+--∠④由以上四式消掉12,r r 即可求出2ba=，可知选D.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)-高考真卷(带解析)

②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.
其中真命题是：
A．②③④
B．①③④
C．①②④
【知识点】线面关系有关命题的判断
D．①②③
难度：0.65 组卷：1003 题型：单选题更新：2012/9/6
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4.若 A．
满足
，则
B．
C．2
【知识点】函数奇偶性的应用基本初等函数的导数公式导数的运算法则
D．4
难度：0.65 组卷：1146 题型：单选题更新：2010/6/18
5 . 不等式 A．
的解集是 B．
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C．
D．
【知识点】分类讨论解绝对值不等式
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，
，则，两点间的球面距离为
.
难度：0.65 组卷：844 题型：填空题更新：2010/6/18
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17 . 设函数
（1）若
的两个极值点为
（2）是否存在实数，使得
. ，且是
，求实数的值；上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.
2 . 若集合 A．
，
，则
B．
【知识点】交集的概念及运算解读
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C．
D．
难度：0.65 组卷：998 题型：单选题更新：2010/6/18
3.
展开式中项的系数为
A．
B．
【知识点】求指定项的系数
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2010年全国各地高考数学试题全解全析大汇总全国卷i文数课标

i 。

2010年普通高等学校招生全国统一考试参考公式：样本数据捲，X 2 | I ( X n 的标准差文科数学锥体体积公式4I —2 2一(xi—X )+(X2—X )+(||+(Xn _X ) n -其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式S =4二 R 2,V =?二 R 34其中R 为球的半径第I 卷、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1 )已知集合 A=|x x W2,x^R,B = x|仮兰 4,x^Z|，贝U A 「| B =解析：由已知得 A={x —2^x z2},B={0,1,IH,16}，所以 B 二{0,1,2}.解析：由已知得 b =(3,18) -2a =(3,18) -(8,6) = (-5,12)，所以 cos ：：： a,b -4 (-5) 3 12 16(A)(0,2) 【答案】D(B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}其中X 为样本平均数柱体体积公式V =Sh其中S 为底面面积，h 为高(2) a , b 为平面向量，已知 a= ( 4, 3),8 (B)-658(A )65【答案】C2a+b= (3, 18),贝U a , b 夹角的余弦值等于16 16 (C )(D )-65655 13 (3 )已知复数65.3 i"(1- *31)2 '1 (A)-4 【答案】D(B )(C ) 1 (D ) 273 +i解析：z 二3 i-3 i( 一3 i)(-22.3i)(1「3i)21 -2 3i -3-2-2.3i(-2-2、3)(-2 - 23i)(4)曲线y n x? —2x ・1在点(1,0)处的切线方程为(A ) y =x -1(C ) y =2x -2 (D ) y - -2x 2【答案】A2解析：yQ3x —2，所以k = y'x^=1,所以选A .(5)中心在远点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为速度为1,那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为【答案】C(A ) .6(B )(C ),6 2(D )【答案】D-2 1解析：易知一条渐近线的斜率为k 二二=-丄4 2，故 (6)如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为Po ( ， —V 2)，角a 2b 2解析：显然，当t =0时，由已知得d =$2，故排除A 、D ,又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ,即得C. 另解：根据已知条件得 A=2,・=1,，再结合已知得质点 P 到x 轴的距离d 关于时4间t 的函数为d = 2sin(t _—)，画图得4【答案】B(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x -4 (x 启0),则｛x f(x-2户。

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【高考数学】2010年普通高等学校招生全国统一考试真题及解析-文科安徽

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