高二数学下期末测试题及答案
高二数学下期末测试题及答案 共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若yxCCC117117，则yx,的值分别是 （ ） A．6,12yx B．7,11yx C．6,11yx D．7,12yx 2．已知直线平面m，直线平面n，给出下列四个命题： ①若//，则nm； ②若，则nm//； ③若nm//，则； ④若nm，则//. 其中正确的命题有 （ ） A．③④ B．①③ C．②④ D．①② 3．5个人排成一排，若A、B、C三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（ ）
A．55A B．3333AA C．3355AA D．33A
4．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ）
A．110 B．120 C．140 D．1120 5．一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，若以连续掷两次骰子分别得到的 点数m、n作为P点坐标，则点P落在圆1622yx内的概率为 （ ） A．91 B．92 C．31 D．94 6．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球． A1表示第一次摸得白球，A2
表示第二次摸得白球，则A1与A2是 （ ）
A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．不独立事件 7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2 号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有 （ ） A．144种 B．180种 C．240种 D．300种
8．在（312xx）8的展开式中常数项是 （ ） A．－28 B．－7 C．7 D．28 9．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是 P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是 （ ） A．P1+P2 B． P1·P2 C．1－P1·P2 D．1－(1－ P1) (1－ P2) 10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙 再取1个是红球的概率为 （ ）
A．245 B．415 C．825 D．625 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。将正确答案填在题中横线上
11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有__________________种（用数字作答）． 12．已知斜三棱柱ABCABC111中，侧面BBCC11的面积为S，侧棱AA1与侧面BBCC11的距离为d，则斜三棱柱ABCABC111的体积V=______________．
13．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V= ．
14．已知92xxa的展开式中，3x的系数为49，则常数a的值为__________________．
三、解答题：本大题共6小题，满分76分．
15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前，巴西队、士 耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．
16．（本题满分12分）如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点， （1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MN⊥AB； （3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为， 试确定的值，使得直线MN是异面直线AB 与PC的公垂线．
17．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （相互独立）． （1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把， 于是，他逐把不重复地试开，问： （1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？ （3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？ 19．（本题满分12分）已知nx)31(的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数的最大的项及系数最大项.
20．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABCABC111中，ABAA341，，M为AA1 的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC和NC的长； （3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小 （用反三角函数表示）.
高二数学期末测试题参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B B D C C D D 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．252 12．dS21 13． 4 14．4 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．(12分) 解一：记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则事件A的对立事件;A为“中国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有C84种方法，即基本事件总数为C84，其中中国队与巴西队被分在两个小组有CC2163
种可能， PACCC()21638447 根据对立事件的概率加法公式 PAPA()()114737 解二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，故两队同组的概率为37. 答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为37. 16．(12分) 证明： （1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平行四边形，所以MN//AE，所以MN//平面PAD （2）连接AC、BD交于O，连接OM、ON，因为ON//PA，所以ON⊥平面ABCD，因为OM⊥AB，由三垂线定理知， MN⊥AB； （3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥面PCD ∵MN∥AE ∴MN⊥面PCD，∵PC面PCD， ∴MN⊥PC，又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线. 17．(12分) 解：每个人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也为0.5， 在6个人需上网的条件下，r个人同时上网这个事件（记为Ar）的概率为： P(Ar)=)501(50C66..rrr=50C66.r=641C6r式中r=0,1,2,…,6 第（1）问的解法一 应用上述记号，至少3人同时上网即为事件A3+A4+A5+A6，因为A3、A4、A5、A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得至少3人同时上网的概率为P=P(A3+A4+A5+A6)= P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6) =641(CCCC66564636)=641(20+15+6+1)=3221 解法二 “至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A0+A1+A2，因为A0，A1，A2是彼此互斥的事件，所以至少3人同时上网的概率为 P=1－P（A0+A1+A2）=1－[P(A0)+P(A1)+P(A2)]=1－641(CCC261606)=1－641(1+6+15)=3221 第（2）问的解法：记“至少r个人同时上网”为事件Br，则Br的概率P(Br)随r的增加而减少，依题意是求满足P(Br)<0.3的整数r的值，因为P(B6)=P(A6)=641<0.3，
P(B5)=P(A5+A6)= P(A5)+P(A6)=641(CC6656)=647<0.3 P(B4)=P(A4+A5+A6)= P(A4)+P(A5)+P(A6)=641(CCC665646)= 641 (15+6+1)=3211>0.3 因为至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3．
18．(12分) 解：5把钥匙，逐把试开有A55种等可能的结果． （1）第三次打开房门的结果有A44种，因此恰好第三次打开房门的概率P(A)=AA5544=51． （2）三次内打开房门的结果有3A44种，因此所求概率P(A)=AA35544=53． （3）解法一 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A33·A22种，从而三次内打开的结果有A55—A33·A2
2
种，所求概率P(A)=AAA552233-A55=109． 解法二 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有AAC33121312A种；
三次内恰有2次打开的结果有A23A33种，因此，三次内找开的结果有AAC33121312A+A23A33，所求概率P(A)=AC55332333121312AAAAA=109．
19．（14分）解：末三项的二项式系数分别为：Cnn2，Cnn2，Cnn，由题设得：Cnn2+Cnn1+Cnn=121 即Cn2+Cn1+Cn0=121,∴n2+n－240=0 ∴n=15 (n=－16) (n=－16舍去)
当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C71537x7与C81538x8 ∵展开式通项Tr+1= Cr15(3x)r= Cr153r· xr 设Tr+1项系数最大，则有 Cr15
3r≥Cr1153r－1
Cr153r≥Cr1153r+1
高二下学期期末数学试题及答案
第1页（共4页） 第2页（共4页）密 封 线 内 不 要 答 题XXX 学年下学期期末考试高二数学试卷一、选择题（每题2分，共30分）1、sin450cos150-cos450sin150的值是 （ ） A.-23 B.21 C.-21 D.23 2、若cos α=-21,sin β=23,且α和β在第二象限，则sin(α+β)的值（ ）A.213-B.23C.-23D.213、x y 212-=的准线方程( )A. 21=yB. 81=xC. 41=xD. 161=x 4、由1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数 （ ）A. 6个 B . 3个 C. 2个 D. 1个5、(nx )6-的展开式中第三项的系数等于6,那么n 的值（ ）A ． 2B ．3C ． 4D ．56、从放有7个黑球,5个白球的袋中,同时取出3个,那么3个球是同色的概率( ) A. 221 B. 447 C. 449 D. 221或447 7、x y 2=与抛物线2x y =的交点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++的结果是（ ）A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 9、已知△ABC 的三边分别为a=7, b=10, c=6,则△ABC 为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、函数y x y 的图象可由函数)6sin(2π+==的图象x sin 2 而得到( ) A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位11、椭圆155322=+y x 的焦点坐标为 （ ） A.)0,8(),0,8(- B.)8,0(),8,0(- C.)0,2(),0,2(- D.)2,0(),2,0(- 12、 61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是 （ ） A.C 36 B.C 46 C.C 06 D.C 56专业 班级 考场 座号第3页（共4页） 第4页（共4页）13、100件产品中,有10件一等品,20件二等品,任取一件是二等品的概率（ ） A. 51 B. 101 C. 301 D. 50114、下列点在1234+-=x x y 的曲线上的是（ ）A ．（1，0）B ．（—1，—6）C ．（—5，1）D ．（2，1）15、从8名男生和1名女生中选4人组成一个小组,必须要有女生参加的选法种数为（ ） A. 70 B. 56 C. 336 D. 126 二、填空题（每题2分，共30分） 1、长轴和短轴之和为18,焦距为6,且焦点在x 轴上的椭圆标准方程 2、双曲线1361622=-y x 的渐近线方程 3、过点M(-1,-2)的抛物线标准方程4、用1克,2克,4克的砝码在天平上能称出 种不同的物体的质量.5、长轴在y 轴，离心率为36，且过点(3,0)的椭圆的标准方程是 。
2022年年高二下学期数学(理)期末试卷(附答案)
年高二下学期数学（理）期末试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为 A. i 54- B.54- C. i 54 D.542. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定为A.0232,0200<++∈∃x x R xB. 0232,0200≤++∈∃x x R xC. 0232,2<++∈∀x x R xD. 0232,2≤++∈∀x x R x3. 已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.6P ξ<=，则(01)P ξ<<= A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.14. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.()()q p ⌝∨⌝B.()q p ⌝∨C.()()q p ⌝∧⌝D.q p ∨5. 某校从高一中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[)[),60,50,50,40[)[),80,70,70,60 [)[)100,90,90,80加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 高一共有学生600名，据此 统计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A.588B.480C.450D.120 6. 若不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 等于A.8B.2C.4-D.8- 7. 在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是A. (1,)2πB. (1,)4πC. (2,)4πD. (2,)2π8. 已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 189. 阅读如下程序框图， 如果输出5=i ,那么在空白矩形框中应填入的语句为 A. 22-*=i S B. 12-*=i S C. i S *=2 D. 42+*i10. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. 若η2-=ξa ，1)(=ηE , 则a 的值为A. 2B.2-C. 5.1D. 311. 观察下列数的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是A ．10 B. 13 C. 14 D.10012. 若函数x x f a log )(=的图象与直线x y 31=相切，则a 的值为 A. 2e e B. e3e C. e e5D. 4ee第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数 为__________个.14. 圆222r y x =+在点()00,y x 处的切线方程为200r y y x x =+，类似地，可以求得椭圆183222=+y x 在()2,4处的切线方程为________．15. 执行右面的程序框图，若输入的ε的值为25.0，则输出的n 的值为_______.16. 商场每月售出的某种商品的件数X 是一个随机变量, 其分布列如右图. 每售出一件可 获利 300元, 如果销售不出去, 每件每月需要保养费100元. 该商场月初进货9件这种商品, 则销售该商品获利的期望为____.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) X 1 2 3···12P121121 121 ···1210,1==S i1+=i i 输出i结束开始i 是奇数12+*=i S10<S是否否 是第9题图17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在极 坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （I ）求圆C 的直角坐标方程;（II ）设圆C 与直线l 交于,A B 两点，若点P 坐标为(3,5)，求PB PA ⋅的值.18. 目前四年一度的世界杯在巴西举行，为调查哈三中高二学生是否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法调查了110名高二学生，结果如下表：男 女 是 40 20 否2030（I ）若哈三中高二共有1100名学生，试估计大约有多少学生熬夜看球; （II ）能否有99%以上的把握认为“熬夜看球与性别有关”? 2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. 数列{}n a 中，11=a ，且12111+=++n a a nn ，（*∈N n ）. (Ⅰ) 求432,,a a a ;(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.20. 已知函数x x f ln )(=，函数)(x g y =为函数)(x f 的反函数.(Ⅰ) 当0>x 时, 1)(+>ax x g 恒成立, 求a 的取值范围; (Ⅱ) 对于0>x , 均有)()(x g bx x f ≤≤, 求b 的取值范围.性别是否熬夜看球21. 哈三中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （元）908483807568（I ）求回归直线方程y bx a =+;（其中121()(),()n i i i ni i x x y y b a y bx x x ==∑--==-∑-）（II ）预计今后的销售中，销量与单价服从（I ）中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元?22. 已知函数a x f -=)(x2ex a e )2(-+x +，其中a 为常数.(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ) 设函数)e 2ln()(x ax h -=2e 2--+x a x (0>a ),求使得0)(≤x h 成立的x 的最小值; (Ⅲ) 已知方程0)(=x f 的两个根为21,x x , 并且满足ax x 2ln 21<<.求证: 2)e e (21>+x x a .数学答案一. 解答题:22. (Ⅰ) 因为)1)(12()(+-+='xxae e x f ,所以, 当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数; 当0>a 时, 函数)(x f 在)1ln,(a-∞上为单调递增, 在).1(ln ∞+a 上为单调递减函数.(Ⅲ) 由(Ⅰ)知当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数, 方程至多有一根,所以0>a ,211ln ,0)1(ln x ax a f <<>,又因为 =--)())2(ln(11x f e a f x 022)2ln(111>--+-x ae e a xx ,所以0)())2(ln(11=>-x f e a f x , 可得2)2ln(1x e ax<-.即212xx e e a<-, 所以2)(21>+x x e e a .。
广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷(解析版)
湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试高二数学说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过()2,0−和()0,2两点的直线的斜率是（ ）A.1B.1− C.π4D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式2121y y k x x −=−可得.【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率02120k −=−−.故选：A2.用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23y x =+，若6130ii x==∑，则61ii y==∑（ ）A.11B.13C.63D.78【答案】D 【解析】【分析】根据线性回归方程为ˆ23y x =+一定过点(),x y ，先求出x ，代入回归方程即可得出y ，进而可得61i i y =∑的值.【详解】依题意，因为6130ii x==∑，所以3056x==， 因线性回归方程为ˆ23y x =+一定过点(),x y ，为所以2325313y x =+=×+=，所以6161378ii y==×=∑.故选：D.3. 若圆22:()(4)4C x a y a −+−=被直线:320l x y −+=平分，则=a （ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.【详解】由题意得圆心(),4a a 在直线:320l x y −+=上， 则3420a a −+=，解得2a =. 故选：D.4. 函数()y f x =的导函数()y f x =′的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）A. ()y f x =在0x =处的切线的斜率大于0B. ()1f −是函数的极值C. ()y f x =在区间()3,1−上不单调D. ()1f −是函数的最小值【答案】A 【解析】【分析】根据()y f x =′的图像分析()y f x =的单调性和最值，即可判断BCD ；对于A ：根据导数的几何意义分析判断.【详解】由图象可知：当3x <−时，()0f x ′<；当3x >−时，()0f x ′≥（当且仅当=1x −时，等号成立）；可知()y f x =在(),3∞−−内单调递减，在()3,∞−+内单调递增， 则()3f −为()y f x =的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD 错误；对于A ：可知()00f ′>，即()y f x =在0x =处的切线的斜率大于0，故A 正确； 故选：A.5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下22×列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计203050参考数据及公式如下：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d −=++++ ()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828A. 不能根据小概率的0.05α=的2χ独立性检验认为两者有关B. 根据小概率的0.01α=的2χ独立性检验认为两者有关C. 根据小概率的0.001α=的2χ独立性检验认为两者有关D. 根据小概率0.05α=的2χ独立性检验认为两者无关 【答案】B 【解析】【分析】根据给定的数表，求出2χ的观测值，再与临界值比对即得.【详解】由数表知，2250(5101520)25203025253χ××−×==×××，而256.63510.8283<<， 所以根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验认为两者有关． 故选：B6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，的则不同的选法种数为（ ） A. 20 B. 25C. 225D. 450【答案】C 【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有1255C C 15+=种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有1515225×=种. 故选：C7. 如图，在三棱锥−P ABC 中，2,90,60,PA PB PC APB BPC APC M ∠∠∠====== 为BC 的中点，Q 为AM 的中点，则线段PQ 的长度为（ ）A.B.C.32D.【答案】C 【解析】【分析】先得到111244PQ PA PB PC =++，再平方求解.【详解】解：由题意得1111122244PQ PA PM PA PB PC =+=++，故222211111141616448PQ PA PB PC PA PB PA PC PB PC +++⋅+⋅+⋅， 111191044244=+++++=，则32PQ =. 故选：C.8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，53a =，则数列12{}n n a a ++的前24项和为（ ）A.B. 3C. D. 6【答案】D 【解析】【分析】先由等方差数列的定义得到{}2n a 是公差为2的等差数列并求出n a ，进而求出12n n a a ++，再利用裂项相消法求和即得.【详解】依题意，2212n n a a +−=，即{}2n a 是公差为2的等差数列，而53a =， 于是2252(5)21n a a n n =+−=−，即n a =则12n n a a +=+，所以数列12{}n n a a ++的前24项和为：1)716++++=−= .故选：D二､多选题：本题共36分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（ ） A. 114a = B. 3q =C. 1134n n a −=× D.()1314nn S =− 【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q += += ，解得11,23a q== 故A 错误，B 正确； 则111132n n n a a q −−==×，1)(1)131(1)1(3144n nn n a q S q −==−−−=−，故C 错误，D 正确.故选：BD.10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件1A 、2A ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B ，则下列结论正确的是（ ） A. ()134P A =B. ()214P B A = C. ()1916P A B =D. ()2211P A B =【答案】ACD 【解析】【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出()134P A =，()214P A =，()134P B A =，()212P B A =，即可判断A 选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B ，C ，D 选项的正确性. 【详解】对于A ，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以()134P A =，故A 正确； 对于B ，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为()22142P B A ==，故B 错误； 对于C ，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为()34P =，所以()()()1113394416P A B P A P B A ==⋅=，故C 正确； 对于D ，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以()214P A =，结合以上分析，所以()()()()()()()()()22221122112243311114424P B A P A P A B P A B P B P B A P A P B A P A ⋅====+⋅+⋅，故D 正确.故选：ACD11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 是线段1AD 上的点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A. 存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB DB. 当点E 为线段1CC 的中点时，点1B 到平面1AED 的距离为2C. 点E 到直线1BDD. 当点E 为棱1CC 的中点，存在点P ，使得平面PBD 与平面EBD 所成角为4π 【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A ，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC ，利用两平面的法向量的夹角即可求解D.【详解】对A 选项，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系如图：则根据题意可得(0D ,0,0),1(0D ,0,2),1(2A ,0,2),1(2B ,2,2),()2,0,0A ， 设(0E ,2,)(02)a a ≤≤，所以1(2,0,2)AD − ，1(0,2,2)AB = ，1(2,2,2)A E a =−−，假设存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ，则()114220AD A E a ⋅=+−= ，()114220AB A E a ⋅=+−=，解得0a =，所以存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ，此时点E 与点C 重合，故A 正确；对于B ，点E 为线段1CC 的中点时，()0,2,1E ,(2,2,1)AE −,1(2,0,2)AD − ,设平面1AED 的法向量为(),,m x y z = ，则1220220AD m x z AE m x y z ⋅=−+= ⋅=−++=，取2x =，则()2,1,2m = ， 1(0,2,2)AB = ,故点1B 到平面1AED 的距离为12423AB m m ⋅+==，故B 正确， 对C 选项,(0E ,2,)(02)a a ≤≤，()()12,0,,2,2,2BE a BD =−=−−,点E 到直线1BD==故当1a =时，即点E 为1CC 中点时，此时点E 到直线1BD ，故C 错误；对D 选项，点E 为线段1CC 的中点时，()0,2,1E ,()0,2,1DE = ,()2,2,0DB =, 设平面EBD 的法向量为()111,,a x y z = ，则111120220DE a y z DB a x y ⋅=+= ⋅=+=，取11x =，则()1,1,2a =− ，设()(),0,202P x x x −≤≤,(),0,2DP x x =− ,()2,2,0DB = , 设平面PBD 的法向量为()222,,b x y z =，则()222220220DP b xx x z DB b x y ⋅=+−= ⋅=+=，取22x x =−，则()2,2,b x x x =−−−，若存在点P ，使得平面PBD 与平面EBD 所成角为4π， 则cos ,a b a b a b⋅==，化简得27880x x −−=，解得x =或，由于02x ≤≤，所以x =D 正确， 故选：ABD ．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 6x 展开式中2x 项的系数为________. 【答案】30 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.【详解】6x −展开式的通项表达式为()()6621661C 1C rr r r r r r rr T x x −−+−−， 当622r −=时，2r =，()22222361C 30T x x −=.故答案为:30.13. 已知()2e x f x m x =−，若()f x ′为奇函数，则m =______. 【答案】0 【解析】【分析】求导后利用奇函数的性质得到()()f x f x ′′=−−，代入计算再结合指数函数的性质可得结果. 【详解】()e 2xf x m x ′=−， 因为()f x ′为奇函数，所以()()f x f x ′′=−−，即()e 2e 2xxm x m x −−=−+，化简可得()e e0x xm −+=， 因为e 0,e 0x x −>>， 所以0m =. 故答案为：0.14. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若222sin 3sin ABF BAF ∠=∠，21cos 8ABF ∠=−，则C 的离心率为______．【答案】 【解析】【分析】引入参数t ，结合双曲线定义、正弦定理表示出2AF t =，223BF t =，12AF t a =−，1223BF a t =+，143AB a t =−，在2ABF △中由余弦定理可得4t a =，在12BF F △中，运用余弦定理可得出228c a =，结合离心率公式即可得解.【详解】在2ABF △中，设2AF t =，由正弦定理得2222sin sin AF BF ABF BAF =∠∠，则223BF t =， 所以由双曲线的定义可知12AF t a =−，1223BF a t =+，故11143AB BF AF a t =−=−， 在2ABF △中，2222124133cos 1282433a t t t ABF a t t−+− ∠==−×−×，解得4t a =， 所以在12BF F △中，1143a BF =，283aBF =，122F F c =， 又222128144133cos 8148233a a c F BF a a +− ∠==−××，解得228c a =，所以离心率cea==故答案为：【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与,,a b c 的关系，进而结合离心率公式即可得解.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知585S =，且617a a =． （1）求n a 和n S ； （2）设15n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（1）61na n =−；232n S n n =+； （2）65n T nn =+． 【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前n 项和； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为15535()5852a a S a +===，所以317a =， 又617a a =，所以()1737172d d +=−，解得6d =，所以()()33173661n a a n d n n =+−=+−×=−， ()()125613222n n n a a n n S n n ++−===+． 【小问2详解】 ()()155511616566165n n n b a a n n n n + ===− −+−+ ， 所以5111111116511111767616165n T n n n n =−+−++−+− −−−+ 511656565n n n =−= ++ ． 16. 四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点．（1）求证: 平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时， A BE D −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由正方形的性质得到BD AC ⊥，又由线面垂直的性质得到PA BD ⊥，即可得到BD ⊥平面PAC ，从而得证；（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ．【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，所以()2,0,0AB = ，()1,1,1BE =− ，()2,2,0BD =− ，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z = ，则200n AB x n BE x y z ⋅== ⋅=−++= ，取()0,1,1n =− ， 设平面DBE 的法向量为(),,m a b c = ，则2200m BD a b m BE a b c ⋅=−+= ⋅=−++= ，取()1,1,0m = ， 设二面角A BE D −−为θ，由图可知二面角A BE D −−为锐二面角，所以1cos 2m n m n θ⋅==⋅ ，所以sin θ，即二面角A BE D −−.17. 已知F 1，F 2分别为椭圆W ：2214x y +=的左、右焦点，M 为椭圆W 上的一点． （1）若点M 的坐标为（1，m ）（m >0），求△F 1MF 2的面积；（2）若点M 的坐标为（x 0，y 0），且∠F 1MF 2是钝角，求横坐标x 0的范围． 【答案】（1）32（2）【解析】【分析】（1）代入法求得m 值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；（2）由余弦定理可得．【小问1详解】因为点M （1，m ）在椭圆上，所以2114m +=， 因为m >0，所以m =， 因为a ＝2，b ＝1，所以c =1(F，2F ，所以1212113222F MF S m F F ==×= 【小问2详解】因为点M 在椭圆上，所以－2≤x 0≤2，由余弦定理得 cos ∠F 1MF 2＝22212122||||||2||||MF MF F F MF MF +−⋅，因为∠F 1MF 2是钝角，所以22220000((120x y x y +++−<，又因为220014x y =−，所以2083x <，解得0x <<，故横坐标x 0的范围为 .18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为X ，求X 的分布列及期望()E X ；（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y ，求Y 的期望()E Y .【答案】（1）89（2）分布列见解析，()23E X =（3）13个工时的【解析】【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.【小问1详解】设“有女生参加活动”为事件A ，”恰有一名女生参加活动“为事件B .则()()11112424222266C C C C C 83,C 15C 5P AB P A +====， 所以()()()8815|395P AB P B A P A === 【小问2详解】依题意知X 服从超几何分布，且22426C C ()C k k P X k −==(0,1,2)k =， ()()()21124422222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X ⋅=========， 所以X 的分布列为：()2812012515153E X =×+×+×=； 【小问3详解】设一名女生参加活动可获得工时数为1X ，一名男生参加活动可获得工时数为2X ，则1X 的所有可能取值为36,，2X 的所有可能取值为6,9， 111(3)(6)2P X P X ====，1119()36222E X =×+×=， 221(6)(9)2P X P X ====，21115()69222E X =×+×=， 有X 名女生参加活动，则男生有()2X −名参加活动.()915215322Y X X X =+−=−， 所以()()()2153153153133E Y E X E X −−−×. 即两人工时之和的期望为13个工时..19. 已知函数()()e ,()x f x x a x a =−−∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x =−+−++，若1−是()g x 的极大值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）0（2）(),0∞−上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞−+【解析】【分析】（1）求导，然后根据(0)0f ′=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a ′=−+−，则0(0)(1)e 1f a a ′=−+−=−，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a −=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x ′=+−，令()(1)e 1x h x x =+−，则()(2)e x h x x ′=+，当<2x −时，()0h x ′<，()f x ′单调递减，当2x >−时，()0h x ′>，()f x ′单调递增，又当<2x −时，()0f x ′<恒成立，2(2)e 1f −′−=−−，0(0)e 10f ′−，所以当0x <时()0f x ′<，0x >时，()0f x ′>，所以()f x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a ′ =−++−−+=+−+− ，令()(1)e 1x v x x a =−+−，则()(2)e xv x x a ′=−+， 当2x a <−时，()0v x ′<，()v x 单调递减，当2x a >−时，()0v x ′>，()v x 单调递增，又当2x a <−时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a −−=−−<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a −+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <−，即()11(11)e 10v a −−=−−+−>，解得e a <−， 此时若()0g x ′<，解得01x x <<−，()g x 在()0,1x −上单调递减，若()0g x ′>，解得0x x <或1x >−，()g x 在()()0,,1,x −∞−+∞上单调递增，此时()g x 在=1x −处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >−，即()11(11)e 10v a −−=−−+−<，解得e a >−， 此时若()0g x ′<，解得01x x −<<，()g x 在()01,x −上单调递减，若()0g x ′>，解得1x <−或0x x >，()g x ()()0,1,,x −∞−+∞上单调递增，此时()g x 在=1x −处取极大值，符合1−是()g x 的极大值点，当01x =−时，即()11(11)e 10v a −−=−−+−=，解得a e =−，此时()0g x ′≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞−+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.在。
广东肇庆2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
肇庆市2022-2023学年第二学期高二年级期末教学质量检测数学本试题共6页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 2253A C +=（ ）A. 13B. 16C. 23D. 26【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合数的运算求解. 【详解】225332A C 542321×+=×+=×, 故选：C.2. 以下求导正确的是（ ） A. ()21log ln2x x ′= B. (cos )sin x x ′= C. 1(ln3)3′= D. 1(3)3x x x ′−=⋅【答案】A 【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【详解】对于A ，21(log )ln2x x ′=，A 正确； 对于B ，(cos )sin x x ′=−，B 错误； 对于C ，(ln3)0′=，C 错误； 对于D ，3l 3)n (3′=x x ，D 错误.故选：A3. 522x x +的展开式中2x 的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】A 【解析】【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】通项公式为51522C kkkk T x x −+ =⋅5352C k kk x −⋅， 令532k −=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为152C 10×=. 故选：A4. 近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富．已知某农村电商每月直播带货销售收入y （单位：万元）与月份()1,2,,12x x = 具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为ˆ0.89.3y x =+，则下列结论正确的是（ ）A. 相关系数0.8r =，销售收入y 与月份x 的相关性较强B. 经验回归直线ˆ0.89.3y x =+过点()3,11.7 C. 根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元D. 关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上 【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质和定义逐个判定即可.【详解】对于A ，由回归方程为ˆ0.89.3y x =+可知，回归系数为0.8，不是相关系数，故A 错； 对于B ，由前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程，故1234535x++++=，30.89.311.7y ∴=×+=，所以过点()3,11.7，故B 正确；对于C ，根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为14.1万元，并不是实际值，故C 错误；对于D ，并不是所有关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上，故D 错误； 故选：B5. 有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有（ ） A 80种 B. 100种 C. 120种 D. 140种【答案】C 【解析】【分析】采用先分后排的方法可求出结果.【详解】先将5个元素分成4组，有25C 10=种，再安排含甲的一组，有12C 2=种， 再安排其余3组，有33A 6=种，所以不同的分配方案共有1026120××=种. 故选：C6. 某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X ，且X 服从二项分布110,4B，则以下说法错误的是（ ） A. ()52E X =B. ()158D X =C. ()216E X +=D. ()314P X == 【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案. 【详解】因为1~10,4X B，所以15()1042E X =×=，故A 正确； 1115()10(1)448D X =××−=，故B 正确；5(21)2()12162E X E X +=+=×+=，故C 正确；.911011(1)C 144P X ==⋅⋅−= 995324×34≠，故D 错误.故选：D7. 若1ea =，b =ln55c =，则（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】B 【解析】【分析】由ln e ln 2ln 4,e 24a b ===，可构造函数ln ()xf x x=，再求导判断单调性，即可求解. 【详解】ln e ln 2ln 4,e 24a b ===， 设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x −′=， 当0e x <<时，则()0,()′>f x f x 单调递增， 当e x >时，则()0,()′<f x f x 单调递减，(e)(4)(5)f f f ∴>>，即a b c >>，故选：B【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.8. 已知函数()22,201ln ,0ex x f x x x −−≤≤= +<≤ ，函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点()1212,x x x x <，则212x x +的最大值和最小值的差是（ ） A. 32e −+ B. 34e −+C. 32e −−D. 34e −−【答案】A 【解析】【分析】作出(),1yf x y m ==+的图象，数形结合可得m 的取值范围，将212,x x 用m 表示，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，利用导函数讨论单调性求解.【详解】作出(),1y f x y m ==+的图象如下，由图象可知，当212m −≤+≤，即31m −≤≤时，函数(),1y f x y m ==+有2个交点，即函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点，因为12x x <，所以21221ln 11x m x m −=+ +=+ ，可得2121e mx mx =− = ， 则212e 1mx x m +=−+，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，()e 1,(31)x h x x −−≤≤′， 令()0h x ′>解得，01x <≤，令()0h x ′<解得，−<3≤0x ， 所以()h x 在[)3,0−单调递减，(]0,1单调递增，所以{}3min max ()(0)2,()max (3),(1)e 4h x h h x h h −===−=+， 所以函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤的最大值和最小值之差为32e −+， 所以212x x +最大值和最小值的差是32e −+， 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若1021001210(1)−=++++ x a a x a x a x ，则（ ）A. 01a =B. 01101a a a +++=− C. 100123102a a a a a −+−++= D. 9024102a a a a ++++=−【答案】AC 【解析】【分析】利用赋值法可得.的【详解】A 选项：当0x =时，得100(1)a −=，即01a =，故A 正确；B 选项：当1x =时，得1001210(11)a a a a −=++++ ，即01100a a a +++=，故B 错误； C 选项：当=1x −时，得10012310(11)a a a a a −−=−+−+ ，故100123102a a a a a −+−++=，即C 正确； D 选项：()()10011001231090241002222a a a a a a a a a a a a ++++−+−+++++++=== ， 故D 错误； 故选：AC10. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则下列说法正确的是（ ） A. ()35P A =B ()625P AB =C. ()1|2P B A =D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为13【答案】AC 【解析】【分析】根据古典概型概率公式、条件概率公式、互斥事件的加法公式计算可得答案, 【详解】依题意可得3()5P A =，故A 正确； 323()5410P AB =×=，故B 不正确；所以()()()310|35P AB P B A P A ==12=，故C 正确； 第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为3235410×=，第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为2335410×=， .所以摸球两次，恰有一个是红球为事件33310105+=，故D 不正确. 故选：AC11. 已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），X 服从正态分布()25,N σ，若()4.5P X p <=，则（ ）A. ()152P X >=B. ()14.552pP X −<<=C. σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大D. 若310p =，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为36125【答案】ACD 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB 选项；利用σ与正态密度曲线的关系可判断C 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为)2~5,X N σ，则()152P X >=，A 对； 对于B 选项，因为()4.5P X p <=，则()()()124.555 4.52pP X P X P X −<<=<−<=，B 错； 对于C 选项，σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大，C 对； 对于D 选项，若310p =，()324.5 5.51212105P X p <<=−=−×=， 所以，从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为2232336C 55125⋅⋅= ，D 对.故选：ACD.12. 已知函数()42361f x x x =−+−，()f x ′是()f x 的导函数，且()()()f a f b f c =′′=′，其中a b c <<，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的所有极值点之和为0B. ()f x 的极大值点之积为2C. 1ab ac bc ++=−D. abc 的取值范围是(− 【答案】AC 【解析】【分析】求出()f x ′讨论其符号后可得函数的极值点，故可判断AB 的正误，设()()()f a f b f c t ′′′===，则()31212g x x x t =−+−有3个不同的零点,,a b c ，利用导数和因式分解可求t 的范围及ab bc ac ++与t 的关系，故可判断CD 的正误.【详解】()()()312121211f x x x x x x ′=−+=−−+， 令()0f x '>，则1x <−或01x <<；令()0f x ′<，则10x −<<或1x >； 故()f x 的极大值点为1,1−，它们的乘积为1−，故B 错误.而()f x 的极小值点为0，故()f x 的所有极值点之和为0，故A 正确.设()()()f a f b f c t ′′′===， 则()f x t ′=有三个不同的实数解,,a b c ，且a b c <<.设()31212g x x x t =−+−，则()g x 有3个不同的零点， 又()23612g x x ′=−+，令()0g x ′>，则x <<令()0g x ′<，则x <x >故()g x 在 为增函数，在, −∞ 、 ∞ 上为增函数，因为()0g x =有三个不同的实数解，故00g g >< ，整理得到：1212012120t t −+> −<，解得t <<. 又因为()0g x =有三个不同的实数解,,a b c ，故()()()()12g x t x a x b x c −=−−−− ()()3212x a b c x ab bc ac x abc =−−+++++− ，故()()332121212x x t x a b c x ab bc ac x abc −+−=−−+++++− 恒成立，故1ab bc ca ++=−且12t abc −=，故C 正确，而12t abc −=∈ ，故D 错误. 故选：AC.断，则需根据导数的符号来确定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 的分布列如下表所示，若()74E X =，则()2P X ≤=_________．【答案】34##0.75 【解析】【分析】利用分布列的性质结合期望公式可得出关于m 、n 的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得()2P X ≤的值.【详解】由分布列的性质和期望公式可得()114172344m n E X m n ++= =+×+= ，解得1214m n = =，因此，()1132244P X ≤=+=. 故答案为：34. 14. 已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是ACD ，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为_________． 【答案】67【解析】【分析】利用条件概率直接求解.【详解】设事件A ：“小明得分”，事件B ：“小明拿到2分”，小明只选一个选项有14C 4=种选法；小明只选两个选项有24C 6=种选法； 小明只选三个选项有34C 4=种选法； 小明选四个选项有44C 1=种选法；事件A ：“小明得分”包含123333C C C 7++=个基本事件； 事件B ：“小明拿到2分” 包含1233C C 6+=个基本事件； 所以6(|)7P B A =, 故答案为:67. 15. “白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1sin2,0,2π2g x x x =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()00,x f x 处的切线与()g x 在()()00,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为_________．【解析】【分析】将函数()f x 表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解.【详解】由题可知()[](]4sin ,0,π2sin ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈ ，()[](]4cos ,0,π2cos ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈′，()[]cos2,0,2πg x x x ′=∈当[)00,πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以004cos cos 2x x =，即2002cos 4cos 10x x −−=，解得0cos x =0cos x =0cos x = 当(]0π,2πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以002cos cos 2x x −=，即2002cos 2cos 10x x +−=，解得0cos x =0cos x =（舍）或0cos x =，故答案为:16. 已知函数()ln 2g x x a =−的两个零点分别为1x 和2x ，且12x x <，则212x x a的最小值为_________．【答案】2e 【解析】【分析】先将1x 和2x 用a 去表示，可将212x x a 转化为2e a a，构造函数()2e x f x x =，利用导数求最小值即可.【详解】当01x <<时，ln 0x <，当1x >，时ln 0x >，由题意1ln 2x a −=，2ln 2x a =，0a >， 所以21eax −=，22e ax =，故2212e ax x a a=设()2e xf x x=，0x >， 则()()22e 21x xf x x−′=， 当102x <<时，()0f x ′<，()f x 在区间10,2上单调递减， 当12x >时，()0f x '>，()f x 在区间1,2 +∞上单调递增， 故()12e 2f x f≥=， 故2212e ax x a a=最小值为2e . 故答案为：2e四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） （2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】（1）72 （2）48 【解析】【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；（2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【小问1详解】的从1，3，5中选一个填入个位，有13A 种， 剩余四个位置全排列，有44A 种， 故共有4134A =72A 个． 【小问2详解】3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有1242A A 种，其他位置进行全排列，有33A 种， 故共有123423A A A 48=个．18. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛（不考虑平局），比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的人获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛结果相互独立． （1）求甲以3:1获胜的概率；（2）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）827（2）分布列见解析，10727． 【解析】【分析】（1）由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；（2）由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望. 【小问1详解】若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，概率为：2232228C 133327P =×−×=． 【小问2详解】由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，则打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则()332113333P X ==+=，打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，则()222233222111104C 1C 133333327P X ==×−×+×−×= ， 打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，法一：()22242185C 3327P X ==×=．法二：可用列举法，具体情况如下表：甲前四局胜负及概率情况()48568127P X ==×=． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望()11081073453272727E X =×+×+×=． 19. 已知函数()323612f x x x x =−−+． （1）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()1212x x f x f x ++的值； （2）设[]2,3x ∈−，求()f x 的最值．【答案】（1）()()1212132x x f x f x ++=− （2）最大值为92，最小值为9−． 【解析】【分析】（1）求导后，令导数为0判断单调性，从而可确定极值点，进而求解即可； （2）计算极值和端点的函数值，从而可求解. 【小问1详解】()f x 的定义域为R ．由()323612f x x x x =−−+，得()()()2336321f x x x x x ′=−−=−+， 令()0f x ′=，解得=1x −或2x =，当(),1x ∈−∞−时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,2x ∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 依题意有11x =−，22x =，则()()1912f x f =−=，()()229f x f ==−， 所以()()1212132x x f x f x ++=−． 【小问2详解】由（1）知()f x 在[)2,1−−上单调递增，在()1,2-上单调递减，在(]2,3上单调递增，所以()9()12f x f =−=极大值， ()()29f x f ==−极小值．又(2)1f −=−，7(3)2f =−， 所以()f x 的最大值为92，最小值为9−． 20. 为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入x （单位：亿元）与收益y （单位：亿元）的数据如下表所示：研发投入x 3 6 8 10 14 17 22 32收益y 43 52 60 71 74 81 89 98（1）已知可用一元线性回归模型ˆˆˆy bx a =+模型拟合y 与x 的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ， ，(),n n x y ，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()121ˆn i ii ni i x y nxybx x ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−，819138i i i x y ==∑，()821634i i x x =−=∑，结果保留两位小数） （2）该企业主要生产I 、II 类产品，现随机抽取I 类产品2件、II 类产品1件进行质量检验，已知I 类、II 类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率．【答案】（1）ˆ 1.8744.82yx +（2）47． 【解析】【分析】（1）利用最小二乘法估计公式可得经验回归方程； （2）根据条件概率公式可得. 【小问1详解】3681014172232148x +++++++=，4352607174818998718y+++++++=，()8182189138814711186ˆ 1.87634634i ii ii x y xybx x ==−−××==≈−∑∑， ˆˆ71 1.871444.82abx y =−≈−×=， 所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ 1.8744.82yx +．【小问2详解】记“恰有2件产品为合格品”为事件A ，“II 类产品为合格品”为事件B ，则()2123233271C 14344316P A =×−+−××= ， ()123321C 14434P AB =−××=， 由条件概率的计算公式得()()()144|7716P AB P B A P A ===， 故在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率为47． 21. 为充分了解广大业主对小区物业服务的满意程度及需求，进一步提升物业服务质量，现对小区物业开展业主满意度调查，从小区中选出100名业主，对安保服务和维修服务的评价进行统计，数据如下表． （1）完成下面的22×列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验判断业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度是否有关联；（2）现从对物业服务不满意的业主中抽取6人，其中对维修服务不满意的有4人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中“对安保服务不满意”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．②临界值表α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.84166357.87910.828【答案】（1）表格见解析，认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联.（2）分布列见解析，()1E X = 【解析】【分析】（1）根据题中信息完善22×列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【小问1详解】解：依题意得22×列联表如下：评价服务合计安保服务维修服务 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计4060100 零假设为0:H 业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度无关联，220.001100(2831257)11.76510.82840608515x χ××−×=≈>=×××，根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】解：依题意可知，所抽取的6人中对维修服务不满意的有4人，对安保服务不满意的有2人，X 的所有可能取值为0、1、2，则()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列如下：故X 的数学期望为()1310121555E X =×+×+×=． 22. 已知函数()e ln 1xf x ax x x =−−−．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()0f x ≥恒成立，证明：1a ≥．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的符号可得结果； （2）转化为maxln 1e xx x a x ++≥ ，再构造函数，利用导数求出其最大值证不等式成立. 【小问1详解】当0a =时，()()ln 1,0,f x x x x =−−−∈+∞．所以()110f x x′=−−<， 故()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间． 【小问2详解】由()e ln 10xf x ax x x =−−−≥恒成立，可知ln 1e xx x a x ++≥恒成立，即maxln 1e x x x a x ++ ≥ ， 令()ln ln 1ln 1e e x x xx x x x g x x +++++==， 不妨设ln t x x =+，则()()1e tt h t t +=∈R ，()()2e 1e e et ttt t t h t −+==−′， 由()0h t ′>，得0t <，由()0h t ′<，得0t >，所以()h t 在(),0∞−上单调递增，在()0,∞+上单调递减．故()()()0max max 101eg x h t h ====， 所以()max 1a g x ≥=．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,yf x x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <； （2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >； （3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <； （4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.。
沈阳数学高二下期末测试题(答案解析)
一、选择题1．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=2．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45° 3．已知,αβ为锐角，且，5sin 13α=，则cos β的值为（ ） A ．5665B ．3365C ．1665 D ．63654．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭ 5．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65 C ．45D ．957．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A．3B．CD．-10．已知函数()sin f x x x =，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ） A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦12．已知角6πα-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()5,12P -， 则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A． B． CD13．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形14．在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形15．设0002012tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 17．点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点，1AP =，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为___.18．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．19．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________． 20．函数1ππ()sin ()cos ()536f x x x =++-的最大值为___________. 21．已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则cos BDC ∠=__________．22．计算：2tan81tan8ππ=- __________．23．已知平面向量a 、b 满足||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，若（a mb -）a ⊥，则实数m 的值是___________ . 24．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________．25．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 三、解答题26．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 27．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 28．已知平面向量a ，b ，()1,2a =.（1）若()0,1b =，求2a b +的值； （2）若()2,b m =，a 与a b -共线，求实数m 的值. 29．已知(1,2),(2,2),(1,5)a b c ==-=-．若a b λ-与b c +平行，求实数λ的值． 30．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈. （1）求证：函数()cos3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．A 11．A13．C14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；17．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+218．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟19．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小20．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力21．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：23．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为324．【解析】由题意得25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：三、解答题26．27．28．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P112（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.故选：A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．A解析：A 【解析】 解：根据题意，α，β为锐角，若sinα=513，则cosα=1213， 若cos （α+β）=35，则（α+β）也为锐角， 则sin （α+β）=45， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα=35×1213+45×513=5665， 点睛：由cos （α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin （α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα.4．C解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】先化简“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，所以“cos 02πα⎛⎫+>⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.6．D解析：D【解析】 ∵tanθ＝2，∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝95. 本题选择D 选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．7．D解析：D 【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.8．C解析：C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 4424423ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．10．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象， 又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈， 即ππ6m k =+，k Z ∈， 又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin（ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间． 【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=，∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）． 又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=，∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）． 将f （x ）的图象向左平移6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象， 令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]，故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．B解析：B 【解析】分析：利用三角函数的定义求得66cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．详解：由三角函数的定义可得512,613613cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则773cos cos cos 12661264ππππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33=cos cos sin sin 6464ππππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭512=13213226⎛⎛⎫---⋅=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13．C解析：C 【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.14．D解析：D 【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE ABAC==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且ABACAF AB AC=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭； ∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF；∴DE ∥BC ，且AD=AE；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF 交BC 的中点于O ，则：S △ABC ＝222124a b c +-=，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算15．A解析：A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果.【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()44ππθθθ=++= 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.17．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+2解析：(12 【解析】 【分析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对AP =λAB +μAD 两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λ+μ的最大值． 【详解】解：依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，1AP =2＝λ2AB 2+2λμAB •AD +μ2AD 2＝4λ2+4μ2．令λ12cos θ=，μ＝12sin θ,θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴λ+μ＝12cos θ12+sin θ＝2sin （θ4π+）；θ3,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, sin （θ4π+）∈(,12]∴λμ+的取值范围为(1,22]故答案为（12． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．18．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值.详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.19．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.20．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：65【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．详解：函数()1ππ1πsin cos 353656f x x x sin x cos x π⎛⎫⎛⎫=++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（） 1ππ6π6533535sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为65． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．21．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为解析：4【解析】取BC 中点,E DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，cos BDC sin DBF ∠=∠,ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos 4DBC ∴∠=-，又21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，所以cos BDC ∠=4，故答案为4. 22．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：解析：12【解析】 根据正切公式的二倍角公式得到22tan 8tantan 21481tan 8ππππ=⨯==-，2tan1821tan 8ππ=-. 故答案为：12. 23．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为3解析：3 【解析】∵()a mb a -⊥∴()0a mb a -⋅=∴2cos ,0a m a b a b -⋅⋅〈〉= ∴932cos600m -⨯⨯⨯︒= ∴3m = 故答案为324．【解析】由题意得解析：3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 323ππαααπα-==∈∴==- 25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得： 解析：7【解析】利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，由平面向量垂直的充要条件可得：()()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=， 解方程可得：7m =.三、解答题26．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简函数()f x ，由周期公式以及正弦函数的对称轴求解即可；（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得函数函数()f x 在区间[,]122ππ-的单调性，比较(),()122f f ππ-的大小，即可得出值域. 【详解】（Ⅰ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- πsin(2)6x =-22T ππ∴== 26232k x k x πππππ-=+⇒=+则对称轴方程为,32k x k Z ππ=+∈ （Ⅱ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值所以 函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式，正弦函数的性质，求正弦型函数的值域，属于中档题.27．（Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭314cos cos 12x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭23sin22cos 13sin2cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当ππ266x，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.28．（117；（2）4. 【解析】 【分析】（1）结合已知求得：2(1,4)+=a b ，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解. （2）求得：(1,2)m -=--a b ，利用a 与a b -共线可列方程1212m --=，解方程即可. 【详解】解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ，所以2221417+=+=a b（2）(1,2)m -=--a b ， 因为a 与a b -共线，所以1212m--=，解得4m =.本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题．29．18【解析】 【分析】a b λ-与b c +用坐标表示，根据向量的平行坐标关系，即可求解.【详解】解：由题意得(12,22)a b λλλ-=-+，(1,3)b c +=， 因为a b λ-与b c +平行，所以(12)3(22)1λλ-⋅=+⋅， 解得18λ=． 因此所求实数λ的值等于18． 【点睛】本题考查平行向量的坐标关系，属于基础题.30．（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】 【分析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数；（3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】 （1）()()()()()2112coscoscos cos 333333x x x xf x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()112coscoscos1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+- ∴()cos3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数. 证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+. 所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=， 所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确.如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴()()()21h x h x h x +=+- ∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+ ∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦ ∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p = ∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈【点睛】 此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。
山东济南2024年高二下学期期末学情检测数学模拟试题+答案
2024年7月济南市高二期末学情检测数学模拟试题本试卷共6页，19题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是45，连续罚中两次的概率是35.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是A ．1225B ．45C ．34D ．752．函数()(21)x f x x e 的单调递增区间A ．1(,)2B ．1(,2C ．1(,)2D ．1(,)23．在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为A ．75B ．150C ．300D ．6004．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是A ．0.92B ．0.93C ．0.94D ．0.955.若函数 22ln f x x a x x在 1, 上为单调递增函数，则a 的取值范围为A ． ,0 B ．,4 C ．4, D ．0,6.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为13，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为16．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为A.113B ．13C ．1116D ．13187．38(2)(1x 的展开式中不含．．4x 项的各项系数之和为A ．26B ．230C ．254D ．2828．已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且 1f x 是奇函数，记 g x f x ，若g x 是奇函数，则 10gA ．2B ．0C ．-1D ．-2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1. 直线3210x y +−=的一个方向向量是（ ） A. ()2,3− B. ()2,3C. ()3,2−D. ()3,2【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +−=的斜率为32−，所以直线的一个方向向量为31,2−，又因为()2,3−与31,2−共线，所以3210x y +−=的一个方向向量可以是()2,3−， 故选：A.2. 若{},,a b c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）A. ,,b c b b c +−−B. a ，a b + ，a b −C. a b + ，a b − ，cD. ,,a b a b c c +++【答案】C 【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A ：()b c b c −−=−+，因此向量,,b c b b c +−−共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12a a b a b =++−，因此向量a ，a b + ，a b −共面，故不能构成基底，错误； 对选项C ：假设()()c a b a b λµ=++− ，即()()c a b λµλµ=++− ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D ：()a b c a b c ++=++，因此向量,,a b a b c c +++共面，故不能构成基底，错误； 故选：C3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A. 5f B. 142fC. 4fD. 132f【答案】B 【解析】【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为f ，公比为的等比数列的第4项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可.【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为的等比数列{}n a ， 第四个单音的频率为31442a f f =×=. 故选：B.4. “点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=2214a b <⇔+>，从而有,p q q p ⇒ ，所以p 是q 必要不充分条件. 故选：B5. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】C 【解析】【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目， 若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有122332C C A 18=种． 故选：C.6. A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(),i i x y ．A小组根据表中数据，直接对(),x y 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.46990.235yx +，决定系数20.8732R =．B 小组先将数据按照变换2u x =，2v y =进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.50060.4922v u =−+，决定系数20.9375R =．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）A. 0.46990.2350x y −+=B. 0.50060.49220x y +−=C. 220.500610.49220.4922x y +=D. 220.500610.49220.4922x y +=【答案】C 【解析】【分析】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论． 【详解】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数20.8732R =，B 小组的决定系数20.9375R =，B ∴小组的拟合效果好，则回归方程为ˆ0.50060.4922vu =−+， 的又2222,,0.50060.4922u x v y y x ==∴=−+，即220.500610.49220.4922x y +=．故选：C ．7. 设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设0OA OB OC ++=，则AD BD CD ++不可能等于（ ）A. 3B.72C. 4D. 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，得到3AD BD CD ++=，利用AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤++=++判断等号成立条件，确定AD BD CD ++不可能取的值.【详解】因为()()()3()3AD BD CD OD OA OD OB OD OC OD OA OB OC OD →→→→→→→→→→→→→→++=−+−+−=−++=，且1OD =，所以3AD BD CD ++=， 而AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤+=++，当且仅当,,AD BD CD →→→同向时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即,,AD BD CD →→→不同向，所以3AD BD CD AD BD CD ++>++=且,,AD BD CD 均小于直径长2，即6AD BD CD ++<， 综上，36AD BD CD <++<. 根据选项可知A 不符合. 故选：A8. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为12PF F △的内心．直线PI 交x 轴于A 点，14OA c =，且212116PF PF a ⋅= ，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.34D.【答案】B 【解析】【分析】先利用角平分线性质得到112253PF F A PF AF ==，设15PF t =，则23PF t =，根据椭圆定义得到4at =，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解. 【详解】不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为12PF F △的内心，所以PA 为12F PF ∠的角平分线，所以1122PF F APF AF =，因为14OA c = ，所以112253PF F A PF AF ==， 设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，1282PF PF t a +==， 可得4at =，所以154a PF =，234a PF =，又因为11221122253cos c 41o 1s 46F P P a F PF PF PF F a F a F P ∠=×⋅∠=⋅=⋅ ，所以121cos 15F PF ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得， 222212121221217418cos 152158a c PF PF F F PF F a PF PF −+−∠===， 所以222a c =，则e =， 故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（ ）A. 1x 是()f x 的一个极大值点B. 2x 是()f x 的一个极小值点C. 3x 是()f x 的一个极大值点D. 4x 是()f x 的一个极小值点 【答案】AB 【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确. 对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误. 对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误. 故选：AB.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件:A “两次向上的点数之和大于7”，事件:B “两次向上的点数之积大于20”，事件:C “两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A. 事件B 与事件C 互斥B. ()572P AB =C. ()25P B A = D. 事件A 与事件C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】列举出事件A 、B 、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次， 设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m 、n ， 以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种， 事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、 ()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，对于A 选项，事件B 与事件C 互斥，A 对；对于B 选项，事件AB 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，所以，()61366P AB ==，B 错；对于C 选项，()()()25n AB P B An A ==，C 对； 对于D 选项，()1553612P A ==，()305366P C ==，事件AC 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()5,3、()5,4、()6,2、()6,3，共9种，所以，()()()91364P AC P A P C ==≠⋅，D 错. 故选：AC.11. 设双曲线222:1(0)4x y C a a a a −=>−+，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A. 双曲线C 离心率的最小值为4B. 离心率最小时双曲线C 0y ±=C. 若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则AC BD =D. 若1a =，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则EOF S △为定值 【答案】BCD 【解析】【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A ；根据2a =可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B ；将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C ，D 坐标，再由点差法求AB 的中点坐标，然后可判断C ；结合图形可知EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E ，F 的横坐标，代入化简可判断D.【详解】由题知，22444a a a e a a a+−+==+≥，当且仅当2a =时等号成立，所以2e 的最小值为4，e的最小值为2，故A 错误；当2a =时，双曲线方程为22126x y −=，此时渐近线方程为y x =0y ±=，B 正确； 若直线l 的斜率不存在，由对称性可知AC BD =；当斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，CD 的中点为33(,)N x y则22112222221414x y a a a x y a a a −= −+ −=−+，由点差法可得2004y a a k x a −+⋅=，所以2004kx m a a k x a +−+⋅=， 所以0224amkx a a ak=−+−，又双曲线渐近线方程为y =，联立y kx m =+分别求解可得CD x x ，所以3022124amk x x a a ak =+==−+−， 所以M ，N 重合，则AC MC MA MD MB BD =−=−=，或AC MC MA MD MB BD =+=+=，故C 正确；若1a =，则双曲线方程为2214y x −=，渐近线方程为2y x =±，不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为y ，y ′=1)y x x −−，设点E ，F 坐标分别为(,),(,)E E F F x y x y ，分别作,EP FQ 垂直于y 轴，垂足分别为P ，Q ，E 在第一象限，F 在第四象限，则EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形 1111()()()2222E F E F E E F F F E E F x x y y x y x y x y x y =+−−+=− 又2,2E E F F y x y x ==−，所以1(22)22EOF F E E F E F S x x x x x x =+= ，联立渐近线方程和切线方程可解得112)2)E EF F x x x x x x −−−−− ，整理得(2(2E F x x −=−=，两式相乘得22112211(4)411E F x x x x x x −−=−−−，所以1E F x x =， 所以22EOFE F S x x == ，D 正确 故选：BCD【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C 选项需要灵活处理，将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D 选项需结合图象将面积灵活转化，在求解E F x x 时，要结合式子的结构特征灵活处理. 12. 已知曲线()exx f x =，()ln xg x x =，及直线y a =，下列说法中正确的是（ ） A. 曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行 B. 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea = C. 曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点D. 若直线y a =与曲线()f x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线()g x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =【答案】ACD 【解析】【分析】对与A 选项，分别求出()f x 在0x =处的切线与()g x 在1x =处的切线即可判断； 对于B 选项，求出()f x ′，即可判断出曲线()f x 的单调性，画出草图则可判断； 对于C 选项，画出曲线()f x 与()g x 的草图，即可判断；对于D 选项，借助图像可知直线y a =过曲线()f x 与()g x 的交点B ,由此即可得出12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，则可得12ln x x =，23e x x =，2222ln e ⋅=x x x ，则可得出2132x x x =..【详解】对于A 选项：()0=0f ，()()2(e e 1e )e ′⋅−′⋅==′−x x x x x x xf x ，()01f ′=， 所以曲线()f x 在0x =处的切线为：y x =； 同理()10g =，()21ln xg x x−′=，()11g ′=，曲线()g x 在1x =处的切线为1y x =−， 即曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行，正确； 对于B 选项：()1ex xf x −′=，令()0f x ′=，解得1x =， 所以曲线()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()11=ef ， 又当x →−∞时()f x →−∞，当x →+∞时()0f x →， 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea =或0a ≤，错误； 对于C 选项：曲线()g x 的定义域为：(0,)+∞，()21ln xg x x−′=， 令()0g x ′=，解得e x =，所以()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，且()110,(e)e==g g ， 所以曲线()f x 与曲线()g x 的大致图像为：易知当(0,1)x ∈时，()0f x >，()0g x <，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(0,1)上无交点；当[1,e]x ∈时，()f x 单调递减，()g x 单调递增，且1(1)(1)0e=>=f g ， 1e 1(e)e ()e −−=<=f g e ，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(1,e)上有一个交点；当(e,)x ∈+∞时，记()ln h x x x =−，1()1h x x′=−，当e x >时()0h x ′>恒成立， 即()h x 在(e,)+∞上单调递增，即()(e)e 10>=−>h x h ，即ln 1>>xx ,又曲线()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(ln )<f x f x ，即ln ln ln e e <=x x x x x x， 即()()f x g x <恒成立，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(e,)+∞上没有交点； 所以曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点，正确;对于D 选项：当直线y a =经过曲线()f x 与()g x 的交点时，恰好有3个公共点，且12301e x x x <<<<<，12312223ln ln x x x xx x ee x x ===, 由122()()(ln )==f x f x f x ，所以12ln x x =，由223()()(e )==xgx g x g ，所以23e xx =， 即221322ln e ⋅=⋅=xx x x x ，正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：判断两个函数的交点个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为交点个数；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，直接得出答案.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. ()8()x y x y −+的展开式中36x y 的系数为________．【答案】28− 【解析】【分析】利用8()x y +的展开式通项公式求3526,x y x y 项，然后可得()8()x y x y −+的展开式中36x y 项，可得答案.【详解】8()x y +的展开式通项公式818C r rr r T xy −+=，令5,6r =得5356266878C ,C T x y T x y ==， 所以()8()x y x y −+的展开式中36x y 项为()5356263688C C 28x y y x y x x y ⋅−+⋅=−，所以36x y 的系数为28−. 故答案为：28−14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若()f x ′是()f x 的导函数，()f x ′′是()f x ′的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x =+ ′′′．已知()()cos 1ln f x x x =−−，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为________．【答案】0 【解析】【分析】求出原函数的导函数()f x ′与导函数的导函数()f x ′′，然后代入题中公式即可求出答案.【详解】因为()()cos 1ln f x x x =−−， 所以()()1sin 1f x x x ′=−−−，()()21cos 1f x x x′′=−−， 则()11sin011f ′=−−=−，()11cos001f ′′=−=， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为()()()()()()3322221001111f Kf ′′===+−′+.故答案为：0.15. 已知数列{}n a 满足28a =，()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅，则满足50n S −>的正整数n 的最小值为________．【答案】63 【解析】【分析】根据对数运算和递推公式可得数列{}n b 的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得n S ，解不等式可得答案.【详解】因为()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，280a =>， 所以()110,2n nn n a a n a −−>=+， 所以()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅ 22212222222212121log log log n n n n n n n n a a a a a a a a +−+++−⋅=−⋅()()()()2221122log 222log 22n nn n +−−++−+()()22log 24log 22n n +−+所以()()222222224log 6log 4log 8log 6log 24log 22log 4n n S n n +=−+−+⋅⋅⋅++−+=， 因为50n S −>，所以2224log 5log 324n +>=，即2322n +>，解得62n >， 因为*n ∈N ，所以正整数n 的最小值为63. 故答案为：63 16. 设函数()2π2cos 2x f x x +=+，则使得()()12f x f x +>成立的x 的取值范围是________．【答案】5,13−【解析】【分析】利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由()2π2cos 2x f x x + =+ 向右平移2个单位，得()ππ2cos π2cos 22x xg x x x =+−=−为偶函数，所以()g x 关于y 轴对称， 所以()f x 关于2x =−对称， 当0x ≥时，()n ln ππ2si 222x g x x ′+=， 当[]0,2x ∈时，因为πsin 02x≥，所以()0g x ′>， 当()2,x ∈+∞时，()20ln π222g x ′>>−， 所以()g x 在上单调[)0,∞+递增，在(),0∞−上单调递减， 所以()f x 在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，由()()12f x f x +>得1222x x ++>+，即()()22322x x +>+，解得531x <−<，所以使得()()12f x f x +>成立x 的取值范围是5,13 −.的故答案为：5,13 −.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在四面体ABCD 中，AE AB λ= ，AH AD λ= ，()1CF CB λ=−，()1CG CD λ=− ，()0,1λ∈．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面． （2）若13λ=，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA 、OB 、OC 、OD 表示OM ． 【答案】（1）证明见解析（2）42129999OM OA OB OC OD =+++【解析】【分析】（1）证明出//EH FG，即可证得结论成立；（2）由（1）可得出12EH FG = ，可得出//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，由此可得出12EM MG = ，再结合空间向量的线性运算可得出OM 关于OA 、OB、OC 、OD 的表达式.【小问1详解】证明：因为EH AH AE AD AB BD λλλ=−=−=，()()()111FG CG CF CD CB BD λλλ=−=−−−=− ，所以1EH FG λλ=−，则//EH FG ，因此E 、F 、G 、H 四点共面． 【小问2详解】解：当13λ=时，13AE AB = ，即()13OE OAOB OA −=− ，可得2133OE OA OB =+ ， 因为23CG CD =，即()23OG OC OD OC −=− ，可得1233OG OC OD =+ ，由（1）知，13EH BD = ，23FG BD =，因此12EH FG = ，又因为EH 、FG 不在同一条直线上，所以，//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，则12EM MG = ，即()12OM OE OG OM −=− ， 所以，2122111233333333OM OE OG OA OB OC OD=+=+++42129999OA OB OC OD =+++. 18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*221N n n a a n =+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若{}n a 中的部分项n b a 组成的数列{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21Nn a n n =−∈（2）21nnT =− 【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n 项和及通项公式基本量计算即可；（2）利用等比数列概念及通项公式求出{}n b 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】设差数列{}n a 公差为d ，则由424S S =，()*221Nn n a a n =+∈可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+ +−=+−+ ，解得112a d = = ，因此()*21N n a n n =−∈.【小问2详解】由21na n =−，得21nb n a b =−， 又由{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得12n nb a +=，因此22n n b =， 所以12n n b −=，所以122112nn nT −==−−. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，所有棱长均为2，160A AC ∠=，1A B =．的（1）证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ．（2）求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，证明1A M BM ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答. （2）利用（1）中信息作出平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答. 【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取AC 中点M ，连接1A M ，BM ，则BM AC ⊥，由1AA AC =，160A AC ∠=，得1A AC △为等边三角形，则1A M AC ⊥，显然1A MBM ==1A B =，则22211A M BM A B +=，有1A M BM ⊥， 又AC BM M = ，,AC BM ⊂平面ABC ，于是1A M ⊥平面ABC ，而1A M ⊂平面11A ACC ， 所以平面11A ACC ⊥平面ABC ．【小问2详解】在三棱柱111ABC A B C -中，平面111//A B C 平面ABC ，因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面11BA B 与平面ABC 的夹角的正弦值相等， 由（1）知1A M ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1A M AB ⊥，过M 作MN AB ⊥于点N ，连接1A N ，有1A M MN ⊥，11,,MN A M M MN A M =⊂ 平面1A MN ，于是AB ⊥平面1A MN ，而1A N ⊂平面1A MN ，则1A N AB ⊥，因此1A NM ∠为平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角， 显然sin 60MN AM =⋅ ，而1A M =，则1A N ===，从而111sin A M A NM A N∠=所以平面11BA B 与平面111A B C． 20. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求． （1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列22×列联表，并根据小概率值0.010α=的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成()*M M ∈N段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，易知11p =，20p = ①试证明14n p−为等比数列；②设第n 次David 选择共享单车的概率为n q ，比较5p 与5q 的大小．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++．α 0.050 0.010 0.001x α 3.841 6.635 10.828【答案】（1）表格见解析，有关系 （2）①证明见解析；②55p q >． 【解析】【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论； （2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论； ②先求出n p 的表达式，进而可求出55,p q ，即可得解. 【小问1详解】 列联表如下：零假设为0H ：城市规模与出行偏好地铁无关，()22200804020609.524 6.63510010014060χ×−×≈>×××，根据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010； 【小问2详解】①证明：第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n −段行程上David 坐地铁的概率为1n p −，不坐地铁的概率为11n p −−，则()11111101333n n n n p p p p −−−=⋅+−⋅=−+， 从而1111434n n p p −−=−−， 又11344p −=，所以14n p−是首项为34，公比为13−的等比数列；②由①可知1311434n n p −=−+， 则4531114344p =−+> ，又()5511134q p =−<，故55p q >． 21. 设抛物线2:2(0)C y py p =>，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =.（1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()1,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D . ①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值. 【答案】（1）2:2C y x = （2）①证明见解析；②52. 【解析】【分析】（1）利用弦长求解p ，即可求解抛物线方程；（2）（i ）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii ）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【小问1详解】由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，12p x =，代入抛物线方程得1y p =±，则2AB p =，所以22p =，即1p =，所以抛物线2:2C y x =.【小问2详解】 （i ）设()33,C x y ，()44,D x y ，直线1:2AB x my =+， 与抛物线2:2C y x =联立，得2210y my −−=，因此122y y m +=，121y y =−. 设直线:1AC x ny =+，与抛物线2:2C y x =联立，得2220y ny −−=，因此132y y n +=，132y y =−，则312y y −=.同理可得422y y −=. 所以34341222343434121222122222CD y y y y y y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−. 因此直线()33:2CD xm y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上， 令0y =得，223333211112124222222y m x my x my m y y y y −−=−+=−+=−+=+ ()1221222211111212122222y y y y y y y y y y + +=+=++=+⋅=， 所以直线CD 过定点()2,0Q .（ii ）因为12121124PAB S PF y y y y =⋅−=− ， 12341212121211221122PCD y y S PQ y y y y y y y y y y −−−=⋅−=−=−==− ，所以125542PAB PCDS S y y +=−=≥ ， 当且仅当0m =时取到最小值52. 22. 设函数()2(1)e xf x x ax =−−，若曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x b =−+． （1）求实数,a b 的值．（2）证明：函数()f x 有两个零点．（3）记()f x ′是函数()f x 的导数，1x ，2x 为()f x 的两个零点，证明：122x x f a + >−′． 【答案】（1）11a b = =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义代入()02f ′=−即可得,a b 的值； （2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论； （3）利用（1）（2）中的结论，结合()f x 单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【小问1详解】由题意可得()()21e x f x x a ′=−−， 由切线方程可知其斜率为2−，所以()()02,0,f f b =−=′，解得11a b = = ． 【小问2详解】由()0f x =可得2(1)e 0x x x −−=，所以2(1)0e xx x −−=； 函数()f x 有两个零点即函数()2(1)ex x g x x =−−有两个零点． ()()112e x g x x =−+′， 当1x <时，()0g x ′<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x ′>，()g x 单调递增．又()010g =>，()110e g =−<，()22210e g =−>， 所以()()010g g <，()()120g g <，由零点存在定理可得()10,1x ∃∈使得()10g x =，()21,2x ∃∈使得()20g x =，所以函数()f x 有两个零点．【小问3详解】由（1）（2）知2()(1)e x f x x x =−−，可得()()21e 1x f x x ′=−−且12012x x <<<<． 要证明122x x f a + >− ′，即证明1221221e 112x x x x + + −−>−， 即证明122x x +>．令()()()2(01)h xg x g x x =−−<<，则 ()()()()()()()2221e e 11212120e e e x x x x x h x g x g x x x −−−− =+−=−++−′+=< ′′ ，因此()h x 单调递减，则()()10h x h >=．因此()10h x >， 即()()112g x g x >−，又12012x x <<<<，所以()()21g x g x >； 即()()212g x g x >−，又2x ，()121,2x −∈，且()g x ()1,2上单调递增， 因此212x x >−，即122x x +>．命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式122x x f a + >− ′转化成求证122x x +>，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.在。
2023-2024学年江西金太阳联考高二下学期期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江西金太阳联考高二下学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,0,2}，B ={x|x +3x−2<0}，则A ∩B =A. {0} B. {−2,0} C. {0,2} D. {−2,0,2}2.若曲线y =f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为2，则lim Δx→0f(3+Δx)−f(3−Δx)Δx =A. 1B. 2C. 4D. 63.在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1a n =2a n +1−4，则a 23=A. 1B. 4C. −1D. −24.已知函数f(x)的定义域为[−2,2]，则函数g(x)=f(2x)1−x 的定义域为A. [−1,1)B. [−1,1]C. [−4,1)D. (1,4]5.已知a =312，b =513，c =log 65，则A. a <c <bB. c <a <bC. b <c <aD. c <b <a6.“a ≥1”是“∀x >1，有x +ax−1≥3”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设函数f(x)=mx−sin 2x 在区间[0,π3]上单调递减，则m 的取值范围是A. (−∞,−1]B. (−∞,−12]C. (−∞,1]D. (−∞,2]8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1=S n +2n(n ∈N ∗)，则S 20=A.5×319−412B.5×320−412C.5×319−392D.5×320−392二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x 3−3x +4，则A. y =−4x +m 不可能是曲线y =f(x)的切线B. f(x)有两个极值点C. f(x)有三个零点D. 点(0,4)是曲线y =f(x)的对称中心10.已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，若S 16+S 12=S 14+S 10，则下列结论正确的是A. S 26=0B. 若S 13=−1，则S 39=3C. 当n =13时，S n 取得最小值D. 当d >0时，满足S n <0的最大整数n 的值为2511.已知函数f(x)={1−|x +1|,x ≤0,f(x−2)2,x >0,则下列结论正确的是A. ∑n i =1f (2i−1)=2−12n−1B. 方程12[f(x)]2−7f(x)+1=0的实根个数为9C. 函数y =4f(x)−log 6(x +4)有5个零点D. 关于x 的方程f(x)=2−10的所有根之和为179三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高二数学下学期期末考试试卷 文含解析 试题
2021—2021学年第二学期高二期末考试文科数学试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分,一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项。
，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合A=,所以,A∩B={0},故答案为：C【点睛】此题主要考察集合的化简和运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.2.(为虚数单位) ，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得，再利用复数的除法计算得解.【详解】由题得，故答案为：B【点睛】此题主要考察复数的运算，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.是定义在上的奇函数，当时，，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出的值.【详解】由题得，故答案为：D【点睛】(1)此题主要考察奇函数的性质，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)奇函数f(-x)=-f(x).4.以下命题中，真命题是A. 假设，且，那么中至少有一个大于1B.C. 的充要条件是D.【答案】A【解析】【分析】逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项A,假设x≤1，y≤1，所以x+y≤2，与矛盾，所以原命题正确.当x=2时，2x=x2，故B错误．当a=b=0时，满足a+b=0，但=﹣1不成立，故a+b=0的充要条件是=﹣1错误，∀x∈R，e x＞0，故∃x0∈R，错误，故正确的命题是A，故答案为：A【点睛】〔1〕此题主要考察命题的真假的判断，考察全称命题和特称命题的真假，考察充要条件和反证法，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕对于含有“至少〞“至多〞的命题的证明，一般利用反证法.，那么该抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出p的值，再写出抛物线的焦点坐标.【详解】由题得2p=4,所以p=2,所以抛物线的焦点坐标为〔1,0〕.故答案为：C【点睛】〔1〕此题主要考察抛物线的简单几何性质，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2)抛物线的焦点坐标为.是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的选项是A. 大前提B. 小前提C. 推理形式D. 以上都是【答案】A【解析】【分析】由于三段论的大前提“对数函数是增函数〞是错误的，所以选A. 【详解】由于三段论的大前提“对数函数是增函数〞是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A【点睛】(1)此题主要考察三段论，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.【详解】由题得，a>0,b>0.所以.故答案为：C【点睛】(1)此题主要考察指数函数对数函数的单调性，考察实数大小的比拟，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕实数比拟大小，一般先和“0〞比，再和“±1〞比.，，假设∥，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据∥得到，解方程即得x的值.【详解】根据∥得到.故答案为：D【点睛】(1)此题主要考察向量平行的坐标表示，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2) 假如=,=，那么||的充要条件是.那么的值是．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出f(2)的值，再计算的值.【详解】由题得f(2)=,故答案为：C【点睛】(1)此题主要考察分段函数求值，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)分段函数求值关键是看自变量在哪一段.10.为等比数列,,,那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，由等比数列性质可知考点：等比数列性质视频11.某几何体的三视图(单位：cm)如下图，那么该几何体的体积是( )A. 72 cm3B. 90 cm3C. 108 cm3D. 138 cm3【答案】B【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：V=3×4×6+×3×4×3=90〔cm3〕．故答案选：B．上的奇函数满足，且在区间上是增函数.，假设方程在区间上有四个不同的根，那么A. -8B. -4C. 8D. -16【答案】A【解析】【分析】由条件“f〔x﹣4〕=﹣f〔x〕〞得f〔x+8〕=f〔x〕，说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【详解】f(x-8)=f[(x-4)-4]=-f(x-4)=-·-f(x)=f(x),所以函数是以8为周期的函数，函数是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×〔﹣6〕=-12，另两个交点的横坐标之和为2×2=4，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为：A【点睛】(1)此题主要考察函数的图像和性质〔周期性、奇偶性和单调性〕，考察函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和数形结合分析推理才能.(2)解答此题的关键是求出函数的周期，画出函数的草图，利用数形结合分析解答.二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分。
2023-2024学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||log 2x|<1},B ={x|1−x x +2>0}，则A ∩B =( )A. (12,1)B. (1,2)C. (−2,12)D. (12,2)2.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞)，则函数g(x)=f(e x )x 的定义域为( )A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (0,+∞) D. [0,+∞)3.已知命题p ：|x|+|x +1|≥a 对∀x ∈R 恒成立，命题q ：函数f(x)=ln (1−ax)在[0,1]上单调递减，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知a >b >1，则下列不等式不一定成立的是( )A. a a +1>bb +1 B. log a b <log b a C. log a b +log b a >2 D. a b >b a5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=e x −e −x xB. f(x)=ln(x 2+1)C. f(x)=e x −e x 2D. f(x)=x 2ln |x|6.已知a =log 232,b =log 1343,c =log 1454，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. c <a <b7.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为( )A. 15B. 310C. 25D. 128.已知m ，n ，k 均为正实数，m >2k ，且3k 2−(3m +2n)k +mn =0，若(3m +n)t−3k ≥0恒成立，则实数t 的最小值为( )A. 115B. 15C. 34D. 63二、多选题：本题共3小题，共18分。