高中数学第一章统计案例1.1.1回归分析同步测控北师大选修1-2创新
高中数学第一章统计案例1_1_3可线性化的回归分析同步测控北师大版选修1-2
高中数学 第一章 统计案例 1.1.3 可线性化的回归分析同步测控北师大版选修1-2我夯基 我达标1.设在海拔x m 处的大气压强是y Pa,y 与x 之间的关系为y=ce kx,其中c 、k 为常量,如果某游客从大气压为1.01×105 Pa 的海平面地区,到了海拔为2 400 m,大气压为0.90×105Pa 的一个高原地区,则k 与c 的取值分别是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-5510805.41001.1k cB.⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-54105.31024.2k cC.⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=-54103.2106.3k cD.⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-54103.2107.2k c解析:将⎩⎨⎧⨯==51001.1,0y x 和⎩⎨⎧⨯==51090.0,2400y x ,分别代入y=ce kx,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-5510805.41001.1k c 答案:A2.我国1990~2000年的国内生产总值如下表所示:则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为( )A.y=ae kxB.y=a+bxC.y=ax bD.y=xb ae解析:画出散点图,观察可用y=a+bx 刻画国民生产总值发展变化的趋势. 答案:BA.y=2+31x B.y=2e xC.y=x e 12 D.y=2+lnx解析:取x=1,2,…,10,分别代入各解析式判断. 答案:D4.指数曲线y=ae bx的图像为( )解析:∵y=ae bx,a ＞0时,y ＞0,排除A 、C,且x∈R ,排除D,选B. 答案:B5.倒指数曲线y=xb ae 的图像为( )解析:y=xb ae ,当a ＞0,b ＞0时,图像为A.答案:A6.幂函数曲线y=x b,当b ＞1时的图像为( )解析:当b ＞1时,图像为A;当0＜b ＜1时,图像为B;当b ＜0时,图像为C;当b=1时,图像为D.答案:A则x 、y 之间符合函数模型为___________.解析:画出散点图,形如y=x b,其中b=2.答案:y=x 2则x 、y 之间符合函数模型为___________.解析:画出散点图,形如y=a·e bx,其中a=2,b=1.答案:y=e xln2我综合 我发展则x 、y 满足函数关系为_______________. 解析:画出散点图,观察图像形如y=xb,其中b=2. 答案:y=x2 10.若x 、y 满足 则x 、y 满足函数关系是_______________.解析:画出散点图,当x 无限大时,y 逐渐接近于1,符合函数模型y=xb ae ,其中a=1,b=-1. 答案:y=xe1若y 与t 之间满足y=ae 关系,求函数解析式,若按此增长趋势估计大约在哪一年我国人口达到14亿?解析:将函数转化为一次函数求解.∑=101i it=45,∑=101i iμ=110.167 0,∑=1012i it=285,∑=101i ii t μ=497.593 6,t =4.5,μ=11.016 7,b=2210121015.4102850167.115.4105936.4971010⨯-⨯⨯-=--∑∑==tt t t i i i iiμμ=5.828421.1=0.022 3, c=μ-b t =11.016 7-0.022 3×4.5=10.916 4，∴μ=10.916 4+0.022 3t,y=e 10.916 4+0.022 3t.令y=140 000万,则10.916 4+0.022 3t=ln140 000=11.849 4, ∴t=41.838 5,即大约在1950年后的第42年(即1992年)我国人口达到14亿. 由此看来,计划生育是我国的基本国策.12.如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震个数为N,建立回归解析:根据散点图判断函数类型为y=ae ,作变换求解.解:由散点图,知函数模型为y=ae bx, 设μ=lny,c=lna,则μ=c+bx,∑=111i ix=1x i =91.2,∑=111i iμ=138.05,∑=1912i ix=460.56,∑=191i ii x μ=624.622,x =4.8,μ=7.265 8,b=219121911919xx x x i i i ii--∑∑==μμ=28.41956.4602658.78.419622.624⨯-⨯⨯-=-1.667 5,c=μ-b x =7.265 8+1.667 5×4.8=15.269 8,μ=15.269 8-1.667 5x, ∴y=e 15.269 8-1.667 5x.(1)描点画出1990~2000年国内生产总值的图像;(2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并根据这个模型,预测2020年的国内生产总值.解析:画出散点图,观察函数类型. 解:(1)作散点图(略).(2)由散点图,可知函数为y=a+bx,∑=111i it=1x i =21 945,∑=111i iy=592 425.3,∑=1112i ix=43 780 385,∑=111i ii yx =1 182 725 833,x =1 995,y =53 856.845,b=211121111111xx yx yx i i i ii∑∑==--=219951143780385845.538561995111182725833⨯-⨯⨯-=7 612.359 1,a=y -b x =53 856.845-7 612.359 1×1 995=-15 132 799.56,∴y=-15 132 799.56+7 612.359 1x.当x=2 020时,y=244 165.822亿元, 即预测2020年国民生产总值约为244 165.822亿元.我创新 我超越14.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含量不断下降,现测得含碳量y(百分比)与熔化时间t(h)的关系,如下表:求回归方程.解析:画出散点图观察样本点分布在一条指数函数曲线y=ae bx的周围,再应用换元转化为线性回归问题求解. 解:设z=lny,c=lna,则∑=111i it=66,∑=111i iz=6.816,∑=1112i it=400.4,∑=111i ii tz =32.778 2,t =6,z =0.6196,b=22111116114.4006196.06117782.321111⨯-⨯⨯-=--∑∑==tt z zt tz ti i i i ii =4.41178.8-=-1.845,c=z -b t =11.689. ∴z=-1.845t+11.689.∴y=e -1.845t+11.689.。
高中数学 1.1《回归分析》课件 北师大版选修1-2
100
6400
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8
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3600
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4225
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16250
10
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290
8100
84100
26100
11
120
最佳形式为：
y ˆ f(x ,c ˆ 1 ,c ˆ 2 , ,c ˆ N )
如不存在测量误差，则：
（5-3） 最佳估计值
y i f ( x i , c 1 , c 2 , , c N ) i 1 , 2 , m （5-4）
由于存在测量误差，因而式（5-3）与（5-4）不相重合，即有：
e i y i y ˆ i
yˆ 与 x 的关系大致呈直线关系，但并不是确定性的 关系，而是一种相关关系：
回归系数
yˆ abx （5—11）
最佳估计值应使其残差平方和最小，残差为：
ei yi (abix ) （5—12）
图5—2、表5—1 表5-1 试验数据
时 间 ， x m i n3 5 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 6 5 9 0 1 2 0 腐 蚀 深 度 ， yu 4 0 6 0 8 0 1 3 0 1 6 0 1 7 0 1 9 0 2 5 0 2 5 0 2 9 0 4 6 0
高中数学 第一章 统计案例 可线性化的回归分析课件 北师大版选修1-2(1)
分析： bx y ae 考虑函数 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y ln a bx 设 u ln y, c lna ，则上式变为 u c bx ， 即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
y e u e 5.056 e 0.138 x
8
i
8x y
8 x
线性回归方程为 y 53.191 1.345x
2
1.345, a
．
y bx 53.191
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。 而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
n n
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y
2 2 y n y i i 1 n
x nx
i 1 2 i
n
，其中 1 r 1 。 Nhomakorabea2
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高； r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0 时，两变量正相关； 当 r 0 时，两变量负相关； 当 r 0 时，两变量线性不相关。
复习回顾
，
( xi x)( yi y ) xi yi nx y i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( x x ) x n ( x ) i i i 1 i 1 a y bx 1 n 1 n y yi x xi 其中 n i 1 n i 1
【创优设计】高二数学北师大版选修1-2课件1.1.1-1.1.2 回归分析 相关系数
b=������=1 ������
∑ (������������-������)
2
= ������=1������
∑ ������������ ������������ -n������
������=1
������
������
∑
2 ������2 n ������ ������
,a=������-b������ .
探究一
探究二
探究三
求线性回归方程
求线性回归方程的步骤: ①作出散点图,由散点图可以看出样本点是否呈条状分布,并由此判断 两个变量是否具有线性相关关系; ②计算������, ������, ∑
������ ������ =1 ������ ������
������������2 ,
������ =1
1
2
名师点拨对回归直线方程的理解
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们称这两 个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线,从整体上看各点与此 直线的“距离”平方之和最小,即最贴近已知的数据点,最能代表变量 x 与 y 之间的关系. 一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况 下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直线方程. (1)回归直线方程 y=a+bx 经过样本点的中心(������ , ������),点(������, ������)称为样本点 的中心,回归直线一定过此点. (2)线性回归方程中的截距 a 和斜率 b 都是通过样本估计而得来的,存 在着误差.这种误差可能导致预报结果的偏差. (3)回归直线方程 y=a+bx 中的 b 表示 x 增加 1 个单位时 y 的变化量,而 a 表示 y 不随 x 的变化而变化的量. (4)可以利用回归直线方程 y=a+bx 预报在 x 取某一个值时,y 的估计 值.
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析学业分层测评(含解析)北师大版选修12
1.1 回归分析学业分层测评(二) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【解析】 设甲击中为事件A ，乙击中为事件B ．∵A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】 A2．下列说法正确的是( ) A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝P BP A是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】 由条件概率公式P (B |A )＝P ABP A及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，故A选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝P BP A，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错误．故选B ．【答案】 B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A ．110 B ．210 C ．810D ．910【解析】 某人第一次失败，第二次成功的概率为P ＝9×110×9＝110，所以选A ．【答案】 A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】 由题意可得A 2表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2是相互独立事件．【答案】 A2．如图121，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图121A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06【解析】 系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 【答案】 B 二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________. 【解析】 设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B ．则P (B |A )＝2×530＝13. 【答案】 137．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】 设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”， ∴P (A )＝1－P (A )＝1－(1－0.80)×(1－0.90) ＝1－0.2×0.1＝0.98. 【答案】 0.988．如图122，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则：图122(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.【解析】 正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， ∴P (A )＝2π.(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， ∴P (AB )＝12π，∴P (B |A )＝P AB P A ＝14.【答案】 (1)2π (2)14三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．【解】 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝1836＝12，P (A ∩B )＝636＝16，∴P (B |A )＝P A ∩BP A ＝1612＝13.则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13.10．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝915＝35.[能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( )A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】 记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．【答案】 C2．如图123，已知电路中4个开关闭合的概率都是12且互相独立，灯亮的概率为()图123A ．316 B ．34 C ．1316D ．14【解析】 因为灯不亮的概率为12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316，所以灯亮的概率为1－316＝1316. 【答案】 C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】 设第1次抽到A 为事件M ，第2次也抽到A 为事件N ，则MN 表示两次都抽到A ，P (M )＝452＝113， P (MN )＝4×352×51＝113×17， P (N |M )＝P MN P M ＝117.【答案】1174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19，∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。
高中数学选修1-2北师大版 第一章 1 回归分析 课件(56张)
(2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000
解析： 以 x＋1 代 x， 得 y＝0.254(x＋1)＋0.321， 与 y＝0.254x ＋0.321 相减可得，年饮食支出平均增加 0.254 万元．
答案：0.254
3.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事 先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 x(元) 8
8.2 8.4 8.6 8.8
理解教材 新知
第 一 章
§ 1 回 归 分 析 把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新 演练
§ 1
回 归 分 析
1．线性回归方程 设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归 方程为 y＝a＋bx. 则 lxx＝ lxy＝ lyy＝
i＝1 n
n
x) (xi－－
6 4.5
A．3.5 C．2.5
B． 3 D．2
解析：∵－ x＝
3＋4＋5＋6 ＝4.5， 4
2.5＋m＋4＋4.5 m＋11 － y＝ ＝ ， 4 4 又(－ x ，－ y )在线性回归方程上， m＋11 ∴ ＝0.7×4.5＋0.35，∴m＝3. 4
答案：B
2．调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性 相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的线性回归方程：y＝ 0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加 1 万 元，年饮食支出平均增加________万元．
n
n
＝
i＝1
，
高中数学第一章统计案例1.1回归分析残差分析的相关概念辨析及应用素材北师大版选修
残差分析的相关概念辨析及应用在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差^^2^1,,,n e e e 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析.残差分析一般有两种方法:(1)作残差图；（2）利用相关指数R 2来刻画回归效果..,,2,1,^^^^n i a x b y y y e i i i i i =--=-= ^i e 称为相应于点(x i ，y i )的残差．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用)2)(,(2121^^1^2^2>-=-=∑=n b a Q n e n n i i σ 作为σ2的估计量，其中^a 和^b 由公式x b y a ^^-=, ∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121^)())((给出，Q(^a ，^b )称为残差平方和.可以用^2σ衡量回归方程的预报精度．通常，^2σ越小，预报精度越高．例1．设变量x,y 具有线性相关关系，试验采集了5组数据，下列几个点对应数据的采集可能有错误的是( )A 点A B.点B C.点C D.点E思路与技巧 由散点图判断出，点A,B,C,D,F 呈线性分布，E 点远离这个区域，说明点E 数据有问题． 解答D评析 可以用Excel 画散点图，样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则x 与y 有较好的线性相关关系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布．例2．为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：(1)画出散点图．(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程． (3)求出残差，进行残差分析．思路与技巧 可以用Excel 画散点图，由散点图发现x 与y 是否呈线性分布，由此判断x 与y 之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残差分析．解答 (1)由Excel表格画散点图如图(2)设yˆ=bx+a是线性回归直线方程，以重量为横坐标，以残差为纵坐标画残差图如图由残差图看出，这些样本点的残差对应点均匀地落在水平带状区域内，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．评析回归模型中，残差变量不能被直接观测到，必须通过模型拟合后计算得到．画残差散点图的目的就是直观观测残差图，发现观测数据中可能出现的错误及所用模型是否恰当，若样本点残差较大，需确认这个点在采集过程中是否存在错误，若有，需重新采集数据，重新利用数据拟合．若采集数据没有错误，就另找原因．若残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用模型较合适，带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．同学们学习残差时应明确以下几点：（1）误差e受许多条件的影响，也受所选用的线性模型的影响，因此线性模型往往只是一种近似的模型.（2）作残差图有时不够精确，也难于认定拟合程度的好坏，因而多数情况下，选用计算相关指数R2来说明拟合效果.（3）可以对某组数据采用几种不同的回归方程进行分析，也可以比较几个R2的值，选择R2大的模型作为这组数据的回归模型.（4）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;建立的回归方程一般都有时间性;样本取值的范围会影响回归方程的适用范围,一般不能超过这个范围，否则没有实用价值;不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值，它是预报变量的可能取值的平均值。
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析课件 北师大版
转速x(转/秒) 每小时生产缺损零件数点图； 解 根据表中的数据画出散点图如图．
解答
(2)如果y与x线性相关，求出线性回归方程；
解答
(3)若在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个， 那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 解 令0.73x－0.875≤10，解得x<14.9≈15， 故机器的运转速度应控制在15转/秒内.
n
n
n
②计算： x ， y ， x2i ， y2i ， xiyi.
i＝1 i＝1 i＝1
③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值.
④写出线性回归方程并对实际问题作出估计.
(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才
有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；
解 散点图如图所示，从图中可以看出这
些点大致分布在一条直线附近，因此两个
变量线性相关.
解答
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
解答
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系 式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润. 解 依题意，有P＝(161.5－3x)(x－30) ＝－3x2＋251.5x－4 845 ＝－3x－2561.52＋25112.52－4 845. 所以当 x＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426 元. 即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.
高中数学第一章统计案例1.1回归分析感悟非线性回归问题素材北师大版选修1-2(2021学年)
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感悟非线性回归问题两个变量不呈线性关系,不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
一般地，建立回归模型的基本步骤为:１．确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量；２.画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等）；3．由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈线性关系,则选用线性回归方程y bx a =+);4．按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法);５．得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.例１ 在彩色显影中,由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式()0bxy Ae b =<表示,现测得试验数据如下:分析:该例是一个非线性回归分析问题,由于题目中已给定了要求的曲线为b xy Ae =类型,我们只要通过所给的１１对样本数据,求出A 和b 即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程。
解析：由题意可知,对于给定的公式()0b xy Ae b =<两边取自然对数,得ln ln b y A x=+。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 1.1回归分析》
回归分析——借助图形计算器探究两个变量之间的关系【案例背景】本次实验是探究式实验，适用于北师大版高中数学教材?选修 1—2? 第一章第一节，学生在?必修3?已经学习完了统计内容〔相关性与最小二乘估计〕，学生会画散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系，并且会用最小二乘法建立变量之间的线性回归方程。
本节课是在此根底上，对统计知识进一步稳固深化，学生除了会用之前学的知识画散点图判断相关性求回归方程，而且还会接触信息手段—图形计算器作出散点图求出线性回归方程，对变量进行预测。
【实验目标】〔1〕通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；〔2〕在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；〔3〕知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；〔4〕能利用图形计算器作出散点图，并根据给出的数据求出线性回归方程。
【实验工具】 Caio f-CG2021计算器，DELL电脑。
【实验形式】小组合作探究。
【实验准备】技术准备：需掌握 Caio f-CG2021计算器“计算模块〞，“统计模块〞的功能。
知识准备：会画散点图并利用散点图直观认识变量间的相关关系，会用最小二乘法建立变量之间的线性回归方程。
【实验过程】探究1：观看视频?真正男子汉2?中的一个片段，引发思考：身高与体重之间有什么关系。
猜测1：身高与体重之间成正相关。
任务1：为了验证猜测，统计全班同学的身高与体重。
任务2：根据全班同学的身高与体重，作出散点图，判断两者的关系。
任务3：根据数据，利用公式求出线性回归方程。
〔由于全班数据较多，学生作出来的散点图要花费一定时间，而且不一定标准。
在求回归方程时，计算的值时，运算量非常大。
〕探究2：如何快速作出更加标准的散点图呢？可不可以减少一点的运算量呢？猜测2：有没有什么软件或者移动终端可以办到呢？图形计算器可以办到。