2020学年高二数学下学期期末考试试题 文 新版 新人教版
2020
2019学年高二数学下学期期末考试试题 文
(考试时间120分钟，总分100分)
一、选择题（每题5分，共50分）
1、在复平面内，复数11i所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、已知x与y之间的一组数据：
x
0 1 2 3
y
1 3 5 7
则y与x的线性回归方程为abxyˆ必过点 （ ）
A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D
．(1.5,4)
3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 （ ）
A.假设三内角都不大于60度； B
.假设三内角都大于60度；
C.假设三内角至多有一个大于60度； D
.假设三内角至多有两个大于60度
4、复数534i的共轭复数是 （ ）
A．34i B．3545i C．34i D
．3545i
5、曲线C： x＝cos θ－1y＝sin θ＋1(θ为参数)的普通方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
6、实数系的结构图为右图所示其中1、2、3三个方格中的内容分别为（ ）
（A）有理数、零、整数
（B）有理数、整数、零
（C）零、有理数、整数
（D）整数、有理数、零
7、已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出结果是（ ）
A. 3 B. 9
C. 27 D. 81
a=3a
a=1
输出a
a>30?
是
否
（第7题）
开始
结束
2020
8、i是虚数单位，复数=（ ）
A.2﹣i B.2+i C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i
9、设点P对应的复数为i33，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）
A(23，43) B (23，45) C (3，45)
D (-3，43)
10．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以
下数据：
作文成绩优秀 作文成绩一般 总计
课外阅读量较大 22 10 32
课外阅读量一般 8 20 28
总计 30 30 60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，（参考17题K2表格）根据临界值表，以下说法正确的是( )．A．在
样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课 外阅读量大有关”
B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
二、填空题（每题4分，共20分）
11、复数z满足(12)43izi•，那么z .
12、下面的程序框图输出的结果是________．
13、观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为 ．
14、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝cos α，y＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系
xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ
)
＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
班
级
姓
名
准
考
证
号
2020
15、41()ii=__________;
三、解答题
16、（共10分）已知a为实数，复数z1＝2－i，z2＝a＋i(i为虚数单位)．
（1）若a＝1，指出12zz在复平面内对应的点所在的象限；
（2）若z1·z2为纯虚数，求a的值．
17、（共10分）第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，
会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语。
（I）根据以
上数据建立
一个22的
列联表；
（2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？
18、（共10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx5425323(24xttyt为参数） 它与曲线C：
22
1x（y-2)
交于A、B两点。
（1）求|AB|的长
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为3(22,)4，求点P到线段AB中点
2
0
()PKk
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k
0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2020
M的距离。
2020-2021学年上海市闵行中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2020-2021学年上海市闵行中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A2. 3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。
所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数，求出圆周率的方法。
若在单位圆内随机取一点，则此点取至圆内接正八边形的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先设圆的半径为，得到圆的面积，再得到正八边形的面积，进而可求出结果.【详解】设圆的半径为，则；故圆内接正八边形可分成八个全等的小三角形，且三角形为等腰三角形，腰长为，顶角为；所以，圆内接正八边形的面积为，因此，此点取至圆内接正八边形的概率是.故选B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.3. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.（A）（B）（C）（D）参考答案：解析：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种.4. 若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（）A．12 B．10 C．8 D．6参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，设A（x1，y1） B（x2，y2）抛物y2=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，故选：C．【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．5. 已知命题p：?x∈，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是( )参考答案：C略6. 已知{a n}是等差数列，且a2+ a5+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( )A．12 B．16 C．20D．24参考答案：D7. 若函数的图象在点处的切线与圆相交,则点与圆的位置关系是( )（A）圆内 (B) 圆外 (C) 圆上 (D) 圆内或圆外参考答案：B略8. 空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值参考答案：C【分析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．故选：C．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.9. 如图，在正方体AC1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH的延长线经过点C1C．AH垂直平面CB1D1 D．直线AH和BB1所成角为45°参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；综合题．【分析】因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以H是正三角形﹣A1BD的中心，故A正确；根据正三棱锥A﹣A1BD和正三棱锥C1﹣A1BD的高线都经过H点，结合垂线的唯一性可得B 正确；根据平面A1BD∥平面CB1D1，结合面面平行的性质，得到C正确；通过计算可得直线AH和BB1所成角为arccos，故D不正确．【解答】解：对于A，因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以点H是也是△A1BD的垂心，故A正确；对于B，因为三棱锥C1﹣A1BD是正三棱锥，而H是底面的中心，故C1H是正三棱锥C1﹣A1BD 的高线，因为经过点H与平面A1BD垂直的直线有且只有一条，故A、H、C1三点共线，即AH的延长线经过点C1，故B正确；对于C，因为平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以根据面面平行的性质，可得AH垂直平面CB1D1，故C正确；对于D，可在正三棱锥A﹣A1BD中，算出cos∠A1AH=，结合AA1∥BB1，可得直线AH和BB1所成角为arccos，故D不正确．故选D【点评】本题给出正方体模型，要我们判断几个命题的真假，着重考查了空间的平行与垂直的位置关系和正三棱锥的性质等知识点，属于基础题．10. 复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则等于 .参考答案：略12. 点的极坐标为。
2020-2021学年辽宁省鞍山市高二下学期期末考试数学试卷(解析版)
辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2] B．[3，5] C．[2，3] D．[3，5）『答案』A『解析』因为集合A＝{x|x＞3}，所以∁R A＝{x|x≤3}，又B＝{x|≤0}＝{x|x≤2或x＞5}，故（∁R A）∩B＝（﹣∞，2]．故选：A．2．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2『答案』B『解析』∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）＝|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0『答案』A『解析』设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则P（B）＝0.5，P（A|B）＝1，P（A|）＝0.25，P（A）＝P（AB）+P（A）＝＝1×0.5+0.25×0.5＝0.625．故选：A．4．在（x﹣）5的二项展开式中，x2的系数是（）A．8 B．﹣8 C．10 D．﹣10『答案』D『解析』∵（x﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣3r，令5﹣3r＝2，求得r＝1，可得展开式中x2的系数是﹣10，故选：D．5．疫情期间以网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（9，12），则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）（四舍五入保留整数）参考数据：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．15 B．16 C．31 D．32『答案』B『解析』，故所求人数为100×0.1587≈16．故选：B．6．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件『答案』C『解析』对于A，“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，正确；对于B，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”，正确；对于C，“x2﹣2x﹣3＞0”等价于“x＜﹣1或x＞3”，∴“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，错误；对于D，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，正确．故选：C．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1＞0，S10＝S20，则不成立是（）A．d＜0 B．a16＜0C．S n的最大值是S15D．当且仅当S n＜0时，n＝32『答案』D『解析』设等差数列{a n}的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d ＝0，又a1＞0，所以d＜0，故选项A正确；由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n＞0；当n≥16时，a n＜0，所以选项C正确．因为S31＝（a1+a31）＝31a16＜0，所以选项D错误．故选：D．8．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a『答案』A『解析』构造函数g（x）＝，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝，即函数g（x）单调递增，则a＝f（2）＝＝g（2），b＝f（3）＝＝g（3），c＝（+1）f（）＝＝g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。
潍坊市高二数学下学期期末考试试题含解析
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；
安徽省阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 3. 已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C.D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 5. “”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 即不充分也不必要条件6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）.{}1,0,1,2,3,{2}A B x x =-=<∣()R A B =I ð{}3{}2,3{}1,0,1-{}1,0,1,2-12i 2iz=+i z =42i --42i -+42i-42i+22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0F c -12c ()()221ln 11f x x x=+-+()()211f x f x -<-22,33⎛⎫-⎪⎝⎭()0,∞+(),0∞-20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5a =-:0l x a ++=()(2215x y -+-=4,x y 2420x xy +-=x y +A.B.C.D.7. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，则此球的表面积等于（ ）A.B. C. D. 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ）A. 36B. 42C. 72D. 84二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量，则下列命题正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. D. 的最大值为310. 已知在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点为正方形内（包括边界）的动点，则下列说法中正确的是（ ）A. 平面B. 平面平面C. 三棱锥D. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为圆的一部分11. 已知函数及其导函数，若，则（ ）A. B. C.D. 111ABC A B C -3,5,120AB AC BAC ∠=== 1AA =256π376π78π96π1114,3,2,,,,2,3234A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭,,a b c A ∈x y a =log b y x =c y x =()0,∞+(),,a b c ())sin ,cos ,1a b θθ==-π6θ=a b ⊥ 2π3θ=a b ∥ a b= a b -1111ABCD A B C D -,,,M N P Q 111111,,,AA CC C D D A E ABCD PQ //MBN PMN ⊥11BB D P MBN -E 1BB AD E ()f x ()f x ',x ∀∈R ()()33,f x f x +=-()()8f x f x '=-'()()17f f -=()()132f f ''-+=20241()i f i ='=∑()()042f f +=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为__________．13. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________.14. 已知椭圆左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的极值.16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为的中点，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.17. 过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，若，求的面积（为坐标原点）.的的mm [5.12,5.28]X ()25.2,N σ( 5.28)0.08P X >=()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x π6()g x ()g x ()f x ()0,πω=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,,F F A B 12AF BF 2AF C P 243AP BF =C ()21exx x f x -+=()y f x =()()0,0f ()f x P ABCD -ABCD ABP V E PB 4,AB BC DP ===BDP ⊥ADE D BP C --2:2(0)C y px p =>F l C ,A B l π3163AB =C ()1,2P -PA PB ⊥OAB V O18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.参考公式及数据：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.8791082819. 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；（2）若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和..22⨯0.01α=X X Y Yk =k ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α{}n a (),i j i j ≠k k i j a a a =⋅{}n a P {}n a n n S 241,12,120q S S >=={}n a P {}n b 11b =d ∈Z {}n b P d ∈N {}n c P 131215122,5,4,10{}n c 1c阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】4【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）极小值，极大值【16题答案】【答案】（1）证明略 （2【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）依据的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联 （2）分布列略，数学期望 （3）875【19题答案】【答案】（1）证明略； （2）证明略；（3），为840210x y +-=1e 23e24y x =0.01α=94132154。
河南省驻马店市2024_2025学年高二数学下学期期末考试试题文
驻马店2024〜2024学年度其次学期期终考试高一（文科）数学试题本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要仔细核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一样。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。
3.考试结束，监考老师将答题卡收回。
第I 卷(选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数i z R a ai z 31),(311-=∈+=，若21z z 为纯虚数，则=a A. -1 B.1 C. 10 D.101032. 命题“0x |x |0,>2≥+∀x ”的否定是 A. 0<x |x |0,>2+∀x B.0<x |x |0,2+≤∀xC. 0<x |x |0,>2000+∃xD. 0<x |x |0,2000+≤∃x3.设a>0,b>0，若12=+b a ，则ba 12+的最小值为 A. -1 B.1 C. 10 D.101034.若变量y x ,满意约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤+4022x y x y x ，则y x z 3+=的最小值为A. 4B. 8C. 5 D 65.抛物线)0>(22p px y =0)的焦点为F ，0为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MFO OF MF ∆=|,|3||的面积为216，则抛物线的方程为A. x y 62= B. x y 82= C. x y 162= D. x y 202=6.在△A BC 中，A c b cos ⋅=,则△A BC 的形态为 A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形7.执行如右图所示的程序框图，则该程序运行后输出的值是 A. 2=i B. 3=i C. 4=i D. 5=i8.依据如下样本数据：得到的回来方程为a bx y +=，则A.a ＞0,b ＜0B. a ＞0,b ＞0C. a ＜0,b ＜0D. a ＜0,b ＞09. 已知m S 是等差数列{n a }的前n 项的和， 25,352==S a ，则4a 的值.A.6B.7C.8D.910. 若命题“存在实数]3,1[∈x ，使得关于x 的不等式0124≤+⋅-xxa 有解”为真命题，则实数a 的范围是 A. 865≥a B. 865≤a C. 25≤a D. 25≥a 11. 函数)(x f 的定义域为R ，3)1(=-f ,对随意2>)(',x f R x ∈，则52>)(+x x f 的解集为A.（-∞，1）B. (-l,+ ∞)C.（-∞，1）D. (1,+ ∞)12.已知点A 是抛物线y x 82=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满意||||PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A.212+ B.12+ C.215- D. 15- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 己知a 是函数x x x f 6)(3-=的极大值点，则=a .14.视察下列等式：2134)32(sin )3(sin 22⨯⨯=+--ππ；3234)54(sin )53(sin )52(sin )5(sin 2222⨯⨯=+++----ππππ；4334)76(sin ...)73(sin )72(sin )7(sin 2222⨯⨯=++++----ππππ；5434)122(sin ...)98(sin ...)93(sin )92(sin )9(sin 22222⨯⨯=+++++++-----n n πππππ；……照此规律，==+++++++----2222)122(sin ...)123(sin )122(sin )12(sinn n n n n ππππ15.己知等比数列{n a }满意)1(4,15641-==a a a a ,则=3a 。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
福建省厦门市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题参考答案及评分标准
高二数学试题参考答案及评分标准 第1页（共4页） 厦门市2020-2021学年度第二学期高二年级质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、单选题： 1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．D 7．C 8．A 二、多选题： 9．AD 10．AC 11．BC 12．ABD 三、填空题：
13．2 14．1− 15．52 16．1，
1,e−+
四、解答题： 17．本题考查函数导数，极值，最值等知识；考查运算求解能力．考查函数与方程、转化与化归等数学思
想．满分10分． 解：（1）()232fxxax=+， ··················································································· 1分
因为()fx在2x=处有极大值2−，所以()()21240,2842,fafab=+==++=− ······································· 3分 解得3a=−，2b=， ······························································································· 4分 经检验，3a=−，2b=符合题意， 所以()3232fxxx=−+． ························································································· 5分
（2）由()2360fxxx=−=，得0x=或2x=， ··························································· 6分 当x在2,3−上变化时，()fx，()fx的变化情况如下表： x 2− ()2,0− 0 ()0,2 2
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.计算012456C C C ++=（）A.20B.21C.35D.36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2.已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（）A.6B.7C.15D.16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++= ，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB ∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
山东省济南市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前2024年1月高二期末学习质量检测数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x y -+=的倾斜角是（）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒【答案】B 【解析】【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10x y -+=的斜率为1，故倾斜角为45︒.故选：B2.已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A.12y x =±B.2y x =±C.y =D.2y x=±【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为y =.故选：C.3.已知正项等比数列{}n a 中，2816⋅=a a ，则5a 等于（）A.2B.4C.5D.8【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516a a a ⋅==，又{}n a 各项为正数，所以54a =.故选：B4.在三棱柱111ABC A B C -中，若AC a = ，AB b = ，1AA c =，则1CB = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c-+- D.a b c-++ 【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111CB CC CB AA AB AC a b c =+=+-=-++.故选：D5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n 1-站多n 千瓶（2n ≥且*N n ∈），第10站准备的饮用水的数量为（）A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶【答案】C 【解析】【分析】设第n 站的饮用水的数量为na (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L ，10910a a -=，然后利用累加法即可求解.【详解】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L ，10910a a -=，以上等式相加得：，()()()()10121321091101012310552a a a a a a a a +⨯=+-+-++-=++++== ，即1055a =.故选：C6.已知(2,0)A ，(8,0)B ，若直线y kx =上存在点M 使得0AM BM ⋅=，则实数k 的取值范围为（）A.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.44,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】由题可得点M 的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.【详解】因为0AM BM ⋅=，所以AM BM ⊥，则点M 在以AB 为直径的圆上，因为AB 的中点坐标为(5,0)，6AB =，所以点M 的轨迹方程为22(5)9x y -+=，由题可知，直线y kx =与圆22(5)9x y -+=3≤，解得：3344k -≤≤.故选：C7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中A 、2F 分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足2PF 垂直于x 轴且222AF PF =，则双曲线的离心率为（）A.32B.43C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】设()0,P c y ，代入双曲线方程求出0y ，根据222AF PF =可得答案.【详解】设()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a =，即22b PF a=，2AF a c =+，因为222AF PF =，所以22+=b a c a，可得()2222a ac c a +=-，2230e e --=，解得32e =.故选：A.8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】作出该几何体，确定直线DE 和直线AB 为异面直线，再根据平面ABC //平面DEF ，结合等体积法求得D 到平面ABC 的距离即可.【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P 到直线AB 距离的最小值即直线DF 到直线AB 的距离，又DF //AC ，AC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，故DF //平面ABC .又1BC BD EC ED ====，故四边形BCED 为菱形，则DE //BC .BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，故DE //平面ABC .又DF DE D = ，,DF DE ⊂平面DEF ，故平面DEF //平面ABC .故直线DF 到直线AB 的距离为平面DEF 到平面ABC 的距离.则D 到平面ABC 的距离即为P 到直线AB 距离的最小值.设AF 与CD 交于O ，则易得O 为正四棱锥B ADFC -中心.则1BA BC BD AC AD =====，CD ==，故BCD △为直角三角形，故2OB =.设D 到平面ABC 的距离为h ，则由B ACD D ABC V V --=，故1133ACD ABC S BO S h ⋅=⋅ ，故111224h ⨯⨯⨯=，解得3h =.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一条光线从点(2,3)A -射出，射向点(1,0)B ，经x 轴反射后过点(,1)C a ，则下列结论正确的是（）A.直线AB 的斜率是1-B.AB BC ⊥C.3a =D.||||AB BC +=【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 应用斜率公式计算即可；选项B ，先求得点A 关于x 轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C ，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点C 的坐标；选项D 应用两点间距离公式求解即可.【详解】对于A ，由于(2,3)A -、(1,0)B ，由斜率公式得：0311(2)AB k -==---，选项A 正确；对于B ，点(2,3)A -关于x 轴的对称点1A 的坐标为(2,3)--，经x 轴反射后直线BC 的斜率为：10(3)11(2)BC A B k k --===--，且1BC AB k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，选项B 正确；对于C ，直线BC 即直线1A B 的方程为：01(1)y x -=⨯-，即1y x =-，将1y =代入得：2x =，所以点(2,1)C ，2a =，选项C 不正确；对于D ，由两点间距离公式得：||||AB BC +==D 正确；故选：ABD.10.已知1F ，2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，则下列结论正确的是（）A.椭圆C 的焦距为6B.12PF F △的周长为16C.128PF ≤≤D.12PF F △的面积的最大值为16【答案】AB 【解析】【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22:12516x y C +=，得5a =，4b =，3c =，∴椭圆C 的焦距为26c =，故A 正确；又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△12PF F 的周长为2216a c +=，故B 正确；12||8a c PF a c =-<<+=，故C 错误；当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△12PF F 的面积取最大值为12122c b bc ⨯⨯==，故D 错误．故选：AB ．11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别满足111D P D B λ= ，1DQ DA λ=，则（）A.()0,1λ∃∈，使1PQ A D ⊥且11PQ B D ⊥B.()0,1λ∀∈，//PQ 平面11ABB A C.()0,1λ∃∈，使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D.()0,1λ∀∈，BP 与AQ 是异面直线【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0P Q A D B A λλλλ，则()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQ DA BP AQ λλλλλλ=--==--=-，平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，对于A ，若1PQ A D ⊥，则()()10,,11,0,110PQ DA λλλ⋅=--⋅=-=()10,1λ⇒=∉，故A 错误；对于B ，易知()()0,,11,0,00PQ m λλ⋅=--⋅=恒成立，且PQ ⊄平面11ABB A ，则//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对于C ，设PQ 与平面ABCD 所成角为π0,2αα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若2tan sin 3αα=⇒=，即sin cos ,PQ nPQ n PQ nα⋅===⋅，解之得35λ=或3λ=，显然()0,1λ∃∈，使得结论成立，故C 正确；对于D ，因为()()1,1,1,1,0,BP AQ λλλλ=--=-，若,BP AQ 共线，则存在实数k ，使得()11101k BP k AQ k k λλλλ⎧-=-⎪=⇒-=⨯⎨⎪=⎩，解得()10,1λ=∉，所以()0,1λ∀∈，,BP AQ不共线，故D 正确.故选：BCD12.已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N，{}*32,B x x n n ==-∈N ．将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A.23a = B.46n n a a +-= C.20233035a = D.若2024n S >，则52n ≥【答案】ABD 【解析】【分析】求得,A B A B 中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得：{}*65,A B x x n n ⋂==-∈N,可得{}1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,A B ⋃= ，则123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 对于选项A:易得23a =，故A 正确；对于选项B:易得46n n a a +-=，故B 正确；对于选项C:由46n n a a +-=，可得202335056430303034a a =+⨯=+=，故C 错误；对于选项D:易得数列{}n a 每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13，公差为24，由11312121124107020242⨯+⨯⨯⨯=<，11313131224204120242⨯+⨯⨯⨯=>，则2024n S >，此时有52n ≥，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：关键是通过123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 找到46n n a a +-=，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，若a b ∥ ，则λ的值为________．【答案】3-【解析】【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，a b ∥ ，可得3b a =-r r ，故3λ=-，故答案为：3-14.已知等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，则前n 项和n S 的最大值为________．【答案】16【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式和,结合二次函数的性质即可求解．【详解】等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，22(1)7(2)8(4)162n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+．则前n 项和n S 的最大值为16．故答案为：16．15.已知圆22:4C x y +=，直线:10l mx y m +--=，直线l 被圆C 截得的最短弦长为________．【答案】【解析】【分析】先求出直线l 过定点()1,1A ，数形结合得到当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10l mx y m +--=变形为()110m x y -+-=，故直线l 过定点()1,1A ，故当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，其中22:4C x y +=的圆心为()0,0C ，半径为2，此时弦长为=.故答案为：16.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，过点A 作垂直于x 轴的直线交C 于点D ，若点M 是ABD △的外心，则||||AB MF 的值为________．【答案】2【解析】【分析】设直线():10l x my m =+≠，联立方程，利用韦达定理求AB 以及点M 的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，可知直线l 与抛物线必相交，设直线():10l x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，可得()11,A x y -，联立方程241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，可得()241AB m ==+，1222y y m +=，且212212x xm +=+，即线段AB 的中点()221,2m m +，则线段AB 的中垂线方程为()2221y m m x m -=---，由题意可知：点M 在x 轴上，令0y =，可得223x m =+，即()223,0M m +，则()221MF m =+，所以()()2241221m AB MFm+==+.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)nn n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）22n T n =【解析】【分析】（1）由题意得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由(1)(21)nn b n =--，代入求和即可.【小问1详解】由已知，得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-【小问2详解】由（1）得(1)(21)nn b n =--，所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2nn n n b b n n n n --=--+--=--+-=，得21234212()()()2n n n T b b b b b b n -=++++++= ．18.已知圆心为C 的圆经过()0,0O ，(0,3A 两点，且圆心C 在直线:3l y x =上．（1）求圆C 的标准方程；（2）点P 在圆C 上运动，求22PO PA +的取值范围．【答案】（1）()(2214x y -+-=（2）[]8,24【解析】【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P 坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【小问1详解】圆经过()0,0O，(0,A 两点，得圆心在OA的中垂线y =又圆心C 在直线:l y =上，联立直线方程有y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即圆心坐标为(C ，又224r CO ==，故圆C 的标准方程为()(2214x y -+-=．【小问2详解】设()00,P x y ，易知[]01,3x ∈-，则((2222222200000226PO PA x y x y x y +=+++-=++（*），因为点P 在圆C 上运动，则()(220014x y -+-=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412PO PA x x x ⎡⎤+=+--+=+⎣⎦，由[]01,3x ∈-得22PO PA +的取值范围为[]8,24．19.已知抛物线的准线方程为2x =-，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）若OAB 为等腰直角三角形，求OAB 的面积；（2）若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点P ，并求出定点P 的坐标．【答案】（1）64（2）证明见解析，(8,0)P 【解析】【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB 90∠= ，OA OB =，从而求得,A B 坐标计算面积即可；（2）设直线l 方程及,A B 坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可.【小问1详解】因为抛物线的准线为2x =-，可得抛物线的方程为：28y x =，又AOB 为等腰直角三角形，根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：AOB 90∠= ，OA OB =，且,A B 两点关于横轴对称，则直线:OA y x =．于是28y x y x=⎧⎨=⎩得()8,8A ，则()8,8B -，所以()1888642OAB S =⨯⨯+= ．【小问2详解】设直线:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立28x my ny x =+⎧⎨=⎩，得2880y my n --=，264320m n +∆=>，且128y y m +=，128y y n ⋅=-又因为OA OB ⊥，则12121OA OB y y k k x x ⋅==-，即12120y y x x +=．由28y x =，得2118y x =，2228y x =，222121264y y x x n ==，即2121280y y x x n n +=-=，解得8n =或0n =（舍去）．当8n =时，满足0∆>．此时，直线l 的方程8x my =+．则l 过定点(8,0)P ．20.如图（1）所示PAB 中，AP AB ⊥，12AB AP ==．,D C 分别为,PA PB 中点．将PDC △沿DC向平面ABCD 上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =．连接,,PA PB PC 得到四棱锥P ABCD -．记PB 的中点为N ，连接CN ．（1）证明：CN ⊥平面PAB ；（2）点Q 在线段CN 上且2QC QN =，连接,AQ PQ ，求平面PAQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【小问1详解】取AB 中点M ，连接NM ，CM ．则//,CD AM CD AM =，即四边形AMCD 为平行四边形，所以CM AD ∥，又因为AB AD ⊥，所以AB CM ⊥，由PD CD ⊥，CD AB ∥，即AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，,PD AD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD ，又AP ⊂平面PAD ，故AB AP ⊥，又因为NM AP ∥，则AB NM ⊥，又NM CM M = ，,NM CM ⊂平面NCM所以AB ⊥平面NCM ，又CN ⊂平面NCM ，所以CN AB ⊥，又在PCD 中，6PD CD ==且PD CD ⊥，在BCM 中，6CM BM ==且⊥CM BM ，则PC BC ==N 为PB 中点，所以CN PB ⊥，又AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CN ⊥平面PAB ．【小问2详解】由6PD AD ==，AP =，则222PD AD AP +=，即PD AD ⊥，又PD CD ⊥，AD CD ⊥，故以D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线x 分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,6)P ，(0,0,0)D ，(0,6,0)C ，(6,0,0)A ，(6,12,0)B ，(3,6,3)N ，故(3,0,3)CN = ，(6,0,6)PA =-，因为2(2,0,2)3CQ CN == ，所以(2,6,2)Q ，(2,6,4)PQ =-，设平面PAQ 的法向量()1111,,n x y z = ，平面ABCD 的法向量()2222,,n x y z =，则111116602640PA n x z PQ n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取13x =，解得1(3,1,3)n = ，易知DP ⊥平面ABCD ，即2(0,0,1)n =，所以12319cos ,19n n ==，所以平面PAQ 与平面ABCD的夹角的余弦值为19．21.设数列{}n a ，其前n 项和为n S ，2233n S n n =+，{}n b 为单调递增的等比数列，123729b b b =，1236b a b a +=-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记m c 为{}n b 在区间(]()*0,m a m ∈N中的项的个数，求数列{}mc 的前100项和100T．【答案】（1）3n a n =，()*3n n b n =∈N（2）384【解析】【分析】（1）根据,n n a S 的关系即可求解3n a n =，根据等比数列基本量的计算即可求解()*3nn b n =∈N ，（2）利用列举法即可逐一求解{}m c 的前100项，即可求和得解.【小问1详解】对于数列{}n a ，因为2233n S n n =+①，所以2123(1)3(1)n S n n -=-+-，2n ≥，*n ∈N ②-①②得()*32,n a n n n =≥∈N由①式，当1n =时，得13a =，也满足3n a n =，所以()*3n a n n =∈N．因为数列{}n b 为等比数列，由等比数列的性质得31232729b b b b ==，得29b =，设数列{}n b 的公比为q ，又因为26a =，618=a ，所以1236b a b a +=-即96918q q+=-，解得3q =或13-，又因为{}n b 为单调递增的等比数列，所以3q =，所以()*3nn b n =∈N 【小问2详解】由于133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，所以1c ，2c 对应的区间为(0,3]，(0,6]，则121c c ==，即有2个1；3c ，4c ，…,8c 对应的区间为(0,9]，(0,12]，…,(0,24]，则3482c c c ==⋅⋅⋅==，即有6个2；9c ，10c ，…,26c 对应的区间为(0,27]，(0,30]，…,(0,78]，则910263c c c ==⋅⋅⋅==，即有18个3；27c ，28c ，…,80c 对应的区间为(0,81]，(0,84]，…,(0,240]，则2728804c c c ==⋅⋅⋅==，即有54个4；81c ，82c ，…,100c 对应的区间为(0,243]，(0,246]，…,(0,300]，则81821005c c c ==⋅⋅⋅==，即有20个5；所以1001226318454520384T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22.在平面直角坐标系．xOy 中，设1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)．直线1A M ，2A M 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）记动点M 的轨迹为曲线E ，过(1,0)P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与曲线E 交于A 、B 两点，2l 与曲线E 交于C 、D 两点，求AC BD ⋅的最大值．【答案】（1）221(0)42x y y +=≠（2）4-【解析】【分析】（1）设出点M 的坐标为(,)x y ，根据斜率之积得到方程，求出轨迹方程，注意0y ≠；（2）设1:(1)l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设()33,C x y ，()44,D x y ，同理得到两根之和，两根之积，根据直线1l ，2l 相互垂直，得到()()()222291212k AC BD kk -+⋅=++，利用基本不等式求出最大值.【小问1详解】设点M 的坐标为(,)x y ，因为直线1A M ，2A M 的斜率之积是12-，所以1222y y x x ⋅=-+-，所以22142x y +=，因为点M 与1A ，2A 两点不重合，所以点M 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠．【小问2详解】显然直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k=--，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222214240k x k x k +-+-=，显然()()4222Δ164212424160k k k k =-+-=+>，所以212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()()2222221212121222224431111212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎛⎫--⎡⎤=--=-++=-+= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，同理23422223422234221442121124242121133,2121k x x k k k k x x k k k y y k k ⎧⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎪+==⎪+⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪-⎪⎝⎭==⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎪==+⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线1l ，2l 相互垂直，所以0AP PD PC BP ⋅=⋅=，所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC PD⋅=+⋅+=⋅+⋅ ()()()()121234341111x x y y x x y y =--++--+()()12121234343411x x x x y y x x x x y y =-++++-+++22222222222443244311212121222k k k k k k k k k k ----=-+++-++++++++22223333212k k k k ----=+++，则()()()()()()222222222911942122122k k AC BD kk k k -++⋅=≤-=-++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时取得等号，所以AC BD ⋅的最大值为4-．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；。
河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学含答案
南阳市2023-2024年春期部分高中期末质量评估高二数学（答案在最后）注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，(),N y x y ∈代替，分布列如下：则()31123P X <<=（）X i=123456()P X i =0.210.200.5x 0.100.1y0.10A.0.35B.0.45C.0.55D.0.652.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5761322a a a ，，成等差数列，则10482a a a a ++（）A.3B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()2,1,6B --，()3,2,1C ，()4,3,0D ，则直线AB 与CD 的位置关系是（）A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A.120种B.180种C.240种D.300种5.63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭的展开式中的常数项为（）A.240- B.240C.180- D.1806.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为1e ，2e ，3e ，4e ，其大小关系为（）A .1243e e e e <<< B.2134e e e e <<<C.3412e e e e <<< D.4312e e e e <<<7.若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2223x y -+=没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A.,3∞⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭B.()2,+∞ C.()1,2 D.1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8.设ln1.5a =，0.5b =，ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.c<a<bD.c b a<<二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为()2,1,1n =- ,()1,1,2m =,则二面角A BD C --的大小可能为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π610.法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆22:13x C y +=，其蒙日圆为圆M ，过直线:40l x y --=上一点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列选项正确的是（）A.圆M 的方程为223x y +=B.四边形PAMB 面积的最小值为4C.PA PB ⋅的最小值为12- D.当点P 为(1,3)-时，直线AB 的方程为340x y --=11.已知函数()()23023a b cf x a x x x=---≠的定义域为()0,∞+，且x c =是()f x 的一个极值点，则下列结论正确的是（）A.方程20ax bx c ++=的判别式Δ0>B.1ac b +=-C.若a<0，则()f x 在区间(),c +∞上单调递增D.若0a >且1ac >，则x c =是()f x 的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 满足1265n n a a n ++=+．且13a =，若()1nn n b a =-，则1232024b b b b ++++= ________．13.已知函数()24ln 2x f x x =-在区间()1,4a a -+上有定义，且在此区间上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．14.某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有45的学生喜欢网络游戏，女生中有35的学生喜欢网络游戏，若有超过95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050.010k 3.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()322f x x ax bx a =+++在3x =-处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0b >时，求()f x 的单调递增区间．16.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，60ABC ∠=︒，PB PD =，PA AC ⊥.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若3PA =，M 为棱PC 上一点，满足23CM CP =，求点A 到平面MBD 的距离.17.某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为Y 元，求随机变量Y 的数学期望()E Y .18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点1,2P ⎛ ⎝⎭和()2,0A -．（1）求E 的方程；（2）若点,M N （异于点A ）是E 上不同的两点，且0AM AN ⋅=，证明直线MN 过定点，并求该定点的坐标．19.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，设n b 为()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅中的最大值，称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的{}n a ；（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1n m n a b C -++=（C 为常数，1,2,,n m =⋅⋅⋅）.证明：()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅.（3）考虑正整数1,2,,m ⋅⋅⋅的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .是否存在数列{}n c ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由.南阳市2023-2024年春期部分高中期末质量评估高二数学注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，(),N y x y ∈代替，分布列如下：则()31123P X <<=（）X i=123456()P X i =0.210.200.5x 0.100.1y0.10A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1得到方程组，求出2,4x y ==，得到答案.【详解】由题意得1050010y +++++=，解得4y =，221119x +++++=，解得2x =，故3110.200.250.4523P X ⎛⎫<<=+=⎪⎝⎭.故选：B2.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5761322a a a ，，成等差数列，则10482a a a a ++（）A.3B.6C.9D.18【答案】C 【解析】【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.【详解】若等比数列{}n a 的各项均为正数，所以公比0q >，且57613,,22a a a 成等差数列，可得654765765111122323232a a a a a a a q a q a q ⨯=+=+=+，，,即得()()2223230310,q q q q q q =+--=-+=，，可得3q =，932104117182119a a a q a q q a a a q a q++===++.故选：C.3.在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()2,1,6B --，()3,2,1C ，()4,3,0D ，则直线AB 与CD 的位置关系是（）A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直【答案】B 【解析】【分析】利用给定的坐标，求出向量,,AB CD AC的坐标，再借助共线向量判断得解.【详解】由()1,2,3A ，()2,1,6B --，()3,2,1C ，()4,3,0D ，得()3,3,3AB =-- ，()1,1,1CD =- ，则3AB CD =- ，即//AB CD，而(2,0,2)AC =- ，显然向量,AB AC不共线，即点C 不在直线AB 上，所以直线AB 与CD 平行．故选：B4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A.120种B.180种C.240种D.300种【答案】C 【解析】【分析】按照分组分配的方法，列式求解.【详解】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，共有2454C A 240=种方法.故选：C5.63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭的展开式中的常数项为（）A.240- B.240C.180- D.180【答案】C 【解析】【分析】由66633111222x x x x x ⎛⎛⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎝=-，写出62x ⎛ ⎝展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为66633111222x x x x x ⎛⎛⎛⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎝⎝=-，又62x⎛+ ⎝展开式的通项为()6636216622C C rr r r r r r T x x--+-==，{}0,1,2,3,4,5,6r ∈，所以63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭的展开式中的常数项为244266C C 18022-=-.故选：C6.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为1e ，2e ，3e ，4e ，其大小关系为（）A.1243e e e e <<<B.2134e e e e <<<C.3412e e e e <<<D.4312e e e e <<<【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决．【详解】由题意得到椭圆①，②的b 值相同，a 值①比②小，则c e a ==，可以知道，121e e <<；根据双曲线的开口越大离心率越大，则431e e <<．所以431201e e e e <<<<<，故选：A ．7.若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2223x y -+=没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A.,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B.()2,+∞ C.()1,2 D.1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a 和b 的关系，进而利用222c a b =+求得a 和c 的关系，则双曲线的离心率可求．【详解】 双曲线渐近线为0bx ay ±=，且与圆()2223x y -+=没有公共点，>223b a ∴>，22223b c a a ∴=->，2ce a∴=>．故选：B ．8.设ln1.5a =，0.5b =，ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.c<a<bD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】令()ln 1f x x x =-+，利用导数说明函数的单调性，即可证明ln 1≤-x x ，从而判断a 、b ，再令()πsin 2x x g x =-，利用导数说明函数的单调性，即可判断c 、b ，即可得解.【详解】令()ln 1f x x x =-+，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立，当且仅当1x =时取等号，则ln1.5 1.510.5<-=，即a b <；又πππcos 0.5sin 0.5222c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令()πsin 2x x g x =-，则()πcos 12x g x =-'，则()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又πcos 1π10624ππ6g -'⎛⎫=⎪⎝=->⎭，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '>，所以()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又1π026<<，所以()1002g g ⎛⎫>=⎪⎝⎭，即π11sin 0222->，所以π11sin 222>，即c b >，综上可得a b c <<.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为()2,1,1n =- ,()1,1,2m =,则二面角A BD C --的大小可能为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】BC 【解析】【分析】计算cos ,m n n m m n ⋅=，即可得出答案.【详解】1,1,22,1,11cos ,2m n n m m n ⋅-⋅==，所以二面角A BD C --的大小可能为π3或2π3．故选：BC10.法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆22:13x C y +=，其蒙日圆为圆M ，过直线:40l x y --=上一点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列选项正确的是（）A.圆M 的方程为223x y +=B.四边形PAMB 面积的最小值为4C.PA PB ⋅的最小值为12- D.当点P 为(1,3)-时，直线AB 的方程为340x y --=【答案】BD 【解析】【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容易求得圆M 的方程，结合直线与圆的位置关系，可以推出.【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆M 的方程为224x y +=，故A 不正确；四边形PAMB 面积为：22PAM S PA AM PA =⋅= ，只需求出PA 的最小值，而PM 的最小值为点(0,0)M 到直线:40l x y --=的距离d ==PA 2=，故B 正确；设θAPM ∠=,则2sinθPM =，故228cos2θ12sin θ1PM=-=-，所以22222832cos 2θ=cos 2θ=(4)(1)=12PA PB PA PB PA PM PM PMPM⋅=⋅⋅--+- ，又2232121212PM PM+-≥-=-，当且仅当2PM =取等号，而PM 的最小值，故2PM 的最小值8，故等号取不到，故C 不正确；当点P 为(1,3)-时，点P ，A ，M ，B 四点共以PM 为直径圆上，所以这个圆的方程为()()130x x y y -++=，与圆M 方程联立，可得直AB 的方程为340x y --=，故D 正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：C 选项中等号取不到，容易出错，同时考查推理运算能力.11.已知函数()()23023a b cf x a x x x=---≠的定义域为()0,∞+，且x c =是()f x 的一个极值点，则下列结论正确的是（）A.方程20ax bx c ++=的判别式Δ0>B.1ac b +=-C.若a<0，则()f x 在区间(),c +∞上单调递增D.若0a >且1ac >，则x c =是()f x 的极小值点【答案】ABD 【解析】【分析】求出函数的导函数，根据x c =是()f x 的一个极值点，判断A 、B ，由a<0可得函数2y ax bx c =++的性质，即可得到()f x 的单调性，从而判断C ，求出方程20ax bx c ++=的两根，即可得到()f x 的单调性，从而判断D.【详解】因为()()23023a b c f x a x x x =---≠，则()34242a b c ax bx cf x x x x x++'=++=，依题意x c =是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个变号正实数根，所以方程20ax bx c ++=的判别式Δ0>，故A 正确；因为20ac bc c ++=，显然0c >，所以1ac b +=-，故B 正确；当a<0时，因为0c >，所以函数2y ax bx c =++的开口向下，且与x 轴的正半轴只有一个交点，当()0,x c ∈时()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()0,c 上单调递增，在(),c +∞上单调递减，故C 错误；当0a >且1ac >，将1b ac =--代入20ax bx c ++=，整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以方程有两个不相等正实数根1x a=与x c =，又10c a <<，所以当10x a<<或x c >时()0f x ¢>，当1x c a <<时()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),c +∞上单调递增，在1,c a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以1x a=是()f x 的极大值点，x c =是()f x 的极小值点，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 满足1265n n a a n ++=+．且13a =，若()1nn n b a =-，则1232024b b b b ++++= ________．【答案】2024【解析】【分析】利用构造法与迭代法求得21n a n =+，从而利用并项求和法即可得解.【详解】因为1265n n a a n ++=+，所以()12(1)1221n n a n a n +-+-=---，又13a =，则12113210a -⨯-=--=，所以()[]12112(1)1(2)21(2)2(1)1n n n a n a n a n +--+-=---=----=()1(2)2110n a =--⨯-=，故210n a n --=，则21n a n =+，所以()()11(21)nnn n b a n =-=-+，则{}n b 的各项分别为3,5,7,9,11,13,--- ，所以()()()()12320243579111340474049b b b b ++++=-++-++-+++-+ 210122024=⨯=.故答案为：2024【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得()12(1)1221n n a n a n +-+-=---，从而求得n a ，由此得解.13.已知函数()24ln 2x f x x =-在区间()1,4a a -+上有定义，且在此区间上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)1,3【解析】【分析】在()1,4a a -+上，()f x 有极值点表示()f x '有零点，由导数可得即可得(2)0f '=，从而有101242a x a -≥⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，计算可求得a 的范围.【详解】由题可知()244x f x x x x='-=-，当02x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减，当2x >时,()0f x '>,()f x 单调递增，故()f x 只有极小值点2.若()f x 在区间(1,4)a a -+上有定义且有极值点，则101242a a a -≥⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，解得13a ≤<.故答案为:[)1,314.某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有45的学生喜欢网络游戏，女生中有35的学生喜欢网络游戏，若有超过95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050.010k 3.8416.635【答案】45，或50，或55，或60，或65【解析】【分析】设男生有x 人，然后列出列联表，利用公式求出2221K x =，则由题意可得23.841 6.63521x ≤<，从而可求出x .【详解】设男生有x 人，则由题意可得22⨯列联表如下喜欢不喜欢合计男生45x 15x x 女生35x 25x x合计75x 35x 2x则224213225555732155x x x x x K x x x x x ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅，因为有超过95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，所以23.841 6.63521x ≤<，得40.369.7x ≤<，因为x 为5的整数倍，所以x 可能取值为45，50，55，60，65，即被调查的学生中男生可能有45，或50，或55，或60，或65人，故答案为：45，或50，或55，或60，或65四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()322f x x ax bx a =+++在3x =-处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0b >时，求()f x 的单调递增区间．【答案】（1）39a b =⎧⎨=-⎩或69a b =⎧⎨=⎩（2）(),3-∞-，()1,-+∞【解析】【分析】（1）求导，利用()30f '-=及()336f -=，列出方程组，求出,a b ，检验后得到答案；（2）在（1）的基础上，由导函数大于0，解不等式，求出单调递增区间.【小问1详解】由题意知()232f x x ax b '=++．∵()23279336f a b a -=-+-+=，()32760f a b -=-+='，∴39a b =⎧⎨=-⎩或69a b =⎧⎨=⎩，经检验都符合题意．【小问2详解】当0b >时，由（1）得()326936f x x x x =+++，∴()23129f x x x '=++，由()0f x ¢>，即()()130x x ++>，解得3x <-或1x >-，∴函数()f x 的单调递增区间为(),3-∞-，()1,-+∞．16.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，60ABC ∠=︒，PB PD =，PA AC ⊥.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若3PA =，M 为棱PC 上一点，满足23CM CP =，求点A 到平面MBD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接PO ，利用线面垂直的判定推理作答.（2）求出点M 到平面ABCD 的距离，再利用等体积法求解作答.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，连接BD 交AC 于O ，连接PO ，如图，因为底面ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，又O 是BD 的中点，PB PD =，则BD PO ⊥，而,,AC PO O AC PO =⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】连接,,BM MD MO ，由BD ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，则BD PA ⊥，而PA AC ⊥，,,⋂=⊂AC BD O AC BD 平面ABCD ，因此PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 是边长为6的菱形，60ABC ︒∠=，则6,63AC BD ==，ABD △面积13332ABD S =⨯= ，过M 作ME PA //交AC 于E ，而3PA =，且23CM CP =，则2,1ME EO ==，显然ME AC ⊥，于是5MO =，MBD 面积1635152MBD S =⨯= ，令点A 到平面MBD 的距离为h ，又ME ⊥平面ABCD ，由A MBD M ABD V V --=，即1133BMD ABD S h S ME ⋅⋅=⋅⋅ ，得113153233h ⋅=⨯，解得655h =，所以点A 到平面MBD 的距离为55.17.某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为Y 元，求随机变量Y 的数学期望()E Y .【答案】（1）2245（2）192（元）.【解析】【分析】（1）根据互斥事件加法公式及古典概型概率计算公式进行计算即可；（2）求出家庭每个人获得的奖金X 的期望，根据4Y X =进行计算即可.【小问1详解】设1A =“从甲箱中摸出黑球”，2A =“从甲箱中摸出白球”，B =“从乙箱中摸出红球”，C =“某顾客摸出红球”，则()()()()()1122P C P A P BA P A PB A =+∣∣.因为()()2210612210C C 24,C 310P B A P B A -===∣∣，所以()2244226361045P C =⨯+⨯=.【小问2详解】设该家庭每个人获得的奖金为X 元，则X 的取值可能为0,90,180，则()2223014545P X ==-=，()1146210C C 4424906106C 9P X ==⨯+⨯=，()24210C 221806C 45P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为X090180P234549245()429018048945E X =⨯+⨯=（元）.又因为4Y X =，所以()()4448192E Y E X ==⨯=（元）.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点1,2P ⎛ ⎝⎭和()2,0A -．（1）求E 的方程；（2）若点,M N （异于点A ）是E 上不同的两点，且0AM AN ⋅=，证明直线MN 过定点，并求该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解，（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可得,M N 坐标，进而根据点斜式求解直线MN 方程即可求解定点，或者根据向量垂直满足的坐标运算，代入韦达定理化简即可求解65m k =，结合分类讨论,进而得定点..【小问1详解】由题意得2a =，把点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入22214x y b +=，得213144b +=，解得1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】（方法一）由题意可知,AM AN 均有斜率且不为0，设直线AM 的方程为()2y k x =+，联立方程组()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222214161640kx k x k +++-=，可得22164214M k x k --=+，解得()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++，所以点M 的坐标为222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为0AM AN ⋅= ，所以直线AN 的斜率为1k -，同理可得点222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．当M N x x =时，有22222828144k k k k--=++，解得21k =，直线MN 的方程为65x =-．当M N x x ≠时，直线MN 的斜率()()22222422442011442828161144M N MNM N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -，则直线MN 的方程为()N MN N y y k x x -=-，即()()()2222222252845528444414141kk k k k k y x x k k k k k k ⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k kx k k=-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭，即()256541ky x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．又当M N x x =时，直线65x =-也过点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭．（方法二）当直线MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y kx m =+，联立方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()()()222222Δ644144416140k m k mm k =-+-=--->，即2214m k <+．设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，()22121212y y k x x km x x m =+++．因为0AM AN ⋅=，所以()()1212220x x y y +++=，即()()()2212121240kx x km x x m++++++=，()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭，()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=，化简得22516120m km k -+=，解得65m k =或2m k =，所以直线MN 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()2y k x =+（过点A ,不合题意，舍去），所以直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭．当直线MN 垂直于x 轴时，设它的方程为1x x =，因为0AM AN ⋅=，所以()221120x y +-=．又221114x y +=，解得165x =-或12x =-（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线MN 的方程为65x =-，也过点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，设n b 为()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅中的最大值，称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的{}n a ；（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1n m n a b C -++=（C 为常数，1,2,,n m =⋅⋅⋅）.证明：()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅.（3）考虑正整数1,2,,m ⋅⋅⋅的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .是否存在数列{}n c ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）(1)!1m -+。