夫琅禾费单缝衍射
§16.2 单缝和圆孔的夫琅禾费衍射
§16.2.1 单缝的夫琅禾费衍射
( 1 ) 单缝衍射的实验装置和现象
夫琅禾费衍射是平行光的衍射，在实验中可借助于两个透镜来实现。
位于物方焦面上的点光源经透镜L1后成为一束平行光，照射在开有一条狭缝的衍射屏上。
衍射屏开口处的波前向各方向发出子波或衍射光线，方向相同的衍射光线经透镜L2后会聚在象方焦面上的同一点，各个方向的衍射光线在屏幕上形成了衍射图样，它在与狭缝垂直的方向上扩展开来。
衍射图样的中心是一个很亮的亮斑，两侧对称地分布着一系列强度较弱的亮斑，中央亮斑的宽度为其他亮斑的两倍，且它们都随狭缝宽度的减小而加宽。
如果用与狭缝平行的线光源代替点光源，则在接收屏幕上将会看到一组平行于狭缝的衍射条纹。
图16 - 4 单缝的夫琅禾费衍射
( 2 ) 单缝衍射的光强分布公式
考虑点光源照明时的单缝夫琅禾费衍射。
取z轴沿光轴，y轴沿狭缝的走向，x轴与狭缝垂直。
因为入射光仅在x方向受到限制，衍射只发生在x- z平面内，因此具体分析可在该平面图中进行。
按惠更斯菲涅耳原理，我们可以把单缝内的波前AB分割为许多等宽的窄条，它们是振幅相等的相干子波源，朝各个方向发出子波。
由于接收屏幕位于
透镜L2的象方焦面上，因此角度相同的衍射光线将会聚于屏幕上同一点进行相干叠加。
图16 - 5 衍射矢量图
设入射光与光轴Oz平行，则在波面AB上无相位差。
为求单缝上、下边缘A和B到点的衍射光线间的光程差L和相位差，自A点引这组平行的衍射光线的垂线AN，于是就是所要求的光程差。
设缝宽为b，则有
(16.4)
(16.5)
矢量图解法：用小矢量代表波前每一窄条对点处振动的贡献，由A点作一系列等长的小矢量，首尾相接，逐个转过相同的小角度，最后到达B点，总共转过的角度就是单缝上、下边缘到点的衍射光线间的相位差. 若取波前每一窄条的面积，则由这些小矢量连成的折线将化为圆弧，其圆心角2= . 由于整个缝宽AB内的波前在点处产生的合振幅等于弦长，而在的点处的合振幅A0等于弧长，故有
,
即,
(16.6)
其
中.
(16.7)
单缝夫琅禾费衍射的光强分布公式：利用，而表示中央亮斑中心O 处的光强，由式(16.6)可得
, .
(16.8)
( 3 ) 单缝衍射光强分布的特点
单缝的夫琅禾费衍射图样的中心有一个主极强(零级衍射斑)，两侧都有一系列次极强和暗斑。
主极强出现在
= 0，= 0
的地方，到这里的各条衍射光线有相同的相位，它们相干叠加的结果具有最大的光强。
几何光学中的光线就是零级衍射线，几何光学中的象点就是零级衍射斑的中心。
例如，在图16-4(a)所示的装置中，如果点光源的位置上下左右移动，则该点光源在接收屏幕上的象点将朝相反的方向移动，并可算出移动的距离，由此即可确定零级衍射斑的位置。
如果只是单缝的位置上下左右平行移动，则其夫琅禾费衍射图样的位置并不改变。
在单缝衍射因子具有极大值的地方，即在
图16 - 6 单缝衍射因子
的地方，除了在处出现衍射主极强外，还在一系列位置上出现衍射的次极强。
利用图解法求解超越方程
，
可得决定次极强位置的和=值分别为：
,
.
(16.9)各次极强的光强近似为I0的4.7 ，1.7 ，0.8 ，都比I0小得多。
考虑到倾斜因子的影响，高级衍射斑的光强还要减小，衍射后绝大部分光能都集中在零级衍射斑。
单缝衍射暗斑中心位置由(但)决定，即
(16.10)
我们规定，以相邻暗斑中心之间的角距离作为其间亮斑的角宽度。
在衍射角很小的情况下，，式(16.10)可以写为
.
零级亮斑在之间，其半角宽度为
,
(16.11)它等于其他亮斑的角宽度。
几点说明：
1 ) 是屏幕上衍射斑大小的量度，也是衍射场中波线取向弥散程度的量度。
零级衍射斑集中了绝大部分光能，它的半角宽度的大小是衍射效应强弱的标志。
2 ) 对于给定的波长，与缝宽b成反比。
缝宽b越小，在波前上对光束的限制越大，则衍射场越弥散，衍射斑铺开得越宽，即越大；当缝宽b很大时，光束几乎自由传播，0，衍射斑几乎收缩为几何光学的象点。
3 ) 在保持缝宽b不变的条件下，与成正比。
波长越长，衍射效应越显著；波长越短，衍射效应越可忽略，几何光学是波动光学在0时的短波极限。
夫琅禾费单缝衍射次极大位置
利用cos(a b) cosa cosb sina sinb, 有
2
E c'
a 2 a 2
2 2 t L0 ) cos( x sin ) cos( 2 sin( t L0 ) sin( x sin ) dx 2
缝 透 平 镜 面 L1 S 透 镜 L2 观 察 屏 p ·
*
f1
a
S：单色线光源
0
a: 单缝缝宽
： 衍射角, P点
与透镜中心连线 与光轴的夹角
f2
§11-2 夫琅禾费单缝衍射
单缝衍射图样
sin
一组与缝平行的明暗相间的直条纹, 在与狭缝垂直的方向上扩展 开. 中央是最明亮的条纹, 两边对称分布着一系列强度较弱的宽 度相等的条纹, 中央明条纹宽度是其两侧明条纹宽度的两倍.
定义： 光在传播过程中能绕过障碍物的边缘 而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
障碍物的尺寸是否与波长具有可比较性, 是否相干光源. 声波的衍射随处可见, 但光波的较少.
§11-1 衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理
二. 衍射分类：
光源 S
障碍物
观察屏
*
L
B
D
P
（1）菲涅耳衍射: L 和 D中至少有一个是有限值。 （2）夫琅禾费衍射: L 和 D皆为无限大, 即照射
第十一章 光的衍射
§11-1 衍射现象、惠更斯——菲涅耳原 理 §11-2 夫琅禾费单缝衍射 §11-4 夫琅禾费圆孔衍射、 光学仪器的分辨本领
§11-1 衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理
§11-1 衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理
一. 衍射现象
衍射屏 观察屏 衍射屏 观察屏 L L
夫琅禾费单缝衍射和半波带法
与狭缝平行方向分成 一系列宽度相等的窄
A
条，对于衍射角为 的 各条光线，相邻窄条 对应点发出的光线到 达观察屏的光程差为 半个波长，这样等宽
A1 a
A2 C
B
的窄条称为半波带。
• 这种分析方法称为菲涅耳半波带法。
asin
2
1.2 菲涅耳半波带法
• 对应于衍射角为θ 的屏上P 点，缝上下边缘两条光线之间的 光程差为
asin
• 下面分两种情况用菲涅耳 半波带法讨论P 处是明纹 或暗纹。 • （1）BC 的长度恰等于 两个半波长，即
a sin 2 暗条纹
2
1.2 菲涅耳半波带法
• （2）BC 的长度恰为三个半波长，即 a sin 3 明纹
明纹条件：
2
a sin (2k 1) (k 1, 2, ...)
1.2 菲涅耳半波带法
• 例4-1 在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ1 的单色光 的第三级明纹与波长为 λ2 = 630 nm 的单色光的第二级明 纹恰好重合，求前一单色光的波长 λ1 。
• 分析：采用比较法来确定波长．对应于同一观察点，两次
衍射的光程差相同，明纹重合时θ 角相同，由于衍射明纹
条件 • 故有
行光，相当于光源位于无限远处。 • 透镜 L的作用是把平行光会聚
到置于焦平面的光屏上， • 相当于观察屏位于无限远处。 • 实验会发现在观察屏上形成
衍射条纹。
1.1 单缝夫琅禾费衍射的装置 以及光强分布
• AB为单缝的截面，其宽度为 a。
• 当单色平行光垂直照射单缝时，根据惠更斯—菲涅耳原理， AB上的各点都是子波源。
2
θ=0 对应中央明纹.
暗纹条件：
a sin k (k 1, 2, ...) k 为衍射级次.
第43讲光的衍射现象单缝夫琅禾费衍射光学仪器的分辨本领
教学要求了解菲涅耳衍射、夫琅和费衍射、惠更斯－菲涅耳原理；理解光的衍射现象；单缝的夫琅和费衍射；圆孔的夫琅和费衍射、瑞利准则、分辨律；理解光学仪器的分辨本领。
15.1光的衍射现象惠更斯——菲涅耳原理15.1.1光的衍射现象及分类在讨论第六章时就已知道：孔隙（或障碍物）的线度与波长的比值直接影响着衍射现象，当孔隙（或障碍物）的线度与波长的数量级接近时，才能观察到明显的衍射现象。
对于光波，由于波长远小于一般孔隙（或障碍物）的线度，所以光的衍射现象通常不易观察到。
而光的直线传播却给人们留下了深刻的印象。
图15-1 光的衍射现象实验在实验室中，采用高亮度的激光或是普通的强点光源，同时屏幕的面积也足够大，则可以将光的衍射现象演示出来。
如图15-1（a）所示，E为屏幕，K是一个可调节的狭缝，S 为一单色点光源。
实验发现，当E，K，S三者位置固定的情况下，光通过宽缝时，是沿直线传播的，如图(a)所示。
若将缝的宽度减小到约10 4m及更小时，缝后几何阴影区的光屏上将出现衍射条纹，如图(b)所示，光斑的亮度也由原来的均匀分布变成一系列的明暗条纹（单色光源）或彩色条纹（白光光源），条纹的边缘也失去了明显的界限，变得模糊不清，这就是光的衍射现象。
衍射系统是由光源、衍射屏和接收屏组成，通常是根据三者相对位置的大小，把衍射现象分为两类。
一类是光源、接收屏（或两者之一）与衍射物之间的距离有限远。
这种衍射叫做菲涅耳衍射（或近场衍射），如图15-2（a ）所示。
另一类是光源、接收屏与衍射物的距离都是无限远。
这种衍射称为夫琅禾费衍射（或远场衍射），如图15-2（b ）所示。
在实验室中产生的夫琅禾费衍射通常利用两个会聚透镜来实现，如图15-2（c ）。
由于夫琅和费衍射在实际应用和理论上都十分重要，而且这类衍射的分析与计算都比菲涅耳衍射简单，因此本节只讨论只讨论夫琅和费衍射。
15.1.2惠更斯——菲涅耳原理惠更斯原理指出：波阵面上的每一点都可以看成是发射子波的新波源，任何时刻子波的包迹即为新的波阵面。
光学之夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
由于Δφ很小，所以sinΔφ = Δφ，因此
A
A0
sinu u
单缝 L A
y F
其中A0 = nΔA，u = πasinθ/λ。
θ
O
F点的 光强为
I I0(siunu)2 其中I0 = A02。
aB
C Δδ
当θ→0时，u→0，因此I→I0。I0是最大光强，称为主极大。
几何路程不同，却有相同的光程。
从而干涉互相加强。
单缝中心O处出现一条与单缝平行的亮条纹，即中央明条纹。
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为
夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的
分布规律。在什么地方光强最大？ 单缝 L
[解析](1)如图所示，单缝AB的宽度 A
F
为a，其长度方向垂直于屏幕。
平行光垂直入射到狭缝上，
a
O
通过单缝之后，光线经过透
B
镜L会聚在屏幕上某点F。
单缝内AB间各点的子波源都具有同一 单缝上各子波源发出
相位，由于透镜不产生附加的光程差， 的子波到达O点后仍 从单缝上各点到达O点的光线所经过的 然具有相同的位相，
(k = 1，2，3，…)
如果衍射角不满足上面两式，也就是说:在这些方向上单缝既 不能分割成偶数个半波带，也不能分割成奇数个半波带，
则屏幕上对应位置的的光强介于极大和极小 之间，使得明条纹在屏幕上延伸一定的宽度。
这是因为 条纹形成
两个公式给出的分别是明条纹和暗条纹的中心位置。 的理论不
明条纹的宽度就是两条暗条纹之间的距离。
单缝夫琅禾费衍射强度
单缝夫琅禾费衍射强度
【原创版】
目录
1.单缝衍射的概述
2.夫琅禾费衍射的强度
3.应用与影响
正文
一、单缝衍射的概述
单缝衍射是一种光的波动现象，当光线通过一个狭缝时，会出现光的干涉和衍射现象。
单缝衍射现象是研究光的波动性质的重要手段，它可以帮助我们了解光的传播特性和波动规律。
二、夫琅禾费衍射的强度
夫琅禾费衍射是一种特殊的单缝衍射现象，它的衍射强度与入射光的波长、缝的宽度和缝与观察屏的距离等因素有关。
夫琅禾费衍射的强度是随着缝的宽度的减小而增强的，当缝的宽度接近光的波长时，夫琅禾费衍射的强度会达到最大。
三、应用与影响
夫琅禾费衍射在物理学、光学和工程技术等领域都有广泛的应用。
例如，在光纤通信中，夫琅禾费衍射被用来提高光信号的传输效率；在光学测量中，夫琅禾费衍射被用来测量光的波长和缝的宽度等参数。
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物理实验居家单缝夫琅禾费衍射实验数据及完整实验报告和结论
物理实验居家单缝夫琅禾费衍射实验数据及完整实验报告和结论家庭单缝夫琅禾费衍射实验实验目的:1、了解夫琅禾费（Fraunhofer Lines）被用于把窄线宽的原子谱线用来测量光谱中的原子或分子信号2、研究夫琅禾费把反谱仪角度和反谱仪对散射算法的影响实验材料:铂家具，反谱仪，单缝夫琅禾费模板，衍射模板，记录仪等实验方法使用反射仪配合衍射模板测量夫琅禾费的宽度和强度，同时配合相应的数据记录仪记录下测量得到的值。
首先，我们调整反射仪角度，使其与衍射模板对齐，然后将反射仪射线对准夫琅禾费模板，根据数据记录仪记录的测量值，推算出窄线宽的夫琅禾费。
然后，我们可以确定单缝夫琅禾费模板反射仪角度和反射仪对散射算法的影响。
最后，我们可以使用夫琅禾费把反谱仪角度和反谱仪对散射算法进行测量，记录数据，并比较结果。
实验结果通过实验，我们测量出夫琅禾费窄线宽的宽度，测量结果如下所示：第一组：夫琅禾费宽度为0.64 nm。
第二组：夫琅禾费宽度为0.62 nm。
第三组：夫琅禾费宽度为0.61 nm。
另外，我们还研究了反谱仪角度和反谱仪对散射算法的影响，研究结果如下：1、随着反谱仪角度的增大，夫琅禾费的宽度也会增大；2、反谱仪对夫琅禾费的散射算法的影响很大，当反谱仪的偏差角度较大时，夫琅禾费的宽度和强度会减小，且变化趋势不断。
结论本次实验通过配合衍射模板测量夫琅禾费的宽度和强度，我们可以推算出窄线宽的夫琅禾费。
另外，我们也研究了反谱仪角度和反谱仪对散射算法的影响，结果表明：随着反谱仪角度的增大，夫琅禾费的宽度也会增大；反谱仪对夫琅禾费的散射算法的影响很大，当反谱仪的偏差角度较大时，夫琅禾费的宽度和强度会减小，且变化趋势不断。
本次实验为理解夫琅禾费的原理，及其对光谱中原子或分子信号的测量提供了重要的实验经验。
12-6 单缝夫琅禾费衍射
x f tg
I
当 较小时，
tg sin k / b
b f b
o
b f b
2
2
f b
b
sin 3
3
f b
b
x
小结
b sin 2k
x f sin
k 干涉相消（暗纹） 2 b sin (2k 1) 干涉加强（明纹） 2
x0 2 f tg1 2 f sin 1 2 f
b
5.46 mm
其它明纹宽度
x xk 1 xk f
b
2.73 mm
如将单缝位置作上下小距离移动， 屏上衍射条纹不变
1 越大，
越大，衍射效应越明显.
(3)条纹宽度（相邻条纹间距）
k 干涉相消（暗纹） 2 b sin (2k 1) 干涉加强（明纹） 2 b sin 2k
x f sin kf
x f x0 2 f
b
b
除了中央明纹外 其它明纹的宽度 中央明纹的宽度
光强分布 b sin k （暗纹） sin k / b
b sin (2k 1)
二
2
干涉加强（明纹）
I
3 2 b b
b
o
b
2
b
3
b
sin
sin k / b
S
R b L1
L2
P
x
O
单缝夫琅禾费衍射条纹的分布及宽度特征
单缝夫琅禾费衍射条纹的分布及宽度特征说实话单缝夫琅禾费衍射条纹这个东西，特征挺有意思的。
我刚观察这个单缝夫琅禾费衍射条纹的时候，真的是一头雾水，啥也看不出来。
不过看久了吧，就有一些发现。
咱们先说说这衍射条纹的分布特征。
这些条纹啊，是明暗相间排列的。
中间呢，有一条很亮很宽的条纹，这个中间的亮条纹就像是一家之主一样，处在中心的位置，超级显眼。
那旁边呢，就是明暗交替，而且是对称分布在两边的，就跟列队一样，一边是明纹，紧接着就是暗纹，然后又是明纹这样。
我突然想到我最初看错的地方了，我刚开始以为这明暗条纹的间距是差不多的，但是越看越不对劲。
后来仔细测量了一下（当然不是那种超级精确的测量，就是大概测测），我才发现，明纹和暗纹的宽度从中心往两边是越来越窄的。
这就好比啊，你看那个水波，中心的水波波动比较强，扩散出去就越来越弱了，这个衍射条纹的宽度也有点这个意思。
像两边的第2条明纹或者暗纹就比中心的明纹旁边紧挨着的那条明纹或者暗纹要窄很多。
再说这个条纹宽度的特征，这中央亮纹的宽度挺特别的。
它比旁边的条纹不知要宽多少呢。
我就在那儿想啊，怎么会这么宽呢？按道理说不应该都差不多宽嘛。
后来查了资料才知道这是有科学依据的。
而且这所有条纹的宽度还和狭缝的宽度有关系呢，狭缝要是窄一点，这整个条纹的宽度就会宽一点。
我一开始还不确定这之间有啥关系，做了好几次实验才有点把握。
对于这些条纹的分布，我还发现了一个很有趣的现象。
当我改变光的波长的时候，整个条纹的分布情况也改变了。
比如说，我用红色的光和绿色的光分别进行这个单缝夫琅禾费衍射实验，红色光产生的衍射条纹就要比绿色光产生的衍射条纹宽一些。
这就像不同的人在同样的道路上走，脚步大小不同（我就把光的波长比喻成人的脚步啦），所占据的空间就不一样。
红色光的大波长就像大步子的人，占的空间大，衍射条纹就宽。
我还不太确定这里面我有没有遗漏啥特殊的情况，不过目前我的发现就是这些啦。
差不多就是这样，这个单缝夫琅禾费衍射条纹真的是越研究越让人着迷呢。
单缝衍射
R
f
o
单缝上移，零级明 纹仍在透镜光轴上.
14 – 6 单缝衍射
第十四章 波动光学
例1 如图，一雷达位于路边 15m 处，它的射束与 公路成15 角. 假如发射天线的输出口宽度 b 0.10 m， 发射的微波波长是18mm ，则在它监视范围内的公路长 度大约是多少？ 解 将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝， 衍射波能量主要集中在中央明纹范围内.
2 b sin (2k 1) 2
b sin 2k
k 干涉相消（暗纹）
干涉加强（明纹）
l k 1 f k f
f
b
除了中央明纹外的其 它明纹、暗纹的宽度
六. 单缝衍射的动态变化
14 – 6 单缝衍射
第十四章 波动光学
？
狭缝平移
14 – 6 单缝衍射
14 – 6 单缝衍射 课堂总结：
第十四章 波动光学
这节课学习了光的衍射现象中的夫琅和费单缝 衍射。通过学习，进一步了解了光的波动性，掌握 了夫琅和单缝衍射的规律，学习了一种定性—半定 量的半波带分析方法，对以后分析各种衍射现象打 下了基础，也为处理类似问题提供了思路。
14 – 6 单缝衍射
第十四章 波动光学
x f k
f
波动光学
第一暗纹的衍射角 1 arcsin
b
一定
1增大 b , 1 b 减小，
b增大， 1减小 b 0, 1 0 π
光直线传播 衍射最大
2
1越大，衍射效应越明显. b 一定，越大，
14 – 6 单缝衍射
d[cot( 15 ) cot( 15 )] 153m
12-8单缝的夫琅禾费衍射
f
x0
2f
tan 1
2 f 12f来自aaB. 次极大
x
f
a
1 2
x0
前提仍然是很小
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缝宽变化对条纹的影响
由
x
f
a
1 2
x0
知，缝宽越小，条纹宽度越宽
I
0
sin
当 a 时，
当 a 时，0
x ，此时屏幕呈一片明亮；
，x此时0屏幕上只显出单
一的明条纹单缝的几何光学像。
∴几何光学是波动光学在/a0时的极限情形
b
b
b
3 f 2 f f
bbb
f 2 f 3 f x
b
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退b 出
衍射图样 衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示.
1 I / I0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。 中央极大值两侧的各极小值称暗纹。
(P处干涉相消形成暗纹)
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2.明暗纹条件
由半波带法可得明暗纹条件为：
a sin 2k k 1，2，3，L ——暗纹
2
a sin 2k 1 k 1，2，3，L
2
——明纹(中心)
asin 0
——中央明纹(中心)
上述暗纹和中央明纹(中心)的位置是准确的，其余 明纹中心的实际位置较上稍有偏离。
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明纹宽度
A. 中央明纹
当 a 时 ， 1 级暗纹对应的衍射角