等差数列与等比数列的类比
高二数学选修课件时类比推理
的联系和相似的性质，如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容，它们之间有着相似的性质
和图像特征，如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理，识别题目类型，从而 选择相应的解题方法。例如，对于与 已知题目类似的题目，可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比，忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系，导致 推理结果不合理。避免方法：在 类比时注重逻辑性和内在联系， 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸：类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律，发现新的 物理现象和规律；借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后，需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析，以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中，相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳，以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时，容易忽略它们之间的 本质差异，导致错误的推理结果 。避免方法：在类比前深入分析 对象的本质属性和特征，确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中，容易 忽略一些重要的细节差异，导致 推理结果不准确。避免方法：在 类比时关注细节，特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。
讲练测·三位一体春高中数学人教A版选修1-2教学课件：2-1-1《合情推理》
∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1
＝n(n＋2 1)＋1＝n2＋2n.＋2
第二章 推理与证明
[点评] 在几何中随着点、线、面等元素的增加，探
究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推 人 教
A
理解决，分析时递推关系的寻找是重点．
版
数
学
第二章 推理与证明
[例 3] 已知 O 是△ABC 内任意一点，连结 AO、BO、
去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.
第二章 推理与证明
(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角
度，把各数改写为
23，1，32，94，287
人
可以发现：
教 A
版
数
1÷23＝32，32÷1＝32，
学
94÷32＝32.287÷94＝32. 后一个数是前一个数的32倍，按照这个规律，括号中的
版 数 学
∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBD
VV－BCD
＝VVVV－－BBCCDD＝1.
第二章 推理与证明
[点评] 在类比推理中，找出两类事物之间的相似性
或一致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间和 人 教
A
平面的根本区别．
版
数
第二章 推理与证明
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明
[例1] 下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填
上适当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )；
人 教
A
版
(2)23，1,112，214，338，( )；
数 学
(3)34，58，12，292，3112，( )；
高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 北师大版必修5-北师大版高二
第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．2．理解等比数列的性质及应用．(重点) 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.1．等比数列的单调性阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n}，通项公式a n＝a1·q n－1＝a1q·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：a1a1＞0a1＜0 q的X围0＜q＜1q＝1q＞10＜q＜1q＝1q＞1{a n}的单调性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列思考：(1)若等比数列{a n}中，a1＝2，q＝2，则数列{a n}的单调性如何？[提示] 递减数列．(2)等比数列{a n}中，若公比q＜0，则数列{a n}的单调性如何？[提示] 数列{a n}不具有单调性，是摆动数列．2．等比中项阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫作a，b的等比中项．(3)满足关系式：G2＝ab．思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12D [由a 5＝a 2q 3，得q 3＝a 5a 2＝142＝18，所以q ＝12，故选D ．]2．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…，则此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列 B [由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1×a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N ＋，所以 {a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B ．]3．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值X 围是________．(1，＋∞) [因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1.] 4．4－23与4＋23的等比中项是________． 2或－2 [由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2.]等比中项及应用x,x x x (2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则c a ＋ac的值为________．(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4，当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c成等差数列，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋a c＝1＋1＝2.]应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．1．(1)已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )A ．1或12B ．1或－12C ．1或13D ．1或－13(2)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. (1)D (2)4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 [(1)由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13. (2)由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.]等比数列的设法与求解【例2】 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为b q，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.]灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq .(2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．－25，1，－52 [设这三个数分别为aq，a ，aq ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.]等比数列的性质及应用[探究问题]1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·qn －m.2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .【例3】 (1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. (2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________. 思路探究：利用等比数列的性质求解． (1)128 (2)2·312(3)－(－2)n －1[(1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2，a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128.(2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3，∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝128，a 8＝－4，因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2，故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1.]1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10. [解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7，当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7q 3＝－7. 故a 1＋a 10＝－7.2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|. [解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229＝9.等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列． 性质5：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增；⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q ＜0⇔{a n }为摆动数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )(2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( ) (3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0.2．在等比数列{a n }中，a 4＝6，则a 2a 6的值为( ) A ．4 B ．8 C ．36D ．32C [因为{a n }是等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝36.]3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝_____________. 3 [因为a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，所以q 3＝a 891a 888＝813＝27. 所以q ＝3.]4．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．[解] 在等比数列{a n }中，由a 3a 4a 5＝a 34＝8，得a 4＝2，又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， 所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.。
高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)
2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。
ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。
等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
等比数列的概念及通项公式
思考3：
已知数列 3，6，12，24，…
在练习1中我们已经判断过此数列是等比数列。 a1=3，q=2
三、探究等比数列通项公式 此数列的第50项 a50=？我们该如何 求解呢？ 已知等比数列{an} , 首项是a1，公比是q 通项公式是___________;
探究:等比数列的通项公式
法一：递推法
（1）1，1，1，1，1；
（2）0，1，2，，4，8；
1 1 1 1 （3）1, , , , 2 4 8 16
例2 求出下列等比数列中的未知项：
(1)2, a,8;
1 (2) 4, b, c, 2
1~3
练习：课本 P48
三、等比数列的通项公式：
设 a n 是首项为a1，公比为q的等比数列，则有： a2 a1q a3 a2 q a1q 2 a1 n n 1 an a1q 或 an q 3 a4 a3 q a1q q 所以等比数列a n 的通项公式为：a n a1q 其中a1为首项，q为公比.
类比
等 比 数 列
a2 q a1
a4 q a3 ……
a3 q a2
共n – 1 项
an q ×） an 1
an q n 1 a1
等比数列的通项公式： 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则
an a1q
例1. 在等比数列{an}中，
n 1
注: 等比数列的通项公式中 ，an , a1 , n,q这四个变 量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 （1）已知a1=3，q=2，n=50，求an （2）已知a3=12，a4=18，求a1和a2
(1) 6
(2) 13
数学 类比推理学案
数学选修2－2 2.1.1 类比推理一、类比推理: 由两类不同事物之间具有某些 ，由其中一类事物的某些已知性质，推测另一类事物 的推理.特 点：如：等差数列与等比数列例1．试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a =b ⇒a +c =b +c ; (2) a =b ⇒ ac =bc ;(3) a =b ⇒a 2=b 2;例2在等差数列{}n a 的前n 项和 ，类比上述性质，相应地在等比数列{}n b 中，前n 项积n T = 练习:已知等差数列{}n a 中,若100a =,则有等式12312319(19,)n n a a a a a a a a n n N *-++++=++++<∈ 成立，类比等差数列的上述性质，相应地在等比数列{}n b 中，91b =，则有等式 成立。
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．例4 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列}{n a 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n项和n S 的计算公式为________________练习1.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为练习2类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④练习3在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4。
类似地， 在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .练习4半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2c r r π=，若将r 看作(0,)+∞上的变量，则2'()2r r ππ=①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高考数学一轮总复习 5.34 等差、等比数列的性质及综合应用课件 理
三、等差、等比数列综合
例3已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的
积为 8.
(1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
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当 n≥3 时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋（n－2）[2＋2 （3n－7）]＝23n2－121n＋10. 当 n＝2 时，满足此式．
4, n 1,
综上，Sn＝
3 2
n2
11 2
n
10,
n
2.
【点评】本例(2)小问求解的关键是确定项的正负取值情况 (qíngkuàng)，以去掉绝对值，化归为等差数列的和．
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②证法一：对任意 k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0， 所以，对任意 k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1 成等差数列． 证法二：对任意 k∈N＋，2Sk＝2a1（11－－qqk），
【点评】本例第(3)小问题的求解，实质上是探究数列{dn}的 通项公式，然后(ránhòu)依通项公式确定其为等比数列．
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〔备选题〕例5在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84， a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m) 内的项的个数记为 bm，求数列{bm}的前 m 项和 Sm.
艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明
考点五十九 推理与证明知识梳理1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.4．归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同特征；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 5．合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．6．平面到空间中的常见类比7．直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．8．间接证明间接证明的一种基本方法是反证法．(1)反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)典例剖析题型一 归纳推理 例1 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于1＝12， 2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 变式训练 （2015陕西文）观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用． 题型二 类比推理例2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 变式训练 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ， 于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例3 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.题型四 综合法和分析法的应用例4 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .变式训练 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
高中数学选择性必修二 4 3 1等比数列的概念 课件
A．－3
B．3
C．±3
D．不能确定
A 解析：∵－1，a，b，c，－9 成等比数列，
∴－1，a，b 成等比数列，a，b，c 成等比数列，
b，c，－9 成等比数列，
∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.
∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.
又 a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.
5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．
D 解析：当 m＝0，q＝1 时，A，C 均不是等比数列；6422≠4222， 所以 B 不是等比数列．
2．方程 x2－5x＋4＝0 的两根的等比中项是( )
A．25
B．±2
C．± 5
D．2
B 解析：设方程的两根分别为 x1，x2，由根与系数的关系，得 x1x2＝4，∴两根的等比中项为± x1x2＝±2.
C．递增数列
D．递减数列
A 解析：由已知数列 an＝(－1)n(n∈N*)的前 5 项为－1,1，－1,1，－1， 明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列， 也不是单调递减数列，排除 BCD． 又当 n≥2，n∈N*时，aan－ n 1＝－ －11n－ n 1＝－1 为常数， 故数列{an}是等比数列．故选 A．
3．若各项均为正数的等比数列{an}满足 a3＝3a1＋2a2，则公比 q
＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C 解析：因为 a3＝3a1＋2a2，所以 a1q2＝3a1＋2a1q.又 a1≠0， 所以 q2－2q－3＝0.又 q>0，解得 q＝3.故选 C．
4.若数列－1，a，b，c，－9 成等比数列，则实数 b 的值为( )