《一次函数》经典例题剖析(附练习及答案)
一次函数经典例题20题
一次函数经典例题20题以下是一些关于一次函数的经典例题，共计20道。
每道题后面会给出解答和解析。
1.若函数y=2x+3，求当x等于5时的y值。
解答：将x=5代入函数，得到y=2(5)+3=13。
2.若函数y=-3x+2，求当y等于7时的x值。
解答：将y=7代入函数，得到-3x+2=7，解方程得到x=-1。
3.若函数y=4x-1，求函数在x轴上的截距。
解答：当y=0时，解方程4x-1=0，得到x=1/4。
所以函数在x轴上的截距为1/4。
4.若函数y=-2x+5，求函数的斜率。
解答：斜率即为函数中x的系数，所以斜率为-2。
5.若函数y=3x+2与函数y=-2x+1相交于点P，求点P的坐标。
解答：将两个函数相等，得到3x+2=-2x+1，解方程得到x=-1/5。
将x=-1/5代入其中一个函数，得到y=3(-1/5)+2=1/5。
所以点P的坐标为(-1/5,1/5)。
6.若函数y=kx+3与函数y=2x-1平行，求k的值。
解答：两个函数平行意味着它们的斜率相等。
所以k=2。
7.若函数y=5x+b与函数y=3x-2垂直，求b的值。
解答：两个函数垂直意味着它们的斜率之积为-1。
所以5*3=-1，解方程得到b=-17。
8.若函数y=ax+2与函数y=-bx+4平行且在点(1,3)相交，求a和b的关系。
解答：两个函数平行意味着它们的斜率相等。
所以a=-b。
将点(1,3)代入其中一个函数，得到a+2=3，解方程得到a=1。
所以b=-1。
9.若函数y=-2x+a与函数y=x-1垂直，求a的值。
解答：两个函数垂直意味着它们的斜率之积为-1。
所以-2*1=-1，解方程得到a=-1。
10.若函数y=4x+3与y轴平行，求函数在x轴上的截距。
解答：与y轴平行意味着函数的斜率为无穷大。
所以在x轴上的截距不存在。
11.若函数y=-3x+2与x轴平行，求函数在y轴上的截距。
解答：与x轴平行意味着函数的斜率为0。
所以在y轴上的截距为2。
一次函数经典题及答案
一次函数经典题一．定义型是一次函数，求其解析式。
已知函数1. 例解：由一次函数定义知，。
y=-6x+3，故一次函数的解析式为。
0≠m-3。
如本例中应保证0≠k解析式时，要保证y=kx+b 注意：利用定义求一次函数 . 二点斜型，求这个函数的解析式。
(2, -1)的图像过点y=kx-3已知一次函数2. 例，(2, -1)解：一次函数的图像过点。
y=x-3。
故这个一次函数的解析式为k=1，即，求这个函数的解析式。
y=-1时，x=2，当y=kx-3 变式问法：已知一次函数两点型. 三3.例，则这个函数的(0, 4)、(-2, 0)轴的交点坐标分别是y轴、x已知某个一次函数的图像与。
_____解析式为，由题意得y=kx+b 解：设一次函数解析式为 y=2x+4 故这个一次函数的解析式为，图像型. 四。
__________已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为4. 例y=kx+b解：设一次函数解析式为(0, 2) 、(1, 0)由图可知一次函数的图像过点 y=-2x+2 故这个一次函数的解析式为有斜截型. 五，则直线的解析式为2轴上的截距为y平行，且在y=-2x与直线y=kx+b已知直线5. 例。
___________时，b≠b，=kk。
当；解析：两条直线2121平行，y=-2x与直线y=kx+b直线。
y=-2x+2 ，故直线的解析式为2轴上的截距为y在y=kx+b直线又平移型. 六。
___________个单位得到的图像解析式为2向下平移y=2x+1把直线6. 例，y=kx+b 解析：设函数解析式为y=2x+1直线平行y=2x+1与直线y=kx+b个单位得到的直线2向下平移，故图像解析式为b=1-2=-1 轴上的截距为y在y=kx+b直线七实际应用型. （升）Q则油箱中剩油量分钟，/升流速为油从管道中匀速流出，升，20某油箱中存油7. 例。
___________（分钟）的函数关系式为t与流出时间 Q=+20 ，即Q= 解：由题意得）（Q=+20 故所求函数的解析式为注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。
一次函数经典题型习题精华含答案
一次函数经典题型习题精华含答案一、线性方程的基本概念在数学中，一次函数又称为线性函数，是最基本的一类函数。
一次函数的标准形式可以表示为：y = kx + b，其中k和b分别表示斜率和截距。
二、一次函数的图像与性质1. 斜率的意义斜率k表示了函数图像在坐标平面上的倾斜程度。
斜率越大，函数图像越陡峭；斜率为负值时，函数图像下降；斜率为正值时，函数图像上升。
2. 截距的意义截距b表示了函数图像与y轴的交点。
当x = 0时，y = b，因此截距实际上就是函数图像与y轴的交点的y坐标值。
3. 函数图像的性质一次函数的图像是一条直线，其性质包括：经过点（0，b）、斜率为k。
三、一次函数的常见题型及解答1. 求斜率题目：已知一次函数y = 2x - 3，求其斜率。
解答：根据一次函数的标准形式，可知该函数的斜率为2。
2. 求截距题目：已知一次函数y = 3x + 4，求其截距。
解答：根据一次函数的标准形式，可知该函数的截距为4。
3. 求函数图像上某点的坐标题目：已知一次函数y = 2x + 1，求其图像上x = 3处的点的坐标。
解答：将x = 3代入函数中，可得到y = 2 * 3 + 1 = 7，因此该点的坐标为(3, 7)。
4. 求函数图像与坐标轴的交点题目：已知一次函数y = -2x + 5，请求函数图像与x轴和y轴的交点坐标。
解答：与x轴的交点：当y = 0时，-2x + 5 = 0，解得x = 2.5。
因此，与x 轴的交点坐标为(2.5, 0)。
与y轴的交点：当x = 0时，y = 5。
因此，与y轴的交点坐标为(0, 5)。
5. 求函数图像的斜率和截距题目：已知函数图像经过点(2, 7)和(4, 9)，求该一次函数的斜率和截距。
解答：首先利用两点坐标求斜率：k = (9 - 7) / (4 - 2) = 2 / 2 = 1。
接下来，选择其中一点代入斜率k和函数形式求截距：7 = k * 2 + b，带入斜率和已知点的坐标，可求得b = 5。
一次函数例题习题附答案解析
2022年1月10日初中数学周测/单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，正比例函数是（ ）A ．2y x =B ．2y xC ．2y x =D ．21y x =+ 【答案】A【分析】根据正比例函数y =kx 的定义条件：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】A 、符合正比例函数的含义，故本选项正确；B 、自变量次数不为1，故本选项错误；C 、是反比例函数，故本选项错误；D 、是一次函数，故本选项错误，故选A ．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义以及解析式的形式是解题的关键．2．函数y =x 的取值范围是（ ）A ．12x ≥B ．21x ≥-C ．12x ≤-D ．12x ≤ 【答案】A【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0列出不等式即可求解．【详解】解：根据题意得，210x -≥，解得，12x ≥， 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于0． 3．将一次函数2y x =-的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）A ．2(4)y x =--B ．24y x =-+C ．2(4)y x =-+D ．24y x =-- 【答案】D【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．【详解】解：将直线y =-2x 沿y 轴向下平移4个单位后的直线所对应的函数解析式是：y =-2x -4． 故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．4．函数21yx 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．1x =D ．0x = 【答案】A【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x -1≠0，解得x ≠1，故选：A ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．已知点(1-，1y )、(3，2y )在一次函数2y x =-+的图像上，则1y 、2y 、0的大小关系是（ ）A ．120y y <<B ．120y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】D【分析】把−1和3代入一次函数解析式中，即可算出y 1与y 2的值，即可得出答案．【详解】解：当x ＝−1时，y 1＝−（−1）＋2＝3，当x ＝3时，y 2＝−3＋2＝−1，∵−1＜0＜3，∵y 2＜0＜y 1．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由已知自变量x 的值求出函数值是解决本题的关键．6．若函数||(1)m y m x =-是正比例函数，则m 的值为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．2【答案】C【分析】正比例函数的特征：k ≠0；自变量的次数为1；常数项b =0．根据正比例函数的定义即可列方程求解．【详解】 解：根据题意得：101m m -≠⎧⎨⎩＝， 解得：m ＝−1．故选：C ．【点睛】本题考查正比例函数的定义，绝对值方程，解题的关键是知道正比例函数y ＝kx 的定义条件是：k 为常数，k ≠0，自变量次数为1．7．如图，下列的四个图象中，不能表示y 是x 的函数图象的是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，可得答案．【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不合题意；B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不合题意；C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不合题意；D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的图象，利用了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．x的取值范围是（）8．函数y3x+A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3【答案】B【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不为0列式计算即可．【详解】解：∵函数yx+3x+，解得：x＞﹣3．∴3>0故选：B．【点睛】本题考查函数基本知识，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．评卷人得分二、填空题9．若点()16,A y -，()21,B y -都在正比例函数12y x =-的图象上，则1y __________2y （填“>”或“<”）．【答案】>【分析】由正比例函数12y x =-可得y 随x 的增大而减小，然后根据点()16,A y -，()21,B y -即可求解．【详解】解：∵正比例函数12y x =-，1<02k =-， ∴y 随x 的增大而减小， ∴点()16,A y -，()21,B y -都在正比例函数12y x =-的图象上，且6<1--， ∴12>y y ，故答案为：>．【点睛】此题考查了正比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握正比例函数的增减性． 10．在一次函数y ＝﹣2x 中，y 随x 的增大而 _____（填“增大”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据一次函数的增减性判断即可．一次函数增减性：对于一次函数y =kx +b （k ，b 是常数，k ≠0），①当k >0时，图象一定经过第一、第三象限，图象从左向右上升，y 随x 的增大而增大；②当k <0时，图象一定经过第二、第四象限，图象从左向右下降，y 随x 的增大而减小．【详解】解：∵一次函数y ＝﹣2x ，k ＝﹣2，∴y 随x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．一次函数增减性：对于一次函数y =kx +b （k ，b 是常数，k ≠0），①当k >0时，图象一定经过第一、第三象限，图象从左向右上升，y 随x 的增大而增大；②当k <0时，图象一定经过第二、第四象限，图象从左向右下降，y 随x 的增大而减小．11．若点M (-7，m )，N (-8，n )都在函数y =-(k 2+4)x +1(k 为常数)的图象上，则m 和n 的大小关系是______．【答案】m n <【分析】根据题意可得y 随x 的增大而减小，又有78->- ，即可求解．【详解】解：∵2440k +≥>，∴()240k -+< ，∴y 随x 的增大而减小，∵78->- ，∴m n < ．故答案为：m n <【点睛】本题主要考查了比较一次函数的函数值，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+≠ 的增减性是解题的关键．12．当直线2y x m =++经过第一、三、四象限时，m 的取值范围是______．【答案】2m <-【分析】根据一次函数y ＝x ＋m ＋2经过第一、三、四象限，确定（m ＋2）的取值范围即可．【详解】解：直线2y x m =++经过第一、三、四象限，1k =，则20m +<，故答案为：2m <-【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y ＝kx ＋b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b ＝0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．13．函数3(2)+=-m y m x 是正比例函数，这个函数中的y 值随自变量x 的增大而_________．【答案】减小【分析】根据函数3(2)+=-m y m x 是正比例函数可得31m +=，求出m 的值，代入即可求出2m -的值，即可判断这个函数的增减性．【详解】解：∵函数3(2)+=-m y m x 是正比例函数，∴31m +=，解得：2m =-，∴2224m -=--=-，∴这个函数表达式为4y x =-，∵4<0-，∴y 值随自变量x 的增大而减小．故答案为：减小．【点睛】此题考查了正比例函数的定义，正比例函数的增减性和系数的关系，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，正比例函数的增减性和系数的关系．正比例函数：一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y =kx 的函数（k 为常数，x 的次数为1，且k ≠0），那么y =kx 就叫做正比例函数．当k >0时，函数值y 随着自变量x 的增大而增大；当k <0时，函数值y 随着自变量x 的增大而减小．14．已知函数()f x =(2)f -=_________．【分析】根据函数的定义即可得．【详解】解：因为()f x =所以(2)f -=【点睛】本题考查了求函数值，掌握理解函数的概念是解题关键．三、解答题15．某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km 气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所在位置的气温是y ℃．试用函数解析式表示y 与x 的关系．【答案】65y x =-+【分析】登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所在地的气温为y ℃，根据登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km 气温下降6℃，可求出y 与x 的关系式．【详解】解：根据题意得：y =5-6x ．答：函数解析式为y =5-6x ．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温=地面的气温-降低的气温．16．已知y 与2x +成正比例，当3x =时，10y =-（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当21x -<≤时，求y 的取值范围【答案】（1）24y x =--；（2）60y -≤<．【分析】（1）设(2)(0)y k x k =+≠，把x 、y 的值代入求出k 的值，即可求得函数表达式； （2）由（1）可得24y x =--，再根据21x -<≤，可得6240x ---<≤，即可得结果．【详解】解：（1）设(2)(0)y k x k =+≠，把3x =，10y =-代入得：510k =-，解得：2k =-，24y x ∴=--，y ∴与x 之间的函数表达式为：24y x =--；（2）∵21x -<≤，∴224x --<≤，∴6240x ---<≤即60y -≤<，y ∴的取值范围为：60y -≤<．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，理解题意根据x 的取值范围求得y 的范围，得出关于k 的方程是解决问题的关键．17．一种豆子每千克售2元，豆子的总售价y （元）与所售豆子的质量x （千克）之间的关系如下表：（1）在这个表格中反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当豆子售出5千克时，总售价是多少？（3）按表中给出的关系，用一个式子把x 与y 之间的关系表示出来（4）当豆子售出20千克时，总售价是多少？【答案】（1）总售价y （元）与售出豆子的质量x （千克），自变量是售出豆子的质量x （千克），因变量是总售价y （元）；（2）10元；（3）2y x =；（4）40元．【分析】（1）由表格信息可得结论；（2）由表格信息可得豆子售出5千克的总售价；（3）由总售价等于单价乘以数量可得结论；（4）把20x代入2y x =中可得结论．【详解】解：（1）这个表格中反映的是总售价y （元）与售出豆子的质量x （千克）之间的关系，自变量是售出豆子的质量x （千克），因变量是总售价y （元）；（2）由表格信息可得：豆子售出5千克的总售价为10元；（3）因为总售价等于单价乘以数量，所以2,y x =（4）把20x 代入2y x =得：22040y =⨯=，当豆子售出20千克时，总售价为40元．【点睛】本题考查的是函数的概念，自变量与因变量的理解，以及列函数关系式，求函数值，掌握以上知识是解题的关键．18．把一次函数21y x =-的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为________．【答案】21y x =+【分析】根据函数图象的平移法则求解即可．【详解】∵把一次函数y ＝2x ﹣1的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y ＝2x ﹣1+2，即y ＝2x +1．故答案为：y ＝2x +1．【点睛】本题考查一次函数图象的平移，熟记法则是解题关键．19．如图，1l 反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，2l 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？【答案】当销售量超过4t 时，生产该产品才能赢利【分析】生产该产品赢利，销售收入应大于销售成本，即1l 的函数图象应高于2l 的函数图象，看在交点的哪侧即可．【详解】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用，在交点的右侧，相同的x 值，12l l >的值，那么表示开始赢利．∴当4x >时，12l l >．答：该产品的销售量超过4吨时，生产该产品才能赢利．【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题；理解赢利的意义是解决本题的关键；解决此类问题，应从交点入手思考．20．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍．设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．①求y 与x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？【答案】（1）每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元；（2）①5015000y x =-+；②商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大【分析】（1）列二元一次方程组解决问题；（2）①根据（1）的结论列出函数关系式；②根据题意列出不等式，解不等式，根据①中的解析式求得最大利润．【详解】解：（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，则有1020400020103500a b a b +=⎧⎨+=⎩解得100150a b =⎧⎨=⎩答：每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元． （2）①根据题意得100150(100)y x x =+-，∴5015000y x =-+②根据题意得1002x x -≤，解得1333x ≥， 5015000y x =-+，500-<，y ∴随x 的增大而减小． x 为正整数，当34x =最小时，y 取最大值，此时10066x -=．答：商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的最值，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．21．（1）先列表，再画出函数21y x =+的图象．（2）若直线21y x =+向下平移了1个单位长度，直接写出平移后的直线表达式.【答案】（1）见解析；（2）2y x =【分析】（1）先列好表，再描点并连线即可，（2）根据函数图像上下平移规律：上加下减，即可得到答案．【详解】解：（1）列表如下：描点并连线：（2）直线21y x =+向下平移了1个单位长度得到2y x =．【点睛】本题考查的是一次函数的作图及上下平移，掌握以上知识是解题的关键．22．一个弹簧不挂重物时长12cm ，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg 的物体后，弹簧伸长2cm ．求弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x （单位：kg ）的函数解析式．【答案】122y x =+（0x m ≤≤，m 是弹簧能承受物体的最大质量）【分析】由题意即可求出挂上xkg 的物体后，弹簧伸长的量，再加上弹簧原长即得出y 与x 的函数关系式，注意自变量的取值范围．【详解】∵弹簧挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，且挂上1kg 的物体后，弹簧伸长2cm ，∴挂上xkg 的物体后，弹簧伸长2xcm ．∵弹簧不挂重物时长12cm ，∴弹簧总长212y x =+(0x m ≤≤，m 是弹簧能承受物体的最大质量)．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意找出数量关系列出等式是解答本题的关键． 23．如图（1），某商场在楼层之间设有上、下行自动扶梯和楼梯，甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走楼梯．甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系0.66h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间的函数关系如图（2）所示．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【答案】（1）165y x =-+；（2）甲先到达一楼地面 【分析】（1）设y 关于x 的函数表达式是y kx b =+，利用待定系数法将()0,6，()15,3代入表达式求解即可；（2）分别计算出当当0h =时和0y =时所用的时间，然后比较求解即可．【详解】解：（1）设y 关于x 的函数表达式是y kx b =+将()0,6，()15,3代入得：6153b k b =⎧⎨+=⎩解得：156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴y 关于x 的函数表达式是165y x =-+ （2）当0h =时；00.66x =-+，得10x =当0y =时；1065x =-+，得30x = ∵1030<∴甲先到达一楼地面．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，比较自变量的大小等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数表达式和正确分析题意．24．如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？（2）小明吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？（4）小明读报用了多少时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？【答案】（1）0.6km，8min；（2）17min；（3）0.2km，3min；（4）30min；（5）10min，0.08km/min【分析】小明离家的距离y是时间x的函数，由图象中有两段平行于x轴的线段可知，小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里，由此结合图形分析即可解答．【详解】解：（1）由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8min．-=，小明吃早餐用了17min．（2）由横坐标看出，25817-=，食堂离图书馆0.2km；（3）由纵坐标看出，0.80.60.2由横坐标看出，28253-=，小明从食堂到图书馆用了3min．-=，小明读报用了30min．（4）由横坐标看出，582830（5）由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；-=，小明从图书馆回家用了10min，由横坐标看出，685810由此算出平均速度是0.08km/min．【点睛】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．。
初中数学《一次函数》练习题及答案 (39)
初中数学《一次函数》练习题
39．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．
（2）求出B点坐标．
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+100，
根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，
∴y乙＝10x+100；
（2）解方程组，得，
∴B点坐标为（10，200）；
（3）甲：20x＝240，解得x＝12，即甲种消费卡可玩12次；
乙：10x+100＝240，解得x＝14，即乙种消费卡可玩14次；
14＞12，
∴洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，选择乙种消费卡划算．
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一次函数典型例题及习题解析
一次函数的图像及应用典型例题及习题一次函数 经典题型题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义例1 已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m 为何值时, (1)此函数为正比例函数(2)此函数为一次函数学生自测1。
下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ （ 1）y=-x-4 （2）y=5x2+6 （3）y=2πx (4)y=-8x 2.若是正比例函数，则b 的值是 （ ）A.0B.C.D.3.若y =(m －1)x是正比例函数，则m 的值为（ ） A.1B.－1C.1或－1D.或－4.若函数y =(3m －2)x 2+(1－2m )x (m 为常数)是正比例函数，则m 的值为（ ）A.m ＞B.m ＜C.m =D.m =5.若5y +2与x －3成正比例，则y 是x 的（ ）A.正比例函数B.一次函数C.没有函数关系D.以上答案均不正确 6.要使y=(m-2)x n-1+n 是关于x 的一次函数,n,m 应满足 , .7、已知函数y =(m 2－4)x 4＋n ＋(m －2)，当m 且 时，它是一次函数；当m 且n 时它是正比例函数． 8.若关于x 的函数是一次函数，则m = ，n .设函数y ＝（m －3）x 3－︳m ︳＋m ＋2（1） 当m 为何值时，它是一次函数？（2）当m 为何值时，它是正比例函数？题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值例1 气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km 处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km 时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm 的气温为y ℃． （1）当0≤x ≤11时，求y 与x 之间的关系式？ （2）求当x=2、5、8、11时，y 的值。
（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？学生自测1．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．求出y与x的函数关系式2．13.某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，请写出出租车费y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式.一次函数图像二经典题型题型考点一：函数图象的概念例 1.列表：2.3.连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线.图象：学生自测：1、（10分）爱动脑筋的小明同学在买一双新的运动鞋时，发现了一些有趣现象，即鞋子的号码与鞋子的长（cm）之间存在着某种联系，经过收集数据，得到下表：请你代替小明解决下列问题：（1）根据表中数据，在同一直角坐标系中描出相应的点，你发现这些点在哪一种图形上？（2）猜想y与x之间满足怎样的函数关系式，并求出y与x之间的函数关系式，验证这些点的坐标是否满足函数关系式.（3）当鞋码是40码时，鞋长是多长？题型考点二：通过图像确定函数的解析式例1．（2010山东聊城）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x－2y+3.5＝0B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y+7＝0 D．3x+2y－7＝0学生自测1、函数y=kx－5，k取不同的值，它的图象是（）A、一条经过点（0，－5）的直线B、一组互相平行的直线C、一组相交于点（0，－5）的直线D、一条与y轴的交点在x轴上方的直线2、一次函数y=ax+b，ab＜0，则其大致图象正确的是（）3．（2009年安徽）8．已知函数的图象如图，则的图象可能是【】4．（2009年重庆市江津区）已知一次函数的大致图像为（）5．（2010陕西西安）一个正比例函数的图象经过点（2，－3），它的表达式为A．B．C． D．6、直线y=kx经过点（3，－2），那么这条直线还通过点（）A、（－2，3）B、（－3，2）C、（2，3）D、（3，2）7、如果正比例函数y=kx（k≠0）的自变量取值增加1，函数y的值相应减少4，则k的值为（）A、4B、－4C、D、8、一次函数y=kx+b（k≠0）图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是（4）如图，直线L是一次函数y＝kx+b的图象，则k= ，b= .9. 如图，把直线向上平移后得到直线AB，直线AB经过点，且，则直线AB的解析式是( )A．B．C．D．9．（2009年桂林市、百色市）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为．10把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
【经典例题剖析】一次函数
一次函数典型例题基本概念题例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. [分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k ≠0．解：∵函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，∴⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2. ∴当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数． 小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础知识应用题例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．[分析] （1）弹簧每挂1kg 的物体后，伸长0．5cm ，则挂xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0．5x ）cm ，即y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0≤x ≤18．(3)由y=15+0．5x 可知，y 是x 的一次函数．解：（l ）y=15+0．5x ． （2）自变量x 的取值范围是0≤x ≤18． （3）y 是x 的一次函数．做一做 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 评一评 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为y=k （x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式．设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.∵当x=5时，y=12， ∴12=（5+1）k ，∴k=2． ∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D 项． 例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．［分析］ 从图象上可以看出，它与x 轴交于点（-1，0），与y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k 为即可．解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b 中，得⎩⎨⎧+=-+-=,03,0b b k ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b k ∴此函数的表达式为y=-3x-3. 例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．［分析］ 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b ，再将点（2，-1）代入，求出b 即可．解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b ，∴图象经过点（2，-1）， ∴-l=2×2+b ． ∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.综合应用题例12 判断三点A （3，1），B （0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A ，B 两点的直线的表达式为y=kx+b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,02,31b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴过A ，B 两点的直线的表达式为y=x-2． ∴当x=4时，y=4-2=2． ∴点C （4，2）在直线y=x-2上．∴三点A （3，1）， B （0，-2），C （4，2）在同一条直线上．探索与创新题例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x ，甲旅行社的收费为y 甲元，乙旅行社的收费为y 乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．［分析］ 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．解：（1）甲旅行社的收费y 甲（元）与学生人数x 之间的函数关系式为y 甲=240+21×240x=240+120x. 乙旅行社的收费y 乙（元）与学生人数x 之间的函数关系式为y 乙=240×60％×（x+1）=144x+144．（2）①当y 甲=y 乙时，有240+120x=144x+144，∴24x ＝96，∴x=4． ∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以． ②当y 甲＞y 乙时，240+120x ＞144x+144，∴24x ＜96，∴x ＜4． ∴当x ﹤4时，去乙旅行社更优惠．③当y 甲﹤y 乙时，有240+120x ﹤140x+144，∴24x ＞96，∴x ＞4． ∴当x ＞4时，去甲旅行社更优惠．例3 如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h 是指距d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据．（1）求出h 与d 之间的函数关系式；（不要求写出自变量d 的取值范围）（2）某人身高为196cm ，一般情况下他的指距应是多少？[分析] 设h 与d 之间的函数关系式是h=kd+b （k ≠0）当d ＝20时，h=160；当d=21时,h=169． 把这两对d,h 值代人h=kd+b 得⎩⎨⎧+=+=,21169,20160b k b k ∴⎩⎨⎧-==.20,9b k 所以得出h 与d 之间的函数关系式，当h=196时，即可求出d ．解：（1）设h 与d 之间的函数关系式为h=kd+b(k ≠0)由题中图表可知当d=2O 时,h=16O ；当d=21时，h=169.把它们代入函数关系式，得⎩⎨⎧+=+=,21169,20160b k b k ∴⎩⎨⎧-==.20,9b k ∴h 与d 之间的函数关系式是h=9d-20． （2）当h=196时，有196=9d-20．∴d ＝24．∴当某人的身高为196cm 时，一般情况下他的指距是24cm ．例4 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米／时，那么汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系用图象（如图11－28所示）表示应为（ ）[分析] 本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识，由题意可知,汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是s=400-100t ，其中自变量t 的取值范围是0≤t ≤4，所以有0≤s≤400，因此这个函数图象应为一条线段，故淘汰掉D ．又因为在S=400-100t 中的k=-100＜0，∴s 随t的增大而减小，所以正确答案应该是C ．答案：C小结 画函数图象时，要注意自变量的取值范围，尤其是对实际问题．例5 已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式： ．[分析] 这是一个开放性试题，答案是不惟一的，因为点（2，-5）在第四象限，而图象又不经过第二象限，所以这个函数图象经过第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一点，就可以确定出函数的解析式．设经过第一、二、四象限的直线解析式为y=kx+b （k ≠O ），另外的一点为（4，3），把这两个点代入解析式中即可求出k ，b.⎩⎨⎧+=-+=,25,43b k b k ∴⎩⎨⎧-==.13,4b k ∴y=4x-13. 例7 某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县．已知C ，D 两县运化肥到A ，B 两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．［分析］ 利用表格来分析C ，D 两县运到A ，B 两县的化肥情况如下表．则总运费W （元）与x （吨）的函数关系式为W=35x+40（90-x ）+30（100-x ）+45[60-（100-x ）]=10x+4800．自变量x 的取值范围是40≤x ≤90．解：（1）由C 县运往A 县的化肥为x 吨，则C 县运往B 县的化肥为（100-x ）吨． D 县运往A 县的化肥为（90-x ）吨，D 县运往B 县的化肥为（x-40）吨．由题意可知 W ＝35x+40（90-x ）+30（100-x ）+45（x-40）＝10x+4800． 自变量x 的取值范围为40≤x ≤90．∴总运费W （元）与x （吨）之间的函数关系式为w ＝1Ox+480O （40≤x ≤9O ）．（2）∵10＞0， ∴W 随x 的增大而增大．∴当x=40时， W 最小值=10×40+4800=5200（元）．运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．∴当总运费最低时，运送方案是：C 县的100吨化肥40吨运往A 县，60吨运往B 县，D 县的50吨化肥全部运往A 县．∴当比赛开始38分时，两人第二次相遇．例10 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．[分析] 设直线l 的解析式为y=kx(k ≠0),因为l 分△AOB面积比为2：1，故分两种情况：①S △AOC ：S △BOC =2：1；②S △AOC ：S△BOC =1：2．求出C 点坐标，就可以求出直线l 的解析式．解：∵直线y=x+3的图象与x,y 轴交于A ，B 两点．∴A 点坐标为（-3，0）,B 点坐标为(0,3).∴|OA|＝3，|OB|=3．∴S △AOB =21|OA|·|OB|=21×3×3=29. 设直线l 的解析式为y=kx （k ≠0）.∵直线l 把△AOB 的面积分为2：1，直线l 与线段AB 交于点C∴分两种情况来讨论：①当S △AOC :S △BOC =2:1时，设C 点坐标为（x 1，y 1）.又∵S △AOB =S △AOC +S △BOC =29，∴S △AOB =3229⨯=3. 即S △AOC =21·|OA|·|y 1|=21×3×|y 1|=3. ∴y 1=±2，由图示可知取y 1=2． 又∵点C 在直线AB 上， ∴2=x 1+3，∴x 1=-1.∴C 点坐标为（-1，2）．把C 点坐标（-1，2）代人y=kx 中，得 2=-1·k ，∴k ＝-2．∴直线l 的解析式为y=-2x ．②当S △AOC :S △BOC =1:2时，设C 点坐标为(x 2,y 2)．又∵S △AOC =S △AOC +S △BOC =29, ∴S △AOB =,233129=⨯ 即S △AOC =21·|OA|·|y 2|=21·3·|y 2|=23. ∴y 2=±1，由图示可知取y 2=1.又∵点C 在直线AB 上， ∴1=x 2+3，∴x 2=-2.把C 点坐标（-2，1）代入y=kx 中，得1=-2k ，∴k=-y 2. ∴直线l 的解析式为y=-21x. ∴直线l 的解析式为y=-2x 或y=-21x.。
初中数学《一次函数》练习题及答案 (8)
初中数学《一次函数》练习题 1．为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数 量不超过100双，问该专卖店共有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【解答】解：（1）依题意得， ， 整理得，3000（m﹣20）＝2400m， 解得m＝100， 经检验，m＝100是原分式方程的解， 所以，m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双， 根据题意得，， 解得95≤x≤100， ∵x是正整数， 100﹣95+1＝6， ∴共有6种方案； （3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100）， ①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大， 所以，当x＝100时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双； ②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样； ③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小， 所以，当x＝95时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
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1 《一次函数》复习课 知识点1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正
比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x等都是一次函数，y=21x，y=-x都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数. （3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象 把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点 3一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），
直线与x轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． 2
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点； （2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． 知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系 （1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上． 例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上． 知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 （1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值． （2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值． 知识点6 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常 3
数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数． 知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k与b的值，得到函数表达式． 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意可知，
,3,21bkbk
解.35,34bk ∴此函数的关系式为y=3534x．
【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）. 思想方法小结 （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
②当k，b异号时，即-kb＞0时，直线与x轴正半轴相交；
当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点； 4
当k，b同号时，即-kb﹤0时，直线与x轴负半轴相交． ③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0) 当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． （3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2y1与y2相交；
②2121bbkky1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③2121,bbkky1与y2平行； ④2121,bbkky1与y2重合.
典例剖析 基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件． 例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-21x； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x；
（4）y=-5x2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x2.
例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）x32m+（m-4）是一次函数？ 5
基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式． 例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．
例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．
例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值．
例6 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ） A．m﹤O B．m＞0
C．m﹤21 D．m＞M
例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．