探求“点差法”思路来源及应用
透析“点差法”
透析“点差法”所谓“点差法”是设圆锥曲线上的点的坐标，然后代入圆锥曲线方程，再作差。
这种方法可速解以下三个重要题型。
题型1：已知弦中点坐标，求弦所在的直线方程例1.设中心在原点，焦点x在轴上，且离心率为的椭圆与直线l交与A，B 两点，且A，B两点的中点M（1，2）为，求直线l的方程.解：由椭圆的离心率e=可设椭圆方程为x2+2y2=2b2设直线l与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+2y12=2b2x22+2y22=2b2两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0∴kAB==，又A，B中点为M（2，1）∴=2 =1 ∴kAB=-1∴l的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0题型2：已知弦所在的直线的斜率，求弦中点的轨迹方程例2.已知倾斜角为的直线交椭圆+y2=1与A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+4y12=4x22+4y22=4两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0因直线AB的倾斜角为，∴kAB=1∴kAB==-=1设AB的中点M（x，y），则x=，y=代入上式得-=1，∴x+4y=0（橢圆内部的部分）题型3：已知弦所在的直线的斜率和弦中点的坐标，求圆锥曲线的方程例3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且它的一条弦所在的直线方程为y=2x+5，弦中点的横坐标为-3，求此抛物线的标准方程.解：设弦中点M（-3，y），代入直线方程为y=2x+5得y=2×（-3）+5=-1，即M（-3，-1）设抛物线的标准方程为y2=ax，设直线与抛物线交点为A（x1，y1），B（x2，y2）则=2，y1+y2=-2，y12=ax1，y22=ax2.两式相减得（y1-y2）（y1+y2）=a（x1-x2），∴a=（y1+y2）=2×（-2）=-4，y2=-4x.总评：“点差法”解决的几个题型充分体现了“设而不求”的思想，使得复杂问题简单化。
浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用
浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用作者：张伟建来源：《中学教学参考·理科版》2012年第11期圆锥曲线问题是高中数学的难点之一，圆锥曲线的弦的中点有关问题是常考查的内容.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，过程繁琐，计算量大.“点差法”是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式相减，可得一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解.当题目涉及弦的中点、斜率，或借助曲线方程中变量的取值范围求其他变量的范围时，一般都可以用“点差法”来求解.这种方法对有关点的坐标设而不求，充分发挥整体思想在解题中的应用，起到简化和优化解题过程的作用.【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个顶点A的坐标为（0，-1），且右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.（1）求a、b的值；（2）若存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同两点M、N，且满足|AM|=|AN|，求k的取值范围.解析：由于篇幅有限，常规解法不再赘述.下面使用点差法求解.设M（，），N（，），P（，）.当k≠0时，由|AM|=|AN|知：；①；②；③；④---；⑤由①-②得（）（-）+3（）（-）=0.⑦将③④代入⑦，得-k；⑧将⑧和⑤联立得，-32k，将它们代入⑥得94k2+34解得k∈（-1，1）且k≠0.当k=0时显然成立.故k∈（-1，1）.【例2】如图2所示，某椭圆的焦点是（-4，0）、（4，0），过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A（，）、C（，）满足条件：、、成等差数列.（1）求该椭圆方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.解析：（1）由椭圆定义及条件得，∴a=5.又c=4，∴b2=a2-c2=9.故椭圆方程为x25+y29=1.（2）由a=5，c=4知离心率e=ca=45，-，-依焦半径公式：由、、成等差数列，得5--，解得，∴故弦AC中点的横坐标为4.（3）由第（2）问可知弦AC中点的横坐标，再由弦AC的垂直平分线方程，可表示出AC的方程，然后与椭圆方程联立可将k用AC中点坐标表示，再由中点在y=kx+m上，可将m用弦AC中点的纵坐标表示，然后结合弦AC中点在线段BB′上这一条件，求出m的取值范围.故设弦AC中点为P（4，），所以直线AC的方程为：y--1k（x-4）（x≠0）.将上式代入椭圆方程得（9k2+25）x2-50（）x+25（）2-25×9k2=0，∴（）9k2+25=8，解得（当k=0时也成立），∵点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，∴，∴---∵点P（4，）在线段BB′的内部，于是有-95这道题表面上看与“点差法”没多大联系，第（2）问中既然出现了线段的垂直平分线，当然也就有了弦的中点，“点差法”也就有了用武之地.下面使用点差法求解.设弦AC中点为P（4，），由A（，）、C（，）知；①；②；③；④--；⑤；⑥-95由①-②得（）（-）25-（）（-）9=0，将③④代入上式得：---2=-1k，解得（）.又由-95且得-165（注：当k=0时，AC中点为（4，0），此时）综上，m∈（-165，165）.圆锥曲线求参数取值范围问题，常有两种解题思路：1.先求出直线的斜率的变化范围，进而求参数的取值范围.2.借助曲线中变量的取值范围求参数的取值范围在椭圆中，直线与椭圆如果有两个交点，则等价于弦的中点在椭圆内部，换句话说，某点在圆锥曲线的内部，则被该点平分的弦一般存在.本题即根据AC的中点P在椭圆内部，求出的取值范围，进一步求出m的范围.由此可见，中点弦问题中判断“中点”的位置非常重要，而“点差法”是解决此类问题当之无愧的“利剑”.参考文献邵丽云.高中数学疑难全解放入书架[M].南京：南京师范大学出版社，2006.[2]曹兵.高中数学难题新题精讲精练300例[M].上海：上海交通大学出版社，2008.。
点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用
[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５(１)求直线ＡＢ的方程ꎻ(２)如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于ＣꎬＤ两点ꎬ那么ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点是否共圆ꎬ为什么?解㊀(１)由题意知ꎬ直线ＡＢ的斜率存在且不为０ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＢ的斜率为ｋꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ꎬｙ１＋ｙ２＝４ꎬｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２.由ｘ２１－ｙ２１２＝１ｘ２２－ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝１ꎬ从而ｋ＝１.故直线ＡＢ的方程为ｙ－２＝１ (ｘ－１)ꎬ即ｘ－ｙ＋１＝０.(２)解略.评注㊀此问题用常规方法也易求解ꎬ但没有用点差法来得快.２.用点差法简求轨迹方程例２㊀(２００１年春季高考上海卷 文理２１)已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２２＝１ꎬ点Ｐ(ａꎬｂ)的坐标满足ａ２＋ｂ２２ɤ１ꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｑ为线段ＡＢ的中点ꎬ求:(１)点Ｑ的轨迹方程ꎻ(２)点Ｑ的轨迹与坐标轴的交点的个数.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ｘꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ.由ｘ２１＋ｙ２１２＝１ｘ２２＋ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘｙꎬ又ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｂ－ｙａ－ｘꎬ从而ｂ－ｙａ－ｘ＝－２ ｘｙꎬ即２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.故点Ｑ的方程为２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.(２)解略.３.用点差法简求圆锥曲线的方程例３㊀(２０１３年高考新课标全国卷Ⅱ 理２０)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１ꎬｙ０－０ｘ０－０＝１２.ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬ㊀①ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï①－②并整理ꎬ得ｂ２(ｘ１＋ｘ２)ａ２(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ꎬ所以ｂ２ ２ｘ０ａ２ ２ｙ０＝１ꎬ故ｂ２ａ２ ２＝１ꎬ即ａ２＝２ｂ２.又由题意知ꎬＭ的右焦点为(３ꎬ０)ꎬ故ａ２－ｂ２＝３.因此ꎬａ２＝６ꎬｂ２＝３.所以Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)解略.评注㊀此问题若没有想到点差法ꎬ就不易求解了ꎬ甚至解不出来.４.巧用点差法简解对称题型一般地ꎬ对称直线㊁对称点的题目ꎬ用点差法求解较为简便.例４㊀(１９８６年高考广东卷 理４)已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ试确定ｍ的取值范围ꎬ使得对于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍꎬ椭圆Ｃ上有不同的两点关于该直线对称.解㊀设椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１上不同两点Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)关于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍ对称ꎬ线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｋｐｐ＝－１４.ｘ２１４＋ｙ２１３＝１ꎬ㊀①ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï４５①－②并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－３４ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ又因为ｋｐｐ＝－１４ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１４ꎬ所以－１４＝－３４ ２ｘ０２ｙ０ꎬ即ｙ０＝３ｘ０.由ｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｙ０＝３ｘ０ꎬ{解得ｘ０＝－ｍꎬｙ０＝－３ｍ.{因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１内ꎬ所以ｘ０２４＋ｙ０２３<１ꎬ即ｍ２４＋９ｍ２３<１ꎬ解得－２１３１３<ｍ<２１３１３ꎬ即为所求ｍ的取值范围.评注㊀解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件ꎬ应认真领会.５.注意中点的构造ꎬ创造点差法的条件简解题例５㊀(２０１６年高考浙江卷 理１９)设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１).(１)求直线ｙ＝ｋｘ＋１被椭圆截得的线段长(用ａꎬｋ表示)ꎻ(２)若任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点ꎬ求椭圆离心率的取值范围.分析㊀(１)略.(２)因为此问题ꎬ正面情况较多或正面入手困难ꎬ所以想到从反面入手ꎬ即运用正难则反思想ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至少有４个公共点.而在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的公共点数不可能是５ꎬ６ꎬ７ꎬ ꎬｎ.故而ꎬ在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)有４个公共点.解㊀(１)略.(２)假设圆与椭圆有４个公共点ꎬ则圆与椭圆在ｙ轴左侧有２个交点ＰꎬＱ.设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＰＱ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ于是ｘ２１ａ２＋ｙ１２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２＝１ꎬ两式相减整理ꎬ得(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ａ２(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０.因为ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ又ｋＡＭ ｋＰＱ＝－１ꎬ即ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｘ０ｙ０－１ꎬ从而ｘ０＋ａ２ｙ０ －ｘ０ｙ０－１＝０ꎬ由ｘ０ʂ０ꎬ得ｙ０＝１１－ａ２.因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１内ꎬ所以ｘ０２ａ２＋ｙ０２<１.故ｘ０２ａ２＋１(１－ａ２)２<１ꎬ即ｘ０２<ａ２－ａ２(１－ａ２)２.又存在ｘ０２ɪ(０ꎬａ２)使上式成立ꎬ所以ａ２－ａ２(１－ａ２)２>０ꎬ即ａ>２.因此ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点的充要条件为１<ａɤ２ꎬ由离心率ｅ＝ｃａ＝ａ２－１ａꎬ得所求离心率的取值范围为(０ꎬ２２].评注㊀(１)命题者(官方)给出的解答计算量较大ꎬ详见文[４].(２)此问题ꎬ解法较多(详见文[１])ꎬ上述解法最简捷.点差法在高考中有着广泛的运用ꎬ如:２０１０年高考ꎬ山东卷 文９ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１２ꎬ安徽卷 理１９ꎻ２０１２年高考ꎬ湖北卷 理２１ꎻ２０１３年高考ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１０ꎻ２０１５年高考ꎬ全国卷Ⅱ 理２０ꎬ浙江卷 理１９ꎻ２０１８年高考ꎬ全国卷Ⅲ 理２０.综上所述ꎬ点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用ꎬ同时作为一种基础数学方法ꎬ它与其它数学方法之间有着极大的相关性ꎬ这是我们在解题过程中所不能忽视的ꎬ在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法ꎬ才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中ꎬ来提高解题效率与质量.㊀㊀参考文献:[１]李美君.数学 入题 三维度:直接㊁间接㊁转换 以２０１６年浙江省数学高考理科第１９题为例[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(１１):３３－３７.[２]赵建勋.点差法及其应用[Ｊ].中学生数学(高中)ꎬ２０１２(１２):２０－２１.[３]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用[Ｊ].数理化解题研究(高中)ꎬ２０１９(２):９－１０.[４]天利高考命题研究中心.２０１６高考真题(数学 理科)[Ｍ].拉萨:西藏人民出版社ꎬ２０１６.[责任编辑:李㊀璟]５５。
点差法——精选推荐
点差法例（星期五早测）：已知椭圆x（平方）/2+y（平方）=1，求过点P（1/2，1/2)且被P平分的弦所在的直线方程点差法：设所求直线为 y-1/2=k(x-1/2)即: y=kx-1/2k+1/2又设直线与椭圆相交的两个点位P1（x1,y1)P2(x2,y2)(注：在字母后的数字为下标,,如P1的"1",,P2的"2"是下标,,,以下雷同,）则有：x1（平方）+2y1(平方）=2 ①x2 (平方）+2y2(平方）=2 ②这里可能有人会不太懂这两条式是怎么来的，其实一开始我也不太明白，其实就是把P1,P2代入椭圆的那个方程而得出的。
好，我们继续。
①-②，得：（x1(平方）—x2(平方））+2(y1（平方）—y2（平方））=0分解公因式得（x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0最后化简得 (y1-y2)/(x1-x2)= -1/2乘以(x1+x2)/(y1+y2)记得求K的公式吗？ (y1-y2)/(x1-x2)就是这个东西..所以直线的K值就等于 -1/2乘以(x1+x2)/(y1+y2)而且我们可以从中点坐标公式得出两个式子，就是用普通的方法时要列的那两个中点坐标方程，可以得到 x1+x2=1y1+y2=1把这两个值代入 -1/2乘以(x1+x2)/(y1+y2)这个式子里，就可以求出K值了。
K= -1/2乘以1/1= -1/2再把所求K值代入直线方程 y=kx-1/2k+1/2 这个东西里面就可以求出直线方程了，是不是很简单？没什么要计算的，真是爽死了。
最后得出此直线方程为 2x+4y-3=0最后让我总结下思路：点差法第一步：设点（直线与椭圆的交点）第二步：代入（椭圆方程）会有两个方程第三步：两个方程作差第四步：然后变形，变为等号一边是求K值的代数式的形式 (y1-y2)/(x1-x2)=OOXX,,第五步：利用中点坐标公式求出K,,好处：计算量灰常小但不是题题可用，为什么呢？很简单可以理解，(y1-y2)/(x1-x2)=OOXX,,这个式子中如果最后变形后OOXX里面的东西不是x1+x2和y1+y2的话，就算不出了，所以如果是这样，就用回原始方法吧。
点差法
点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。
在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；同理px2 +3y2+q=0 ④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程待定系数法例、分解因式x －x －5x －6x－4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
双曲线点差法
双曲线点差法点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MNk ，则2200a b x y kMN=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k即.32=ABk∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y xC 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？（3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在. 解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+= 由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点， ∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200a b x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y xC 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y xC 中，122==b a，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . ,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点.设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2y x . 由2222a b x yk AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+xy x y x y xy ，整理得：.0422=+-x y x 配方得：144)2(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ； （Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由24y=-得)32(322-=x y，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x .∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x.（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x .设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x.∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线.因而ka 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(0y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：30=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：kx ky 400+-=.…………………………………………………②由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k.∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C.12522=-y xD.15222=-y x2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹; （2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线xy322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y kMN=⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a ab 得5,222==b a.故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅ABk，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x . ∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA .故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22a b x y kAB =⋅得：32123=⋅++x y x y ，整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x.（2）由2200ab x y kAB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=ABk.∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x，解之得：1,221=-=x x .∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线xy322-=中，3=p ，∴准线为23=x .∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x .（2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴km 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(0y x P .11 由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………① 由6100+⋅-=x k y 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y， ∴32329+⋅=k k ，即12=k .∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
-双曲线点差法
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200a b x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,+=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
点差法计算方法
点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。
点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。
对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。
例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。
由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。
将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。
对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。
由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。
假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。
将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。
第7讲 点差法(解析版)
，过点
F
的直线交 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
1
A．
2
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】令 AB 的中点为 M，坐标为 (1, 1) ，则 kAB
kMF
0 1
3 1
1 2
，
kOM
1
因为 A、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在 x 轴，所以 kAB
A． x2 y2 1 18 9
B． x2 y2 1 27 18
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
【答案】A
【解析】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， F c, 0
所以
x12 2m x22 2m
y12 m y22 m
1
，相减得
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题得 x1+x2 =2，y1+y2 =2 ，
所以
b2 b2
x12 x22
a2 y12 a2 y22
a2b2 a2b2
，
两式相减得 b2 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以 2b2 (x1 x2 ) 2 a2 ( y1 y2 ) 0 ，
所以
2b2
4b2
( y1 ( x1
y2 ) x2 )
0
，
所以1 2k 0,k 1 . 2
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆 E : x2 y2 1(m 0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 2m m
点差法
点差法“秒杀”高考综合题系列之(一)——点差法在解析几何综合题中的应到高三的同学都知道，浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综合题，一般多是椭圆和抛物线，按照命题的规律和趋势，我们发现以下两点：（1）理科数学在此章节一般考察椭圆，文科数学一般考察抛物线；（2）考察的题型一般是直线与解析几何的位置关系。
诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。
上过从老师高考班的同学应该记得，在解决解析几何图形与直线相切这个位置关系的题型的时候，“抄一个，代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。
如果大家要用判别式、位置关系等通法解决此类问题时，耗费5~10分钟不说，5~10分钟的计算量还不一定能保证结果正确。
但诸位如果知道“抄一个，代一个”，一旦看到直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相切问题时，应做到能在10秒钟以内准确地写出切线的方程。
当然，直线与上面图形的位置关系除了相切以外，另外一种更常考的位置是相交。
在相交的题型中，一旦看到“弦长”或者“面积”等关键词时，应立即想到“设直线、代曲线、根与系数搞定一切”（弦长公式）。
相信大家对这种题型应该有较深的体会了。
今天我在这里要跟大家探讨的是：题目中出现“直线与椭圆交于两点A、B”（即AB是椭圆内的一条弦）、“AB中点M”等关键词时的解题方法。
“点差法”精髓在于“设而不求”，通过点差法有个重要的结论要求大家记住。
设椭圆方程为，任意一条直线交椭圆于，两点，则两式相减得到，移向整理后得到：即：（M为AB中点）同样的道理，对于长轴在y轴上的椭圆，结论为.也就是说：椭圆内任意弦AB所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积为一个常数。
【再拓展】当A、B两点离的非常近时，可以将这个结论看做：过椭圆上某点P有一条切线，则请看2009年浙江高考第21题已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．也许很多同学都看过所谓“标准答案”给我们的解题过程，设出直线方程后代入，经过两次判别式来确定h的取值范围。
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问题探究： 设椭圆 ＋ 去一 １ ， 已 知一直线交 椭圆于Ａ 、 Ｂ ， Ａ Ｂ 为不 Ⅱ一
垂直 于坐标轴 的任意一 条弦 ， 弦Ａ Ｂ 的 中点 为 Ｍ， 则ｋ ｏ Ｍ・ ｋ Ａ 是否为 定
值？
两式相减 ， 得
ｋ ： 二丝 一
ｚｌ 一３ ７ ２ ２
２
‰
＝ Ｙ ｌ － Ｙ ２ ’ 而 Ｙ ￣ ＋ Ｙ ２ ＝ ２ Ｚ
ｚ ｝ 一 ：ｌ
； ～ 娑： １
如 何 得 到 萼 二 薹 这 样 的 式 子 ， 由 此 想 到 点 Ａ （ ｚ １ １ ） ， Ｂ （ ｚ ２ ， ２ ） 在 椭
圆上 ， 故 满足
两式相减 ， 得 二 丝 ．
置。
１ 、 求 中点 弦问题
９ ．２
例ｌ ： 过 椭圆磊 ＋ ＝ ｌ 内 一 点Ｍ （ ４ ， ２ ） ￣ ｌ － 条 弦， 使弦 被Ｍ 平 分，
求 弦所在 的直 线方程 。 解圆锥曲线 中点 弦问题 的一 般方法 ： 联系直线和 圆锥 曲线方程 ， 借 助于一元 二次方程 的根的判别式 ， 根与 系数 的关系 ， 中点坐标 ， 参数方 法可求解 ， 显然计算 量大 。此 题只需求 出直线的斜率 之后用点 斜式便 可求出 ， 故 可 以采 用 点 差 法 ： 设 弦 的两 端 点 为 Ａ（ ３ ２ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｂ（ ２ ｚ ） ，
解： 设存在被 Ｍ平分的弦 Ａ Ｂ ， 设 Ａ（ ｚ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｂ（ ２ ， Ｙ ２ ） 则， ３ ２ １ ＋ｘ ｚ ＝ ２ ， ｌ ＋ ｙ ｚ ＝２ ，
ｌ ｌ
ｌ
：
可
１ ＋ｙ２
ｋ Ａ Ｂ
Ｙ Ａ ２
２
， （ Ｊ Ｍ ＝ 而 ２ ＝而 ｙ ｔ ＋ ｙ ２
３ ２ １ ＋ｏ ｒ ２ ＝ ８， ｙ ］ ＋ ２ ＝ ４，
根据初 中知识 知道 ： 圆心和圆 内一条弦 的中点 的连线垂 直于弦 ， 即 ｏｏ 及弦 Ａ Ｂ ， 其 中弦 Ａ Ｂ的 中点为 Ｍ， 若弦 Ａ Ｂ 和 直线 Ｏ Ｍ的斜率都 存 在， 则ｋ ｏ Ｍ・ ｋ Ａ Ｂ 一一 １ 是一定值 。 类 比提 出问题 １ ： 椭圆是 圆经过适 当的变换后 形成 的图形 ， 那么椭 圆内一 弦的 中点与椭 圆 中心的连线 与这 条弦之 间又有 怎样 的位置关 系？是否垂 直 ， 若不垂直 ， 斜率之间又满足怎样的数量关系？
［ 关键词 ］ 圆锥 曲线 点差 法 定值 斜率 设而不求
数 学教育理论 和长期 的数学教学实 践表 明， 数 学教学过程 的实质 是： 以一定 的问题情境 为载体在教师 的引导下通过 学生 的数学 活动掌 握 数学的本质 和规律 、 生成各种 数学能力 。高 中数 学选 修 ２ －１ 中求 与 中点弦有关 的问题时 ， 引入了 “ 点差法 ” ， 这个方 法是如何想 到的 ， 又该 如何熟练应 用？学生 被纯粹 的灌输 “ 点差法 ” ， 对于其来 龙去脉却不甚 了解 。对此 笔者授 课时对 “ 点差 法” 的引入进行 了如下 问题 情境 的设
・ ・ ‘
｛ ２ 一 ｙ ２ ： １消 去 ｙ 得 一 ＋ 。 ＝ ｏ
：
当 ： ｂ 时， 即椭圆变换为圆后 ，
． ： 一 １
△＝（ ～４） 。 一４Ｘ２×３ 一８＜有类 似于圆的垂径定理 的定值 问题 。而且 这个定
这说明直线 Ｌ与双曲线 不相 交 ， 故被点 Ｍ平分的弦不存在 。
于 Ａ、 Ｂ ， Ａ Ｂ 为 不 垂直 于 坐标 轴 的任 意一 条 弦 ， 弦Ａ Ｂ的 中点 为 Ｍ， 则 ・ Ｂ 是 否为定 值？
其次中点不能落在坐标轴上， 再者因为之前默认有两交点， 因此要通过 检验判别式 检验 是否为增根。 学生很 快推出 ｋ ｏ Ｍ－ ｋ Ａ Ｂ ＝ ２ 、 求过 （ 定点 、 平行 弦） 的弦的中点轨迹 有 了以上的问题情境和探求结果 ， 点差法 的介绍就水到渠成 ， 不那 该类问题的轨迹方程的求法可用点差法
值与长半轴、 短半轴有关。同样易推出若椭圆焦点在Ｙ 轴上， 鲁＋ 有限制条件？
＝
问题 ３ ： 为什么会 出现直线 不存在 ， 难道点 差法在双 曲线 中的应用
１， 则 Ｍ ・ ｋ ：一 ， 这是 相当漂亮的结果 。 类 比椭圆提 出问题 ２： 设 双曲线 ￡ ２一 Ｙ ＝１ 已知一 直线交双 曲线
搽求“ 点蓥法’ ’ 思 路来源及应用
莆 田哲 理 中学 谢梅 芳
【 摘 要］ 解析几何 圆锥 曲线 问题 中涉及 了与 中点弦有关 的问题 ， 引入 了“ 点差法” ， 本 文阐述 了 如 何 自然地 向学生分析 并引导学生探 求“ 点差法” 思路 来源和核心 思想， 从 而达到 灵活应用“ 点差法” 解决圆锥 曲线的一些问题 。
，
通过探究可 以发现采用“ 点差法” 是在默认直线 与曲线 已交 出两个 不 同的点的前提下且 要求直线 的斜率存 在 ， 若采取 检验判别式 就可 以
将增根舍去 。 问题 ４ ： 圆锥 曲线 中与中点弦有 关的问题是否都能用“ 点差法” ？ 通过 以上例题总结 ， 用“ 点差法 ” 首先 弦所 在直线的斜率必须存 在 ，
３ ２ １－ － Ｘ２
一２
Ｘｌ＋ ２
ｊ Ｉ 薹 ＋ 薏 １ ①
雩＋ 等： １ ②
： ０ ｂ ｚ 为定值
一
，
．
．
．
＾ Ｈ：
： ２
３ ２ １－ － Ｘ２
故直线 Ｌ： ｖ 一１ ＝２ （ ｘ－１ ）
由① 一②得 堕 １ － ２ ＋
ｆ Ｙ 一１ ＝ ２ 一１ ）
＾Ｉ
９
３ ６
１
４
《十 丽 随着问题的设置 ， 学生分析， 设Ａ（ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｂ（ ２ ２ ） ， Ｍ（ ＋ ÷
Ｖ １ 十 ）
ｌ
个
— Ｌ
２
例２ ： 已知双曲线 一 ＝１， 经过点 Ｍ（ １ ， １ ） ， 能否作一 条直线 Ｌ ， 使Ｌ 与 双曲线交 于 Ａ 、 Ｂ ， 且点 Ｍ是 线段 Ａ Ｂ 的 中点 ， 若存 在这样 的直线 Ｌ ， 求 出它的方程 ， 如果不存在 ， 说明理 由。