一元二次方程根的判别式 公开课课件

2mx 2 + 8m( x + 1) = − x ， m 为何值时， 二次方程 当
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
2mx 2 + (8m + 1) x + 8m = 0 ， 提示： 先把方程变形： 再看△。 △
解：因为 =b2 −4ac =16m+1 ，所以
；
5 当△=0，即 a= 4 时，x=2； ，
当△<0，即 ，
5 a> 4 时，方程无解。 方程无解。
x 2 − 3 x − 2 = 0 的最小根的倒数。 提升 1：求方程 ：
提示：可以先换元：令 t=|x|，转化为关于 t 的一 元二次方程，求 t，再求 x。
3 + 17 3 ± 17 (舍正号) t= (舍负号) x = ± 2 2
m = −1
x1 = 1
1
= 5；
= 3.
； 当 m = −3 时， x
1
或 m = ±3
结束寄语
同学们： 同学们：
学无止境！ 学无止境！ 没有最好,只有更好！！！ 没有最好,只有更好！！！ 再见
1 （1）当 =16m+1>0，即 m>− 时，方程有两 16
个不等的实数根；
=16m+1=0，即 m=− 1 时，方程有两 =− （2）当
16
个相等的实数根；
1 （3）当 =16m+1<0，即 m<− 时，方程没有 16
实数根.
问题三 解含有字母系数的方程。 问题三：解含有字母系数的方程。
ax 2 − 5 x + 5 Байду номын сангаас 0 。 解方程：
2
3.当方程没有实数根时，∆ = b 2 − 4ac < 0 当方程没有实数根时， 当方程没有实数根时
b 2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的
判别式，通常用“△”表示。 △
方程有两个不等的实数 不等的实 当△>0 时，方程有两个不等的实数根；
方程有两个相等的实数 当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式：
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法： 解一元二次方程的方法： 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法
对于一元二次方程 吗？
ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
x2 =
3m − 3 − m + 3 =1 2m
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数 ∴ x1 = 2 −
3 m 必为整数
∴ m = ±1 或 m = ±3 当 m = 1 时 ， x1 = −1 ；当 m = −1 时， x 当 m = 3 时， ∴
当△<0 时，方程没有实数根。 方程没有实数
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？ 问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
2 x2 + 5x + 7 = 0 ； （1）
3x2 + x = 0 ； （2）
x 2 − 4 kx = 2 k + 3 。 （3）
提示：步骤：第一步 第一步：写出判别式△；第二步 第一步 △ 根据△的正负写结论。 △
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 能运用根的判别式， 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行 有关的推理论证； 有关的推理论证； 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 的范围. 的范围.
在中考中， 在中考中，代数占 60-65 分，统计与概率占 15 分左右，几何占 40-45 分，其中一元二次方程占 10 分左右， 其中一元二次方程占 一元二次方程 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 的内容包括 法、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系， 一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系， 今天我们主要学习一元二次方程的根的判别式。 今天我们主要学习一元二次方程的根的判别式。 一元二次方程 判别式
一定有解
b 2 b2 用配方法变形上述方程得到： 用配方法变形上述方程得到： ( x + a ) = −c ， 2a 4a
b 2 b 2 − 4ac 即 (x + ) = 2a 4a 2
。
一元二次方程的根的情况： 一元二次方程的根的情况：
1.当 ∆ = b 2 − 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根 当 2.当 ∆ = b 2 − 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根 当
∵方程有两个不相等的实数根，
2 ∴ (m − 3) > 0 且 m ≠ 0
∴ m ≠ 3且 m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m ≠ 3 且 m ≠ 0
−b ± b 2 − 4ac 3(m − 1) ± (m − 3) = （2）证明：由求根公式 x = 2a 2m
∴
x1 =
3m − 3 + m − 3 2m − 3 3 = = 2− 2m m m
解： （1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0, △ 所以原方程无解。
因为△ （2） 因为△ = b 2 − 4ac =1 > 0 ，所以原方 程有两个不等的实根。
（3） 因为△ 因为△= b 2 − 4ac =(4k+1) 2 + 11 > 0 ， 所以原方程有两个不等的实根。
问题二 已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。 问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的值.
2 2 2 （1）解： ∆ = b − 4ac = [ −3(m − 1) ] − 4m(2m − 3) = (m − 3)
∆ = b 2 − 4ac < 0 时，方程没有实数根 3.当 当
反过来： 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， = b − 4ac > 0 当方程有两个不相等的实数根时， 当方程有两个不相等的实数根时 ∆ 2.当方程有两个相等的实数根时， ∆ = b 2 − 4ac = 0 当方程有两个相等的实数根时， 当方程有两个相等的实数根时
2 提升 3 ： 若方程 3 x − 4 x + k + 1 = 0 无实数根，化简：
2 1 1 k 2 − k + + − 2k 。. 3 9 3
提示：先利用判别式求 k 的范围，再化简。
2 3k − 3
动不如
动
2 x 的 一 元 二 次 方 程 mx − 3(m − 1) x + 2m − 3 = 0 已知：关于
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
−5 x + 5 = 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确 △ 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1. 当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
5 ± 25 − 20a 20a 5 x= a< 4 时， 2a
当△>0，即 ，
1 2 -2 3 − 17） 3 − 17 （ =− = = xmin 9-17 4 3 + 17
提升 2：方程 x2 − ax − b = 0 与 x 2 + bx + a = 0 只有一个相等的实 ： 数根，求此根。
提示：先降幂，将一元二次方程转化为一元一次方 程，再求 x。
当a+b≠0时，x=-1