文科高等数学(微积分)综合练习(1)
高三文科数学综合卷1
∵ ，∴实数 的取值范围是
（2）当 时，
若关于 的不等式 有解，则函数 的图象与直线 有两个交点，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围是
文数综合卷1
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．若复数 在复平面内所对应的点在实轴上，则实数 （ ）
A．2B．-2C．1D．0
3．已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
函数 的是小正周期为 ,
5．A
【解析】
根据题意画出图形，如图所示；
直线 与直线 的交点为 ； 为 的中点，
若 ，则 即 解得 ．
6．A
在 中，因为 ，由正弦定理知 ，又 ，所以 ，
又由余弦定理知： ，解得 ，即 ，故选A。
7．D
由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为 .∴
由 消 得 . (1)
令 ，解得 .
代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).
设圆心 的坐标为 ，由 ，得 ，解得 .
故过 三点的圆的方程为 ．
（2）证明：设 ，由已知得 ， ，设切点分别为 ， ，所以 ， ，
切线 的方程为 即 ，
切线 的方程为 即 ．
又因为切线 过点 ，所以得 . ①
又因为切线 也过点 ，所以得 . ②
（1）证明： 平面 ；
（2）已知 ， 的面积为 ， 为线段 上一点，且三棱锥 的体积为 ，求 .
20．已知抛物线 ，M为直线 上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B．
大一微积分期末 1-习题课件文科
x 0
左右极限相等，所以极限存在，且 lim
f ( x) 1
2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x x0 x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
1 x2 1 ( 1 x 2 1)( 1 x 2 1) lim P34、1（4）lim x 0 x 0 x x( 1 x 2 1) lim
x 0
x2 x( 1 x 1)
2
lim
x 0
x 1 x 1
2
0
x
a0 x m a1 x m1 am 5. lim x b x n b x n 1 a 0 1 n
tan 2 2 x 4x2 (2) lim lim 8 x 0 1 cos x x 0 1 2 x 2
(3) lim
( x 1) arcsin x ( x 1) x lim 1 x 0 x 0 sin x x
P28、3（1）
sin(tan x) tan x x (5) lim lim lim 1 x 0 tan(sin x ) x 0 sin x x 0 x
( x x0 ) 0
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
x P34、2（1） f ( x) x
x x lim f ( x) lim lim 1 解： x 0 x 0 x x 0 x x x lim f ( x) lim lim 1 x 0 x 0 x x 0 x
微分的运算综合测试卷(含答案)
微分的运算综合测试卷(含答案)问题一设函数 $y = 3x^2 - 2x + 1$，求函数 $y$ 的导数$\frac{{dy}}{{dx}}$。
解答一根据微分的定义，函数 $y = 3x^2 - 2x + 1$ 的导数为$\frac{{dy}}{{dx}} = 6x - 2$。
问题二已知函数 $y = \sin(x) + \cos(x)$，求函数 $y$ 的极值点。
解答二为求函数 $y = \sin(x) + \cos(x)$ 的极值点，我们需要求函数的导数并令其为零。
首先计算导数：$\frac{{dy}}{{dx}} = \cos(x) - \sin(x)$然后解方程 $\frac{{dy}}{{dx}} = \cos(x) - \sin(x) = 0$，得到：$\cos(x) = \sin(x)$由于 $\cos(x)$ 和 $\sin(x)$ 的周期性，我们知道他们相等的解为 $x = \frac{{\pi}}{{4}} + k\pi$，其中 $k$ 是整数。
因此，函数 $y = \sin(x) + \cos(x)$ 的极值点为 $x =\frac{{\pi}}{{4}} + k\pi$。
问题三已知函数 $y = \ln(x)$，求函数 $y$ 的导数 $\frac{{dy}}{{dx}}$。
解答三根据函数 $y = \ln(x)$ 的导数公式，我们有 $\frac{{dy}}{{dx}}= \frac{{1}}{{x}}$。
问题四已知函数 $y = e^x$，求函数 $y$ 的近似导数（当 $x = 1$），并保留两位小数。
解答四根据函数 $y = e^x$ 的导数公式，我们有 $\frac{{dy}}{{dx}} = e^x$。
代入 $x = 1$，我们得到 $\frac{{dy}}{{dx}} \approx e^1 \approx 2.71$。
因此，函数 $y = e^x$ 在 $x = 1$ 处的近似导数为 2.71。
微积分综合练习题及参考答案1
综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
大一微积分上高数综合练习1
《高等数学》(上)综合练习（一）一、选择题（'35⨯＝15'）：1、下列各组函数中为相同函数的是 （ ）．()A ()()2,f x x g x == ； ()B ()(),f x x g x == ()C ()()221,sec tan f x g x x x ==-； ()D ()()32,x f x g x x x==． 2、设0()0x e x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，若0l i m ()x f x →极限存在，则 （ ）． ()A a = 0 , b = 0 ； ()B a = 2 , b = －1 ；()C a = －1 , b = 2 ； ()D a 为任意常数, b = 1．3、设()f x 在0x x =附近有定义，且000(3)()lim 1h f x h f x h→--=，则0'()f x = （ ）． ()A 13- ； ()B 3-； ()C 1 ； ()D 13． 4、设函数()f x 有连续的二阶导数，且(0)0,'(0)1,''(0)2f f f ===-， 则20()lim x f x x x →-= （ ）． ()A 不存在 ； ()B 0 ； ()C 1- ； ()D 2-．5、设()f x 为连续函数，则()d f x dx dx=⎰ （ ）． ()A ()f x C +；()B ()f x ； ()C ()f x dx ； ()D '()f x dx ． 二、填空题（4'6⨯=24'）：1、设曲线y=f (x )过点)3,1(,且该曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为x 2，则f (x )= ．2、若213lim 1x ax x b x →---=+，则a = ，b = ．3、设质点作直线运动，运动方程为()0)s t t=>，则质点在时刻t 的速度()v t = ． 4、函数20()(1)xf x t =-⎰t e dt 的单调增加区间是 ，单调减少区间是 ．5、设函数()f x 的一个原函数sin 2x ，则'()xf x dx =⎰ ．6、已知32()sin(1)x x t dt Φ=+⎰，则'()x Φ= ． 三、计算题（4'4⨯=16'）：1、30sin cos lim x x x x x→-； 2、2ln 0lim x x x x +-→； 3、2(1)arctan y x x =+，求''y ．4、求由参数方程 2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩ 所确定的函数的导数dy dx ． 四、计算下列积分（5'5⨯=25'）：1、x x dx e e -+⎰； 2、41⎰；3、；4、dx x x ⎰+241；5、0ax e dx +∞-⎰ (0)a >． 五、（7'）求曲线x y xe =的凹凸区间及拐点．六、（6'）设0,a b >>证明:ln a b a a b a b b--<< . 七、（7'）要建造一个容积为常数Ｖ的圆柱形水池，已知底面的单位面积造价是侧面的一半，问如何设计尺寸，才能使水池造价最低？。
成教微积分综合练习题
微积分综合练习题一一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．设函数f (x )的定义域为[0，1]，则f (2x-1)的定义域是（B ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C ．[0，1]D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 2．函数f (x )=sinx-cosx 是（）函数。
A ．奇B ．偶C ．非奇非偶D ．既奇又偶3．函数122+=x xy 的反函数是（） A ．x x y -=1log 2B ．xx y -=1log 2 C ．x x y +=1log 2 D ．xx y +=1log 2 4．()111--→x x in s im l x =（） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞5．下列函数中，当x →0时，极限()x f m i l x 0→在存的是（）A ．()⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=0203022x x x x x f x B ．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000x x x x x f C ．()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=02100021x x x x x x f D ．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=010x x x nx i s x f6．当x → 0时，下列变量为无穷小量的是（）A ．13-xB ．x anx tC ．12-xD ．nx l7．设函数()⎩⎨⎧≥+<=0202x a x x e x f x 在点x = 0处连续，则a =（） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．21 8．若='=y nx i ns l y 则（）A ．nx i s 1B ．osx c 1C ．anx tD ．otx cA ．1+=x yB ．12-=x yC ．11-=x yD ．13+x10．下列广义积分收敛的是（）A ．⎰∞+1cos xdx B ．⎰∞+1nxdx l C ．⎰∞+1dx e x D ．⎰∞+131dx x二、填空题（每小题2分，共20分）1．设()()[]x f f xx x f 则,11+-== 2．函数()22--=x y 的单调减区间是3．若32lim 23-+-→x k x x x = 4，则k = 4．曲线x e x y +=在点x = 0处的切线方程是5．若()()()0,1f x n l x f ''-=则=6．若()x f y =在点0x 处可导且取得极值，则()0x f '=7．设()()()n n y x n l x y 则,122+=-= 8．过点（1，4），且在每一点x 的切线的斜率为6 x 的曲线方程是9．若()()⎰+=x f c x an rct a dx x f 则,2=10．3020x tdtn i s mi l xx ⎰→=三、计算题（每小题6分，共42分）1．求极限123221-+-→x x x m li x2．求极限⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x3．dx dy ye xe x y 求,0=+4．dy ey x an rct a 求,1=5．求函数()29323+--=x x x x f 的单调区间与极值。
2019文科高数综合练习题附答案
2019文科高数综合练习题附答案2019文科高等数学综合练习答案一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．下列函数中是偶函数的一个是------------------------- （D ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）.2．下列函数相同的是------------------------------------------------------（ A ）（A ）与（B ）与（C ）与（D ）与3.下列哪个函数是偶函数----------------------------------------（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ） 4.极限-----------------------------------------------------（C ）(A)(B) (C) (D)5.下列各式中正确的是----------------------------------------（ C ）A.B.C. D.6．当时，不是无穷小量的是-----------------------------（ A ）（）（）（）（）7.函数在处有定义是在处有极限的-----------------（ D ）A 充分但非必要条件B 必要但非充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件x x y sin +=x x y cos sin +=x x y +=2x x y cos 2+=y x =y =2log y x =2log y x =2x y x =y x =242x y x -=+2y x =-1y x x=+2sin y x =x x y cos sin +=2=y 2lim 1xx x →∞+=e 1e -2e 12e ex xx =+∞→1)1(lim e x xx =+→)1(lim 10e x xx =--∞→)1(lim 1110)1(lim -→=-e x xx +∞→x A x x 1sin B x x sin C 21x D 11-x e )(x f y =0x )(x f y =0x8．函数在在点处的性质是 -----------------------（）（）连续且可导 ()连续但不可导 ()不连续也不可导 ()可导但不连续9. 对函数在处连续性与可导性叙述正确的是---------- ( B )（A ）连续且可导（B ）连续但不可导（C ）不连续也不可导（D ）可导但不连续 10. 当时，函数的极限是-------------------------------（ D ）（A ）-1；（B ）1；（C ）0；（D ）不存在. 11.设，可微，则----------------------- （ D ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ） 12. 已知在处有极值－2，则常数之值分别为-------------------------------------------------------------------------（ C ）(A)； ( B)； (C)； (D).13.设的原函数是，则---------------------（ B ）（A ）（B ）（C ）（D ）14.如果函数在闭区间[a ，b]上连续，则在此区间上有-------------- （ A ）（A ）至少存在一个最小值点；（B ）存在唯一的一个最小值点；（C ）不一定存在最小值点；（D ）一定不存在最小值点.15.在区间上满足罗尔定理条件的函数是-------------------（ C ）≤>=0)(2x x x x x f 0=x B A B C D ||)(x x f =0=x 1→x 1|1|)(--=x x x f (sin )y f x =()f x dy =(sin )f x dx '(cos )f x dx '(sin )sin f x xdx '(sin )cos f x xdx '32()f x x ax bx =++1x =,a b 2,1a b =-=1,1a b ==-0,3a b ==-0,2a b ==-()f x 1x()f x '=1x 32x ln x 21x-)(x f ]1,1[-（A ）；（B ）；（C ）；（D ）.16. 一阶导数为零的点---------------------------------------------------------------------()()必是极大值点 ()必是极小值点 ()必是驻点 ()以上答案都对 17.若，则必有-------------------------------------------（） () () () ()18. 设是区间内的连续函数，，是在区间内的两个不同原函数，则在内必有--------------------（ D ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）. 19.设在上连续，，则在上----------（ A ）（A ）；（B ）. （C ）；（D ）.20.设Φ(x) ------------------------------（ C ）( A ) ( B ) ( C )( D ) 4e21.在区间内连续是其在区间内可积的--------------------- ( B )(A) 必要但非充分条件 (B) 充分但非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件22. 自然数是由哪位数学家发现的------- ---（ B ）（A ）牛顿；（B ）欧拉；（C ）莱布尼兹；（D ）费尔马23.牛-莱公式中的莱布尼兹是哪国人--------------------------- （ B ）（A ）美国；（B ）德国；x y 1=32x y =21x y -=122+-=x x y C A B C D ?+=Cx F dx x f )()(B A )()(x F x f ='B )()(x f x F ='C C x F x f +=')()(D C x f x F +=')()(()f x I ()0f x ≠12(),()F x F x ()f x I I 121()()F x F x C +=122()()F x F x C =132()()F x C F x =124()()F x F x C -=()f x [,]a b ()(),()xa F x f t dt a xb =≤≤?(,)a b ()()F x f x '=()()F x f x C '=+()()ba F x f x dx C =+?()()F x f x '==Φ'=?)2(,2则dt e t x 0e 44e ()f x I I e（C ）法国；（D ）英国.一、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）1．微积分的创建者，公认是英国和德国的俩位数学家，他俩是牛顿、莱布尼兹． 2．微积分中的符号是瑞士数学家欧拉创设的．3．设在内连续，则 .4．．若函数连续，则 2 .5． .6．7. =8. .9．，则的10．设，则.11．设，则.13. 设，则14. . 15． 16． .e ,0(),0x e x f x x a x ?≤+>+=0,30,)21ln(x a x x x x y =a 1lim sin x x x→∞=1sin limx xx→∞=0xx x 21)31(lim -→23-e =-→302sin 2limx x x x 21()ln cos f x x =()f x ''=2sec x-2ln xy x =dy =2(2ln 2ln )xxx dx x+1ln y x =+''(1)y =1?=xx x dt t f 0cos )(=)(x f x sin x x cos -31x dx -=52=xdx ln C x x ln x +-?='?dx x f x f )()(C )x (f +221三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1. 设，求；解：；4.设，求解：,21ln(1)()x f x x x+=-0lim ()x f x →0lim ()x f x →2ln(1)limx x x x→-+=L'H 0011111lim[]lim 22(1)2x x x x x →→-+===+)tan ln(sec x x y +=.y ''x x x x xx y sec )sec tan (sec tan sec 12'=++=x x y tan sec "=6. 在抛物线上过横坐标为及的两点作割线，问该抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？解：（1）因为；，于是割线的方程为（2）又，此时故抛物线上在点处的切线平行于所求的割线 7. 求由方程所确定的函数的导数;解：方程两边关于求导得：所以8. 计算不定积分解： 9.求：解：设： 2y x =11x =23x =111,1x y ==223,9x y ==91 431k -==-43y x =-'24,2y x k x ====4y =(2,4)1e y y x =-)(x f y =0 =y dxdy x y y dy dy e xe dx dx=--1yy dy e dx xe-=+210-==y dxdy x xe dx ?()x x x x xe dx xd e xe e dx ==-x x xe e C =-+?++dx xx 11,t x 21=+?++dx x x11??-=+-=dt )t (t tdt tt 122112C t t +-=233210. 求：．11. 求：解：13. 设连续，，求解：四、计算题（本题7分）1.求由方程所确定的函数的导数解：方程两边对求导得：C t t +-=2332)C (x )x (+-+-+=113234222001211tt dt dt t t =++??220012[(1)]1dt d t t =-++??2 42[ln(1)]42ln 3t =-+=-dx e x ?4dx e x42222222022+=-==?e e te dt te ttt )(t f 1)0(,)()(0-==?f dt t f x x g x ).0(g '')()(2)()()()('"0'x xf x f x g x xf dt t f x g x+=?+=?2)0(0)0(2)0('"-=+=f f g y xe y +=1)(x f y =1=y dxdy x故2.设是由方程所确定的隐函数，求函数曲线在点处的切线方程及法线方程。
2013文科微积分(上)(A卷)(1)
2013级文科专业《微积分》（上）试题（A卷）合分人：复查人：一、计算下列极限：（每题5分，共20分）1．01lim.ln(13) x x→+2.12cos2limcosxxxx®骣÷ç÷ç÷ç桫.3. 011lim()1x x x e →--. 4． 3sin 2lim5arctan xx xx x++.二、导数与微分：（每题6分，共30分）1. 设111ln arctan ,412x y x x +=--求0.x dy =2．求由方程y x xy e e +=所确定的曲线()y y x =在0x =处的切线方程. 3. 设sin x y x =,求2.x dy dxπ=4. 设10()ln f x x x x =+, 求(10)(1)f .5．设2ln(1)0()00x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩， 求(0)f '.三、计算下列积分：（每题5分，共20分）1．2222sin(1)cosx xdxx x++⎰.2．2.3. dx x⎰.4．2ln x dx x ⎰.1. 求曲线52319210y x x =-的凹凸区间及拐点.2. 证明: |arcsin arcsin |||,,(1,1).x y x y x y -??3. 设 3()x f x dx C =⎰,求()f x dx ⎰.1. 设()f x 的原函数()0F x >,且(1),4F π=当0x >时,有2()()f x F x ⋅=,求()f x .2. 设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,销量与价格的函数为:600001000Q p =-,(Q 为销量,单位:件,p 为价格,单位:元).(1)若产销平衡,求 ① 当50p =时的边际利润并解释其经济意义;② 使得利润最大的定价p ,(2)若需求量与销量平衡,求当50p =时的需求价格弹性d E 并解释其经济意义．。
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文科高等数学(微积分)综合练习一、选择题 (答案已填入)1. 设2320(),20x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩则()0limx f x +→=（Ｂ）. A 2 Ｂ 2- C 1- Ｄ 02. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,)21()(1x k x x x f x 在点0=x 连续, 则=k (Ｂ).A 1 Ｂ 2e C e1D 1- 4. sin 3lim0xx x=→（D ）A 0 Ｂ 13C 1D 35. 当0x →时，tan 2x 是x 的（ C ）A 高阶无穷小B 低阶无穷小C 同阶但不等价无穷小D 等价无穷小6. 设)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1sin x x xx ，则)(x f 在0=x 处( Ｂ ). A 不连续 B 连续 C 可导 D 可微7. 已知9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则a =（Ｃ）A 1B ∞C ln 3D 2ln 38. 设()sin 001cosxx x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩，则0x =是)(x f 的（Ｃ） A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 振荡间断点 9. 函数在点0x 处连续是在该点可导的（B ）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 无关条件 10. 设()2y f x =-，则'y =（D ）A ()'2fx B ()'2f x -- C ()'2f x - D ()'22f x --11. 设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标是(Ｂ) A (0,1) B (1,0) C (0,0) D (1,1)12. 设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=-+→hx f h x f h ，则)(0x f '为（D ）A 1B 0C 2D 21 13. ()()f x d e=（Ｄ）A ()'f x dxB ()()f x f x e dx C ()f x e dx D ()()'f xf x e dx14. 已知0x →时()12211ax+-与1cos x -为等价无穷小，则a =（B ）A ０B １C ２D ３ 15.下列等式成立的是（D ）A ()()d f x dx f x =⎰B()()df x dx f x dx dx=⎰ C()()df x dx f x C dx =+⎰D ()()d f x dx f x dx =⎰ 16. 若⎰+=C x F dx x f )()(, 则dx e f e x x )(--⎰=(B )A C e F x+)( B C e F x+--)( C C e F x+-)( D C e F x +-)(17. 设()'f x 连续，则'(3)f x dx =⎰（A ）A()133f x C + B ()13f x C + C ()33f x C + D ()3f x C + 18. 设函数f x e x()=2，则不定积分⎰⎪⎭⎫⎝⎛dx x f 2等于（B ） A 2e C x+ B e C x+ C 22e C x+D eC x2+19. 求不定积分dx ax ⎰+221可采用的三角变换是（C ）A t a x sin =B t a x cos =C t a x tan =D t a x sec = 20. 设3()f x x x =+，则()22f x dx -=⎰（Ａ）A ０B ２C ４D ()22f x dx ⎰21.arctan bad xdx dx =⎰（Ｄ） A arctan x B 211x + C arctan arctan b a - D ０22. 积分dx e x ⎰∞+-0=( A )A 1B 2 C21D 4 二、填空题1. 工厂生产某产品,每日的固定成本为100元, 生产一个单位产品的成本为5元, 则每日工厂生产x 单位产品的总成本函数)(x C =_________.平均成本函数________)(=x C2. 若432lim23=-+-→x kx x x ，则k =__________. 3. 若 0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则____________,==b a . 4. ._______sin 1lim=∞→x x x 5. ._______1sin lim 0=→x x x 6. ._______2sin lim 0=→x x x 7. ._______)1(lim 2=+∞→xx xx8. ._______)1(lim 1=-→xx x 9. ._______sin )21ln(lim0=-→xx x10. 122lim 33++∞→x x x x =_________. 11. 设)('x f 存在，则_____)3()(lim 0=--→hh x f x f h12. 设A x f =)('0，则_____)()(lim 000=∆-∆-→∆xx f x x f x13. 设x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 取极值，则_______=a 14. 设点），（31为曲线23bx ax y +=的拐点，则____________,==b a15. 由定积分几何意义,dx x ⎰-1021=________.16.dx x ⎰-2|1|=__________.17. 方程1=x 在空间表示_________. 18. 设yxxy z +=，则_________=dz 填空题答案1. 1005)(+=x x C ，xx x C 1005)(+=2. 3-3. 11-，4.05.06. 27. 2e 8. 1-e 9. 2- 10. 211. )(3x f ' 12. A - 13. 2 14. 2923，-15. 4π16. 1 17. 平面18. dy yxx dx y y )()1(2-++三、计算题1. 设xxy ln =，求y '. 2. 设231x e y -=，求y '. 3. 由方程yxe y +=1确定的隐函数)(x y y =的导数dxdy .4. 求11lim()1ln x x x x →--.5. 求 0lim 2x xctg x →.6. 求201lim sin x x e x x →-- . 7 求)111(lim 0--→x x e x . 8. 求曲线x y =在点)2,4(处的切线方程.9. 求由方程1ln =+y xy 确定的隐函数)(x y y =在点)1,1(M 处的切线方程. 10. 用对数求导法求函数xx y )1(2+=的导数y '. 11. 求函数3226187y x x x =---的单调区间和凹凸区间 12. 计算 dx ex⎰13. 计算1x x dx e e-+⎰14. 计算3cos xdx ⎰15. ⎰ 16. 计算4. 17. dx x x ⎰cos 18. sin x x 是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰ 19. 计算.1dx xe x⎰20. 计算xtgxtdt xx ⎰→0sin lim. 21. 利用函数的奇偶性计算积分dx x x x ⎰-++2222||22. 设y x y x z +=23，求dz yzx z ,,∂∂∂∂. 计算题答案 1. 略 2. 略3. 方程yxe y +=1两边关于x 求导，⇒+=dxdy xe e dx dy y y yy xe e dx dy -=1. 4. 21111ln 1ln 11lim()lim lim 1ln (1)ln (1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-===--- 5. 001lim 2lim22x x x xctg x tg x →→==.6. 220001111limlim lim sin 22x x x x x x e x e x e x x x →→→-----===. 7. )111(lim 0--→x x e x =)1(1lim0---→x x x e x xe =201lim x x e x x --→=2121lim 0=-→x e x x 8. 044=+-y x （见教材《微积分》p80页 例8） 9. 032=-+y x （见教材《微积分》p99页 例2）.10. 两边取对数，)1ln(ln 2x x y +=，关于x 求导，有='y ]12)1[ln()1(2222xx x x x ++++. 11. 递增区间(,1),(3,)-∞-+∞；递减区间(1,3)-. 凹区间(1,)+∞；凸区间(,1)-∞ 12.,2t dx tdt ==，dx ex⎰=⎰tdt e t 2=2C e ex C e te e td x xt t t +-=+-=⎰)(2)(2)(13. 1x x dx e e-+⎰=21x xx e dx arctge C e =++⎰ 14.3231cos (1sin )(sin )sin sin 3xdx x d x x x C =-=-+⎰⎰ 15.,2t dx tdt ==2222()1t arctgtd t t arctgt dt t==-+⎰⎰⎰ =2t arctgt t arctgt C -++=C16. 参考207页例题317. dx x x ⎰cos =C x x x xdx x x x xd ++=-=⎰⎰cos sin sin sin )(sin 18. ()(())()()xf x dx xd f x xf x f x dx '==-⎰⎰⎰=sin sin ()x xx C x x'-+ =. 19.dx xe x⎰1=⎰1xxde -=10|x xe 10|x e =1. 20. xtgxtdtxx ⎰→00sin lim==⎰→200sin limx tdtxx 212sin lim0=→x x x .21. dx x x x ⎰-++2222||=dx x x ⎰-+2222+dx x x ⎰-+2222||=0+3ln 22202==+⎰ dx x x22.,16y xy x z +=∂∂223y x x y z -=∂∂，=dz ++dx y xy )16(dy yx x )3(22-. 四、应用题1. 求函数)1ln()(x x x f +-=的极值.2. 求函数133)(23+--=x x x x f 的极值. 3. 计算抛物线x y 22=与直线4-x y =所围成的平面图形的面积.4. 计算抛物线x y =2与2x y =所围成的平面图形的面积及平面图形绕x 轴旋转所成立体的体积. 5. 计算曲线x y =与直线x y =所围成的平面图形的面积及平面图形绕y 轴旋转所成立体的体积.6. 计算曲线23x y -=与直线x y 2=所围成的平面图形的面积. 7. 设某产品的总成本为25.03400)(x x x C ++=，需求函数xp 100=，其中p 为价格，x 为需求量，试求边际成本)(x C '，边际收入)(x R '，边际利润)(x L '. 应用题答案1.13)(23+-=x x x f ，令0111)(=+-='xx f ，0=x 是驻点.2)1(1)(x x f +='' 01)0(>=''f ，0)0(=f 是极小值，2. 133)(23+--=x x x x f ，令032)(2=--='x x x f ，3,1=-=x x 是驻点. 22)(-=''x x f ;04)1(<-=-''f ;04)3(>=''f易得8)3(-=f 是极小值.，32)1(-=-f 是极大值， 3. 由x y 22=与4-x y =联立得两个交点为)2-,2(和），（48.则所求的面积为 ⎰=+=42-218)21-4(dy y y A （见教材《微积分》p217页 例3） 4. 面积31（见教材《微积分》p216页 例1） ⎰⎰=-=101042103)(πππdx x dx x V x .5. 面积61 ⎰⎰=-=10142152πππdy y dy y V y . 6.3327. x x C +='3)(，xx R 50)(='，x xx L --='350)(.五、证明题1. 证明方程135=-x x 至少有一个根介于1与2之间. 2. 证明方程01sin =++x x 在)2,2(ππ-内至少有一个实根. 3. 证明方程015=++x x 在)0,1(-只有一个根. 4. 证明不等式|||arctan arctan |b a b a -≤- 5. 用单调性证明不等式 0>x 时，2)1ln(x x x ->+ . 6. 用单调性证明不等式 0>x 时，x x+>+121. 7. 证明 2arccos arcsin π=+x x ]1,1[-∈x8. 利用极限的存在准则证明: 11211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 证明题答案1. 提示：令13)(5--=x x x f ，在]2,1[上用零点定理. 2. 提示：令1sin )(++=x x x f ，在]2,2[ππ-上用零点定理. ·3. 见教材《微积分》p133页 例5.4. 提示：令x x f arctan )(=，在以b a ,为端点的区间上用拉格朗日中值公式，有)(11arctan arctan 2b a b a -+=-ξ（ξ在b a ,之间）， 得||||11|arctan arctan |2b a b a b a -≤-+=-ξ5. 令2)1ln()(2x x x x f +-+=，见教材《微积分》p132页 例4..6. 仿照题6的做法.7. 见教材《微积分》p118页 例3. 81. <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+ππππn n n n n n n n n n 22222111 ⎪⎭⎫⎝⎛++++++πππn n n n n 2221211<ππππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++22222111n n n n n n 且1lim lim 2222=+=+∞→∞→ππn n n n n n n根据数列极限的夹逼准则有 11211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n .。